兩個重要極限與無窮小量的比較

1、第六講第六講 兩個重要極限兩個重要極限與無窮小量的比較與無窮小量的比較 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1. 兩個重要極限；兩個重要極限； 2. 無窮小量的比較。無窮小量的比較。 教學(xué)要求教學(xué)要求 1. 熟練掌握用兩個重要極限求極限；熟練掌握用兩個重要極限求極限； 2. 熟練掌握無窮小的比較、等價無窮小量的性質(zhì)及一熟練掌握無窮小的比較、等價無窮小量的性質(zhì)及一些常見的等價無窮小。些常見的等價無窮小。一、兩個重要極限一、兩個重要極限 ( x 取弧度單位取弧度單位 )如圖所示如圖所示 , 作單位圓作單位圓則圓心角則圓心角AOB=x ， 顯然有顯然有AODAOBSSSD DD D AOB扇形扇形 即即xxxtans

2、in 分別除以分別除以 xsin 對于對于情形情形, ,20 x有有xxxcos1sin1 D1sinlim)1(0 xxx證證: :oyxBAx BCxsin ADxtanxxsin21xtan21x21C AB再取倒數(shù)再取倒數(shù) , 得得1sincos xxx (1)由于用由于用x- -代替代替x時時xcos和和xxsin都不變號都不變號不等不等 式式 (1)仍成立仍成立 ,恒恒 有不等式有不等式 1sincos xxx 成立。成立。3由于由于1coslim0 xx , 且且11lim0 x ,由夾逼準(zhǔn)則由夾逼準(zhǔn)則可知可知 , 1sinlim0 xxx . 證畢證畢從而當(dāng)從而當(dāng)時時 , -

3、- 2, 00,2 x2. .對于對于的情形的情形 ,02 - -x 所以當(dāng)所以當(dāng)時時 ,02 - -x 對對xxxcos1sin1 20 x（偶函數(shù)），（偶函數(shù)），1sinlim0 xxx1)()(sinlim0)( xxx 0 注意：注意：xxxsinlim xxxsinlim10求求例例解解xxxsinlim0 xxxsin1lim0 xxxsinlim10 1 1sinlim0 xxx1)(sin)(lim0)( xxx 例例2 求求xxx3sinlim0解解 xxx3sinlim0 xxx33sinlim303 3 1)()(sinlim0)( xxx xxxtanlim. 30求求

4、例例解解xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 1 例例4 求求)0,(sinsinlim0 babxaxx解解 bxaxxsinsinlim00limxba bxbxbaxaxasinsin bxbxaxaxxsinsinlim0bxbxaxaxbabxaxsinlimsinlim00 ba 1)()(sinlim0)( xxx 解解 當(dāng)當(dāng) n時時 , 因此因此例例5 5nnn sinlim , 有有0n nnn sinlim nnn sinlim 1 1)()(sinlim0)( xxx nnn sinlim0 例例 6 2021cos1limxxx- -220212sin2

5、limxxx 22022sinlim xxx2022sinlim xxx21 1 1)()(sinlim0)( xxx 解解2021cos1limxxx- -2022sinlim xxx1)1sin(lim. 121- - -xxx1)1sin(lim21- - -xxx1)1sin()1(lim221- - - xxxx練習(xí)練習(xí)解解2 xxxarcsinlim0解解xxxarcsinlim. 20tttsinlim0 1 tx arcsin令令txsin . 00tx則則xxx1sinlim. 4 解解xxxcotlim0 xxxxsincoslim0 xxxxcossinlim0 1 xx

6、xcotlim. 30解解xxx1sinlim xxx11sinlim01 1 證明略證明略 ( 可用兩個準(zhǔn)則證明可用兩個準(zhǔn)則證明)。exxx 11lim)2(exxx )()()(11lim 例例 1 xxx 31lim33311lim xxx解解xxx 31lim3e 33311lim xxx解法一解法一令令tx - - 則當(dāng)則當(dāng) x時時 有有 t 所以所以例例2 求求3411lim - -xxx3)(411lim - - ttt3411lim - -xxx 311limtt411lim- - ttt431- - e4- - e3)(4)11()11(limtttt - - xxx411l

7、im - - 311lim - - xx411lim- - - - - xxx311lim - - xx3411lim - -xxx解法二解法二4- - eexxx )()()(11lim 34)11()11(limxxxx- - - - 解解 令令tx 1 當(dāng)當(dāng)0 x時時 有有 t 所以所以例例3 xxx101lim ttt 11lim xxx101lim e exxx 101limexxx 11limexxx )()()(11lim exxx )(10)()(1 lim 1)1(（3）倒數(shù)關(guān)系）倒數(shù)關(guān)系)1()2( 注意：注意： ,1lim1exxx exxx 11lim0;)tan1(l

8、im. 1cot50 xxx 求求解解xxxcot50)tan1(lim 5tan10tan)tan1(limxxx 5e ;)1(lim. 3xxxx 求求解解xxxx- - )1(limxxxx)1(lim 1)11(lim- - xxx1- - eexxx )(10)()(1 lim ;)21(lim. 2xxx- - 求求解解xxx)21(lim- - 22)21(lim- - - - - xxxexxx )()()(11lim 2- - e練習(xí)練習(xí)二、無窮小的比較二、無窮小的比較由無窮小的性質(zhì)可知由無窮小的性質(zhì)可知 , 兩個無窮小的和、差、積兩個無窮小的和、差、積仍為無窮小仍為無窮小

9、 , 但兩個無窮小的商會出現(xiàn)不同的情況但兩個無窮小的商會出現(xiàn)不同的情況。如當(dāng)如當(dāng)0 x時時 , 函數(shù)函數(shù)x2 , xsin都是無窮小。都是無窮小。但是但是0 21 而而0sinx與與02x的的 “快快”、“慢慢”差不多。差不多。,2xxxx2lim)1(202lim0 xx 202lim)2(xxx(3)2sinxx0limxxxxsinlim210 比比02x“快些快些”, 事實(shí)上事實(shí)上02x反之反之“慢些慢些”02x比比02x由此可見由此可見 , 無窮小雖然都是以無窮小雖然都是以 0 為為 極限的變量極限的變量, , 但它們趨向但它們趨向0的速度不一樣的速度不一樣 , 趨向趨向 0的的 “

10、快快”、 “慢慢”程度程度 , 我們引我們引 入無窮小的入無窮小的“階階”的概念。的概念。下面僅給出下面僅給出0 xx 時的無窮小比較的定義時的無窮小比較的定義, ,對于對于 0 xx ,- -0 xx , x ,x-x等情況的無窮小比較的定義可類似。等情況的無窮小比較的定義可類似。為了為了反映無窮小反映無窮小定義定義 設(shè)設(shè)0)(lim0 xxxa a 0)(lim0 xxxb b0)()(lim0 xxxxa ab b（1）如果）如果 , 則稱則稱)(xb b是比是比)(xa a高階高階的無窮小的無窮小 , 記為記為)()(xoxa ab b （2）如果）如果 )()(lim0 xxxxa

11、ab b , 則稱則稱)(xb b是比是比)(xa a低階低階的無窮小。的無窮小。)1, 0( （3）如果）如果)()(lim0 Cxxxxa ab b 則稱則稱)(xb b與與)(xa a是是同階同階無窮小。無窮小。（4）如果）如果1)()(lim0 xxxxa ab b 則稱則稱)(xb b與與)(xa a為為等價等價無窮小無窮小 , 記為記為)()(xxa ab b例如例如 03lim30 xxxQ )0(x)3(3 xox1sinlim0 xxxQ )0(xsinxx1- -x與與12- -x同階無窮小同階無窮小) 1(x02lim0 xxQ)2(ox )0(x11lim21- - -

12、xxxQ11lim1 xx21 可以證明可以證明 : 當(dāng)當(dāng)0 x時時 , 有下列等價無窮?。河邢铝械葍r無窮小：xxsinxxtanxex1- -xx)1ln( 22xcos1x- -利用等價無窮小可以簡化某些極限的運(yùn)算利用等價無窮小可以簡化某些極限的運(yùn)算 , 有下面定理：有下面定理：xarctanxarcsinxx定理定理設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)0 xx 時時 , )()(xxa aa a ,)()(xxb bb b 且且)()(lim0 xxxxa ab b 存在存在( 或或 ) , )()(lim0 xxxxa ab b 則則)()(lim0 xxxxa ab b證明證明 因因)()(lim0 xxxxa

13、 ab b)()(lim0 xxxxa ab b (證畢證畢)()(xxa aa a )()(xxa ab b )()(xxb bb b lim0 xx )()(lim0 xxxxa aa a )()(lim0 xxxxa ab b )()(lim0 xxxxb bb b 23lim0 xxx例例1 1 求求2tan3sinlim0 xxx23 .22xxtg,0時時當(dāng)當(dāng)x,33sinxx0 0lim30 xxlim30- - xxxx這種解法是錯誤的！這種解法是錯誤的！.tanxx,0時時當(dāng)當(dāng)xQ,sinxx30sintanlimxxxx- -30sintanlim2xxxx- -求求例例解

14、解正確的解法如下正確的解法如下.xxx- - sinlimxxx- - lim xxx- - sinlim.sin不不是是無無窮窮小小是是無無窮窮小小，而而時時，xxx Qxxx- - - )sin(lim1 正確的解法如下正確的解法如下.cos21lim0 xxcos2lim320. . xxxxxcos)cos1(sinlim30- - xxxxxsintanlim30- -xxxx30sintanlimxxxx- -求求)sincossin(1lim30 xxxxx- - 21 ,0時時當(dāng)當(dāng)x,2cos12xx- -解解注意：注意：無窮小量替換分子或分母，也可替換分無窮小量替換分子或分母，也可替換分用無窮小的等價替換簡化極限運(yùn)算時，可用用無窮小的等價替換簡化極限運(yùn)算時，可用“-”“-”號連接的各號連接的各 部分不能分別作替換。部分不能分別作替換。等價等價分母分母子或