蔣持平 第三章軸向拉壓變形

1、第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page 1上一講回顧上一講回顧(3)(3)許用應(yīng)力許用應(yīng)力 極限應(yīng)力極限應(yīng)力 n安全因數(shù)安全因數(shù)強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 (變截面變截面) (等截面等截面)由強(qiáng)度條件解決的幾類問題由強(qiáng)度條件解決的幾類問題 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核 截面設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì) 確定承載能力確定承載能力 等強(qiáng)原則與最輕重量設(shè)計(jì)等強(qiáng)原則與最輕重量設(shè)計(jì)連接部分的強(qiáng)度計(jì)算（假定計(jì)算法）連接部分的強(qiáng)度計(jì)算（假定計(jì)算法） nn s ub（塑塑）（脆脆） NFAmaxmax ,maxNFA sbbsbssFF,Ad 安全因數(shù)法的優(yōu)缺點(diǎn)安全因數(shù)法的優(yōu)缺點(diǎn) 結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)概念結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)概念第三章第三章 軸向拉壓

2、變形軸向拉壓變形Page 2第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page 3 本章主要研究本章主要研究: 軸向拉壓變形軸向拉壓變形分析的基本原理分析的基本原理 簡(jiǎn)單拉壓靜不定問題簡(jiǎn)單拉壓靜不定問題分析分析 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)概念結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)概念簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力分析熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力分析第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page 4思考思考：為什么要研究變形？：為什么要研究變形？ 下述問題是否與變形（小變形）相關(guān)？下述問題是否與變形（小變形）相關(guān)？各桿內(nèi)力？各桿內(nèi)力？ A點(diǎn)位移點(diǎn)位移? ? 各桿材料不同，溫度變化時(shí)內(nèi)力？各桿材料不同，溫度變化時(shí)內(nèi)力？AF

3、 123AF 45第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page 5胡克的彈性實(shí)驗(yàn)裝置胡克的彈性實(shí)驗(yàn)裝置歷史回顧：歷史回顧：“胡克定律胡克定律” 16781678年由年由Robert HookeRobert Hooke提提出。出。 Hooke Hooke 是倫敦皇家學(xué)會(huì)第一任會(huì)是倫敦皇家學(xué)會(huì)第一任會(huì)長(zhǎng)長(zhǎng)(1662)(1662)，他對(duì)彈性體作了許多實(shí)驗(yàn)，他對(duì)彈性體作了許多實(shí)驗(yàn)，他與牛頓是同時(shí)代人，沒有受牛頓影他與牛頓是同時(shí)代人，沒有受牛頓影響而系統(tǒng)地闡述了萬有引力定律。響而系統(tǒng)地闡述了萬有引力定律。中國(guó)鄭玄（中國(guó)鄭玄（127-200）在）在考工記考工記弓弓人人的注就提到弓的的注就提到弓的“每加物

4、一石每加物一石(dn,10斗）斗）)，則張一尺，則張一尺”。唐初賈。唐初賈公考又對(duì)鄭注作了詳細(xì)解釋。公考又對(duì)鄭注作了詳細(xì)解釋。第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page 6 胡克定律胡克定律拉壓桿的軸向變形與胡克定律拉壓桿的軸向變形與胡克定律FFl1l1bbp()E NF llEA 拉壓剛度拉壓剛度llEAF NNFA ，ll 軸向變形軸向變形1ll -l 橫向變形橫向變形1bbb 適用范圍：線彈性體，比例極限范圍內(nèi)適用范圍：線彈性體，比例極限范圍內(nèi)第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page 7試驗(yàn)表明：試驗(yàn)表明：對(duì)傳統(tǒng)材料，對(duì)傳統(tǒng)材料，在比例極限內(nèi)，在比例極限內(nèi)， 且異號(hào)。且異號(hào)。泊

5、松比泊松比 FFl1l1bb1bbb ( () )00.5 , bb 橫向正應(yīng)變橫向正應(yīng)變 定義：定義：第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page 8 1802年任巴黎理學(xué)院教授年任巴黎理學(xué)院教授(21歲歲)，1812年當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院院士年當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院院士(31歲歲)，1816年年應(yīng)聘為索邦大學(xué)教授，應(yīng)聘為索邦大學(xué)教授，1826年被選為彼得年被選為彼得堡科學(xué)院名譽(yù)院士堡科學(xué)院名譽(yù)院士.1837年被封為男爵。年被封為男爵。材料泊松比由他最先計(jì)算此值而得名。材料泊松比由他最先計(jì)算此值而得名。在數(shù)學(xué)中以他命名的在數(shù)學(xué)中以他命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松過程、有：泊松

6、定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松過程、泊松積分、泊松級(jí)數(shù)、泊松變換、泊松代數(shù)、泊松積分、泊松級(jí)數(shù)、泊松變換、泊松代數(shù)、泊松比、泊松比、泊松泊松流、泊松核、泊松括號(hào)、泊松穩(wěn)定性、泊松積分表示、泊松流、泊松核、泊松括號(hào)、泊松穩(wěn)定性、泊松積分表示、泊松求和法求和法等。等。泊松泊松(1781-1840)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和力學(xué)家。和力學(xué)家。1798年入巴黎綜合工科學(xué)校，年入巴黎綜合工科學(xué)校，成為拉格朗日、拉普拉斯的得意門生。成為拉格朗日、拉普拉斯的得意門生。第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page 9 許多人進(jìn)行試驗(yàn)來驗(yàn)證泊松比為許多人進(jìn)行試驗(yàn)來驗(yàn)證泊松比為1/

7、41/4的理論結(jié)論的理論結(jié)論 維爾泰姆維爾泰姆(1848)：試驗(yàn)結(jié)果表明：試驗(yàn)結(jié)果表明 接近接近1/3； 基爾霍夫基爾霍夫(1859)：測(cè)出了三種鋼材和兩種黃銅，：測(cè)出了三種鋼材和兩種黃銅， 1/4； 科爾紐科爾紐(1869)：光學(xué)干涉法測(cè)出玻璃：光學(xué)干涉法測(cè)出玻璃 =0.237; 18791879年，馬洛克測(cè)出了一系列材料的泊松比，指出泊松年，馬洛克測(cè)出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是獨(dú)立的材料常數(shù)，否定了單常數(shù)理論。比是獨(dú)立的材料常數(shù)，否定了單常數(shù)理論。 18291829年，泊松用納維年，泊松用納維柯西方法討論板的平衡問題時(shí)柯西方法討論板的平衡問題時(shí) 指出，各向同性彈性桿受到單向拉伸，

8、產(chǎn)生縱向應(yīng)指出，各向同性彈性桿受到單向拉伸，產(chǎn)生縱向應(yīng) 變，同時(shí)會(huì)聯(lián)帶產(chǎn)生橫向收縮，此橫向應(yīng)變?yōu)樽?，同時(shí)會(huì)聯(lián)帶產(chǎn)生橫向收縮，此橫向應(yīng)變?yōu)? -x x， 并證明并證明 =1/4。納維納維柯西柯西泊松的單常數(shù)理論泊松的單常數(shù)理論泊松比研究簡(jiǎn)史泊松比研究簡(jiǎn)史第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page10典型材料常數(shù)典型材料常數(shù)對(duì)于各向同性材料，三個(gè)材料常數(shù)存在如下關(guān)系：對(duì)于各向同性材料，三個(gè)材料常數(shù)存在如下關(guān)系：2(1)EG 彈性常數(shù)彈性常數(shù) 鋼與合金鋼鋼與合金鋼鋁合金鋁合金銅銅鑄鐵鑄鐵木木( (順紋順紋) )E/GPa200-22070-72100-12080-1608-12 0.25-0.3

9、00.26-0.340.33-0.350.23-0.27第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page11例：例：已知已知E，D，d，F(xiàn)，求，求D和和d的改變量。的改變量。FFdD思考：當(dāng)圓管受拉時(shí)，外徑思考：當(dāng)圓管受拉時(shí)，外徑減小，內(nèi)徑增大還是減??？減小，內(nèi)徑增大還是減??？第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page12例：例：已知已知E，D，d，F(xiàn)，求，求D和和d的改變量。的改變量。FFdD( () )FFEAEDdE 224( () )FDdE 224解：解：( () )224 FDDDDdE 先求內(nèi)周長(zhǎng)先求內(nèi)周長(zhǎng), ,設(shè)設(shè)ds 弧長(zhǎng)改變量為弧長(zhǎng)改變量為du, du/dsdu= ds

10、ddsu 0 ddsEdDF 022)(4EdDFd)(422 ud EdDFd)(422 d 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page13NFxO例：例：已知已知E，A1，A2，求總伸長(zhǎng)，求總伸長(zhǎng)l 解：解：1. 內(nèi)力分析。軸力圖內(nèi)力分析。軸力圖2. 變形計(jì)算。（用何方法？變形計(jì)算。（用何方法？ ）方法一：多載荷作用下方法一：多載荷作用下各段變形疊各段變形疊加加步驟：步驟：*用截面法分段求軸力；用截面法分段求軸力；* *分段求出變形；分段求出變形；* *求代數(shù)和。求代數(shù)和。312123123FlFlFlllllEAEAEA FF1l2l3lF2FA1A2123,NNNFFF FF 第三

11、章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page14階梯形桿：階梯形桿：討論：討論：n總段數(shù)總段數(shù)FNi桿段桿段 i 軸力軸力N1ni iiiiF llE A )(d)()d(NxEAxxFl 變截面變軸力桿變截面變軸力桿N( )( )lFxldxEA x 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page15解法二：解法二：各載荷效應(yīng)疊加各載荷效應(yīng)疊加與解法一結(jié)果一致，引出與解法一結(jié)果一致，引出疊加原理疊加原理1l2l3lF2F( () )aF llFllEAEA23112 121222bFlFllEAEA312123abFlFlFllllEAEAEA 1l2l3lF1l2l3l2F(a)(b)例：例

12、：已知已知E，A1，A2，求總伸長(zhǎng)，求總伸長(zhǎng) （續(xù)）（續(xù)）l 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page16疊加原理：疊加原理：幾個(gè)載荷同時(shí)作用所產(chǎn)生的幾個(gè)載荷同時(shí)作用所產(chǎn)生的總效果，等于各載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的效總效果，等于各載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的效果的總和。果的總和。疊加原理的適用范圍疊加原理的適用范圍* *材料線彈性材料線彈性* *小變形小變形* *結(jié)構(gòu)幾何線性結(jié)構(gòu)幾何線性第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page17疊加原理成立。疊加原理成立。*12,lll 材料線性問題材料線性問題*12,lll 疊加原理不成立。疊加原理不成立。材料非線性問題材料非線性問題Fl1F1lOFl2F2lO

13、12FF*lFl1F1lOFl1F1lOFl2F2lOFl12FF2l1lOl *1F第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page18*幾何非線性問題例幾何非線性問題例討論：討論： 1. C1. C點(diǎn)位移是否與載荷成正比關(guān)系？點(diǎn)位移是否與載荷成正比關(guān)系？ 2. 2. 疊加原理是否成立？疊加原理是否成立？NFNFCFllFCABF 求求 與與 關(guān)系。關(guān)系。例：例：已知已知 ，, ,F l EA初始兩桿水平，初始兩桿水平，設(shè)材料線彈性，且結(jié)構(gòu)小變形，設(shè)材料線彈性，且結(jié)構(gòu)小變形，第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page19(2)(2)桿伸長(zhǎng)：桿伸長(zhǎng)：解解：(1)(1)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)C平衡：平衡：

14、(4)(4)N2sinFF 2N2F lFllEAEA (3) (3) 關(guān)系：關(guān)系：l ( () )222/ 2llll 3232EAlEAFll ( (三次拋物線關(guān)系三次拋物線關(guān)系, ,瞬時(shí)瞬時(shí)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu), ,疊加原理不成立疊加原理不成立) )sin/l ( (微小微小) )NFNFCFllFCAB例：例：已知已知 ，, ,F l EA初始兩桿水平，初始兩桿水平，設(shè)材料線彈性，且結(jié)構(gòu)小變形，設(shè)材料線彈性，且結(jié)構(gòu)小變形，F(xiàn) 求求 與與 關(guān)系。關(guān)系。第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page20解解：距端點(diǎn)距端點(diǎn)x x處截面的軸力為處截面的軸力為總伸長(zhǎng)為總伸長(zhǎng)為l( )q xxdx( )NFx

15、q例：例：已知已知 ，求，求 , ,q l E Al( ( ) )NFxqx ( () )( ( ) )NFx dxqxdxdlEAEA( () )llqxdxql dxldlEAEA2002 (1) (1) 為常量為常量qdx 微段伸長(zhǎng)微段伸長(zhǎng)第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page21l( )q xxdx()NFxdxd( )NFxx例：例：已知已知 ，求，求 （續(xù)（續(xù)1:分析方法分析方法）, ,q l E Al需兩次積分，第一次求軸力，第二次求總伸長(zhǎng)。需兩次積分，第一次求軸力，第二次求總伸長(zhǎng)。(2) (2) 為變量為變量( ( ) )qq x ( () )( ( ) )Fx dxd

16、lEAN求解難點(diǎn)討論求解難點(diǎn)討論表達(dá)式不能寫出，怎么辦？表達(dá)式不能寫出，怎么辦？( )NFx在在x段再建立段再建立 坐標(biāo)系坐標(biāo)系, ,取取d 微段研究微段研究第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page22qddmA d22( ) 解解：1 1、葉片的外力、葉片的外力作用于微段作用于微段 上的離心力為上的離心力為d例：例：圖示渦輪葉片，已知圖示渦輪葉片，已知 ，角速度，角速度 ，求葉片，求葉片 橫截橫截 面上的正應(yīng)力與軸向變形。面上的正應(yīng)力與軸向變形。 ,A E 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page232 2、葉片的內(nèi)力與應(yīng)力、葉片的內(nèi)力與應(yīng)力3 3、葉片的變形、葉片的變形( (

17、) )( () )02222N02RxAFxA dRx ( ( ) )( () )22202xRx ( () )( ( ) )NFx dxdlEA( ( ) )( () )02N32300236iRiiRFxldxRR RREAE dx 微段微段:總伸長(zhǎng)：總伸長(zhǎng)：qddmA d22( ) 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page24例：例：已知已知 , ,求桁架節(jié)點(diǎn)求桁架節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移的水平與鉛垂位移解解：1、軸力與兩桿伸長(zhǎng)（縮短）、軸力與兩桿伸長(zhǎng)（縮短）( (拉拉) ) N12FF ( (壓壓) )N2FF ( (伸長(zhǎng)伸長(zhǎng)) )N1 1111222F lFlFllE AEAEA

18、( (縮短縮短) )N2 2222F lFllE AEA1452ABCF45AFFN2FN111222,E AE AEA ll由節(jié)點(diǎn)由節(jié)點(diǎn)A的平衡的平衡由胡克定律由胡克定律第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page25A精確位移求法：精確位移求法：計(jì)算困難：計(jì)算困難： 需解二次方程組需解二次方程組 由于內(nèi)力隨位移變化，需迭代由于內(nèi)力隨位移變化，需迭代求解求解. 1452ABCF以以B、C為圓心作圓交于為圓心作圓交于A點(diǎn)點(diǎn)l1 A1A2l2 桿桿1伸長(zhǎng)伸長(zhǎng) 到到 點(diǎn)，點(diǎn)，桿桿2縮短縮短 到到 點(diǎn)，點(diǎn)，1A2Al1 l2 2、節(jié)點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)A的位移的精確計(jì)算及其困難。的位移的精確計(jì)算及其困難。第三

19、章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page26小變形：小變形：與結(jié)構(gòu)原尺寸相比與結(jié)構(gòu)原尺寸相比 為很小的變形。為很小的變形。實(shí)用解法：實(shí)用解法：* *按結(jié)構(gòu)原幾何形狀與尺按結(jié)構(gòu)原幾何形狀與尺 寸計(jì)算約束反力與內(nèi)力；寸計(jì)算約束反力與內(nèi)力；* *采用切線代圓弧的方法采用切線代圓弧的方法 確定節(jié)點(diǎn)位移。確定節(jié)點(diǎn)位移。1452ACBAA1A2AF3、小變形問題實(shí)用解法、小變形問題實(shí)用解法第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page274、節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算、節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算( () )xFlAAAlEA22 ( () )( ( ) )122 2cos452 21ylFlFlAlEAEAFlEA 1452ABC

20、A1A2A第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page28例：例：ABC剛性桿，求節(jié)點(diǎn)剛性桿，求節(jié)點(diǎn)C的位移。的位移。 然后然后畫畫B點(diǎn)位移點(diǎn)位移 思考：思考：有同學(xué)問有同學(xué)問BB,CC鉛垂向下，鉛垂向下，剛性桿剛性桿ABC桿為什么能伸長(zhǎng)？桿為什么能伸長(zhǎng)？ 再畫再畫C點(diǎn)位移點(diǎn)位移 答：答：切線代圓弧的近似。切線代圓弧的近似。FBCyyCBl124 ABCo301解解：先計(jì)算桿先計(jì)算桿1 1內(nèi)力內(nèi)力 與伸長(zhǎng)與伸長(zhǎng) l1 NF1第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page29例：例：畫出節(jié)點(diǎn)畫出節(jié)點(diǎn)A的位移的位移桿兩端均為可動(dòng)點(diǎn)情形：桿兩端均為可動(dòng)點(diǎn)情形：平移平移+ +變形變形( (伸長(zhǎng)或縮短

21、伸長(zhǎng)或縮短)+ )+ 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)( (切線代圓弧切線代圓弧) )AFAFAA第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page30例：例：畫節(jié)點(diǎn)畫節(jié)點(diǎn)A的位移的位移* *左圖桿左圖桿2 2不受力，不伸長(zhǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)。不受力，不伸長(zhǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)。A1lFA12右圖右圖B B點(diǎn)位移由桿點(diǎn)位移由桿1 1和和2 2確定（與左圖確定（與左圖A A點(diǎn)相同）點(diǎn)相同）; ; FA12B3桿桿3 3伸長(zhǎng)到伸長(zhǎng)到A A，然后轉(zhuǎn)動(dòng)，與剛性梁對(duì)應(yīng)點(diǎn)交于，然后轉(zhuǎn)動(dòng)，與剛性梁對(duì)應(yīng)點(diǎn)交于A A點(diǎn)點(diǎn)。 剛梁剛梁ABAB先隨先隨B B點(diǎn)平動(dòng)，點(diǎn)平動(dòng)，B B至至B B點(diǎn)點(diǎn),A,A至至A A點(diǎn)；然后繞點(diǎn)；然后繞B B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)；點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)； AABA思考：點(diǎn)思

22、考：點(diǎn)A有無水平位移？有無水平位移？第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page31* *設(shè)想固定設(shè)想固定BD中點(diǎn)中點(diǎn) 和和BD方位方位例：例：求求A，C相對(duì)位移相對(duì)位移2ACCCFFABCDC O* *D D點(diǎn)隨點(diǎn)隨ODOD桿變形發(fā)桿變形發(fā) 生位移，生位移，DC桿平桿平 移、伸長(zhǎng)、轉(zhuǎn)動(dòng)，移、伸長(zhǎng)、轉(zhuǎn)動(dòng)， 由對(duì)稱性，由對(duì)稱性，C點(diǎn)到點(diǎn)到 達(dá)達(dá)C點(diǎn)。點(diǎn)。第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page32兩條平行的研究途徑兩條平行的研究途徑( (從物理、理力到材力從物理、理力到材力) )方法一：方法一：方法二：方法二：hhvv1m2m1m2mTT1m g2m gTm gm gTammmm gam

23、m12122112() 2112()mm gamm 2212121122EmVm Vm ghm gh0Et 由由例：例： 無摩擦，求無摩擦，求21,mma第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page33功能原理成立條件：功能原理成立條件：載體由零逐漸緩慢增加，動(dòng)能載體由零逐漸緩慢增加，動(dòng)能與熱能等的變化可忽略不計(jì)。與熱能等的變化可忽略不計(jì)。FF應(yīng)變能（應(yīng)變能（ ）：構(gòu)件因變形貯存能量。構(gòu)件因變形貯存能量。 V 外力功外力功( ):構(gòu)件變形時(shí)，外力在相應(yīng)位移上做的功。構(gòu)件變形時(shí)，外力在相應(yīng)位移上做的功。W外力功、應(yīng)變能與功能原理外力功、應(yīng)變能與功能原理（根據(jù)能量守恒定律）（根據(jù)能量守恒定律）W

24、V 彈性體功能原理：彈性體功能原理：第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page34一、軸向拉壓應(yīng)變能一、軸向拉壓應(yīng)變能* *線彈性材料線彈性材料 拉壓桿應(yīng)變能拉壓桿應(yīng)變能fdfdFdAoff2N22F lF lEA ,VW EAlFV22N dd ,Wf fW0d 外力功外力功2F lW 彈性體功能原理：彈性體功能原理：對(duì)線彈性體：對(duì)線彈性體：（如何推導(dǎo)）（如何推導(dǎo)）第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page35* *非線性彈性材料非線性彈性材料Fof2FW 0Wfd 外力功計(jì)算外力功計(jì)算應(yīng)變能如何計(jì)算計(jì)算應(yīng)變能如何計(jì)算計(jì)算?功能原理是否成立功能原理是否成立?VW * *塑性與非彈性材

25、料塑性與非彈性材料?VW 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page36二、拉壓與剪切應(yīng)變能密度二、拉壓與剪切應(yīng)變能密度單向受力單向受力dxdydzxyz221222vEE 應(yīng)變能密度：應(yīng)變能密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的應(yīng)變能，用單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，用 表示表示vd ddd2x zyV d d d2x y z 單向受力應(yīng)變能密度單向受力應(yīng)變能密度單向受力體應(yīng)變能單向受力體應(yīng)變能22Vv dxdydzdxdydzE 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page37純剪切純剪切dxdydzxyz221222vGG d ddd2x zyV d d d2x y z 22Vv dxdydzdxdydzE N

26、F ( x )(x)=,dydzAA 拉壓桿拉壓桿單向受力體應(yīng)變能單向受力體應(yīng)變能2( )d2( )NlFxVxEA x 22NF lVEA （常應(yīng)力等直桿）（常應(yīng)力等直桿）純剪應(yīng)變能密度純剪應(yīng)變能密度（變力變截面桿）（變力變截面桿）第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page382 2、應(yīng)變能計(jì)算、應(yīng)變能計(jì)算3 3、位移計(jì)算、位移計(jì)算例：例：計(jì)算節(jié)點(diǎn)計(jì)算節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移。的鉛垂位移。 解解：1 1、軸力分析、軸力分析FA45l12BC3N12FF N2FF N3FF 2VFWBy EAFlBy)12(2 222N1N2N32222FlF lF lVEAEAEAEAlF)12(2 第三章第三

27、章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page39FFABCD例：例：用能量法求用能量法求A，C相對(duì)位移。相對(duì)位移。解解：1 1、軸力分析、軸力分析12周邊四桿軸力：周邊四桿軸力：122NFF 2NFF 2 2、應(yīng)變能、外力功計(jì)算、應(yīng)變能、外力功計(jì)算( () )222N1N22242,222F lF lFlVEAEAEA 桿桿2 2軸力：軸力：3 3、位移計(jì)算、位移計(jì)算,VW /1,2A CWF /(22)A CFlEA 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page40作業(yè)作業(yè) 3 34 4，1212，1616第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page41上一講回顧（上一講回顧（4 4）拉壓桿胡克

28、定律拉壓桿胡克定律拉壓桿橫向變形與泊松比拉壓桿橫向變形與泊松比疊加原理及其應(yīng)用范圍疊加原理及其應(yīng)用范圍桁架小變形節(jié)點(diǎn)位移桁架小變形節(jié)點(diǎn)位移 按結(jié)構(gòu)原尺寸計(jì)算約束反力與按結(jié)構(gòu)原尺寸計(jì)算約束反力與內(nèi)力內(nèi)力; ; 由切線代圓弧的方法計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移由切線代圓弧的方法計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移. . NF llEAEA ,l 為拉壓剛度，為拉壓剛度， 伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。NlFxldxEA x ( )( )nN iiiiF llE A 1（變截面、變軸力桿）（變截面、變軸力桿）, ,（階梯形桿）（階梯形桿） （00. 5）00. 5）泊松比泊松比拉壓與剪切應(yīng)變能概念拉壓與剪切應(yīng)變能概念第三章第三章

29、軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page42* *靜不定問題：靜不定問題：* *靜定問題靜定問題 ：* *靜不定度：靜不定度：未知力數(shù)與有效未知力數(shù)與有效平衡方程數(shù)之差。平衡方程數(shù)之差。一度靜不定一度靜不定AF 123靜定問題靜定問題1452AFBC由靜力平衡方程可確定全部未知由靜力平衡方程可確定全部未知力力( (包括支反力與內(nèi)力包括支反力與內(nèi)力) )的問題。的問題。根據(jù)靜力平衡方程不能確定全根據(jù)靜力平衡方程不能確定全部未知力的問題。部未知力的問題。第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page43靜不定問題求解思路靜不定問題求解思路AF 12 34靜定結(jié)構(gòu)桿靜定結(jié)構(gòu)桿1和桿和桿2的軸力的軸力可由平衡

30、方程唯一確定可由平衡方程唯一確定增加桿增加桿3和桿和桿4，2度靜不定，平衡方程數(shù)不變，贅余力度靜不定，平衡方程數(shù)不變，贅余力增加增加2個(gè)個(gè)桿桿1和桿和桿2的伸長(zhǎng)由軸力唯的伸長(zhǎng)由軸力唯一確定，點(diǎn)一確定，點(diǎn)A位移確定位移確定桿桿3和桿和桿4的一端也必須落在的一端也必須落在A點(diǎn)，有點(diǎn)，有2個(gè)變形協(xié)調(diào)條件個(gè)變形協(xié)調(diào)條件普遍規(guī)律：贅余力數(shù)等于約束（協(xié)調(diào)）條件數(shù)，加上平普遍規(guī)律：贅余力數(shù)等于約束（協(xié)調(diào)）條件數(shù)，加上平衡方程，所有約束力能完全唯一確定衡方程，所有約束力能完全唯一確定第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page44靜不定問題求解步驟靜不定問題求解步驟協(xié)調(diào)方程協(xié)調(diào)方程 贅余反力數(shù)贅余反力數(shù)=

31、=協(xié)調(diào)條件數(shù)協(xié)調(diào)條件數(shù)求解求解物理方程物理方程 ：F 123AAF AN1FN3FN2F AA2l1l3l平衡方程平衡方程( () )N1N2,0ifFF ( () )jgll12,0( () )jgFFN1N2,0 kNklF 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page45解解：1 1、平衡方程、平衡方程2 2、變形協(xié)調(diào)方程、變形協(xié)調(diào)方程3 3、胡克定律、胡克定律4 4、補(bǔ)充方程、補(bǔ)充方程F 123AAF AN1FN3FN2F AA2l1l3lN2N1sinsin0FFN1N2N3coscos0FFFF13cosll N1 1111F llE AN3 1333cosF llE A 211

32、N1N333cosE AFFE A 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page461 1、靜不定問題需綜合考慮靜力學(xué)、幾何與物理三方面；、靜不定問題需綜合考慮靜力學(xué)、幾何與物理三方面；靜不定問題分析特點(diǎn)：靜不定問題分析特點(diǎn)：5 5、聯(lián)立求解平衡方程及補(bǔ)充方程、聯(lián)立求解平衡方程及補(bǔ)充方程2 2、與靜定問題相比的內(nèi)力特點(diǎn)：與靜定問題相比的內(nèi)力特點(diǎn)：2N1N233311cos2cosFFFE AE A N33113312cosFFE AE A F 123AA內(nèi)力分配與桿件剛度有關(guān)，某桿剛度增大，軸力亦增大。內(nèi)力分配與桿件剛度有關(guān)，某桿剛度增大，軸力亦增大。第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形P

33、age472 2、幾何方面、幾何方面3 3、物理方面、物理方面4 4、支反力計(jì)算、支反力計(jì)算何時(shí)何時(shí)問題問題 ：補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：解解1 1：1 1、靜力學(xué)方面、靜力學(xué)方面例：例：求桿兩端的支反力。求桿兩端的支反力。 1l2lFAxFBxFABC?2AxBxFFF0AxBxFFF 120AxBxF lF l0ACCBll 1,AxACF llEA2BxCBF llEA 212AxFlFll 112BxFlFll 2AxBxFFF第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page482 2、物理方面、物理方面3 3、求解、求解解解2 2：1 1、幾何方面、幾何方面例：例：求桿右端的支反力。求桿右端

34、的支反力。 1l2lFAxFBxFABC0B212AxFlFll 112BxFlFll 1l2lFAxFBxFABC121()BxBFllFlEAEA 4 4、由平衡方程、由平衡方程第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page49例：例：各桿拉壓剛度各桿拉壓剛度EA，桿，桿1 1，2 2 長(zhǎng)長(zhǎng)l解解：1 1、畫變形圖、畫變形圖( (畫法畫法2,2,教材教材P72P72圖為畫法圖為畫法1)1)設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn)C位移至位移至C，過，過C點(diǎn)向三桿作垂線點(diǎn)向三桿作垂線2 2、根據(jù)變形圖畫受力圖，假設(shè)各、根據(jù)變形圖畫受力圖，假設(shè)各 桿均受拉。桿均受拉。對(duì)照書上例題。對(duì)照書上例題。思考：思考：45C123F

35、2l1l3lC45FN1FN3FN2F總結(jié)畫受力畫變形圖注意事項(xiàng)?？偨Y(jié)畫受力畫變形圖注意事項(xiàng)?？煞裣犬嬍芰D，后畫變形圖？可否先畫受力圖，后畫變形圖？可否假設(shè)桿可否假設(shè)桿1 1，3 3受壓，桿受壓，桿2 2受拉求解？受拉求解？第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page50解解：1 1、平衡方程、平衡方程3 3、物理方程、物理方程2 2、變形協(xié)調(diào)方程、變形協(xié)調(diào)方程FF N1N3sin450FFFN1N3cos450lll 2132i iiF llEAN45C123F2l1l3lC45FN1FN3FN2FC第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page515 5、強(qiáng)度校核、強(qiáng)度校核4 4、解答

36、、解答符合強(qiáng)度要求符合強(qiáng)度要求思考：思考：選取哪一根或哪幾根桿校核？如果不夠，怎樣加強(qiáng)選取哪一根或哪幾根桿校核？如果不夠，怎樣加強(qiáng)? ?45CF123( () )FF N1212( () )FF N2322( () )FF N3222 FAN22158.6MPa ( () )2200mm ,40kN,160MPaAF 設(shè)設(shè)第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page526 6、設(shè)計(jì)截面、設(shè)計(jì)截面45CF123 iiiiFFAA NN, 思考：由上式設(shè)計(jì)的思考：由上式設(shè)計(jì)的 能否取各自能否取各自由軸力計(jì)算的值？為由軸力計(jì)算的值？為什么？什么？123,A A A ( () )40kN,160MP

37、aF 設(shè)設(shè)4 4、解答、解答( () )FF N1212( () )FF N2322( () )FF N3222iAA max()第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page53解解：1 1、協(xié)調(diào)條件、協(xié)調(diào)條件例例：ABC剛性塊，各桿剛性塊，各桿EA，求軸力。，求軸力。BBCCaa 34ECBDllaa 234NECNBDNBDNECFaFaaEAaEAFF 234343 28 分析：分析：如何建立變形協(xié)調(diào)條件？如何建立變形協(xié)調(diào)條件？考慮剛性塊考慮剛性塊ABC轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：2 2、代入物理方程、代入物理方程ABCD4a3a2a45FEBC 第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page544

38、4、解答、解答3 3、平衡方程、平衡方程BDECNNFF 3 28BDECNNFFF32 24ECNFF 16 225BDNFF 1225BC4a3aFNECFNBDFA第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page55問題問題：如何建立變形協(xié)調(diào)條件？下如何建立變形協(xié)調(diào)條件？下述變形協(xié)調(diào)條件是否正確？述變形協(xié)調(diào)條件是否正確？例例：鋼絲繩鋼絲繩 不能承壓，初拉力不能承壓，初拉力 ，求，求繩拉力。繩拉力。FF N020kN,30kN( () ),l A E( ( ) )( ( ) )3 /4,/4a HlbHl 。ACCBll 0ACCBFllllEA N 00ABlHFC分析分析：上述變形協(xié)調(diào)條

39、件的錯(cuò)誤在上述變形協(xié)調(diào)條件的錯(cuò)誤在于遺漏了初應(yīng)力。正確的變形協(xié)調(diào)于遺漏了初應(yīng)力。正確的變形協(xié)調(diào)條件是：條件是：當(dāng)當(dāng)NCBF, 0思考：思考：當(dāng)當(dāng)NCBF, 0如何求解？如何求解？第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page56解解：(1)(1)變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件設(shè)設(shè) ，代入物理方程，代入物理方程Hl ( () )ABFlF lFlEAEAEA N01( () )ABFlFF N01ABlHFC例例：鋼絲繩鋼絲繩 不能承壓，初拉力不能承壓，初拉力 ，求，求繩拉力。繩拉力。FF N020kN,30kN( () ),l A E( ( ) )( ( ) )3 /4,/4a HlbHl 。ACC

40、BFllllEA N 00第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page57(2)(2)平衡方程平衡方程ABFFF AFFF N0( () )BFFF N01ABFF42.5kN,12.5kNABFF 27.5kN,2.5kNAF 30kNABlHFCABFCAFBF 3/4)(a1/4 )(b( () )ABFlFF N01(3)(3)解答：解答：(不合題意，舍去不合題意，舍去)由平衡：由平衡：BF 0,第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page58思考：思考：當(dāng)溫度變化時(shí)，桿內(nèi)可能當(dāng)溫度變化時(shí)，桿內(nèi)可能引起應(yīng)力嗎？引起應(yīng)力嗎？ABCABCD圖圖1圖圖2(各桿材料不同各桿材料不同)圖圖3

41、圖圖4第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page59歷史追蹤歷史追蹤 都江堰規(guī)模宏大、布局科學(xué)、費(fèi)省效都江堰規(guī)模宏大、布局科學(xué)、費(fèi)省效宏，代有興建，歷經(jīng)宏，代有興建，歷經(jīng)22602260而不衰，是世而不衰，是世界水利史上設(shè)計(jì)施工最完美、最先進(jìn)、界水利史上設(shè)計(jì)施工最完美、最先進(jìn)、最科學(xué)獨(dú)一無二的無壩式引水樞紐。與最科學(xué)獨(dú)一無二的無壩式引水樞紐。與之興建時(shí)間大致相同的古埃及和古巴比之興建時(shí)間大致相同的古埃及和古巴比侖的灌溉系統(tǒng)，都因滄海變遷和時(shí)間的侖的灌溉系統(tǒng)，都因滄海變遷和時(shí)間的推移，或湮沒、或失效，唯有都江堰至推移，或湮沒、或失效，唯有都江堰至今還滋潤(rùn)著天府之國(guó)的萬頃良田。今還滋潤(rùn)著天府之

42、國(guó)的萬頃良田。 當(dāng)時(shí)還未發(fā)明當(dāng)時(shí)還未發(fā)明火藥火藥，李冰便以火，李冰便以火燒石，使巖石爆裂，終于在玉壘山鑿燒石，使巖石爆裂，終于在玉壘山鑿出了一個(gè)寬出了一個(gè)寬2020公尺，高公尺，高4040公尺，長(zhǎng)公尺，長(zhǎng)8080公尺的山口。因形狀酷似瓶口，故取公尺的山口。因形狀酷似瓶口，故取名名“寶瓶口寶瓶口”，把開鑿玉壘山分離的，把開鑿玉壘山分離的石堆叫石堆叫“離堆離堆”。 寶瓶口寶瓶口第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page60lll T ABCD 在靜不定結(jié)構(gòu)各構(gòu)件桿變形必須服從變形協(xié)調(diào)條件，在靜不定結(jié)構(gòu)各構(gòu)件桿變形必須服從變形協(xié)調(diào)條件，因此因此溫度變化溫度變化或或桿長(zhǎng)制造誤差桿長(zhǎng)制造誤差，一般將

43、引起應(yīng)力一般將引起應(yīng)力。 由于由于桿長(zhǎng)制造誤差桿長(zhǎng)制造誤差或或溫度變化溫度變化，結(jié)構(gòu)在未受載時(shí)已存，結(jié)構(gòu)在未受載時(shí)已存在的應(yīng)力，分別稱為在的應(yīng)力，分別稱為初應(yīng)力（或稱預(yù)應(yīng)力）初應(yīng)力（或稱預(yù)應(yīng)力）與與熱應(yīng)力。熱應(yīng)力。第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page61解：解：(1)(1)平衡方程（設(shè)各桿受拉）平衡方程（設(shè)各桿受拉）代入物理方程代入物理方程(2)(2)協(xié)調(diào)方程協(xié)調(diào)方程例：例：3 3桿制造誤差長(zhǎng)桿制造誤差長(zhǎng) ，1 1、2 2桿桿 ，3 3桿桿 ，求各桿內(nèi)力，求各桿內(nèi)力 33E A11E AN1N2sinsin0FFN1N2N3coscos0FFF( () )ll13cos N1 1N3

44、 31133cosF lF lE AE A1NF3NF2NFA123A3l2l1l規(guī)律觀察：規(guī)律觀察：第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page62設(shè)設(shè) 由溫度變化引起：由溫度變化引起：3tlt 123A3l2l1lE AFFE AlE A 211N1N2311333cos21cosE AFE AlE A 311N33113332cos21cosE AFFtE AE A 211N1N231133cos21cos E AFtE AE A311N3311332cos-21cos 解答成為解答成為（比較預(yù)應(yīng)力與熱應(yīng)力）（比較預(yù)應(yīng)力與熱應(yīng)力） 解答：解答：1NF3NF2NFA第三章第三章 軸向拉壓

45、變形軸向拉壓變形Page63例：例：制造誤差，同時(shí)作用外載。制造誤差，同時(shí)作用外載。1 1、利用疊加原理求解、利用疊加原理求解思考：思考：裝配應(yīng)力有利還是有害？工程中能否利用？裝配應(yīng)力有利還是有害？工程中能否利用？用于設(shè)計(jì)等強(qiáng)結(jié)構(gòu)：如預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土。用于設(shè)計(jì)等強(qiáng)結(jié)構(gòu)：如預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土。2211N1N233331133311coscos21cos2cosE AFFFE AE AlE AE A 211N333111133333cos221cos1cosE AFFE AE AlE AE A 123F載荷載荷內(nèi)力內(nèi)力裝配或裝配或/和和溫度內(nèi)力溫度內(nèi)力第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page6

46、4123AF2 2、一般解法、一般解法(1)(1)平衡方程（同前）平衡方程（同前）(2)(2)協(xié)調(diào)方程協(xié)調(diào)方程(3)(3)物理方程物理方程( (同前同前) )N1N2sinsin0FFFFFFN1N2N3cosco)s0( () )tll13cos tll33規(guī)律探索：規(guī)律探索：從單純外載靜不定問題到載荷、預(yù)應(yīng)力和熱應(yīng)力耦合靜從單純外載靜不定問題到載荷、預(yù)應(yīng)力和熱應(yīng)力耦合靜不定問題，求解方程唯一不同：不定問題，求解方程唯一不同：1NF3NF2NFAF3l2l1l第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page65有無裝配應(yīng)力與熱應(yīng)力靜不定問題的協(xié)調(diào)方程比較有無裝配應(yīng)力與熱應(yīng)力靜不定問題的協(xié)調(diào)方程

47、比較* *桁架無裝配應(yīng)力與熱應(yīng)力桁架無裝配應(yīng)力與熱應(yīng)力* *桁架有裝配應(yīng)力與熱應(yīng)力桁架有裝配應(yīng)力與熱應(yīng)力n: 靜不定度靜不定度i: 桿數(shù)桿數(shù)其中其中( () )112,0 iflll, ,( () )12,0 niflll, ,( () )112,0 if , ,( () )12,0 nif , ,iiil ti制造誤差制造誤差熱膨脹伸長(zhǎng)熱膨脹伸長(zhǎng).第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page66建立協(xié)調(diào)方程例（建立協(xié)調(diào)方程例（方法一方法一）( () )1123,0 flll( () )2124,0 flll3124ABCFDE贅余桿：贅余桿：桿桿3和桿和桿4協(xié)調(diào)方程：協(xié)調(diào)方程：第三章第三章

48、 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page67建立協(xié)調(diào)方程例建立協(xié)調(diào)方程例（方法二）（方法二）( () )( () )1234,xxl lll ( () )( () )1234,yyl lll ABCFDExy12AxyA結(jié)構(gòu)看作兩部分組合，結(jié)構(gòu)看作兩部分組合，A A點(diǎn)位移相同。點(diǎn)位移相同。協(xié)調(diào)方程：協(xié)調(diào)方程：討論方法優(yōu)缺點(diǎn)。討論方法優(yōu)缺點(diǎn)。第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page68建立協(xié)調(diào)方程例建立協(xié)調(diào)方程例( () )( () )( () )12:ABllaab ABFab第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page69FBCA30o30o圖圖(a) Mpa 2EE1100 圖圖(b)1 ,lmAmm , 2100EGPa, 1100EGPa, 210(1)10 3, (2)11 3FKNFKN。橫截面積橫截面積例：例：桿長(zhǎng)桿長(zhǎng)彈性模量彈性模量試求兩桿的應(yīng)力和試求兩桿的應(yīng)力和A點(diǎn)的鉛垂位移，其中載荷點(diǎn)的鉛垂位移，其中載荷第三章第三章 軸向拉壓變形軸向拉壓變形Page70FBCA30o30o12F300AN1FN3FN2F300解：解：1. 求求內(nèi)力與應(yīng)力內(nèi)力與應(yīng)力NNFFF1202cos30應(yīng)力：應(yīng)力：NFA12/FkN (1).10 3NNF