高中數(shù)學(xué)必修5自主學(xué)習(xí)導(dǎo)學(xué)案：1.1.1-正弦定理正式版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1.1.1正弦定理（教師版）1新課引入我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系，我們是否能得到這個邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？思考：在直角三角形中，“邊”與“角”的關(guān)系如何？在中，思考：對于一般三角形，上述結(jié)論是否成立？ （1）若三角形是銳角三角形分析：過點C作CDAB于D, 此時有，所以CD=asinB=bsinA, 即，同理可得，（2）若三角形是鈍角三角形,以上等式仍然成立嗎?2正弦定理正弦定理: 在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等即證明：（外接圓法）作外接圓O, 過B作直徑BC/,連AC/, ，同理，3對正弦定理的理解（1）正弦定理說明

2、同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，該正數(shù)為，（2）正弦定理的基本作用為：已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其他的邊和角.已知兩角和一邊，求其他角和邊.（3）一般地，已知三角形的某些邊和角，求其它的邊和角的過程叫作解三角形4正弦定理的常見公式變形(1)abcsinAsinBsinC； (2)，；(3)； (4)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(5)sinA，sinB，sinC； (6)ABab2RsinA2RsinBsinAsinB.5三角形的面積公式：證明：過點C作CDAB于D，此時有，同理可得 典型例題考點1：已知兩角和任意邊，求其他

3、兩邊和一角（唯一解）【例1】在中，已知，解三角形分析：可先由ABC180求出角C，再用正弦定理求出b和c.解：由題意，由正弦定理，得，解得：，變式1（1）在ABC中，已知A45，B30，c10，求b.（2）在中，已知，cm，解三角形解析：（1）ABC180，C1804530105，sinCsin105sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin30.，b5()（2）由題意，由正弦定理，得，解得：，考點2：已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角（解的情況：無解、一解、兩解） 【例2】在ABC中，求，和解答：ABC中，利用正弦定理可得：，C(0,)，或當(dāng)時，；當(dāng)時，變式2（1）

4、已知ABC中，a4，b8，A30，則B等于 （2）在解答：ABC中，利用正弦定理可得：，C(0,)，變式3在ABC中，已知a，b2，A30，解這個三角形分析：本題考查正弦定理，已知兩邊和其中一邊的對角，求另外的邊和角，可利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和定理解決解析：由，得sinB.aA30，B為銳角或鈍角，B45或B135.(1)當(dāng)B45時，C180(AB)180(3045)105.，c1.(2)當(dāng)B135時，C180(AB)180(30135)15.c1.綜上可得B45，C105，c1或B135，C15，c1.考點3討論三角形解的個數(shù)已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形時，要注意根據(jù)兩邊和其

5、中一邊的對角之間的關(guān)系對三角形解的個數(shù)進(jìn)行判斷，可能有一解、兩解或無解，否則可能導(dǎo)致錯誤在ABC中，已知a，b，A，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，與除去頂點A的射線AB交點的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)，其解的情況如下表：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系absinAabsinAbsinAab解的個數(shù)012101【例3】 在ABC中，分別根據(jù)下列條件指出解的個數(shù)(1)a4，b5，A30； (2)a5，b4，A60；(3)a，b，B120； (4)a，b，A60.解析：(1)ab，bsinA4a，bsinAab，A90，BA90，ab，無解(4)ab，bsinA，a0)，判斷此三角形解的個數(shù)解析：由于

6、b是不確定的邊長，無法知道a與b的大小關(guān)系，即無法判斷B是銳角還是鈍角，這就需要對x的取值進(jìn)行分類討論解法一：當(dāng)0x4時，由大邊對大角知B為銳角，sinB，此時三角形有唯一解當(dāng)4x8時，sinB，sinB8時，sinB1，B無解，此時ABC無解綜上可知：當(dāng)0x4或x8時，ABC有一解；當(dāng)4x8時，ABC無解解法二：A30，是銳角，分三種情況：當(dāng)absinA或ab，即4xsin30或4x，即x8或0x4時，三角形有一解當(dāng)xsin304x，即4x8時，三角形有兩解當(dāng)48時，三角形無解綜上可知，當(dāng)0x4或x8時，ABC有一解；當(dāng)4x8時，ABC無解.考點4正弦定理性質(zhì)的應(yīng)用例4在中，已知，的值是（

7、A ） A B C D解析：由，選A例5在ABC中，若，則ABC是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形解析：由，sinAcosBcosAsinB0，sin(AB)0，AB0，AB，即為等腰三角形答案：A變式5在ABC中，ABC411，則abc()A411 B211 C.11 D.11解析：ABC180，ABC411，A120，B30，C30.由正弦定理的變形公式，得abcsinAsinBsinCsin120sin30sin3011.故選D.變式6在中，若，則等于（ D ）A B C D變式7在中，一定成立的等式是（ C ）A B. C. D.變式8. 在中，若，

8、試判斷的形狀. 【解析】等腰三角形或直角三角形 當(dāng)堂檢測1已知ABC中，A，則= 2 2在中，若， 則3已知ABC中，ABC114，則abc等于（ C ）.A114 B112 C11 D224在ABC中，若，則與的大小關(guān)系為（ A ）.A. B. C. D. 的大小關(guān)系不能確定5在中，若，則是（ B ）.A等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形 C直角三角形 D等邊三角形6在中，若，則是 等邊三角形 7. 已知ABC中，AB6，A30，B，解此三角形解：C18030=30，由正弦定理，解得BC6，.考點5三角形面積公式的應(yīng)用【例6】在ABC中，已知A30，a8，b8，求ABC的面積解析：由，得s

9、inBsinA，sinBsin30.又8sin3088，即bsinAab，三角形的解有兩種情況sinB，B60或120，C90或30.SABCabsinC88sin9032或SABC88sin3016，ABC的面積為32或16.練習(xí)1在ABC中，已知b=1，c=3，A=600，則SABC= 。2在ABC中，AB2，BC5，ABC的面積為4，則cosABC等于(B)A. B C D解析：由SABBCsinABC，得425sinABC，sinABC，從而cosABC.答案：B【例7】 在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若tanA3，cosC.(1)求角B的大小(2)若c4，求ABC的

10、面積解析：(1)cosC，sinC，tanC2.又tanBtan(AC)1，且0B，B.(2)由正弦定理，得b，由sinAsin(BC)sin，得sinA，ABC的面積SABCbcsinA6.1在中，下列等式總能成立的是（ D ） A B C D2在中，已知，C=75，則等于（ C ） ABCD3在中，A=60，則角B等于（ C ） A45或135B135C45D以上答案都不對4根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（ D ） A，有兩解B，有一解 C，無解D，有一解5已知中，則c等于（ B ） ABCD6在中，已知，則此三角形是（ D ） A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D直角或

11、等腰三角形7在中，已知，如果利用正弦定理，三角形有兩解，則的取值范圍是（ A ） A2C2D028三角形兩邊之差為2，夾角的余弦值為該三角形的面積為14，則這兩邊分別為（ C ） A3和5B4和6C5和7D6和89在中，則_10在中，若，則c= 4 ， 11在中，已知，則等于 7:5:3 12在中，則三角形的面積等于 13已知在中，A=45，求其他邊和角解析：由正弦定理：，即，解得，所以 ，所以C=60或C=120，當(dāng)C=60，B=75，當(dāng)C=120，B=15，14在ABC中，已知c=10cm,A=45,C=30求 a , b .解：B1804530=105，由正弦定理，解得，.15在ABC中

12、，已知b3，c3，B30，判斷ABC的形狀解析：由csinB3，即csinBbc，故此題有兩解由正弦定理，得sinC.C60或C120.當(dāng)C60時，A180(BC)90，ABC為直角三角形；當(dāng)C120時，A180(BC)30B，ABC為等腰三角形.16在ABC中，sin(CA)1，sinB.(1)求sinA的值；(2)設(shè)AC，求ABC的面積解析：(1)sin(CA)1，CA，CA.ABC，ABA，B2A，sinBsincos2A，12sin2A，sin2A，sinA.(2)由(1)知，A為銳角，cosA，sinCsincosA.由正弦定理，得AB6，SABCABACsinA63.1.1.1正弦

13、定理（學(xué)生版）1新課引入我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系，我們是否能得到這個邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？思考：在直角三角形中，“邊”與“角”的關(guān)系如何？在中，思考：對于一般三角形，上述結(jié)論是否成立？ （1）若三角形是銳角三角形分析：過點C作CDAB于D, 此時有，所以CD=asinB=bsinA, 即，同理可得，（2）若三角形是鈍角三角形,以上等式仍然成立嗎?2正弦定理正弦定理: 在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等即證明：（外接圓法）作外接圓O, 過B作直徑BC/,連AC/, ，同理，3對正弦定理的理解（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且

14、比例系數(shù)為同一正數(shù)，該正數(shù)為，（2）正弦定理的基本作用為：已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其他的邊和角.已知兩角和一邊，求其他角和邊.（3）一般地，已知三角形的某些邊和角，求其它的邊和角的過程叫作解三角形4正弦定理的常見公式變形(1)abcsinAsinBsinC； (2)，；(3)； (4)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(5)sinA，sinB，sinC； (6)ABab2RsinA2RsinBsinAsinB.5三角形的面積公式：證明：過點C作CDAB于D，此時有，同理可得 典型例題考點1：已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角（唯一解）【例1】在中，已知，

15、解三角形分析：可先由ABC180求出角C，再用正弦定理求出b和c.變式1（1）在ABC中，已知A45，B30，c10，求b.（2）在中，已知，cm，解三角形考點2：已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角（解的情況：無解、一解、兩解） 【例2】在ABC中，求，和變式2（1）已知ABC中，a4，b8，A30，則B等于 （2）在變式3在ABC中，已知a，b2，A30，解這個三角形分析：本題考查正弦定理，已知兩邊和其中一邊的對角，求另外的邊和角，可利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和定理解決考點3討論三角形解的個數(shù)已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形時，要注意根據(jù)兩邊和其中一邊的對角之間的關(guān)系對三角形解的

16、個數(shù)進(jìn)行判斷，可能有一解、兩解或無解，否則可能導(dǎo)致錯誤在ABC中，已知a，b，A，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，與除去頂點A的射線AB交點的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)，其解的情況如下表：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系absinAabsinAbsinAab解的個數(shù)012101【例3】 在ABC中，分別根據(jù)下列條件指出解的個數(shù)(1)a4，b5，A30； (2)a5，b4，A60；(3)a，b，B120； (4)a，b，A60.變式4在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a4，A30，bx(x0)，判斷此三角形解的個數(shù)解析：由于b是不確定的邊長，無法知道a與b的大小關(guān)系，即無法判斷B是銳角

17、還是鈍角，這就需要對x的取值進(jìn)行分類討論考點4正弦定理性質(zhì)的應(yīng)用例4在中，已知，的值是（ ） A B C D例5在ABC中，若，則ABC是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形變式5在ABC中，ABC411，則abc()A411 B211 C.11 D.11變式6在中，若，則等于（ D ）A B C D變式7在中，一定成立的等式是（ C ）A B. C. D.變式8. 在中，若，試判斷的形狀. 當(dāng)堂檢測1已知ABC中，A，則= 2在中，若， 則3已知ABC中，ABC114，則abc等于（ ）.A114 B112 C11 D224在ABC中，若，則與的大小關(guān)系為（

18、）.A. B. C. D. 的大小關(guān)系不能確定5在中，若，則是（ ）.A等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形 C直角三角形 D等邊三角形6在中，若，則是 7. 已知ABC中，AB6，A30，B，解此三角形考點5三角形面積公式的應(yīng)用【例6】在ABC中，已知A30，a8，b8，求ABC的面積練習(xí)1在ABC中，已知b=1，c=3，A=600，則SABC= 。2在ABC中，AB2，BC5，ABC的面積為4，則cosABC等于( )A. B C D【例7】 在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若tanA3，cosC.(1)求角B的大小(2)若c4，求ABC的面積1在中，下列等式總能成立的是（

19、 ） A B C D2在中，已知，C=75，則等于（ ） ABCD3在中，A=60，則角B等于（ ） A45或135B135C45D以上答案都不對4根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（ ） A，有兩解B，有一解 C，無解D，有一解5已知中，則c等于（ ） ABCD6在中，已知，則此三角形是（ ） A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D直角或等腰三角形7在中，已知，如果利用正弦定理，三角形有兩解，則的取值范圍是（ ） A2C2D028三角形兩邊之差為2，夾角的余弦值為該三角形的面積為14，則這兩邊分別為（ ） A3和5B4和6C5和7D6和89在中，則_10在中，若，則c= ， 11

20、在中，已知，則等于 12在中，則三角形的面積等于 13已知在中，A=45，求其他邊和角14在ABC中，已知c=10cm,A=45,C=30求 a , b .15在ABC中，已知b3，c3，B30，判斷ABC的形狀16在ABC中，sin(CA)1，sinB.(1)求sinA的值；(2)設(shè)AC，求ABC的面積學(xué)習(xí)不是一朝一夕的事情，需要平時積累，需要平時的勤學(xué)苦練。有個故事：古希臘大哲學(xué)家蘇格拉底在開學(xué)第一天對他的學(xué)生們說：“今天你們只學(xué)一件最簡單也是最容易的事兒。每人把胳膊盡量往前甩，然后再盡量往后甩。”說著，蘇格拉底示范做了一遍，“從今天開始，每天做300下，大家能做到嗎？”學(xué)生們都笑了，這么

21、簡單的事，有什么做不到的？過了一個月，蘇格拉底問學(xué)生：每天甩手300下，哪個同學(xué)堅持了，有90的學(xué)生驕傲的舉起了手，又過了一個月，蘇格拉底又問，這回，堅持下來的學(xué)生只剩下了80。一年過后，蘇格拉底再一次問大家：“請告訴我，最簡單的甩手運動。還有哪幾個同學(xué)堅持了？”這時，整個教室里，只有一個人舉起了手，這個學(xué)生就是后來成為古希臘另一位大哲學(xué)家的柏拉圖。同學(xué)們，柏拉圖之所以能成為大哲學(xué)家，其中一個重要原因，就是，柏拉圖有一種持之以恒的優(yōu)秀品質(zhì)。要想成就一番事業(yè)，必須有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能夠感動天帝，移走太行、王屋二山。正是因為他具有鍥而不舍的精神。戎馬一生，他前十

22、次革命均告失敗，但他百折不撓，終于在第十一次革命的時候，推翻了清王朝的統(tǒng)治，建立了中華民國。這些故事，情節(jié)不同，但意義都是一樣的，它告訴無們，做事要有恒心。旬子講：“鍥而不舍，朽木不折；鍥而舍之，金石可鏤。”這句話充分說明了一個人如果有恒心，一些困難的事情便可以做到，沒有恒心，再簡單的事也做不成。學(xué)習(xí)是一條慢長而艱苦的道路，不能靠一時激情，也不是熬幾天幾夜就能學(xué)好的，必須養(yǎng)成平時努力學(xué)習(xí)的習(xí)慣。所以我說：學(xué)習(xí)貴在堅持！當(dāng)下市面上關(guān)于教授學(xué)習(xí)方法的書籍不少，其所載內(nèi)容也的確很有道理，然而當(dāng)讀者實際應(yīng)用時，很多看似實用的方法用來效果卻并不明顯，之后的結(jié)果無非是兩種：要么認(rèn)為自己沒有掌握其精髓要領(lǐng)，

23、要么抱怨那本書的華而不實，但最終肯定還是會回歸到當(dāng)初的原點。這本學(xué)會學(xué)習(xí)在一開始并沒有急于兜售自己的方法，而是通過測試讓讀者真正了解自己，從而找到適合自己思維方式的學(xué)習(xí)方法，書的第一部分就是左腦還是右腦思維測試和視覺、聽覺和動覺學(xué)習(xí)模式測試，經(jīng)過有效分類后，針對不同讀者對不同思考和接收接受學(xué)習(xí)的特點，有針對性的分別給出建議，從而不斷強(qiáng)化自己的優(yōu)勢。在其后書中的所有介紹具體學(xué)習(xí)方法章節(jié)的最開始，都是按照不同學(xué)習(xí)模式給出各種學(xué)習(xí)方法不同的建議，這是此書區(qū)別于其他學(xué)習(xí)方法類書籍的最大特點，這種“因材施教”的方式能讓讀者有種豁然開朗的感覺，除了能夠得到最適合自己的有效的學(xué)習(xí)方法也能更深入的認(rèn)識客觀的自

24、己，不論對學(xué)習(xí)還是生活都有幫助。除了“針對性”強(qiáng)外，本書第二大特點就是“全面”，全書都是由一篇篇短文、圖表集成，更像是一本博文或者PPT課件合集，每個學(xué)習(xí)方法的題目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章節(jié)內(nèi)容安排的比較混亂，所幸每一章節(jié)關(guān)聯(lián)性并不太強(qiáng)，每個章節(jié)都適合獨立檢索來閱讀學(xué)習(xí)。其內(nèi)容從“時間規(guī)劃”、“筆記”“閱讀”直到“考試”幾乎涉及了所有學(xué)習(xí)中的常遇問題，文中文字精煉沒有過分的渲染，完全是純純的“干貨”，可以設(shè)身處地的想象：當(dāng)自己面對學(xué)海之中手足無措之時，長篇大論的方法肯定會無心查看，明了的編排，讓人從目錄中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文盡可能在最少的時間讓讀者得到最有用的信

25、息，是一部值得學(xué)習(xí)的人們不斷自我提高的有力武器。曾經(jīng)看到一個有意思的心理測試:用“正確的方法”、“錯誤的方法”和“積極的行為”、“消極的行為”，來自由搭配，看如何搭配出最好和最壞的結(jié)果，“正確方法”配合“積極的行為”無疑是最好的結(jié)果，然而我們會很“慣性”想當(dāng)然的認(rèn)為，“錯誤的方法”和“消極的行為”搭配是最壞的結(jié)果，其實“錯誤的方法”加上“積極的行為”才是最壞的結(jié)果，這會讓人在錯誤的路上越走越遠(yuǎn)，學(xué)習(xí)也是同理，一味鉆牛角尖般的生搬硬套不適合自己的方法不論多努力都只會離成功越來越遠(yuǎn)，而好的學(xué)習(xí)方法加上積極的學(xué)習(xí)態(tài)度無疑會讓你如虎添翼。這是每個人都需要的，起碼在學(xué)生的時候如果遇到，或者人生會少一些遺

26、憾，我只恨我遇見的晚了點，可是現(xiàn)在已是終身學(xué)習(xí)的年代，錯過了最恰當(dāng)?shù)臅r候，但只要有心又怎會嫌晚呢？本書歸類為學(xué)習(xí)方法-青年讀物，是本工具書，學(xué)習(xí)手冊，但不能阻止她成為經(jīng)典。這本書的副標(biāo)題為“增加學(xué)習(xí)技能與腦力”，正是本書的宗旨，本書系統(tǒng)化地闡述了學(xué)習(xí)技能提升的各個方面，可謂事無巨細(xì)的令人發(fā)指啊。整體來講主要包括7個方面，分別是學(xué)習(xí)模式，時間管理和學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃，筆記記錄技巧，閱讀技巧，記憶，應(yīng)試技巧，拾遺。全書的結(jié)構(gòu)采取的是總分的形式，前三個方面是總的部分，算是增加學(xué)習(xí)技能的準(zhǔn)備，從認(rèn)識自己的學(xué)習(xí)模式開始，然后采取任何事都需要的時間管理技巧，再總體地講一下學(xué)習(xí)技巧規(guī)劃的事項。然后底下是分的部分，

27、將學(xué)習(xí)的包含的各個方面的技巧進(jìn)行分開闡述，分別有筆記記錄，閱讀，記憶，應(yīng)試以及最后的拾遺。系統(tǒng)地講述了學(xué)習(xí)的幾乎所有方面。讓讀到她的人如果實踐的話不僅能在學(xué)習(xí)上得到提高，在腦力上或者說理解力上肯定會受益匪淺。在此，說句題外話，我一直覺得日本人寫書在細(xì)節(jié)上做的是無與倫比的，但是這本書讓我對這個看法有了一定的動搖，因為她里面的講述部分讓我覺得美國是個應(yīng)試教育的國家嗎，簡直比我們中國還要應(yīng)試。那個考試應(yīng)對細(xì)節(jié)的部分放在中國，一點也沒有違和感的，好嗎？所以他們能出現(xiàn)這樣的情況，從沒到過日本的人能夠?qū)懗雒鑼懭毡救说臅?，然后讓日本人都覺得是經(jīng)典的，沒有在企業(yè)里做過實務(wù)管理的德魯克能成為管理上的大師，其理念影響了全世界不得不說，美國的教育真不是蓋的。細(xì)節(jié)上，我印象比較深的是，作者開篇開始傳授如何應(yīng)該認(rèn)識自己的學(xué)習(xí)模式，運用了一些測試題目，然后根據(jù)結(jié)果找出與自己最近似的學(xué)習(xí)模式，她把學(xué)習(xí)模式分為幾種情況，分別有左腦型，右腦型，還有另外的分法，為視覺的，聽覺的，動作的。我看了一下，確實有跟自己近的類型，我就是視覺的，對號入座后就可以比較直接的去揚長避短了。然后，作者說了，做任何事情，時間管理技巧都是不可缺少的，她不僅教導(dǎo)的是學(xué)習(xí)的技能，還有很多其他的道理，對我們?nèi)松际怯幸娴?，我?/p>