高等數(shù)學第十章第五節(jié)

1、一、基本概念一、基本概念二、概念的引入二、概念的引入三、概念及性質(zhì)三、概念及性質(zhì)四、計算法四、計算法五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系六、小結六、小結第五節(jié)第二類曲面積分第五節(jié)第二類曲面積分一、基本概念Sxz y0SS : z= z(x, y)能夠區(qū)分不同側(cè)面的曲面。能夠區(qū)分不同側(cè)面的曲面。雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面指指曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) 沿沿S內(nèi)任一條內(nèi)任一條閉曲線（不越過閉曲線（不越過S的邊界）移動一周，點的邊界）移動一周，點M處的法方向處的法方向 方向不變。方向不變。 1.有向曲面有向

2、曲面雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面SnM曲面的側(cè)曲面的側(cè)用曲面上法向量的指向來確定。用曲面上法向量的指向來確定。n1.有向曲面有向曲面雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面SnM 沿沿S內(nèi)任一條內(nèi)任一條閉曲線（不越過閉曲線（不越過S的邊界）移動一周，點的邊界）移動一周，點M處的法方向處的法方向 方向不變。方向不變。曲面的側(cè)曲面的側(cè) 用曲面上法向量的指向來確定。用曲面上法向量的指向來確定。nxz y0 1.有向有向曲面的例子曲面的例子SSS : z= z(x, y)B 2. 2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面麥比烏斯麥比烏斯( )( )帶帶ABDCbiusoM ADCABBDCADCABCD 2. 2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面麥比烏斯麥比烏斯( )(

3、)帶帶biusoM .ABABCDBDCADC這是個這是個單側(cè)曲面單側(cè)曲面兩端粘合兩端粘合2. 2. 單側(cè)曲面單側(cè)曲面麥比烏斯麥比烏斯( )( )帶帶biusoM 放大一下放大一下.點點M處的法方向處的法方向 就變成初始位置的反方向。就變成初始位置的反方向。這是個這是個單側(cè)曲面單側(cè)曲面2. 2. 單側(cè)曲面單側(cè)曲面麥比烏斯麥比烏斯( )( )帶帶biusoM n 沿紅色閉曲線移動一周，沿紅色閉曲線移動一周，單側(cè)曲面就是無法區(qū)分不同側(cè)面的曲面。單側(cè)曲面就是無法區(qū)分不同側(cè)面的曲面。本課只研究雙側(cè)曲面。本課只研究雙側(cè)曲面。n.M.0cos00cos)(,0cos)(cos)(時當時當時當xyxyxyd

4、xdySD.0cos00cos)(,0cos)(cos)(時當時當時當yzyzyzdydzSD.0cos00cos)(,0cos)(cos)(時當時當時當zxzxzxdzdxSD為平面時：當S曲面法曲面法向量的指向向量的指向決定曲面的決定曲面的側(cè)側(cè). .決定了側(cè)的曲面稱為決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面有向曲面. .曲面的投影問題曲面的投影問題: :面面在在xoyS ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小塊塊.0cos00cos)(,0cos)()(時當時當時當xyxyxydxdyD.)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy 為為上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 二二第二型曲面積

5、分的引入第二型曲面積分的引入問題問題 計算流向曲面一側(cè)的流量計算流向曲面一側(cè)的流量 . v 設設流流體體以以常常速速kRjQiP , 流流過過有有向向平平面面1. 簡單情形：簡單情形： , A的的面面積積是是 的的單單位位法法向向量量 . 方方向向的的流流量量求求單單位位時時間間內(nèi)內(nèi)流流向向 nAnvA , 是是 n解：解：所求流量是一個數(shù)量，所求流量是一個數(shù)量，其值等于其值等于 底面積為底面積為A、 母線為母線為 ),( 設設 nv cos Av nvA ,cos,cos,cos n 設設 )coscoscos( RQPA 所所求求流流量量 xyxzyzRDQDPD , cosxyDA ,的

6、的夾夾角角和和為為兩兩平平面面xyDA . . 的的夾夾角角( (即即其其法法向向量量) , kn. 的的斜斜柱柱體體的的體體積積。vxz y0nixyiiiixziiiiyziiiiDRDQDP1)(,()(,()(,(lim1 1 化整為零化整為零2 2 以常代變以常代變 i3 3 積零為整積零為整4 4 取極限取極限令分法無限變細令分法無限變細 記記 dddddd yxRxzQzyP.問題問題 計算流向曲面一側(cè)的流量計算流向曲面一側(cè)的流量 .kzyxRjzyxQizyxP),(),(),( 面面曲曲流流過過有有向向, , )( :x,yzz iiiiiiiiiQPS cos),(cos)

7、,(.也是求兩矢量點積的和式極限問題也是求兩矢量點積的和式極限問題.iiinvS 稱第二型（對坐標）的曲面積分稱第二型（對坐標）的曲面積分.9. 9. 第二型曲面積分的引入第二型曲面積分的引入ivin),(iii iS v速速變變流流體體以以2.2.一般情形：一般情形： . 的的流流量量上上側(cè)側(cè)求求流流向向cos),(iiiiR 為小平面，為小平面，近似視近似視iS )(,()(,()(,(xyiiiixziiiiyziiiiDRDQDP niiiinvS1 lim1 niiiinvS. d Snv或或 d Sv或或相同。其符號分別與相反的數(shù)，上投影區(qū)域的面積或其在坐標面分別表示小曲面塊用，方

8、向余弦為取定的一側(cè)的法向量的在此點處關于，上任取一點在每個示它們直徑的最大值。表并用分割成若干個小曲面塊將上有定義在，函數(shù)為有界光滑的有向曲面設定義iiiixyizxiyziiiiiiiinxoyzoxyozSDDDSSSSzyxRcos,cos,cos,)()( ,)(.coscoscos),(,.),(:4 .1021.),(),()( ),(lim),(10dxdyzyxRyxzyxRDRSxyiniiiiiiii的曲面積分存在。記為，上對在曲面則稱函數(shù)都存在并等于同一值，上如何選取，極限在如何分割，也不論如果不論.),(),()( ),(lim),(10dxdzzyxQzxzyxQDQ

9、Sxziniiiiiiii的曲面積分存在。記為，上對在曲面則稱函數(shù)都存在并等于同一值，上如何選取，極限在如何分割，也不論如果不論.),(),()( ),(lim),(10dydzzyxPzyzyxPDPSyziniiiiiiii的曲面積分存在。記為，上對在曲面則稱函數(shù)都存在并等于同一值，上如何選取，極限在如何分割，也不論如果不論xyiniiiiDRdxdyzyxR)( ),(lim),(10即zxiniiiiDQdzdxzyxQ)( ),(lim),(10yziniiiiDPdydzzyxP)( ),(lim),(10dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(實際中往往

10、需要計算dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 存在條件存在條件:當當),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時時, ,對對坐坐標標的的曲曲面面積積分分存存在在. .物理意義物理意義:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( . 的的流流量量單單位位時時間間內(nèi)內(nèi)流流 過曲面),(),( .),(),(),(dxdydzdxdydzSdRQPASdAdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP其中性質(zhì)性質(zhì): 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdz

11、dxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2四、計算法 設積分曲面是由設積分曲面是由方程方程),(yxzz 所給所給出的曲面上側(cè)出的曲面上側(cè), ,在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域為為xyD, ,函數(shù)函數(shù)),(yxzz 在在xyD上具上具有一階連續(xù)偏導數(shù)有一階連續(xù)偏導數(shù), ,被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxR在在上連續(xù)上連續(xù). . ),(yxfz xyDxyzoxyS)( nixyiiiiDRdxdyzyxR10)(,(lim),(),(,)()(, 0cos,iiixyxyizD又取

12、上側(cè)nixyiiiiinixyiiiizRDR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即,)()(, 0cos,xyxyiD取下側(cè)若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(,),(,),(給出由則如果計算zyxxdydzzyxPyzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(,),(),(給出由，則如果計算xzyydzdxzyxQzxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .例例 1 1 計計算算 xy

13、zdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外側(cè)側(cè)在在0, 0 yx的的部部分分. .解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr 五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設設有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 給給出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為xyD, , 函函數(shù)數(shù)),(yxzz 在在xyD上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)

14、, , ),(zyxR在在上上連連續(xù)續(xù). .xyD),(yxfz xyzodsndSzyxRdxdyzyxRcos),(),(dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz dxdyzzRQPdxdyRzQzPdSRdSQdSPdSRQPRdxdyQdzdxPdydzyxyx1 ,)()(coscoscoscoscoscoscos)coscoscos(1,11cos,cos,cos22yxyxzzzz

15、n例例 2 2 計計算算zdxdydydzxz )(2, ,其其中中是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面)(2122yxz 介介于于平平面面0 z及及2 z之之間間的的部部分分的的下下側(cè)側(cè). .解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dSxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22xyDdxdyyxxxyx)(21)()(4122222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 六、小結1.1.對坐標曲面積分的物理意義對坐標曲面積分的物理意義2.2.對坐標曲面積分的計算時應注意以下兩點對坐標曲面積分的計算時