第12章參數(shù)模型功率譜估計(jì)

1、第12章：參數(shù)模型功率譜估計(jì)12.1 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：該參數(shù)模型的思路是：（1）假定所研究的過(guò)程 由一個(gè)輸入序列 激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)的 輸出，如圖：（2）由已知的 ，或者其自相關(guān)函數(shù) 來(lái) 估計(jì) 的參數(shù)。)(nx)(nu)(zH)(nx)(nu)(zH)(nx mrx)(zH12.1 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：（3）由 的參數(shù)來(lái)估計(jì) 的功率譜。 不論 是確定性信號(hào)還是隨機(jī)信號(hào)，對(duì)上圖所示的線性系統(tǒng)， 和 之間總有如下的輸入輸出關(guān)系： )(zH)(nx)(nx)(nx)(nu010)()()(:)()()(kpkqkkkknukhnxknubknxanx及(12.1.1) (12.1.2 )1

2、2.1 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：對(duì)上式兩邊分別取z變換，并假定 ，可得：1ob011)()(1)(1)()()()(kkqkkkpkkkzkhzHzbzBzazAzAzBzH其中：(12.1.3)(12.1.4a)(12.1.4b )(12.1.4c )12.1 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：為了保證 是一個(gè)穩(wěn)定的且是最小相位系統(tǒng)， ， 的零點(diǎn)都應(yīng)在單位圓內(nèi)。假定 是一個(gè)方差為 的白噪聲序列，由隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的理論可知，輸出序列 的功率譜：2222| )(| )(|)()()()()(jjjjjjjxeAeBeAeAeBeBeP（12.1.5）)(zH)(zA)(zB)(nu2)(nx12.1

3、 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：AR模型：在 中，如果：（1） 全為零，那么 ， ， 分別變成：qbbb,.,21（12.1.1）(12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)pkkjkjxpkkkpkkeaePzazAzHnuknxanx12211|1|)(11)(1)()()()(12.1.6)(12.1.7)(12.1.8)12.1 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：MA模型：（2） 全為零，那么 ， ， 全變成： (12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)paaa,.,21qkkjkjxkqkkqkkqkkebePzbzBzHbknxbnuknxbnx1221011|1 |)(1)()(1,

4、)()()()(12.1.9)(12.1.10)(12.1.11)12.1 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型：ARMA模型：（3）若 ， 不全為零，則 給出的模型為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)稱(chēng)ARMA模型，顯然此模型是一個(gè)既有極點(diǎn)，又有零點(diǎn)的模型?？偨Y(jié)： 由于ARMA模型是一個(gè)極零模型，它易于反映功率譜中的峰值和谷值。AR模型易反映譜的中峰值，而MA模型易反映譜中的谷值。paaa,.,21qbbb,.,21(12.1.1)12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算 假定 、 都是實(shí)平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)， 為白噪聲，方差為 ，現(xiàn)在我們建立AR模型的參數(shù) 和 的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，也就是AR模型的正則方程（Yule-Wal

5、ker方程）。0001)0()2() 1()()2()0() 1 ()2() 1() 1 ()0() 1 ()()2() 1 ()0(221pxxxxxxxxxxxxxxxxaaarprprprprrrrprrrrprrrr)(nu)(nx)(nu)(nx2ka(12.2.4)12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算上式可簡(jiǎn)單的表示為： pRa2(12.2.5)的自相關(guān)矩陣是全零列向量為，式中) 1() 1(,1, 1P1ppRpaaaTp12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算2121)()()()()()(),()()()()()()()() 1(,),1(),()(pkkpkkknxanxE

6、neEnnxnenenxnknxannxnnxnpnxpnxpnxpnnxxxxx為：因此總的預(yù)測(cè)誤差功率則：之間的誤差為和真實(shí)值記預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)，那么是對(duì)真實(shí)值。記時(shí)刻的值個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)我們利用這已知，個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)刻之前的在設(shè)(12.2.6)(12.2.7)(12.2.8)12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算方程稱(chēng)為線性預(yù)測(cè)的和方程有頁(yè)下書(shū)再由最小均方誤差公式由此式可得即正交誤差序列和預(yù)差應(yīng)使最小的為求得使HopfWienerkrarnnxnxEpmkmramrpmnnxmnxEnenxpnxpkapkxkxpkxkxkxx)11. 2 .12()10. 2 .12()()0()()()(:)31

7、2(, 2 , 1),()(:, 1, 0)()()(:,)() 1(,(, 1,1min1(12.2.9)(12.1.10)(12.2.11) 將這兩個(gè)方程和AR模型的正則方程相比較，可以看出他們及其相似，因?yàn)?是同一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，若線性預(yù)測(cè)器的階次和AR模型的階次一樣，那么有： 上兩式說(shuō)明，一個(gè)p階AR模型的 個(gè)參數(shù) 同樣可以用來(lái)構(gòu)成一個(gè)P階的最佳線性預(yù)測(cè)器。所以AR模型和線性預(yù)測(cè)器是等價(jià)的，由此可以看出，AR模型是在最小平方意義上對(duì)數(shù)據(jù)的擬合。 2min,.2 , 1pkakk12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算)(nx1p),.,(12paa12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算 Le

8、vinson-Durbin遞推算法： Levinson-Durbin遞推算法從低階開(kāi)始遞推，直到階次p，給出了在每一個(gè)階次時(shí)的所有參數(shù)，即 這一特點(diǎn)有利于選擇AR模型的合適階次。211111111)()()(/)()()(mmmmmmmmmkxxmmkkmakkakamrkmrkakpmmaaammm,.,2 , 1),(),.,2(),1 (12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算 上述算法的遞推導(dǎo)是建立在 的前 個(gè)自相關(guān)函數(shù)已知的基礎(chǔ)上，但在實(shí)際的工作中，往往不能精確的知道 的自相關(guān)函數(shù)，而知道的僅僅是N點(diǎn)數(shù)據(jù)，即 ，為此，可以這樣： 1）首先由 估計(jì) 的自相關(guān)函數(shù)，得 2）用 代替上述遞推

9、算法中的 ，重新求解Yule-Walker方程，這時(shí)求出的AR模型參數(shù)是真實(shí)參數(shù)的估計(jì)值，即 )(nx1p)(nx)(nxN)(nxN)(nx)(mxr)(mrx)(mrxppaaa,21 由這些參數(shù)，得到 的功率譜 的估計(jì)，即： 對(duì) 在單位圓上均勻抽樣，設(shè)分點(diǎn)為N個(gè)，則得到離散譜： 12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算211)(pkjwkkpjwAReaep)(nx)(jwxep12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算 式中 這樣上式可用FFT快速計(jì)算。210221221)(NklkNjkppklkNjkplNjAReaeaep0,.,1110Npaaa12.3 AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)及階次p

10、的選擇12.3.1 AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)1 譜的平滑性 譜比周期圖譜平滑的多。2） 譜的分辨率 經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率反比于使用的信號(hào)長(zhǎng)度，現(xiàn)代譜估計(jì)的分辨率不受此限制。3） 譜的匹配性質(zhì) 在整個(gè)頻率范圍內(nèi)， 和 相跟隨，但在每一局部處，它跟隨 的峰點(diǎn)要比跟隨谷點(diǎn)的程度好。ARARARAR)(jwAReP)(jwxep)(jwxep12.3.1 AR模型譜估計(jì)的性質(zhì)4） 譜的統(tǒng)計(jì)特性 譜的方差反比于數(shù)據(jù) 的長(zhǎng)度 和信噪比 。5） 模型譜估計(jì)方法的不足 其一， 譜的分辨率和求 模型時(shí)所使用的信號(hào)的信噪比 有著密切的關(guān)系。信噪比越小，譜的分辨率降低的越明顯。 其二，如果 是含有噪聲的正弦信號(hào)，在應(yīng)用時(shí)

11、發(fā)現(xiàn)，譜峰的位置易受 的初相位的影響，ARAR)(nxNNSNRARARARSNR)(nx)(nx12.3.1 AR模型譜估計(jì)的性質(zhì) 且在有的算法中，還可能出現(xiàn)“譜線分裂”的現(xiàn)象，即在本來(lái)應(yīng)只有一個(gè)譜線的位置附近分裂成兩個(gè)譜線。 其三，譜估計(jì)的質(zhì)量受到階次p的影響。P選的過(guò)低，譜太平滑，反映不出譜峰。P選的過(guò)大，可能產(chǎn)生虛假的峰值。12.3.2 AR模型階次的選擇 AR模型的階次p是單調(diào)下降的，直觀上講，當(dāng)模型的最小誤差功率 達(dá)到所指定的希望值，或是不再發(fā)生變化時(shí)，其時(shí)的階次即是要選的正確階次。因此， 降到多少才合適，有幾個(gè)不同的準(zhǔn)則被提出，常用的有兩個(gè)： （1）最準(zhǔn)預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則： )1()1

12、()(kNkNkFPEkp12.3.2 AR模型階次的選擇（2）信息論準(zhǔn)則： 其中 為數(shù)據(jù) 的長(zhǎng)度，當(dāng)階次 由1增加時(shí)， 和 都將在某一個(gè) 處取得極小值。將此時(shí)的 定為最合適的 。在實(shí)際運(yùn)用時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)數(shù)據(jù)較短時(shí)，它們給出的階次偏低，且二者給出的結(jié)果基本上是一致的。上面兩式僅為階次選擇提供一個(gè)依據(jù)，究竟階次取多少為好，還要在實(shí)踐中由所得到的結(jié)果作多次比較后，予以確定。kpNkAICk2)ln()()(nxNNk)(kFPE)(kAICkkp12.4 AR模型的穩(wěn)定性及對(duì)信號(hào)建模問(wèn)題的討論12.4.1 AR模型的穩(wěn)定性 重新定義自相關(guān)矩陣 為： 并記其行列式的值為 。用三個(gè)結(jié)論來(lái)說(shuō)明矩陣 的性質(zhì)與

13、AR模型穩(wěn)定性的關(guān)系。)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(1xxxxxxxxxprprprprrrprrrRR)det(1pR1pR12.4.1 AR模型的穩(wěn)定性 結(jié)論一：如果 是正定的，那么，由Yule-Walker方程解出的 構(gòu)成的 階AR模型是穩(wěn)定的，且是唯一的。也即 的零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。此性質(zhì)稱(chēng)為AR模型的最小相位性質(zhì)。 結(jié)論二：若 由 個(gè)復(fù)正弦組成，即 pkkkKnjAnx1exp)(1pR)(,),2(),1 (paaap)(zA)(nxp12.4.1 AR模型的穩(wěn)定性 式中 為常數(shù)， 是在 內(nèi)均勻分布的零均值隨機(jī)變量， 的自相關(guān)函數(shù)為: 則由前 個(gè)值 組

14、成的自相關(guān)矩陣 是奇異的，而 是正定的，即： pkkkxmjAmr12)exp()(pkRRkp, 2 , 10)det(, 0)det(1kkA,k)()(nx1p)(,),1 (),0 (prrrxxx1pRpRRR,2112.4.1 AR模型的穩(wěn)定性 結(jié)論三：如果 由 個(gè)正弦組成（實(shí)的或復(fù)的），則 是完全可以預(yù)測(cè)的，即預(yù)測(cè)誤差等于零。 結(jié)論二指出了 何時(shí)奇異何時(shí)正定的條件，它和結(jié)論三一起正弦信號(hào)的某些性質(zhì)。特別說(shuō)明，用AR模型對(duì)純正弦信號(hào)建模是不合適 的，會(huì)出現(xiàn)自相關(guān)矩陣為奇異的情況，要克服自相關(guān)陣奇異的情況，最常用的方法是加上白噪聲，這樣 不會(huì)等于零。)(nxp)(nx1pR)det(

15、1pR12.4.2 關(guān)于信號(hào)建模問(wèn)題的討論*信號(hào)建模的本質(zhì)：準(zhǔn)確建模的定義： 設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 存在 階模型，使得模型的輸出 在 階統(tǒng)計(jì)特性上和 的同階統(tǒng)計(jì)特性相一致，則把 稱(chēng)為 階統(tǒng)計(jì)意義上可準(zhǔn)確建模的隨機(jī)過(guò)程，而把改模型稱(chēng)作在 階統(tǒng)計(jì)意義上的準(zhǔn)確模型。)(nx)(nx)(nx)(nx12.6 AR模型系數(shù)的求解算法 12.6.1 自相關(guān)法令 則（12.5.13）可寫(xiě)為：令 TfpfpfpfpfppNepeeee)1(,),(,),1 (),0(Tffffpfppaaaaa)(,),2(),1 (a1式中fpfpaXe10pNnfpHfpfpfeene102)(12.6.1 自相關(guān)法 由最小平

16、方原理，并將前面的式子互相代入，得到：此式即是(12.2.5)式的Yule-Walker方程和（12.2.10）、（12.2.11）式的Wiener-Hopf方程 ,由此得出結(jié)論：)0()0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(1xxxxxxxxxxprrprprprrrprrrRpffppaRmin112.6.1 自相關(guān)法 （1）由 個(gè)自相關(guān)函數(shù)，利用 遞歸求解 方程所得到的AR模型的參數(shù)等效于前向預(yù)測(cè)器的系數(shù)。AR模型激勵(lì)白噪聲的方差 等效與前向預(yù)測(cè)的最小預(yù)測(cè)誤差功率 。 （2）AR模型的自相關(guān)法等效與對(duì)前向預(yù)測(cè)的誤差序列 前后加窗，加窗的結(jié)果是使得自相關(guān)法的分辨率降低

17、。數(shù)據(jù)越短，分辨率越好。) 1( pLevinsonkerWalYule2fmin)(nefp12.6.1 自相關(guān)法 （3）也正是因?yàn)?的 是從 至 ，故矩陣積 才是 型自相關(guān)陣。如若使用 ， 或 ，對(duì)應(yīng)的矩陣積將不再是 陣。因此，自相關(guān)法也是已知所有AR系數(shù)求解方法中最簡(jiǎn)單的一種。)(nefpn)1(pN 000XXHToeplitz1X2X3XToeplitz12.6.2 Burg算法 Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的AR系數(shù)求解的有效算法。其特點(diǎn)是： 1，令前后向預(yù)測(cè)誤差功率之和 為最小，而不是像自相關(guān)法那樣僅令 為最小。 2， 和 的求和范圍不是 至 ， 而是從 至 ，這等效使用 ，

18、前 后都不加窗，這時(shí)： bffb21ffb0)1(pN01N)(nef)(neb12.6.2 Burg算法 3，在上式中，當(dāng)階次m由1至p時(shí)， ， 有如下的遞推關(guān)系： 1212)10.6.12()(1)9.6.12()(1NpnbpbpNpnfpfpnepNnepN)()()()11. 6 .12(, 2 , 1)() 1()() 1()()(001111nxnenepnnekneneneknenebffmmbmbmbmmfmfm)(nef)(neb12.6.2 Burg算法將(12.6.9)、(12.6.10)、(12.6.11)代入中，令 ，可得使 為最小的 為： 按此式估出的 滿足 。4

19、，按上式估計(jì)出 后，在階次 時(shí)的AR模型pmnenenenekNmnNmnbmfmNmnbmfmm, 2 , 1) 1()() 1()(2112121111bffb210/mfbkfbmkmk1mkmkm12.6.2 Burg算法 系數(shù)仍然由Levinson算法遞推求出： 上兩式是假定在第 階時(shí)的AR參數(shù)已求出。 由于Burg算法具有以上特點(diǎn)，所以Burg算法比自相關(guān)算法有著較好的分辨率，但對(duì)于白噪聲加正弦信號(hào)，有時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)前面所提到的譜線分裂現(xiàn)象。1211)1 ()(1, 2 , 1)()()(mmmmmmmmmkkmamkkmakkaka) 1( mBurg算法的遞推步驟：1）由初始條件

20、 ，再由（12.6.12）式求出 ；2）由 得 時(shí)的參數(shù)： ；3）由 和(12.6.11)求出 ， ，再由(12.6.12)式估計(jì) ；4）依照(12.6.13)和(12.6.14)式的Levinson遞推關(guān)系，求出 時(shí)的 ， 及 。5）重復(fù)上述過(guò)程，直到 ，求出所有階次的AR參數(shù)。 )()(),()(00nxnenxnebf1k102)(1)0(NnxnxNr1m)0(1,) 1 (21111xrkka1k)(1nef)(1neb2k2m) 1 (2a) 2(2a2pm 12.6.3 改進(jìn)的協(xié)方差方法該算法的特點(diǎn)是： （1）如同Burg方法一樣，仍是令前后向預(yù)測(cè)誤差功率之和 為最小。式中 )(

21、21bffb2111221112)()()(1)(1)()()(1)(1pNpnpkbNpnbpbNpnpkfNpnfpfknxkanxpNnepNknxkanxpNnepN12.6.3 改進(jìn)的協(xié)方差方法（2）在令 為最小時(shí)，不是僅令 相對(duì) 為最小，而是令 相對(duì) 都為最小，m由1到p。將（1）中的后兩個(gè)式子代入 ，由于 ，因此令得到： piiaiaiaffb, 2 , 1)()(, 0)(式中)19. 6 .12()()()()()()()()()(1101101NpnpNnNpnpNnpkinxnxinxnxinxknxinxknxkafbfbmmkma)(fb)(,),2(),1 (maa

22、ammmbfbf21)()(kakafb12.6.3 改進(jìn)的協(xié)方差方法令 那么（12.6.19）寫(xiě)成如下的矩陣形式： 110)()()()()( 21), (NpnpNnxinxknxknxinxpNkic)21. 6 .12() 0 ,() 0 , 2 () 0 , 1 ()() 2 () 1 (),() 2 ,() 1 ,(), 2 () 2 , 2 () 1 , 2 (), 1 () 2 , 1 () 1 , 1 (pcccpaaappcpcpcpcccpcccxxxxxxxxxxxx12.6.3 改進(jìn)的協(xié)方差方法最小預(yù)測(cè)誤差功率可由下面兩式求出：或 pNnpkNpnpknxknxkan

23、xnxknxkanxpN10111min)()()()()()()()()( 21)22. 6 .12(), 0()() 0 , 0(1minkckacxpkx12.6.3 改進(jìn)的協(xié)方差方法 式（12.6.21）和（12.6.22）構(gòu)成了改進(jìn)的協(xié)方差方法的正則方程，稱(chēng)之為協(xié)方差方程。由于 不能寫(xiě)稱(chēng) 的函數(shù)，所以（12.6.21）式的系數(shù)矩陣不是 Toeplitz陣，因此這一正則方程不能用于Levinson算法求解。 ), ( kicx)(ik12.7 MA模型及功率譜估計(jì)12.7.1 MA模型及其正則方程 給出MA(q)模型的三個(gè)方程如下：)3.7.12()(1)()2.7.12()(1)()1.7.12()()()()(21211qkjwkjwxqkkqkekbePzkbzHknukbnunx12.7