天津春考數(shù)學(xué)科目必須掌握的公式

1、天津春考數(shù)學(xué)科目必須掌握的公式一、解不等式1、小于零，取中間；大于零，取兩邊例如：(x一2)(x+3)<09一3<x<2例如：(x+1)(x一4)>09x<一1或x>42、除法不等式：可以變成“乘法”不等式，前提：要把右側(cè)變成023x-3例如:托一1>1=>X1>0=>怎一1<0=>(x1)(x3)<0=>1<x<33、絕對值不等式 lx一II<3=>一3<x一1<3=>一2<x<4“小于，取中間" lx一2I>1=>x一2<一1

2、或x一2>1=>x<1或x>3“大于，取兩邊”4、不等式的解為R、或解為空集的問題一般情況下，利用判別式b2-4ac<0(或W0)進(jìn)行處理。例如：X2-mx+1>0的解為R,求m的取值范圍=b2一4ac=m2一4<0=>一2<m<2二、一元二次方程求根公式ax2+bx+c=0,則求根公式：x12= 當(dāng)=b24ac>0時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根； 當(dāng)=b24ac=0時(shí)，有兩個(gè)等根 當(dāng)=b2-4ac<0時(shí)，無實(shí)根三、集合1、AQB，表示求A、B的公共元素。例如：A=xI1<x<5，A=xI2<x<6，貝VAHB=x

3、I2<x<52、AUB,表示將A、B的元素全都合在一起，重復(fù)寫一遍。例如：A=xI1<x<5，A=xI2<x<6，貝VAUB=xI1<x<63、qA,表示在全集U中求A的補(bǔ)集。例如：U=1，2，3，4，5，6，A=2，4，5，則CuA=1，3，6三、一元二次函數(shù)1、f(x)=ax2+bx+c(aH0)對稱軸x0=2、x無范圍時(shí)，f(x)的最大值或最小值，只需將x0代入f(x)可得最大值或最小值:a>0,開口向上，f(x°)為最小值；a<0,開口向下，f(x°)為最大值''"3、若x有范圍，

4、則畫出f(x)的示意圖，再將x的范圍標(biāo)上，找f(x)的最高和最低值即可例如：y=x2-4x+5，xW1,4，求函數(shù)的最大值和最小值。示意圖如右，對稱軸為x=2,標(biāo)出x的范圍，可以看出：ymin=f(2)=1，ymax=f(4)=5四、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1、運(yùn)算性質(zhì)ao=1，aman=am+n,(am)n=amn，(ab)n=anbn,汀2、單調(diào)性f(x)=ax(a>0，aM1)當(dāng)0vav1時(shí)，f(x)為下降；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)為上升;例如:解不等式：22x-1<不等式可以化為：22x-1<2-2,因?yàn)閍=2為上升的，所以：2x-1<-2,得x<-1/2五、對數(shù)

5、與對數(shù)函數(shù)1、運(yùn)算性質(zhì)ab=Nv=>logaN=b,當(dāng)a=10時(shí)，logaN=lgN=logaM-logaN,logaMN=logaM+logaN,loga1=0,logaa=12、實(shí)用性質(zhì)：logab=>當(dāng)a、b同時(shí)大于1或同時(shí)小于1,則logab>0logab=>當(dāng)a、b中一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,則logab<0log2-例如：<0；啼、i”5>0等。3、單調(diào)性f(x)=logax(a>0,aM1)當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)為下降；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)為上升;六、常用函數(shù)1、正比例函數(shù)：y=kx(k可正可負(fù))例：正比例函數(shù)f

6、(x)過點(diǎn)(2,6),求f(l)解：設(shè)y=kx，代入點(diǎn)(2,6),得6=2k,.°.k=3,.°.y=3x,所以y(1)=32、反比例函數(shù)：y=(k可正可負(fù))，同法同上類似。3、一次函數(shù)：y=kx+b也表示直線，其中k為斜率，當(dāng)k>0時(shí)，上升；當(dāng)k<0時(shí)，下降。七、定義域求法1、分母不為02、偶次根式內(nèi)要大于等于03、對數(shù)內(nèi)的式子要大于0+2>03-0例如：求y=；定義域。根據(jù)上面法則得：卩一"2°，即可求出定義域。八、奇函數(shù)與偶函數(shù)1、偶函數(shù)：f(一x)=f(x) 偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱； 偶函數(shù)求參數(shù)問題，可以取x=1進(jìn)行求解參數(shù)

7、。例如：已知f(x)=(x-m)(x+3)為偶函數(shù)，求m解：可以取x=1,利用f(-1)=f(1)求m,f(-1)=2(-1m)=22m,f(1)=4(1m)由f(1)=f(1),可得m=3 常見的偶函數(shù)：y=x2,y=cosx,y=IxI2、奇函數(shù)：f(一x)=一f(x) 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱(即斜對稱)； 若f(0)有意義，則f(0)=0 奇函數(shù)求參數(shù)問題：可利用f(0)=0求解參數(shù)；若f(0)=0求解失效，可取x=1求解參數(shù)。例如：已知f(x)=+為奇函數(shù)，求m解：取x=0,利用f(0)=0求m,f(0)=m2=0,可得m=21常見的奇函數(shù)：y=x,y=,y=x3,y=sinx,y=

8、tanx九、向量1、設(shè)向量a,貝川aI表示向量a的模，即向量a的長度。2、向量平行于垂直定理： 若a、b平行，則a=kb 若albab=03、a2=IaI24、向量夾角公式：亠一，其中0為兩向量的夾角。說明：只要題目中牽涉到角的問題，則必須用上面的公式。5、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(x1，y1),b=(x2，y2) a±b=(X±x2，y1±y2) ab=XX2+y1y2 IaI='.7 設(shè)點(diǎn)A(X,y1)，B(x2,y2)，則向量川且=(x2x1，y2y1)若a/b，則:x1y2=x2y1，若a丄b，貝V：ab=x1x2+y1y2=0例1：a=(m+1，3

9、)，b=(-2m，8)，若a丄b,求m。解：因?yàn)榇怪?，所以ab=0,.°.-2m(m+1)+24=0,解得m=3或m=-4十、數(shù)列1、等差數(shù)列 通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d 前n項(xiàng)和公式：Sn=+3,般情況下，均利用第1個(gè)公式。 等差中項(xiàng)：若a、b、c為等差數(shù)列，則a+c=2b,b稱為等差中項(xiàng)。說明：做等差題目，只需將題目中的有關(guān)數(shù)，全都更換為a1和d,即可求解。2、等比數(shù)列 通項(xiàng)公式：an=a1qn-1 前n項(xiàng)和公式：Sn=畔-一般情況下，均利用第1個(gè)公式。 等比中項(xiàng)：若a、b、c為等比數(shù)列，則ac=b2,b稱為等比中項(xiàng)。說明：做等比題目，只需將題目中的有關(guān)數(shù)，全都更換為和q

10、,再利用除法運(yùn)算可求解。十一、排列、組合1、排列：=n(n-1)(n-m+1),即從n開始向下乘，共乘m個(gè)數(shù)。2、組合：口；=斜咨，其中分子是從n開始向下乘，共乘m個(gè)數(shù)。說明：如果順序變化，結(jié)果不相同，則為排列；若結(jié)果與順序無關(guān)，則為組合。3、常見排列：站隊(duì)、排值日、組成3位數(shù)字、選課代表、選班長等。4、常見組合：任取幾個(gè)球、任取幾個(gè)人、任取幾件產(chǎn)品等均為組合。5、排列組合的常見模型 捆綁法：例如6個(gè)人站隊(duì)，甲、乙需要相鄰，有多少種站法？可以將甲、乙捆綁為1人進(jìn)行處理，相等于5人，共有凡種站法，其中甲、乙兩人之間還可以排列，所以共種站法。插空法：例如5男3女站隊(duì)，要求女生不相鄰，求排法?先排男

11、生曰，產(chǎn)生6個(gè)空位，再從6個(gè)空位選擇3個(gè)給女生，所以為起比 骰子題目：只需列出36種可能，再按照題目要求進(jìn)行排查即可。 住房問題：例如：4人住3個(gè)不同房間，每個(gè)房間至少一人，共有多少種住法?同一個(gè)房間的二人無順序，因此，先要綁定二人相當(dāng)于3人，再安排到每個(gè)房間,所以共有住法°；覽十二、概率、統(tǒng)計(jì)1、概率 排列組合算概率：概率p=相關(guān)數(shù)/總數(shù) 概率算概率：這類題目一般不需要排列。例如：甲投籃命中率為0.9，乙命中率為0.8，兩人各投一次，求至少一人命中的概率。所求為：甲命中乙未命中+甲未命中乙命中+甲乙均命中=0.9X0.2+0.1X0.8+0.9X0.8=0.98處理這類題目，一定將

12、過稈弄清楚，過稈清楚了，式子自然就出來了。 伯努力公式：設(shè)單次試驗(yàn)發(fā)生的概率為P，則重復(fù)做n次試驗(yàn)，恰好發(fā)生k次的概率：特點(diǎn)：連續(xù)試驗(yàn)，恰好發(fā)生k次。例如：投籃命中率為0.9，現(xiàn)連續(xù)投籃3次，則恰好投中兩次的概率是多少？解：此題為伯努力題型，n=3,k=2,p=0.9所以：p=.、=0.2433、概率分布例如：設(shè)隨機(jī)變量g的分布列為：g1234P0.20.20.30.3 分布列的特點(diǎn)：所有概率之和為1 均值或期望Eg的計(jì)算公式：上下相乘，再加起來：1X0.2+2X0.2+3X0.3+4X0.3=2.7 方差Dg的計(jì)算公式：Dg=E(g2)-玖g)2其中E(g2)=12X0.2+22X0.2+3

13、2X0.3+42X0.3=8.5即用g的平方X對應(yīng)的概率值，再求和即可。所以，對于本例，Dg=E(g2)-E(g)2=8.5(2.7)2=0.71 求P(2WgW3)，只需將g=2或g=3的概率相加即可。P(2WgW3)=0.2+0.3=0.53、分層抽樣按比例計(jì)算即可。4、頻率直方圖 樣本容量：所研究的元素的個(gè)數(shù)。例如從全校1000名學(xué)生中抽取50人進(jìn)行測試，則50為樣本容量。 頻率：相當(dāng)于概率，或百分比 頻數(shù)：元素個(gè)數(shù)例如：從全校1000名學(xué)生中取50(50即為容量，不是1000)人測試，測試結(jié)果如下:分?jǐn)?shù)范圍10-60分60-90分90分以上人數(shù)10355頻率0.20.70.1其中各組人

14、數(shù)即為頻數(shù)。頻率也是百分比，或概率。rn斗.03L.UJi.ul頻率直方圖左側(cè)的y軸數(shù)據(jù)，是利用頻率除以組距得到的，因此，若要利用左側(cè)的數(shù)據(jù)計(jì)算頻率（或百分比），就用“左側(cè)的數(shù)X組距”即可。注意：左側(cè)的所有數(shù)之和X組距=13、rsina=rcosa=各三角函數(shù)的正負(fù)情況:Xtana=十三、三角1、特殊角的三角函數(shù)值A(chǔ)0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°sina012百21V楣2120-1cosa12忑212012楣2-10tana0T173X-73-1T0X2、任

15、意角的三角函數(shù)：設(shè)角a終邊上一點(diǎn)P(x,y),r，則:sina:正，負(fù)；cosa:正，負(fù)tana:正，負(fù)4、同角三角函數(shù)關(guān)閉smasin2a+cos2a=1tana=匚°sa5、誘導(dǎo)公式：縱變橫不變，正負(fù)看象限7T3jt縱變橫不變：若角為縱角，如岌，等，誘導(dǎo)時(shí)就需要變，sina，cosa之間變。若角為恒角如n等，則函數(shù)不需要變。正負(fù)看象限：看原始函數(shù)所在象限的正負(fù)情況。例1：sin(n+a)，因?yàn)閚為橫角，所以不變?nèi)詾閟ina，又因?yàn)閚+a表示第三象限，正弦在第三象限為負(fù)的，因此，誘導(dǎo)結(jié)果為：sin(n+a)=-sina例2：cos(3+a)，因?yàn)閚/2為縱角，所以需要變?yōu)閟ina，

16、又因?yàn)閚/2+a表示第二象限，余弦在第二象限為負(fù)的，因此,6、加法公式 sin(a+卩)=sinacos卩+cosasin卩 cos(a+卩)=cosacos卩一sinasin卩2誘導(dǎo)結(jié)果為：cos（+a）=-sinasin（a-卩）=sinacos卩一cosasin卩cos（a-卩）=cosacos卩+sinasin卩a-ij/illl11'+11.tan（a+卩）=-“：7、二倍角公式 sin2a=2sinacosa cos2a=2cos2a1=1一2sin2a=cos2asin2a2tan： tan2a=_i：8、降冪公式222I-2-sin2a=cos2a=丸9、周期公式y(tǒng)=A

17、sin(®x+p)，貝V周期T= y=Acos(®x+p),則周期T=® y=Atan(®x+p),則周期T=10、圖像圖的做法：高度算A,周期計(jì)算a,取點(diǎn)算9)如圖.2例如：y=Asin(®x+p)(A>0,®>0,|p|<777T通過高度可知A=2,T=(右疋)X2=n再通過周期公式可以計(jì)算.=2,取x=12,2=2s”7Tsin(五+p)=1,所以，所以p=十四、解三角1、正弦定理2、面積公式absinC=bcsinA=bcsinA3、余弦定理a2=b2+c2一2bccosAb2=a2+c2一2accosBc2

18、=a2+b2一2abcosC十五、直線1、直線傾斜角a的正切值為斜率：k=tana2、斜率公式：k"-心對于給定的直線，只需將直線方程改寫為y=kx+b形式，則右側(cè)x的系數(shù)即為斜率k。1例如：直線2x+4y=1將直線改寫為：y=-2x+，則斜率k=-23、平行與垂直定理 若兩條直線平行，則斜率相等：匕=k2 若兩條直線垂直，則斜率相乘得-1,即匕k2=-14、直線的點(diǎn)斜式設(shè)直線過點(diǎn)(x0，y0)，斜率為k,則直線方程為y-y0=k(x-x0)5、點(diǎn)到直線距離|：-.-'廠|設(shè)點(diǎn)(x0，y0)，直線為Ax+By+C=0,則d=6、兩平行線之間距離匚二設(shè)兩平行直線為Ax+By+C

19、1=0，Ax+By+C2=0,貝Vd="+7、關(guān)于截距在直線Ax+By+C=0中： 令x=0,得y=y0，則y0稱為y軸截距，同時(shí)說明直線過點(diǎn)(0,y0) 令y=0,得y=x0，則x0稱為x軸截距，同時(shí)說明直線過點(diǎn)(x0，0)例：直線過點(diǎn)(2,1),且y軸截距為5,求直線方程。解:y軸截距為5,說明直線過點(diǎn)(0,5),由兩點(diǎn)(2,1),(0,5)利用斜率公式可得k=-2取點(diǎn)(0,5),所以直線方程：y5=2(x0),即2x+y5=08、兩點(diǎn)之間的距離設(shè)點(diǎn)P(x1，y1),Q(x2，y2)，則IPQI=9、中點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P(x1，y1),Q(x2,y2)，則P、Q的中點(diǎn)坐標(biāo)為十六、圓1、

20、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2圓心(a,b),半徑為r例如：圓(X2)2+(y+3)2=9,則圓心(2,-3),半徑r=32、圓的一般式方程：X2+y2+Dx+Ey+F=0圓心(：廠)，半徑r例如：X2+y2一4x+6y+4=0則圓心()=(2,-3),半徑r=33、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)P(x0，y0)與圓(xa)2+(yb)2=r2或X2+y2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系。只需將點(diǎn)P(x0,y0)代入圓的方程中(標(biāo)準(zhǔn)式或一般式均可)： 若左側(cè)>右側(cè)，則點(diǎn)在圓外 若左側(cè)=右側(cè)，則點(diǎn)在圓上 若左側(cè)v右側(cè)，則點(diǎn)在圓內(nèi)4、直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓半徑為r,求出圓心到直線的距離

21、d 若d>r,則直線與圓外離 若d=r,則直線與圓相切 若dvr,則直線與圓相交例如：判斷直線3x+4y2=0與圓(x1)2+(y+2)2=4的位置關(guān)系7I沁十丄>-HI_圓心(1,-2),r=2,d=二vr,所以相交。5、圓與直線相切對于這類問題，主要利用d=r原理處理。例如：設(shè)直線過點(diǎn)(-3,0),且與直線x2+y2=1相切，求直線方程。解：圓心(0,0),半徑r=1,設(shè)直線方程為：y-0=k(x+3),即kx-y+3k=0內(nèi)IK,-!(+氏|Ld=，因?yàn)橄嗲?，所以d=r1=1,即I3kI=-，平方后可以解得k2=,k=±46、圓與圓直徑的關(guān)系設(shè)兩圓的圓心和半徑分別為C1(a1，b1),r1和C1(a2，b2),r2利用兩點(diǎn)之間的距離公式，計(jì)算兩圓心之間的距離d=IC1C2I 若d>r1+r2，則兩圓外離 若d=r1+r2，則兩圓外切 若d