華南師范大學電磁學習題課-磁場源

1、 磁磁 場場 的的 源源 習題、例題分析習題、例題分析+28.1 求下面各圖中求下面各圖中P點處的磁感應強度點處的磁感應強度B的大小和方向的大小和方向.IIPa(a)(b)IIIrrP(c)PIa解解:(1) (a)圖中水平段電流在圖中水平段電流在P點處不產生磁場，即點處不產生磁場，即B1=0. 對于豎直段電流在對于豎直段電流在P點處產生的磁感應強度可點處產生的磁感應強度可用課本用課本P246公式公式(8.3)計算計算.)cos2(cos402aIBaI40方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外.據磁場疊加原理可得據磁場疊加原理可得aIBBBP4021方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外.3(b)III

2、rrP(2) 圖圖(b)中各段電流在中各段電流在P點處產生的磁點處產生的磁場的場的方向方向都是都是垂直屏幕向內垂直屏幕向內. 上面水平段電流在上面水平段電流在P點處產生的磁點處產生的磁感應強度可用課本感應強度可用課本P246公式公式(8.3)計算計算)2cos0(cos401rIBrI40 下面水平段電流在下面水平段電流在P點處產生的磁感應強度同樣可點處產生的磁感應強度同樣可用課本用課本P246公式公式(8.3)計算計算)cos2(cos402rIBrI40 半圓形電流在半圓形電流在P點處產生的磁感應強度可用課本點處產生的磁感應強度可用課本P248公式公式(8.8)按比例計算按比例計算2120

3、3rIBrI404(b)IIIrrP 由于由于 、 、 方向相同，都是垂方向相同，都是垂直屏幕向內，故據磁場疊加原理可得直屏幕向內，故據磁場疊加原理可得P點處的磁感應強度為點處的磁感應強度為2B1B3B321BBBBprIrI44200) 12(40rI(c)PIa(3) 由于對稱性，由于對稱性，(c)圖中各段電流在圖中各段電流在P點處產點處產生的磁場的大小、方向都相同生的磁場的大小、方向都相同. 因為因為P點到各點到各邊的距離都是邊的距離都是方向垂直屏幕向內方向垂直屏幕向內ar63故故)65cos6(cos430rIBPaI290方向垂直屏幕向內方向垂直屏幕向內5dr1r2r3I1I2l8.

4、5 兩平行直導線相距兩平行直導線相距d=40cm，每根導線載有電流，每根導線載有電流I1 = I2 = 20A,如圖所示如圖所示. 求：求：(1) 兩導線所在平面內與該兩導線等距離的一點處的磁兩導線所在平面內與該兩導線等距離的一點處的磁感應強度；感應強度；(2) 通過圖中斜線所示面積的磁通量通過圖中斜線所示面積的磁通量. (設設r1=r3=10cm，l=25cm)解解:(1)如圖所示，設如圖所示，設P點點與該兩導線與該兩導線等距離等距離. P2/220dIBP)(100 . 45T方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外 由于兩載流導線在由于兩載流導線在P點處產生的磁點處產生的磁場大小、方向都相同，故

5、場大小、方向都相同，故P點處的磁點處的磁感應強度大小為感應強度大小為6dr1r2r3I1I2lrdr(2) 由于對稱性，兩載流導線在圖中由于對稱性，兩載流導線在圖中斜線所示面積產生的磁通量相同斜線所示面積產生的磁通量相同. I1在圖中斜線所示面積產生的磁在圖中斜線所示面積產生的磁通量，可作如下計算通量，可作如下計算. 在圖中斜線所示面積中取一面積元，在圖中斜線所示面積中取一面積元，該面積元到該面積元到I1的距離為的距離為r，寬度為，寬度為dr,取取這面積元的正方向為向外這面積元的正方向為向外. 那么，那么， I1 在這面積元產生的磁通量大小為在這面積元產生的磁通量大小為BdSSdBd1ldrr

6、I210積分可得積分可得I1在圖中斜線所示面積產生的磁通量在圖中斜線所示面積產生的磁通量2112101rrrldrrI12110ln2rrrI)(101 . 16Wb7)(101 . 161Wbdr1r2r3I1I2lrdr 所以通過圖中斜線所示面積的磁所以通過圖中斜線所示面積的磁通量為通量為)(102 . 2261Wb2112210rrrldrrI12110ln22rrrI)(102 . 26Wb有人作如下計算，是否正確？有人作如下計算，是否正確？討論討論88.15 無限長導體圓柱沿軸向通以電流無限長導體圓柱沿軸向通以電流I，截面上各處，截面上各處電流密度均勻分布，柱半徑為電流密度均勻分布，

7、柱半徑為R. 求柱內外磁場分布求柱內外磁場分布.在長為在長為l的一段圓柱內環(huán)繞中心軸線的磁通量是多少？的一段圓柱內環(huán)繞中心軸線的磁通量是多少？解：由于電流具有軸對稱性，所以磁場分解：由于電流具有軸對稱性，所以磁場分布也具有軸對稱性布也具有軸對稱性.如圖所示，選一環(huán)路如圖所示，選一環(huán)路L環(huán)繞圓柱環(huán)繞圓柱.那么有那么有LrBrdB2Lr據安培環(huán)路定理得據安培環(huán)路定理得LrBrdB2所以所以)()(0220RrIRrIRr=)(2)(2020RrrIRrRrI=BI9 在長為在長為l的一段圓柱內環(huán)繞中心軸線的一段圓柱內環(huán)繞中心軸線的磁通量為的磁通量為SSdBIlrdrRldrRIr0202lI40)

8、(2)(2020RrrIRrRrI=B8.19 如圖所示，在長直電流近旁放一矩形線圈與其共如圖所示，在長直電流近旁放一矩形線圈與其共面，線圈各邊分別平行和垂直于長直導線面，線圈各邊分別平行和垂直于長直導線. 線圈長度線圈長度為為l，寬為，寬為b，近邊距長直導線距離為，近邊距長直導線距離為a，長直導線中通，長直導線中通有電流有電流I. 當矩形線圈中通有電流當矩形線圈中通有電流I1時，它受的磁力的時，它受的磁力的大小和方向各如何？它又受到多大的磁力矩？大小和方向各如何？它又受到多大的磁力矩？解解:(1)矩形線圈各邊受力情況如圖所示矩形線圈各邊受力情況如圖所示.F1F2F3F4據安培力公式可得據安培

9、力公式可得lIBF111labI I1lIaI102lIBF122lIbaI10)(2方向向左方向向左方向向右方向向右由對稱性可知，由對稱性可知，F(xiàn)3、F4大小相等、方向相反大小相等、方向相反,疊加為零疊加為零.故矩形線圈受的磁力大小為故矩形線圈受的磁力大小為)(21021baalbIIFFF11labI I1F1F2F3F4)(21021baalbIIFFFF的方向向左的方向向左 由于各力與線圈共面，所以對線圈由于各力與線圈共面，所以對線圈無力矩作用無力矩作用. 128.23 如圖所示，一半徑為如圖所示，一半徑為R的無限長半圓柱面的無限長半圓柱面導體，其上電流與其軸線上一無限長直導線的導體，

10、其上電流與其軸線上一無限長直導線的電流等值反向，電流電流等值反向，電流I在半圓柱面上均勻分布在半圓柱面上均勻分布.II解解: (1)如圖如圖1所示，建立所示，建立xoy坐標系，并在在坐標系，并在在半圓柱面上取一弧長為半圓柱面上取一弧長為dl=Rd的無限長電流的無限長電流元元.這一電流元的電流為這一電流元的電流為IddI (1) 試求軸線上導線單位長度所受的力；試求軸線上導線單位長度所受的力；(2) 若將另一無限長直導線若將另一無限長直導線(通有大小、方向通有大小、方向與半圓柱面相同的電流與半圓柱面相同的電流I)代替圓柱面，產生代替圓柱面，產生同樣的作用力，該導線應放在何處？同樣的作用力，該導線

11、應放在何處？圖圖1yxIRddl130yydBB所以所以020sin2dRIddBBxx又又sin2sin20RIddBdBxRI20于是于是iRIjBiBByx20 由對稱性可知，無限長半圓柱面上由對稱性可知，無限長半圓柱面上電流在其軸線上的磁場必沿電流在其軸線上的磁場必沿y軸軸,即有即有RdIdB20RId202它在半圓柱面軸線上產生的磁感應強度為它在半圓柱面軸線上產生的磁感應強度為IddI 方向如圖方向如圖2所示所示dB圖圖2yxIRddl14iRIjBiBByx20 由安培力公式可得軸線上導線由安培力公式可得軸線上導線單位單位長度長度所受的力為所受的力為jIBBl IfjRI220f(

12、2) 如圖如圖4所示，將另一無限長直導線所示，將另一無限長直導線(通有通有大小、方向與半圓柱面相同的電流大小、方向與半圓柱面相同的電流I)代替代替圓柱面，產生同樣的作用力圓柱面，產生同樣的作用力. 設該導線位設該導線位于于y軸上，并與軸線上的導線相距為軸上，并與軸線上的導線相距為d.B圖圖3令令RIdI220202解得解得2RdyxIRddldII圖圖4xy158.29 在一對平行圓形極板組成的電容器在一對平行圓形極板組成的電容器(電容為電容為C=11012F)上，加上頻率為上，加上頻率為50Hz，峰值為，峰值為1.74 105V的交變電壓，計算極板間的位移電流的最大值的交變電壓，計算極板間的

13、位移電流的最大值.解：設極板的面積為解：設極板的面積為S，面電荷密度，面電荷密度為為,極板間的電場強度為極板間的電場強度為E.SE則極板間的位移電流為則極板間的位移電流為dtdIed0而而0ESq0SCU0于是于是dtdUCId設設tUUmcosSSdEdtd0dtdES0所以極板間的位移電流的最大值所以極板間的位移電流的最大值為為mdCUImax2mCU)(105 . 55A168.4 兩根導線沿半徑方向被引到鐵環(huán)上兩根導線沿半徑方向被引到鐵環(huán)上A，C兩點，電流兩點，電流方向如圖所示方向如圖所示. 求環(huán)中心求環(huán)中心O處的磁感應強度是多少？處的磁感應強度是多少？解：這是一個并聯(lián)電路解：這是一個

14、并聯(lián)電路. 設兩支路的設兩支路的弧長分別為弧長分別為l1和和l2，通過的電流分別，通過的電流分別為為I1和和I2，又設環(huán)的半徑為，又設環(huán)的半徑為r.l1l2I1I2ACO12II 兩根長直導線在環(huán)中心兩根長直導線在環(huán)中心O處的磁場都處的磁場都為零為零. I1在環(huán)中心在環(huán)中心O處的產生的磁感應強度大小為處的產生的磁感應強度大小為21101101422rlIrlrIB方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外 I2在環(huán)中心在環(huán)中心O處的產生的磁感應強度大小為處的產生的磁感應強度大小為22202202422rlIrlrIB方向垂直屏幕向內方向垂直屏幕向內17ACO12IIl1l2I1I2211014 rlIB

15、方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外222024 rlIB方向垂直屏幕向內方向垂直屏幕向內又據并聯(lián)電路的特點有又據并聯(lián)電路的特點有2211RIRI而而SlRSlR2211，由以上各式得由以上各式得2211lIlI因此因此21BB 由于由于 和和 方向相反，所以環(huán)中心方向相反，所以環(huán)中心O處的磁感應處的磁感應強度為零強度為零.21BB188.14 兩塊平行的大金屬板上有均勻電流流通，面電流密兩塊平行的大金屬板上有均勻電流流通，面電流密度都是度都是j，但方向相反，但方向相反. 求板間和板外的磁場分布求板間和板外的磁場分布.解：本題可解：本題可利用已知場強公式和磁利用已知場強公式和磁場疊加原理場疊加原理

16、來解來解. 據課本據課本p262公式公式(8.26)可得每塊板的可得每塊板的電流在其兩側產生的磁感應強度大小電流在其兩側產生的磁感應強度大小都是都是2021jBBj2j1B1B1B1B2B2B2因此據磁場疊加原理可得因此據磁場疊加原理可得兩板間的磁感應強度大小為兩板間的磁感應強度大小為jBBB021B方向如圖所示方向如圖所示兩板外的磁感應強度大小為兩板外的磁感應強度大小為021BBB198.18 一塑料圓盤，半徑為一塑料圓盤，半徑為R，表面均勻分布電量，表面均勻分布電量 q. 試試證明：當它繞通過盤心而垂直于盤面的軸以角速度證明：當它繞通過盤心而垂直于盤面的軸以角速度轉動時，盤心處的磁感應強度

17、為轉動時，盤心處的磁感應強度為RqB20RqOdrr證明證明:在圓盤中取一半徑為在圓盤中取一半徑為r，寬度，寬度為為dr的細圓環(huán)的細圓環(huán). 當這細圓環(huán)以當這細圓環(huán)以的角速度繞通過盤心的角速度繞通過盤心且垂直于盤面的軸旋轉時，其在盤心處且垂直于盤面的軸旋轉時，其在盤心處產生的磁感應強度大小為產生的磁感應強度大小為rdIdB20Trdrr220202 Rqdr20202 RqdrdBRqOdrr積分可得積分可得RRqdrB0202Rq20RdrdlddIdldLRdrId 8.20 一無限長薄壁金屬筒，沿軸線有均勻電流流通，一無限長薄壁金屬筒，沿軸線有均勻電流流通，面電流密度為面電流密度為j(A/

18、m). 求單位面積筒壁受的磁力的大小求單位面積筒壁受的磁力的大小和方向和方向.解：在筒壁上取一寬為解：在筒壁上取一寬為dl，長為，長為dL的的電流元電流元dI，在與其相距為，在與其相距為r的筒壁上的筒壁上取另一寬為取另一寬為Rd的無限長的電流元的無限長的電流元dI .jdBdF 這一寬為這一寬為Rd的無限長的電流元的無限長的電流元dI 在寬為在寬為dl，長為，長為dL的電流元的電流元dI處產生的處產生的磁感應強度為磁感應強度為dB，且產生的磁力為，且產生的磁力為dF， dB， dF的方向如圖所示的方向如圖所示.則有則有rIddB20jRdr20dBdLdIdFjRdrdLjdl20dldLdr

19、Rj22022dldLdrRjdF220 那么，電流元那么，電流元dI 使單位面積筒壁受使單位面積筒壁受的磁力大小為的磁力大小為drRjdldLdFdf220 由對稱性可知，單位面積筒壁受的磁力的垂直半徑由對稱性可知，單位面積筒壁受的磁力的垂直半徑方向的分量為零，只有沿半徑方向的分量方向的分量為零，只有沿半徑方向的分量.djdfdf42sin20/RdrdlddBdF方向指向方向指向dI 單位面積筒壁受到的磁力單位面積筒壁受到的磁力2020/4djdfffdRRj2sin2220dj2sin420220j方向沿半徑方向沿半徑指向筒軸線指向筒軸線23解：設原來均勻磁場的磁感應強解：設原來均勻磁場

20、的磁感應強度為度為B0，方向如圖所示，方向如圖所示.B0B0 這無限大載流平面在其兩側產生的磁感應強度大小這無限大載流平面在其兩側產生的磁感應強度大小分別為分別為B左左和和B右右，B左左=B右右Bj，方向如圖所示，方向如圖所示. 由于將一均勻分布著電流的無限大由于將一均勻分布著電流的無限大載流平面放入均勻磁場后，使得平面載流平面放入均勻磁場后，使得平面右邊的磁場比左邊的磁場強，故無限右邊的磁場比左邊的磁場強，故無限大載流平面的電流方向應如圖所示大載流平面的電流方向應如圖所示.B左左B右右20jBj8.21 將一均勻分布著電流的無限大載流平面放入均勻將一均勻分布著電流的無限大載流平面放入均勻磁場

21、中，電流方向與此磁場垂直磁場中，電流方向與此磁場垂直. 已知平面兩側的磁感已知平面兩側的磁感應強度分別為應強度分別為B1和和B2(如圖所示如圖所示)，求該載流平面單位面，求該載流平面單位面積所受的磁場力的大小和方向積所受的磁場力的大小和方向.B1B2j2420jBj因此有因此有20001jBBBBj20002jBBBBj由以上兩式可解得由以上兩式可解得2210BBB012BBjB1B2B左左B右右B0B0j25B1B2B左左B右右B0B0j2210BBB012BBj 在載流平面上取一寬為在載流平面上取一寬為dx，長為，長為dz的面元的面元dS，則這面元在均勻磁場，則這面元在均勻磁場B0中受力為中受力為dF，方向如圖所示，方向如圖所示.dF0BdzdIdF大小為大小為dzdxjB0載流平面單位面積所受的磁場力的大小為載流平面單位面積所受的磁場力的大小為0jBdzdxdFf021222BB 方向垂直載流平面指向方向垂直載流平面指向B1一側一側.268.28 一平行板電容器的兩極板都是半徑為一平行板電容器的兩極板