高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分重點(diǎn)難點(diǎn)

1、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用一. 基本要求(1) 理解多元函數(shù)的概念。(2) 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。(3) 理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件及全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。(4) 理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算法。(5) 掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。(6) 會(huì)求隱函數(shù)(包括由方程組確定的隱函數(shù))的偏導(dǎo)數(shù)。(7) 了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它的方程。(8) 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。(9) 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)用

2、最小二乘法求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。二. 主要內(nèi)容 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用基本概念及其聯(lián)系重要結(jié)論微分法幾何應(yīng)用極值、最值及其應(yīng)用(1) 多元函數(shù)極限.(2) 連續(xù).(3) 偏導(dǎo)數(shù).(4) 全微分.(5) 方向?qū)?shù).(6) 梯度.(7) 基本概念之間的聯(lián)系.見后面的七個(gè)重要定理.(1) 多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo).(2) 隱函數(shù)求偏導(dǎo).(3) 方向?qū)?shù)及梯度的計(jì)算.(1) 曲線的切線與法平面方程.(2) 曲線的切平面與法線方程.(1) 極值存在的必要條件.(2) 極值存在的充分條件.(3) 條件極值、最值最小二乘法.重要

3、概念名稱定義說明極限設(shè)函數(shù)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)內(nèi)有定義，是的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)適合不等式的一切點(diǎn)，都有成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作類似可定義元函數(shù).二元函數(shù)的極限，也叫二重極限注意：任意方式當(dāng)以不同方式趨于語言用來證明極限存在.連續(xù)設(shè)函數(shù)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)內(nèi)有定義，是的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，且，若，則稱函數(shù)在連續(xù)可用語言定義連續(xù).利用初等函數(shù)連續(xù)性求極限.偏導(dǎo)數(shù)如果極限存在，則稱此極限為在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)記作，類似定義關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)法則同一元函數(shù)求導(dǎo)法則.全微分如果在點(diǎn)的全增量可表示為，其中不依賴于，則稱在點(diǎn)可微，而稱為在點(diǎn)的全微分，記作，即.若記，有

4、.在可微的前提下,有方向?qū)?shù)設(shè)在包含,的鄰域內(nèi)有定義，射線:則在處處沿方向的方向?qū)?shù)定義為其中.類似定義空間方向上的方向?qū)?shù)為其中.多元函數(shù)某些概念之間關(guān)系的比較1. 一元函數(shù)在連續(xù)可導(dǎo)可微分極限存在 2. 二元函數(shù)在點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)可微分兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)沿任何方向的方向?qū)?shù)存在極限存在 名稱梯度極值定義設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)處的梯度定義： 說明梯度是一個(gè)向量，梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值。注：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于異于的點(diǎn)，如果都適合不等式則稱函數(shù)在有極大(小)值(1) 極值分為無條件極值和條件極值。(2) 極大值與極

5、小值統(tǒng)稱為極值。(3) 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。l 重要定理定理1 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，在上一定有最大值和最小值.定理2 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上必取得介于兩個(gè)值之間的任何值.定理3 如果的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)，必有=.定理4 如果函數(shù)在點(diǎn)可微，則該函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必定存在，且函數(shù)在點(diǎn)的全微分為定理5 如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微.定理6 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即，.定理7 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，記，則(1)當(dāng)時(shí)，在處具有

6、極值，且當(dāng)時(shí)，是極大值，當(dāng)時(shí)，是極小值；(2) 當(dāng)時(shí)，不是極值；(3) 當(dāng)時(shí)，在處是否有極值不能確定.l 重要公式多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則內(nèi)容說明如果，在點(diǎn)處有偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有關(guān)于或的偏導(dǎo)數(shù)，且 復(fù)合關(guān)系樹形圖 (1)公式個(gè)數(shù)與自變量個(gè)數(shù)相同;(2)每個(gè)公式項(xiàng)數(shù)與中間變量個(gè)數(shù)相同;(3)函數(shù)有幾層復(fù)合，每項(xiàng)就是幾個(gè)因子的乘積.若， ，則，復(fù)合關(guān)系樹形圖：若，則復(fù)合關(guān)系樹形圖：注：這里與含義不同若，則復(fù)合關(guān)系樹形圖：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式由方程確定隱函數(shù)，且有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則由方程確定隱函數(shù)，且有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則，.方向?qū)?shù)的計(jì)算公式內(nèi)容說明(或)在可微點(diǎn)處沿任何方向的方向?qū)?/p>

7、數(shù)都存在，且(或)其中為與軸正向的夾角(為方向的方向角)可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件，反之不一定成立.空間曲面的切平面與法線方程曲面在點(diǎn)處的切平面與法線方程分別為，.曲面在點(diǎn)的切平面與法線方程分別為，.空間曲線的切線與法平面方程曲線在點(diǎn)處切線與法平面方程分別為，.曲線在點(diǎn)處的切線方向向量為.多元函數(shù)極值的求法無條件極值(1) 求駐點(diǎn)：求的一切實(shí)數(shù)解.(2) 判定：由定理7判定所求駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).(3) 求極值：求出極值點(diǎn)相應(yīng)的極值.條件極值說明求在條件下的極值. (1)作輔助函數(shù)(拉格朗日函數(shù))，其中(稱拉格朗日常數(shù))是待定常數(shù).(2)求可能極值點(diǎn)，解方程組消去，解出.(3)判定上述點(diǎn)是否為

8、極值點(diǎn).用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，可推廣到在約束條件，下的極值,作輔助函數(shù):其中是待定常數(shù).重點(diǎn): 理解多元函數(shù)的基本概念定義，掌握基本概念之間的關(guān)系，會(huì)求復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。會(huì)求曲線的切線與法平面，曲面的切平面及法線的方程,掌握求多元函數(shù)極值、最值及其實(shí)際應(yīng)用。難點(diǎn)： 抽象的多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，多元函數(shù)的條件極值及其實(shí)際應(yīng)用。三、例題精選l 極限與連續(xù)求極限的方法:1. 利用連續(xù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性，如是的連續(xù)點(diǎn)，則；2. 利用兩邊夾法則；3. 利用化簡(jiǎn)方法(恒等變形、因式分解、有理化、極限的運(yùn)算性質(zhì)、等價(jià)代換)；4. 換元法(轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)極限)。 例1 求下列極限 (1) ,

9、 (2) (3) (4) 解：(1) 因是初等函數(shù)，是其連續(xù)點(diǎn)，故 (2) ,因?yàn)?原式.(3)令 ，則 原式(4)原式證明極限不存在的方法:1. 若二元函數(shù)沿某一途徑的極限不存在,則該函數(shù)的極限不存在；2. 若沿途徑的極限為，則極限不存在；3. 若沿兩條不同途徑的極限都存在，但不相等，則該函數(shù)的極限不存在.例2 證明下列極限不存在 (1) (2) (3) 解：(1)令,則與有關(guān)，所以極限不存在.(2) 當(dāng)沿趨于零時(shí)，當(dāng)沿趨于零時(shí)，原式, 所以原式極限不存在. (3)令 ，則 原式 不存在，所以原式極限不存在.l 偏導(dǎo)與全微分例3 證明：在點(diǎn)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微.證明 所以 ,即 故 在

10、點(diǎn)不可微.例4 設(shè)二元函數(shù) (1) 求；(2) 證明在點(diǎn)不連續(xù).(3) 證明在點(diǎn)處可微. 解 （1） 用偏導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算. (2)當(dāng)， 不存在而由(1) 知故，即在點(diǎn)處不連續(xù)，同理可證在點(diǎn)處不連續(xù).(3) 只要證因?yàn)?故在點(diǎn)處可微.注：此題說明 函數(shù)可微偏導(dǎo)連續(xù)例5 設(shè) ，且 .當(dāng)變量 分別增加一個(gè)單位時(shí),那個(gè)變量對(duì)的影響最大?分析: 由偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,分別表示函數(shù) 在點(diǎn) 沿軸方向, 沿軸方向, 沿軸方向的，只需求出的三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)加以比較即可。所給函數(shù)為隱函數(shù)形式。將所給方程兩端分別關(guān)于 求偏導(dǎo)數(shù),可求出三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。由于 可得 。同理可得 。由于 ，因此可知對(duì)的變化影響最大。例6 設(shè) 其中

11、有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.解 注：1. 求二階偏導(dǎo)時(shí)，將一階偏導(dǎo)仍認(rèn)作是與具有相同的復(fù)合層次函數(shù)，這是計(jì)算中重要一環(huán). 2. 表示對(duì)第一個(gè)位置變?cè)笃珜?dǎo)數(shù).例7 設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足方程，其中為常數(shù). 令. 證明 .分析: 本題有兩種思路，一種是將表示成的函數(shù);一種是將表示成 的函數(shù).證法1 , 所以有 = 又 ， , 所以,. 證法2 ，所以 因?yàn)?又 , 所以 .隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的解題方法：1. 公式法，對(duì)其中一個(gè)變量求偏導(dǎo)，將其他變量當(dāng)作常數(shù)；2. 直接法，求偏導(dǎo)時(shí)，始終要注意函數(shù)是什么，自變量是什么；3. 微分法，利用一階微分形式不變性。例8 設(shè)函數(shù)由方程所確定，求。解 方法一：

12、令 , 方法二： 對(duì)方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得 . 即同理可得 ， 求法同方法一.方法三： 記由于 ， 故 ，即 所以 ，. 例9 設(shè)是由方程和所確定的函數(shù)，其中和分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.解 分別在和的兩端對(duì)求導(dǎo)，得 整理后得由此解得 例10設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微,且 求.解 幾何上的應(yīng)用例11 求曲面的平行于的切平面的方程分析：本題的關(guān)鍵是在于求出切點(diǎn)切點(diǎn)既在切平面上，也在曲面上.解 設(shè)切點(diǎn)為， 令 ,則曲在的切平面的法線向量為 已知平面的法向量為，由于已知曲面的切平面與已知平面平行，故其法向量互相平行，因此，所以 .又點(diǎn)在曲面上，應(yīng)滿足方程，所以有 ，即 ，解得 ， . 故所求切平面

13、方程為.例12求曲線在點(diǎn)處的切線與法平面方程.分析：只要求出的方向向量即可，而的方向向量既垂直于第一個(gè)曲面的切平面的法向量，又垂直于第二個(gè)曲面的其平面的法向量，所以可取它們的向量積.解 在點(diǎn)處的切平面法向量為，在點(diǎn)處的切平面法向量為.所以切線為 法平面方程為 。例13 證明曲面(為可微)上任一點(diǎn)處的切平面平行于一定直線.證明 (1) 設(shè)曲面上任一點(diǎn)為，則過點(diǎn)的切平面的法向量為 (2) 令 ，則 即 只要 ，即可， 所以可取 .從而曲面上任一點(diǎn)的切平面均平行于定向量，當(dāng)然也就平行于任何一條以為方向向量的直線，取定直線為即可.例14 設(shè)可微,證明: 方程表示的曲面為柱面.分析: 要證明方程表示的曲

14、面為柱面,只需證明曲面上任一點(diǎn)處的切平面平行于一條固定直線,即證明曲面上任一點(diǎn)的法向量垂直于一固定向量即可證明 設(shè), 則即曲面上任一點(diǎn)處的法向量為設(shè)固定向量 要使 ,即使只需使 若取 ,則必有 ,因此,所給曲面上任一點(diǎn)的法向量垂直于固定向量 ,從而,所給曲面為一柱面.極值與最值例15 已知在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義且有討論在處是否有極值.解 時(shí)，由極限的保號(hào)性，的一個(gè)去心鄰域，由極值的定義知，為極小值.時(shí)，由極限的保號(hào)性，的一個(gè)去心鄰域，當(dāng)時(shí)，所以為的極大值. 例16 設(shè)在有界閉區(qū)域上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且恒有，。試證：必在的邊界上取最大值、最小值.分析：由于結(jié)論中出現(xiàn)了最小值，所以應(yīng)想到用最值定理.

15、由題設(shè)知必在上取最大值、最小值，因此只須證在內(nèi)不能取最值，再由題中所給的條件，所以可用反證法.證明：反證法 ,假設(shè)不能在的邊界上取最大值、最小值，則由最值定理知，必在內(nèi)取最大值、最小值，不妨設(shè)在點(diǎn)處取最大值，即，為內(nèi)的一點(diǎn)，則為內(nèi)的極大值點(diǎn).由極值的必要條件知，又， ，所以由極值的充分條件知在處沒有極值，這與在處取極大值矛盾，所以必在的邊界上取最大值. 同理，必在的邊界上取最小值.注：此題用到了例17在曲面的第一卦限部分里求一點(diǎn)，使曲面在該點(diǎn)的切平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積最小，并求此體積.解：(1) 設(shè)點(diǎn)為曲面上一點(diǎn)，則在的切平面方程為 令 ， 令 ， 令 ， (2) 四面體的體積

16、為 (3) 令 解得 故所求點(diǎn)為 ，最小體積為 .例18 設(shè)有一座小山，取它的底面所在的平面為坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域，小山的高度函數(shù)為.(1) 設(shè)為區(qū)域上一點(diǎn)，問在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？若記此方向?qū)?shù)的最大值為，試寫出的表達(dá)式.(2) 現(xiàn)欲利用此座小山開展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳找一個(gè)上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)，也就是說，要在的邊界線上找出使(1)中的達(dá)到最大值的點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置.解 (1) 由梯度的幾何意義知，在點(diǎn)處沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，方向?qū)?shù)的最大值為該梯度的模，所以(2) 令 ，由題意，只需求在約束條件下的最大值點(diǎn).令 ，則 將(1)+(2),得，或.若

17、，則由式(1)得，再由式(3)，得 ，若，則由式(3)，得 ，.于是得到4個(gè)可能的極值點(diǎn)為，由于 ，故或可作為攀登的起點(diǎn).單元自測(cè)題(A)(90分鐘，滿分100分)一. 填空題(3分)1.函數(shù)的定義域 .2.若函數(shù)，則 .3. .4.設(shè)，則 .5.求曲線在處的切線方程是 .二選擇題(每題3分)1. 已知曲面上點(diǎn)處的切平面平行于平面，則點(diǎn)為( ) A.(1,-1,2) B.(-1,1,2) C.(1,1,2) D.(-1,-1,2) 2. 設(shè)，則 在點(diǎn)(0,0)處( ) A.不連續(xù) B.偏導(dǎo)數(shù)不存在 C.偏導(dǎo)數(shù)存在且不可微 D.偏導(dǎo)數(shù)存在且可微3. 設(shè)，則( ) A.在點(diǎn)(0,0)連續(xù) B. C

18、.,其中為的方向余弦 D.在點(diǎn)(0,0)沿軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)為14. 設(shè)在點(diǎn)的全微分存在，則下列結(jié)論不正確的是( ) A. 在點(diǎn)必連續(xù) B. 在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)必存在 C. 在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù) D. 在點(diǎn)處必有切平面5. 在曲線的所有切線中，與平面平行的切線( ) A. 只有1條 B. 只有2條 C. 至少3條 D. 不存在三.計(jì)算下列各題(共40分，58分)1.設(shè)，求.2.，求.3.函數(shù)在點(diǎn)A(1,0,1)處沿點(diǎn)A指向點(diǎn)B(3,-2,2)方向的方向?qū)?shù).4.求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，其中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求.5設(shè) 是由方程 確定的隱函數(shù), 求四.(8分)求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.五

19、.(8分) 求函數(shù)的極值.六.(9分) 求曲面上平行于平面 x-y+2z=0 的切平面方程.七.(5)討論二元函數(shù) 在 點(diǎn)的連續(xù)性.自測(cè)題(A)答案一. 1. 2. 3. 4. 5.切線： 二. 1. C 2. C 3. D 4. C 5. B三. 1. 0 2. 3. 4. 5. 四.切線方程： 法平面方程：五. (1,1)為極值點(diǎn)，極值為，容易證明(0,0)不是極值點(diǎn)六. ； 七. 提示： 自測(cè)題(B)(90分鐘，滿分100分)一.填空題(每題3分)1.設(shè)，則在點(diǎn)處的值為 .2.設(shè)，則 .3.函數(shù)的定義域?yàn)?.4.橢球面在點(diǎn)處的切平面方程為 .5.，從點(diǎn)到的方向?qū)?shù)等于 .二.選擇題(每題

20、3分)1.二元函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，存在，是在該點(diǎn)連續(xù)的( )A. 充分條件而非必要條件 B. 必要條件而非充分條件C. 充分必要條件 D. 既非充分條件又非必要條件2.在下列各點(diǎn)中，( )為函數(shù)的極大值點(diǎn).A. B. C. D. 3.極限( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 4.設(shè)，則( )A. 0 B. 不存在 C. -1 D. 15.設(shè)，則( )A. ; B. ; C. -1; D. 1.三.解答下列各題(42分)1.設(shè)，其中為可微函數(shù)，求.2.設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求.3.設(shè)由方程確定，求.4.求在上的最大、最小值.5.設(shè)，求.6.設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.四.(10分) 在橢球面上求一點(diǎn)，使過此點(diǎn)得切平面與三坐標(biāo)面而構(gòu)成的四平面的體積最小，并求出此最小體積.五.(9分) 求曲線在點(diǎn)的切線及法平面方程.六.(9分) 證明函數(shù)有無窮多個(gè)極大值點(diǎn)，而沒有極小值點(diǎn).自測(cè)題(B)答案一. 1. 2. 3. 4. 5.二三. 1. 2.0 3. 4. 5 6.四.當(dāng)，時(shí)，取最小值 五.切線方程： 法平面方程：六.提示