常微分方程在數(shù)學(xué)建模中地應(yīng)用91806

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用這里介紹幾個(gè)典型的用微分方程建立數(shù)學(xué)模型的例子一、人口預(yù)測(cè)模型由于資源的有限性，當(dāng)今世界各國(guó)都注意有計(jì)劃地控制人口的增長(zhǎng)，為了得到人口預(yù)測(cè)模型，必須首先搞清影響人口增長(zhǎng)的因素，而影響人口增長(zhǎng)的因素很多，如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭(zhēng)等諸多因素，如果一開(kāi)始就把所有因素都考慮進(jìn)去，則無(wú)從下手.因此，先把問(wèn)題簡(jiǎn)化，建立比較粗糙的模型，再逐步修改，得到較完善的 模型.例1 (馬爾薩斯 (Malthus ) 模型) 英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯(1766 1834 ) 在擔(dān)任牧師期間，查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料 ，發(fā)現(xiàn)人口出

2、生率是一個(gè)常數(shù)，于1789年在人口原理一書(shū)中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型，他的基本假設(shè)是：在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)(出生率與死亡率之差)是常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比，比例系數(shù)設(shè)為r,在此假設(shè)下，推導(dǎo)并求解人口隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型.解 設(shè)時(shí)刻t的人口為N(t)，把N(t)當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理(因人口總數(shù)很大，可近似地這樣處理，此乃離散變量連續(xù)化處理)，據(jù)馬爾薩斯的假設(shè)，在t到t t時(shí)間段內(nèi)，人口的文檔大全增長(zhǎng)量為N(tt) N(t) rN(t) t,并設(shè)tto時(shí)刻的人口為No,于dNdtN(to)No.這就是馬爾薩斯人口模型，用分離變量法易求出其解為N(t)Noer

3、(tto)此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無(wú)限增長(zhǎng).9 模型檢驗(yàn)：據(jù)估計(jì)1961年地球上的人口總數(shù)為3.06 10，而在以后7年中，人口總數(shù)以每年2%的速度增長(zhǎng)，這樣心1961,$ 3.06 109 ,r 0.02，于是9 0.02(t 1961) N(t) 3.06 10 e ().這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在1700 1961年間世界人口總數(shù).因?yàn)椋@期間地球上的人口大約每35年翻一番，而上式斷定34.6年增加一倍(請(qǐng)讀者證明這一點(diǎn)).但是，后來(lái)人們以美國(guó)人口為例，用馬爾薩斯模型計(jì)算結(jié)果與人口資料比較，卻發(fā)現(xiàn)有很大的差異，尤其是在用此模型預(yù)測(cè)較遙遠(yuǎn)的未來(lái)地球人口總數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)更令人不可思議的問(wèn)題如

4、按此模型計(jì)算，到2670年，地球上將有36 000億人口 .如果地球表面全是陸地(事實(shí)上，地球表面還有 80%被水覆蓋)，我們也只得互相踩著肩膀站成兩層了，這是非?；闹嚨模虼?，這一模型應(yīng)該修改.例2 (邏輯Logistic模型)馬爾薩斯模型為什么不能預(yù)測(cè)未來(lái)的人口呢？這主要是地球上的各種資源只能供一定數(shù)量的人生活，隨著人口的增加，自然資源環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來(lái)越顯著，如果當(dāng)人口較少時(shí)，人口的自然增長(zhǎng)率可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長(zhǎng)率就要隨人口的增加而減小.因此，應(yīng)對(duì)馬爾薩斯模型中關(guān)于凈增長(zhǎng)率為常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.1838年,荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特

5、(Verhulst)引入常數(shù)Nm用來(lái)表示自然環(huán)境條件所 能容許的最大人口數(shù)(一般說(shuō)來(lái)，一個(gè)國(guó)家工業(yè)化程度越高，它的生活空間就越大，食物就越多， 從而Nm就越大)，并假設(shè)將增長(zhǎng)率等于r 1 旦©，即凈增長(zhǎng)率隨著 N(t)的增加而減小，Nm當(dāng)N(t) Nm時(shí)，凈增長(zhǎng)率趨于零，按此假定建立人口預(yù)測(cè)模型 .解由韋爾侯斯特假定，馬爾薩斯模型應(yīng)改為dN 一 rdtN(to)1 -NN( No-N, o上式就是邏輯模型該方程可分離變量淇解為,N(t)1Nm瓦Nm1 e r(t t0)卜面，我們對(duì)模型作一簡(jiǎn)要分析,N(t) Nm,即無(wú)論人口的初值如何，人口總數(shù)趨向于極限值 Nm；(2)當(dāng) 0 N2

6、2 dNNm時(shí),前N0,這說(shuō)明N(t)是時(shí)間t的單調(diào)遞增函Nmr2 12NmN,所以當(dāng)N5空c dN0 ,單增;dt2Nm 口 d N一時(shí)，-2-2 dt2c dN0 , dt單減，即人口增長(zhǎng)率 dN由增變減，在Nm處最大dt，也就是說(shuō)在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長(zhǎng)期，過(guò)這一點(diǎn)后，生長(zhǎng)的速率逐漸變小，并且遲早會(huì)達(dá)到零這是減速生長(zhǎng)期;(4)用該模型檢驗(yàn)美國(guó)從1790年到1950年的人口，發(fā)現(xiàn)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際人口在1930年以前都非常吻合 啟從1930年以后，誤差愈來(lái)愈大，一個(gè)明顯的原因是在 20世紀(jì)60年代美國(guó)的實(shí)際人口數(shù)已經(jīng)突破了20世紀(jì)初所設(shè)的極限人口.由此可見(jiàn)該模型的缺點(diǎn)之一是

7、Nm不易確定，事實(shí)上，隨著一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)的騰飛，它所擁有的食物就越豐富，Nm的值也就越大；(5)用邏輯模型來(lái)預(yù)測(cè)世界未來(lái)人口總數(shù).某生物學(xué)家估計(jì),r 0.029，又當(dāng)人口總數(shù)為93.06 10時(shí)，人口每年以2%的速率增長(zhǎng)，由邏輯模型得1 dN 彳 N r 1 -N dtNm即從而得0.02 0.029 193.06 109NT-_ _ _ 一 9Nm 9.86 10 ,即世界人口總數(shù)極限值近100億.值得說(shuō)明的是：人也是一種生物，因此，上面關(guān)于人口模型的討論 ，原則上也可以用于在自 然環(huán)境下單一物種生存著的其他生物 ，如森林中的樹(shù)木、池塘中的魚(yú)等，邏輯模型有著廣泛的 應(yīng)用.二、市場(chǎng)價(jià)格模型對(duì)于純

8、粹的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)來(lái)說(shuō)，商品市場(chǎng)價(jià)格取決于市場(chǎng)供需之間的關(guān)系，市場(chǎng)價(jià)格能促使商品的供給與需求相等(這樣的價(jià)格稱為(靜態(tài))均衡價(jià)格).也就是說(shuō)，如果不考慮商品價(jià)格形成 的動(dòng)態(tài)過(guò)程，那么商品的市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)能保證市場(chǎng)的供需平衡，但是，實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格不會(huì)恰好等于均衡價(jià)格，而且價(jià)格也不會(huì)是靜態(tài)的，應(yīng)是隨時(shí)間不斷變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程.例3試建立描述市場(chǎng)價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型解假設(shè)在某一時(shí)刻t,商品的價(jià)格為p，它與該商品的均衡價(jià)格間有差別，此時(shí)，存在供需差，此供需差促使價(jià)格變動(dòng).對(duì)新的價(jià)格，又有新的供需差，如此不斷調(diào)節(jié)，就構(gòu)成市場(chǎng)價(jià)格 形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程，假設(shè)彳格p(t)的變化率dp與需求和供給之差成正比，并記f(p,

9、r)為需求dt函數(shù)，g( p)為供給函數(shù)(r為參數(shù))，于是dpf-f P,r g P ，dtP(0) P0 ，ap b , g( p) cp d ,則上式變?yōu)槠渲蠵0為商品在t 0時(shí)亥U的價(jià)格,為正常數(shù).若設(shè)f (p,r)其中a,b,c,d均為正常數(shù)，其解為P(t)Po卜面對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行討論(1)設(shè)p為靜態(tài)均衡價(jià)格于是得pb d ，從而價(jià)格函數(shù)a c，取極限得這說(shuō)明，市場(chǎng)價(jià)格逐步趨于均衡價(jià)格上，整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程就化為靜態(tài)過(guò)程;(2)由于所以，當(dāng)p°p時(shí)，電dtdp dt(a c) p (b d),p(0) po ，(a c)t，則其應(yīng)滿足f(p,r) g(p)a p b cpp(t)可寫(xiě)

10、為p(t) (Po p)etlim p(t)0,(a c)t p ，.又若初始價(jià)格pop,則動(dòng)態(tài)價(jià)格就維持在均衡價(jià)格pdpdt(p p°) (a c)e (a c)t0,p(t)單調(diào)下降向p靠攏；當(dāng)p0p時(shí),型 0,p(t)單調(diào)增加dt，且逐步靠近均衡價(jià)格；，而需求與向p靠攏這說(shuō)明：初始價(jià)格高于均衡價(jià)格時(shí)，動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步降低 否則，動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步升高.因此，式在一定程度上反映了價(jià)格影響需求與供給 供給反過(guò)來(lái)又影響價(jià)格的動(dòng)態(tài)過(guò)程，并指出了動(dòng)態(tài)價(jià)格逐步向均衡價(jià)格靠攏的變化趨勢(shì)三、混合溶液的數(shù)學(xué)模型例4 設(shè)一容器內(nèi)原有 100L鹽，內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量濃度為

11、0.01kg/L的淡鹽水，同時(shí)以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水，求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學(xué)模型.解 設(shè)t時(shí)刻容器內(nèi)的鹽量為x(t) kg,考慮t到t dt時(shí)間內(nèi)容器中鹽的變化情況，在dt時(shí)間內(nèi)容器中鹽的改變量注入的鹽水中所含鹽量一抽出的鹽水中所含鹽量容器內(nèi)鹽的改變量為dx,注入的鹽水中所含鹽量為0.01 3dt,t時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為x，假設(shè)t至iJ t dt時(shí)間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不變(事實(shí)上，容器內(nèi)的100 (3 2)t溶液質(zhì)量濃度時(shí)刻在變，由于dt時(shí)間很短，可以這樣看).于是抽出的鹽水中所含鹽量為100x2dt,這樣即可列出方程(3 2)tdx 0.03dtdhdt，dx dt

12、0.032x100 t又因?yàn)閠 0時(shí),容器內(nèi)有鹽10kg,于是得該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為dx 2xdt 100 t0.03,x(0) 10,這是一階非齊次線性方程的初值問(wèn)題，其解為x(t) 0.01(100 t)9 1042(100 t)2卜面對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行一下簡(jiǎn)單的討論，由上式不難發(fā)現(xiàn):t時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為小 x(t)9 104p0.013,100 t(100 t)3且當(dāng)t時(shí)，p（t）0.01，即長(zhǎng)時(shí)間地進(jìn)行上述稀釋過(guò)程，容器內(nèi)鹽水的質(zhì)量濃度將趨于注入溶液的質(zhì)量濃度.溶液混合問(wèn)題的更一般的提法是：設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液，以流量Vi注入質(zhì)量濃度為Ci的溶液（指同一種類(lèi)溶液，只是質(zhì)量濃

13、度不同），假定溶液立即被攪勻，并以V2的流量流出這種混合溶液，試建立容器中質(zhì)量濃度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型首先設(shè)容器中溶質(zhì)的質(zhì)量為x（t）,原來(lái)的初始質(zhì)量為Xo ,t =0時(shí)溶液的體積為V2,在d t時(shí)間內(nèi)，容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量等于流入溶質(zhì)的數(shù)量減去流出溶質(zhì)的數(shù)量，即dx C1V1dt C2V2dt ,其中C1是流入溶液的質(zhì)量濃度,C2為t時(shí)刻容器中溶液的質(zhì)量濃度,C2Vo(ViV2)t'于是，有混合溶液的數(shù)學(xué)模型dx 一 一C1V1 C2V2 , dtx(0)x。.該模型不僅適用于液體的混合，而且還適用于討論氣體的混合四、振動(dòng)模型.在自然界中，許多振動(dòng)是生活與工程中的常見(jiàn)現(xiàn)象.研究振動(dòng)規(guī)律有著

14、極其重要的意義 振動(dòng)現(xiàn)象都可以抽象為下述振動(dòng)問(wèn)題例5設(shè)有一個(gè)彈簧，它的上端固定，下端掛一個(gè)質(zhì)量為 m的物體，試研究其振動(dòng)規(guī)律.解 假設(shè)（1 ）物體的平衡位置位于坐標(biāo)原點(diǎn) ，并取X軸的正向鉛直向下（見(jiàn)圖 4）.物體的平衡位置指物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的位置.此時(shí)，作用在物體上的重力與彈性力大小相等方向相反；（2）在一定的初始位移 xo及初始速度v0下，物體離開(kāi)平衡位置，并在平衡位置附近作沒(méi)有搖擺的上下振動(dòng)；(3)物體在t時(shí)刻的位置坐標(biāo)為 x x(t),即t時(shí)刻物體偏離平衡位置的位移；(4)在振動(dòng)過(guò)程中，受阻力作用.阻力的大小與物體速度成正比，阻力的方向總是與速度方向相反，因此阻力為 h0,h為阻尼系數(shù)

15、；(5)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)有位移x(t)時(shí)，假設(shè)所受的 dt彈簧恢復(fù)力是與位移成正比的，而恢復(fù)力的方向總是指向平衡位置，也就是總與偏離平衡位置的位移方向相反，因此所受彈簧恢復(fù)力為kx,其中k為勁度系數(shù)；(6)在振動(dòng)過(guò)程中受外力f(t)的作用.在上述假設(shè)下，根據(jù)牛頓第二定律得d2xdxm2hkx f(x),dtdt這就是該物體的強(qiáng)迫振動(dòng)方程.由于方程中，f(t)的具體形式?jīng)]有給出，所以，不能對(duì)式直接求解.下面我們分四種情形對(duì)其進(jìn)行討論.1 .無(wú)阻尼自由振動(dòng)在這種，f#況下，假定物體在振動(dòng)過(guò)程中，既無(wú)阻力、又不受外力作用.此時(shí)方程變?yōu)閐2xm 2 kx 0 , dt2A k2令一，方程變?yōu)閙d2x 22x 0

16、,dt特征方程為220,特征根為1,2i ,通解為xC1sin tC2 cos t或?qū)⑵鋵?xiě)為x . Ci2 C；_Ci：c；一sinClC2 cos t ,C； C|A cos sinsincosA sin( t )22其中 A . CiC2 ,sinC2C2,cosCl,C12C2這就是說(shuō)，無(wú)阻尼自由振動(dòng)的振幅C c22瀕率JK均為常數(shù).m2 .有阻尼自由振動(dòng)在該種，f#況下，考慮物體所受到的阻力,不考慮物體所受的外力.此時(shí)方程變?yōu)閐2x m -dt2hdXdtkx0,k 2 h令一 ，2 ，方程變?yōu)閙 md2x 小 dx22 -dt dt特征方程為 2 22 0,特征根i20,22 .根據(jù)

17、與 的關(guān)系，又分為如下三種情形:(1)大阻尼情形>.特征根為二不等實(shí)根，通解為xC1e(22)tC2e(22)t(2)臨界阻尼情形.特征根為重根，通解為x (C1 C2t)e這兩種情形，由于阻尼比較大，都不發(fā)生振動(dòng).當(dāng)有一初始擾動(dòng)以后，質(zhì)點(diǎn)慢慢回到平衡位置，位移隨時(shí)間t的變化規(guī)律分別如圖5和圖6所示.圖5Xoo t(3)小阻尼情形，.特征根為共軻復(fù)根，通解為e t(C1sin . 22tC2 sin 22t)將其簡(jiǎn)化為Ae t sin( . 22t其中 A C12 C22 ,sinC222CiC2Ci ,c0s2Ci一，振幅A2C 2t隨時(shí)間t的增加而減小.因此，這是一種衰減振動(dòng).位移隨時(shí)間t的變化規(guī)律見(jiàn)圖7.3.無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)在這種，f#形下，設(shè)物體不受阻力作用，其所受外力為x簡(jiǎn)諧力f(t) msin pt,此時(shí)方程化為d2xm-rdtkxmsin pt,d2x dt2sin pt ,O根據(jù)ip是否等于特征根i淇通解分為如下兩種情形:(1)當(dāng)p時(shí)，其通解為x2 sin pt C1sinpt C 2 cos t ,此時(shí)，特解的振幅象;時(shí)，其通解為122為常數(shù)，但當(dāng)p接近于時(shí)，將會(huì)導(dǎo)致振幅增大，發(fā)生類(lèi)似共振的現(xiàn)p1八八t cos pt C 1sint C 2 cos t ,2p此時(shí)，特解的振幅1t隨時(shí)間t的增加而增大，這種現(xiàn)象稱