[研究生入學(xué)考試]線性代數(shù)第8講ppt課件

1、2022-5-91線性代數(shù)第8講n維向量及其線性相關(guān)性本文件可從網(wǎng)址 math.vip.sina 上下載單擊ppt講義后選擇工程數(shù)學(xué)子目錄2022-5-92附錄2數(shù)域命題量詞1.數(shù)域一個含有數(shù)0,1的數(shù)集F, 假如其中任意兩個數(shù)關(guān)于數(shù)的四那么運(yùn)算封閉除法的除數(shù)不為零, 即它們的和,差,積,商仍是F中的數(shù),那么數(shù)集F就稱為一個數(shù)域數(shù)域.2022-5-93全體有理數(shù), 實(shí)數(shù), 復(fù)數(shù)級成的數(shù)集都是數(shù)域, 稱為有理數(shù)域, 實(shí)數(shù)域, 復(fù)數(shù)域, 分別記作Q, R, C. 2022-5-94II 命題 命題是一個陳述句, 這個陳述句可以用是或者否來斷定其真?zhèn)? 可以轉(zhuǎn)換為一個是/否問題. 如: 雪是白的.

2、雪不是白的. 兩個三角形相似當(dāng)且僅當(dāng)兩個三角形三個內(nèi)角分別相等. 命題有簡單命題和復(fù)合命題兩種.2022-5-95邏輯連接詞 析取詞, 合取詞, 蘊(yùn)含詞, 雙蘊(yùn)含詞 否認(rèn)詞2022-5-96例如 假設(shè)p為刮風(fēng), q為下雨 pq : 刮風(fēng)且下雨 pq : 刮風(fēng)或下雨 pq : 假如刮風(fēng), 那么必下雨 pq : 刮風(fēng)是下雨的充分必要條件 p : 沒有刮風(fēng) pq : 假如刮風(fēng), 也未見得就會下雨.2022-5-97條件命題pq假設(shè)p那么q與其逆否命題qp可簡寫為qp是等價命題 設(shè)p為刮風(fēng), q為下雨 pq 如刮風(fēng)必下雨 和 qp 如不下雨必?zé)o刮風(fēng) 是等價命題. 用反證法證明一個數(shù)學(xué)定理假設(shè)p那么q,

3、 就是證明它的逆否命題假設(shè)非q那么非p2022-5-98III 量詞 有些命題常用兩種斷言:集X中每個元素具有性質(zhì)p; 集X中至少存在一個元素具有性質(zhì)p. 為表述簡便, 用邏輯符號:xX, p 或xXp 和xX,p 或xXp表示. 2022-5-99例如, 對于集合A與B, AB的含義是假設(shè)aA, 那么aB. 這可表述為aA, aBAB的否認(rèn)為AB, 含義是aA, aB2022-5-910一般地, 含有量詞的命題的否認(rèn)命題, 滿足下面兩個根本的等價規(guī)那么:非xXp, 等價于xX非p;非xXp, 等價于xX非p.2022-5-911定義1 數(shù)域F上的n個數(shù)a1,a2,.,an構(gòu)成的有序數(shù)組, 稱

4、為數(shù)域F上的一個n元向量以后常稱n維向量, 記作a=a1,a2,.,an,3.2其中ai稱為a的第i個分量.向量寫作3.2的形式, 稱為行向量; 向量寫作列的形式也用矩陣的轉(zhuǎn)置記號表示a=a1,a2,.,anT3.3稱為列向量3.2,3.3式的方括號也可用圓括號.數(shù)域F上全體n元向量級成的集合, 記作Fn.2022-5-912定義2 設(shè)a=a1,a2,.,an,b=b1,b2,.,bnFn, kF, 定義i a=b, 當(dāng)且僅當(dāng)ai=bii=1,2,.,nii 向量加法或a與b之和為a+b=a1+b1,a2+b2,.,an+bn;iii 向量的數(shù)量乘法簡稱數(shù)乘為ka=ka1,ka2,.,kan,

5、ka稱為向量a與數(shù)k的數(shù)量乘積.取k=-1, -1a=-a1,-a2,.,-an.3.4稱右端為a的負(fù)向量, 記作-a. 那么向量減法定義為b -a=b + -a.分量全為零的向量稱作零向量, 記作0n或0.2022-5-913上述在Fn中定義的向量加法和數(shù)乘運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算, 滿足八條運(yùn)算規(guī)那么:1 a+b=b+a加法交換律;2 a+b+g=a+b+g 加法結(jié)合律;3 對任一向量a, a+0=a;4 對任一向量a, 存在負(fù)向量-a, 使a+-a=05 1a=a;6 kla=kla數(shù)乘結(jié)合律;7 ka+b=ka+kb數(shù)乘分配律;8 k+la=ka+la數(shù)乘分配律;其中a,b,gFn, 1

6、,k,lF, 0為零向量.2022-5-914除上面八條規(guī)那么外, 還有下面三個性質(zhì):1 0a=0, k0=0 其中0為數(shù)零, k為任意數(shù);2 假設(shè)ka=0, 那么或者k=0, 或者a=0;3 向量方程a+x=b有唯一解x=b-a.定義3 數(shù)域F上的全體n元向量, 在其中定義了上述向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算, 就稱之為數(shù)域F上的n維向量空間, 仍記作Fn. 當(dāng)F=R實(shí)數(shù)域時, 叫做n維實(shí)向量空間, 記作Rn.2022-5-915定義4 設(shè)aiFn, kiFi=1,2,.,m, 那么向量11221niimmikkkkaaaa=稱為向量組a1,a2,.,am在數(shù)域F上的一個線性組合. 假如記1miiik

7、ba=就說b可由a1,a2,.,am線性表示或線性表出.2022-5-916向量的線性相關(guān)性是向量在線性運(yùn)算下的一種性質(zhì),它是線性代數(shù)中極為重要的根本概念. 為了更好地理解這個概念, 先講一下它在三維實(shí)向量中的某些幾何背景, 然后給以一般定義.假設(shè)兩個向量a1和a2共線, 那么a2=la1lR, 這等于存在不全為零的數(shù)k1,k2使k1a1+k2a2=0; 假設(shè)a1和a2不共線, 那么lR, 有a2la1, 它等價于: 只有當(dāng)k1,k2全為0時, 才有k1a1+k2a2=0.a1a2a1a22022-5-917假設(shè)三個向量a1,a2,a3共面, 那么其中至少有一個向量可由另兩個向量線性表示.Oa

8、1a2a3a3=l1a1+l2a2Oa1a2a3a1=l3a3+0a22022-5-918兩種情況都等價于: 存在不全為0的數(shù)k1,k2,k3, 使k1a1+k2a2+k3a3=0; 假設(shè)a1,a2,a3不共面, 那么任一個向量都不能由另兩個向量線性表示, 即只有當(dāng)k1,k2,k3全為零時, 才有k1a1+k2a2+k3a3=0.Oa3=ka2=ja1=i2022-5-919定義5 假如對m個向量a1,a2,.,amFn, 有m個不全為零的數(shù)k1,k2,.,kmF, 使k1a1+k2a2+.+kmam=03.5成立, 那么稱a1,a2,.,am線性相關(guān); 否那么, 稱a1,a2,.,am線性無

9、關(guān). 即只有當(dāng)k1,k2,.,km全為零時, 才有 k1a1+k2a2+.+kmam=0 成立,就稱a1,a2,.,am線性無關(guān).2022-5-920定理1 向量組a1,a2,.,amm2線性相關(guān)的充分必要條件是a1,a2,.,am中至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示.證 設(shè)a1,a2,.,am線性相關(guān), 那么存在m個不全為0的數(shù)k1,k2,.,km, 使 k1a1+k2a2+.+kmam=0.不妨設(shè)k10, 于是由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)得3212111.mmkkkkkkaaaa= -必要性得證.2022-5-921再證充分性, 不妨設(shè)a1可用a2,a3,.,am線性表示, 即a1=l2a

10、2+l3a3+.+lmam,于是有1a1-l2a2-l3a3-.-lmam=0,顯然1,-l2,-l3,.,-lm不全為0, 故a1,a2,.,am線性相關(guān).定理1的等價命題逆否命題是: 向量組a1,a2,.,amm2線性無關(guān)的充分必要條件是其中任一個向量都不能由其余向量線性表示.2022-5-922例1 設(shè)n維向量ei=0,.,0,1,0,.,0, 其中第i個分量為1, 其余分量為0, 那么e1,e2,.,en是線性無關(guān)的.證 設(shè)存在n個數(shù)k1,k2,.,kn使k1e1+k2e2+.+knen=0,即k1,k2,.,kn=0,那么必須k1=k2=.=kn=0, 故e1,e2,.,en線性無關(guān)

11、.以后, 稱e1,e2,.,en為根本向量.2022-5-923例2 設(shè)n維向量a=a1,a2,.,an, e1,e2,.,en為根本向量, 那么向量組a,e1,e2,.,en是線性相關(guān)的.證 由于 a=a1,a2,.,an=a1e1+a2e2+.+anen,根據(jù)定理1, 向量組a,e1,e2,.,en線性相關(guān).2022-5-924例3 包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的.證 設(shè)向量組a1,a2,.,as其中a1=0, 于是存在不全為零的數(shù)1,0,.,0, 使1a1+0a2+.+0as=0,故線性相關(guān).根據(jù)定義不難證明: 單個向量a線性相關(guān)無關(guān), 當(dāng)且僅當(dāng)a為零向量非零向量.2022-5-92

12、5定理2 設(shè)a1,a2,.,arFn, 其中:a1=a11,a21,.,an1T, a2=a12,a22,.,an2T, ., ar=a1r,a2r,.,anrT. 那么向量組a1,a2,.,ar線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組AX=03.6有非零解, 其中1112112122221212|,.|rrrnnnrraaaxaaaxAaaaXaaax=2022-5-926證 設(shè) x1a1+x2a2+.+xrar=0,3.7即1112121222121200.(3.8)0rrrnnnraaaaaaxxxaaa = 將3.8式左端作線性運(yùn)算, 再與右端相等, 即得方程3.6. 因此, 假如a1,

13、a2,.,ar線性相關(guān), 就必有不全為零的數(shù)x1,x2,.,xr使3.7成立, 即齊次線性方程組3.6有非零解. 反之, 如3.6有非零解, 即有不全為零的數(shù)x1,x2,.,xr使3.7成立, 故a1,a2,.,ar線性相關(guān).2022-5-927定理2的等價命題是: a1,a2,.,ar線性無關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組3.6只有零解.因此, 斷定一組向量是否線性相關(guān)或者線性無關(guān)的根本技術(shù)是求解齊次線性方程組3.6.在定理2中, 假如nr, 由高斯消元法可知, 方程組3.6求解必有自由未知量, 即必有非零解. 因此, 任何n+1個n維向量都是線性相關(guān)的. 所以在Rn中, 任何一組線性無關(guān)的

14、向量最多只能含n個向量.2022-5-928定理3 假設(shè)向量組a1,a2,.,ar線性無關(guān), 而b, a1,a2,.,ar線性相關(guān), 那么b可由a1,a2,.,ar線性表示, 且表示法唯一.證 因b,a1,a2,.,ar線性相關(guān), 存在不全為零的數(shù)k,k1,k2,.,kr, 使得kb+k1a1+k2a2+.+krar=0,3.9其中k0如k=0, 那么由線性無關(guān)又得必須全為零, 這與不全為零矛盾, 于是1212.rrkkkkkkbaaa= -2022-5-929再證表示法唯一, 設(shè)有兩種表示法:b=l1a1+l2a2+.+lrar=h1a1+h2a2+.+hrar,于是l1-h1a1+l2-h

15、2a2+.+lr-hrar=0.由于a1,a2,.,ar線性無關(guān), 所以必有l(wèi)i-hi=0, 即 li=hi,i=1,2,.,r,故b由a1,a2,.,ar線性表示的表示法唯一.證畢.由定理2和定理3可得如下推論:推論 假如Fn中n個向量a1,a2,.,an線性無關(guān), 那么Fn中任一向量可由a1,a2,.,an唯一地線性表示.2022-5-930例4 設(shè)a1=1,-1,1, a2=1,2,0, a3=1,0,3, a4=2,-3,7. 問: 1a1,a2,a3是否線性相關(guān)? 2 a4可否由a1,a2,a3線性表示? 如能表示求其表示式.解 1根據(jù)定理2, 作矩陣123|111120103|Aa

16、aa= -用高斯消元法易得方程組AX=O只有零解, 故a1,a2,a3線性無關(guān).2022-5-9312 根據(jù)定理2和定理3的推論, a4可由a1,a2,a3線性表示, 且表示法唯一. 設(shè)x1a1+x2a2+x3a3=a4,即 x11,-1,1+x21,2,0+x11,0,3=2,-3,7.于是得111232233|11121203 ,1037|xxxxxxaaa= -= -即AX=a4, 解此方程組得唯一解:x1=1,x2=-1, x3=2, 故a4=a1-a2+2a3.2022-5-932例5 設(shè)向量組a1,a2,a3線性無關(guān), 又b1=a1+a2+2a3, b2=a1-a2, b3=a1+

17、a3, 證明b1,b2,b3線性相關(guān).證 設(shè) x1b1+x2b2+x3b3=0 3.10即 x1a1+a2+2a3+x2a1-a2+x3a1+a3=0,x1+x2+x3a1+x1-x2a2+2x1+x3a3=0由于a1,a2,a3線性無關(guān), 必有12312130,020 xxxxxxx=-=此方程有非零解, 因此b1,b2,b3線性相關(guān).2022-5-933例6 證明:假設(shè)向量組a1,a2,.,as中有一部分向量線性相關(guān), 那么該向量組線性相關(guān).證 不妨設(shè)a1,a2,.,ar線性相關(guān)rs, 于是有不全為零的數(shù)k1,k2,.,kr使 k1a1+k2a2+.+krar=0,從而有 k1a1+k2a2+.+krar+0ar+1+.+0a