測試系統(tǒng)中的信號分析

1、2.4 2.4 信號的頻域分析信號的頻域分析 第二章、信號分析基礎(chǔ)第二章、信號分析基礎(chǔ) 信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)x(t)變換為頻變換為頻域信號域信號X(f)X(f)，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里葉傅里葉變換變換X(t)= sin(2nft)0 t0 f信號頻譜信號頻譜X(f)X(f)代表了信號在不同頻代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，

2、豐富的信息。域信號波形更直觀，豐富的信息。 時域分析與頻域分析的關(guān)系時域分析與頻域分析的關(guān)系時間時間幅值幅值頻率頻率時域分析時域分析頻域分析頻域分析 時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。量大小。 圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號 大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷頻域參數(shù)對應(yīng)頻域參數(shù)對應(yīng)于設(shè)備轉(zhuǎn)速、于設(shè)備轉(zhuǎn)速、固有頻率等參固有頻率等參數(shù)，物理意義數(shù)，物理意義更

3、明確。更明確。2.4.1 2.4.1 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 周期信號是經(jīng)過一定時間可以重復(fù)出現(xiàn)的信周期信號是經(jīng)過一定時間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號，滿足條件：號，滿足條件： x ( t )x ( t ) = = x ( t + nT )x ( t + nT )1 1、傅里葉級數(shù)的三角展開式、傅里葉級數(shù)的三角展開式 在有限區(qū)間上，凡滿足狄利克雷條件的周期信號在有限區(qū)間上，凡滿足狄利克雷條件的周期信號x(t)x(t)都可以展開成傅里葉級數(shù)（三角函數(shù)的疊加）。都可以展開成傅里葉級數(shù)（三角函數(shù)的疊加）。 狄利克雷條件：信號在一個周期內(nèi)連續(xù)或只含有狄利克雷條件：信號在一個周期內(nèi)連續(xù)或只含有有限個間斷點。

4、有限個間斷點。傅里葉級數(shù)的表達形式：傅里葉級數(shù)的表達形式：)sincos()(01020tnbtnatxnnna,.)3 , ,2, 1(n變形為：變形為：102)sin()(0nnnatnAtx,.)3 , , 2 , 1(n式中式中: :T：基本周期：基本周期T200為角頻率，;tan;sin)(;cos)(;)(222/2/022/2/022/2/20nnnnnnTTTnTTTnTTTbabaAtdtntxbtdtntxadttxa穩(wěn)定分量或直流分量穩(wěn)定分量或直流分量余弦分量余弦分量正弦分量正弦分量第第n次諧波的幅值大小次諧波的幅值大小另外的表示方式？ 周期信號是由一個或幾個、乃至無窮多

5、個不同頻率的諧周期信號是由一個或幾個、乃至無窮多個不同頻率的諧波疊加而成的。波疊加而成的。 以角頻率為橫坐標(biāo)，幅值以角頻率為橫坐標(biāo)，幅值A(chǔ) An n或相角或相角 為縱坐標(biāo)作圖，則為縱坐標(biāo)作圖，則分別得其幅值譜圖和相位譜圖，合起來稱為頻譜圖。分別得其幅值譜圖和相位譜圖，合起來稱為頻譜圖。 通常把通常把0 0稱為基頻，并把成分稱為基頻，并把成分 稱為稱為n n次諧波。次諧波。 n)sin(0nntnAA A幅值譜圖幅值譜圖相位譜圖相位譜圖 例例1 1、求如圖所示三角波的傅里葉級數(shù)展開，并畫出頻譜、求如圖所示三角波的傅里葉級數(shù)展開，并畫出頻譜圖。圖。) (txA2/0T02/0Tt解解：1、x(t)

6、的函數(shù)表達式：的函數(shù)表達式：202022)(0000TttTAAtTtTAAtxAdttTAATdttxTaTTT20002200000)2(4)(2，642053142sin4cos)2(4cos)nnAnnAtdtntTAATtdtntxTaTTTn2、求、求a0：3、求、求an:220000sin)(2TTntdtntxTb5 , 3 , 1cos42)(1022ntnnAAtxn;42222nAbaAnnn5 5、寫出展開式、寫出展開式：4 4、求、求b bn n: :6 6、畫出頻譜圖、畫出頻譜圖= 0= 00arctannnnabnA2A00

7、03050700030507n幅頻圖幅頻圖 相頻圖相頻圖n從上題可以得到如下結(jié)論：從上題可以得到如下結(jié)論： （4 4）周期信號的頻譜的意義：各次諧波的幅值）周期信號的頻譜的意義：各次諧波的幅值大小及能量大小。大小及能量大小。（1 1）復(fù)雜周期信號可分解為各次諧波的疊加；）復(fù)雜周期信號可分解為各次諧波的疊加； （2 2）偶函數(shù)無正弦分量，奇函數(shù)無余弦分量和）偶函數(shù)無正弦分量，奇函數(shù)無余弦分量和常數(shù)量；常數(shù)量；（3 3）周期信號的頻譜是離散的；）周期信號的頻譜是離散的；2、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開式、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開式將歐拉公式，將歐拉公式，tjtetjsincos)(21costjtjeet

8、)(2sintjtjeejt則有：)(21),(21,00nnnnnnjbacjbacactjnnntjnnnececctx00110)(代入代入令：)sincos()(01020tnbtnatxnnna,.)3, ,2,1(n合并后有：x tC ennjntn( ),(,.)0012nnRnInnnInRnjnnInRnccAcccecjcccnarctan,222復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)不同之處？復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)不同之處？ 三角函數(shù)在正頻率范圍內(nèi)展開，是單邊幅值譜，而復(fù)指數(shù)三角函數(shù)在正頻率范圍內(nèi)展開，是單邊幅值譜，而復(fù)指數(shù)展開時在整個頻域里，是雙邊幅值譜。展開時在整個頻域里，是雙邊幅值譜。一般是復(fù)

9、數(shù)。一般是復(fù)數(shù)。 ncdtetxTctjnTTn022)(1ncnnRcnIc 、 、 、 與與之間的關(guān)系圖分別稱為幅值譜、相之間的關(guān)系圖分別稱為幅值譜、相位譜、實頻譜圖和虛頻譜圖。位譜、實頻譜圖和虛頻譜圖。 例例2 2、畫出余弦、正弦信號的實、虛部頻譜圖。、畫出余弦、正弦信號的實、虛部頻譜圖。解解：寫出復(fù)數(shù)表達式：寫出復(fù)數(shù)表達式：對對 有：有：對對 有：有：)(21cos000tjtjeet)(2sin000tjtjeejtt0cos0),1(21nInRcnct0sin0),1(21-),1-(21nRnInIcncnc)(tx)(txnRCnRC0000nICnIC0000ttnCnC0

10、000nAnA0000111/21/21/21/2000000001/21/2-1/21/2 周期信號的頻譜具有如下特點：周期信號的頻譜具有如下特點： 周期信號的頻譜是離散的。（周期信號的頻譜是離散的。（離散性離散性） 每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整倍數(shù)上。（每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整倍數(shù)上。（諧波性諧波性） 各頻率分量的譜線高度表示該次諧波的幅值和相位角。各頻率分量的譜線高度表示該次諧波的幅值和相位角。工程中常見的周期信號，其諧波分量的幅值總的趨勢是隨諧波次工程中常見的周期信號，其諧波分量的幅值總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而減小。數(shù)的增高而減小。（收斂性收斂性）nA2A000305070003

11、0507n幅頻圖幅頻圖 相頻圖相頻圖n2.4.2 2.4.2 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 非周期信號是非周期信號是時間上不會重復(fù)出現(xiàn)時間上不會重復(fù)出現(xiàn)的信號，一般為時域的信號，一般為時域有限信號，具有收斂可積條件，其能量為有限值。這種信號的有限信號，具有收斂可積條件，其能量為有限值。這種信號的頻域分析手段是傅立葉變換。頻域分析手段是傅立葉變換。 ，即變?yōu)檫B續(xù)譜線。，即變?yōu)檫B續(xù)譜線。譜線之間相鄰譜線，譜線之間相鄰譜線，0, 02,0TTtjnnTTtjnntjnnedtetxTeCtx00022)(1)(nndTTTn0220221時，時，當(dāng)當(dāng)T所以：所以：dedtetxedtetxdtx

12、tjtjtjtj)(21)(2)(令：令：deXtxdtetxXtjtj)(21)()()(則則傅里葉變換（傅里葉變換（FT）傅里葉逆變換（傅里葉逆變換（IFT） 將將X()X()中的中的用用f (f=/2)f (f=/2)代替，傅里葉變換對變?yōu)椋捍?，傅里葉變換對變?yōu)椋篸tetxfXdfefXtxftjftj22)()()()( fXtxFT)()(fXtxFntjnneCtx0)(dfefXtxftj2)()(dfcdftxfXn)()(x(t) , 所以所以 量綱就是量綱就是x(t)量綱。量綱。非周期信號：非周期信號：njnneccnc幅值幅值HzX(f)X(f)為信號單位頻寬上為信號單

13、位頻寬上的幅值大小，是的幅值大小，是頻譜密頻譜密度函數(shù)度函數(shù)，量綱為幅值，量綱為幅值/Hz/Hz。 思考：非周期信號頻譜的意義？思考：非周期信號頻譜的意義？周期信號：周期信號： 非周期信號傅里葉變換存在的充要條件是：非周期信號傅里葉變換存在的充要條件是： 滿足狄里赫利條件（在非周期時間段內(nèi)連滿足狄里赫利條件（在非周期時間段內(nèi)連續(xù)或有有限個間斷點）續(xù)或有有限個間斷點） 絕對可積，即絕對可積，即 能量有限信號，即能量有限信號，即 dttx )(dttx2)(dtetxfXdfefXtxftjftj22)()()()()()()(fjefAfX把非周期信號的頻譜表示成復(fù)數(shù)形式：把非周期信號的頻譜表示

14、成復(fù)數(shù)形式：為為x(t)x(t)的幅值譜密度的幅值譜密度)()(fXfA為為x(t)x(t)的相位譜密度的相位譜密度)()(fXf2)( fX為能量譜密度為能量譜密度)(Im)(Re)(fXjfXfX實部為實譜密度，虛部為虛譜密度。實部為實譜密度，虛部為虛譜密度。例：求如圖矩形脈沖信號例：求如圖矩形脈沖信號x x( (t t) )的幅值譜密度，已知的幅值譜密度，已知 11, 0, 1)(TtTttx)(2121)()(11111122222fTjfTjTTftjTTftjftjeefjefjdtedtetxfX利用歐拉公式：利用歐拉公式：)(2sintjtjeejt)2(sin222sin22

15、sin)(111111fTcTTffTTffTfX| )2(sin|2)()(11fTcTfXfA)(tx1T1T0t)(fX11T0f121T11T121T12T12T)( fA0f11T121T121T11T)( f11T121T0121T11Tf（a）（c）（b）（d）傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)1 1）線性特性）線性特性 若若 x x1 1(t) X(t) X1 1(f)(f)，x x2 2(t) X(t) X2 2(f) (f) 則：則：a a1 1x x1 1(t)+a(t)+a2 2x x2 2(t) a(t) a1 1X X1 1(f)+a(f)+a2 2X X2 2(f)

16、(f)FTFTFT 意義意義：對復(fù)雜信號的頻譜分析處理，可以分對復(fù)雜信號的頻譜分析處理，可以分解為對一系列簡單信號的頻譜分析處理。解為對一系列簡單信號的頻譜分析處理。 例子：求下圖波形的頻譜例子：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡化用線性疊加定理簡化2 2）時移性）時移性 fXtxFT)(020fXettxftjFT若若，則，則 意義意義：信號的時移對其幅值譜密度無影響，而相：信號的時移對其幅值譜密度無影響，而相位譜密度則疊加了一個與頻率成線性關(guān)系的附加量，位譜密度則疊加了一個與頻率成線性關(guān)系的附加量，即時域中的時移對應(yīng)頻域中的相移。即時域中的時移對應(yīng)頻域中的相移。 000

17、22)(20)()(ftfjftjfjftjFTefAeefAefXttx )()(fjFTefAfXtx3 3）頻移特性（）頻移特性（調(diào)制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)調(diào)制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)調(diào)制性調(diào)制性） fXtxFT )(020ffXetxFTtfj若若，則，則 意義意義：信號：信號x(t)乘以復(fù)指數(shù)（復(fù)調(diào)制）后乘以復(fù)指數(shù)（復(fù)調(diào)制）后,其時域描述已其時域描述已大大改變大大改變,但其頻譜的形狀卻無變化但其頻譜的形狀卻無變化,只在頻域作了一個位移。只在頻域作了一個位移。 例：求例：求解：解：)(21)(212)(2)(2)(2cos)(00222200000ffXffXetxetxFeetxFtftxFtfjtfjtfj

18、tfj2cos)(0tftxF思考：思考：2sin)(0tftxF4 4）時間比例性）時間比例性 fXtxFT )(1afXaatxFT若若，則，則 意義意義：當(dāng)時域尺度壓縮（：當(dāng)時域尺度壓縮（a1）時，對應(yīng)的頻域）時，對應(yīng)的頻域展寬且幅值減??；當(dāng)時域尺度展開（展寬且幅值減??；當(dāng)時域尺度展開（a1）時，對應(yīng)）時，對應(yīng)的頻域壓縮且幅值增加。的頻域壓縮且幅值增加。 5 5）對稱性質(zhì)）對稱性質(zhì) fXtxFT)()(fxtX若若，則，則 意義：由已知的傅里葉變換對，獲得逆向相應(yīng)的意義：由已知的傅里葉變換對，獲得逆向相應(yīng)的變換對。變換對。如時域的矩形窗函數(shù)對應(yīng)頻域的如時域的矩形窗函數(shù)對應(yīng)頻域的sinc(t)sinc(t)函函數(shù)，則時域的數(shù)，則時域的sinc(t)sinc(t)函數(shù)對應(yīng)頻域的矩形窗函數(shù)。函數(shù)對應(yīng)頻域的矩形窗函數(shù)。 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜1 1、(t)(t)的頻譜密度的頻譜密度 1)(02edtetfftj圖2-17 函數(shù)及其頻譜密度) (t)(f10t10t 意義：單位沖擊函數(shù)具有無限寬廣的頻譜密度，而意義：單位沖擊函數(shù)具有無限寬廣的頻譜密度，而且在在整個頻率范圍內(nèi)不衰減，處處強度相等。且在在整個頻率范圍內(nèi)不衰減，處處強度相等。 根據(jù)傅里葉變換的對稱性