結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論第八講

1、多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)5.3 多自由度無阻尼系統(tǒng)振動(dòng)分析多自由度無阻尼系統(tǒng)振動(dòng)分析自由振動(dòng)自由振動(dòng) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)分析包括固有模態(tài)分析固有模態(tài)分析和自由振自由振動(dòng)響應(yīng)分析動(dòng)響應(yīng)分析。無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程的一般形式為：0 KxxM k4kkm1m2x1x2 為了更加清楚地說明多自由度系統(tǒng)的固有模態(tài)分析方法，仍以下圖所示二自由度振動(dòng)系統(tǒng)為例。前面已得出其自由振動(dòng)微分方程為：固有模態(tài)分析：確定多自由度系統(tǒng)的固有頻率和相應(yīng)的固有(主)振型。多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng) 由微分方程理論，假設(shè)以上方程的解為：代入振動(dòng)方程得：0054450021212bbkkkkbbmm005445002121xxkk

2、kkxxmm (b)(a)sin(2121tbbxx02BMK多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)合并矩陣對(duì)應(yīng)項(xiàng)：上式為關(guān)于b1、b2 的齊次代數(shù)方程，b1、b2 有非零解的條件(零解對(duì)應(yīng)靜止)： 上式稱為振動(dòng)系統(tǒng)的特征方程特征方程。等號(hào)左端的行列式又稱為系統(tǒng)的特征行列式特征行列式，其展開式稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式。由特征方程可解出，得兩個(gè)根(按規(guī)定由小到大順序排序)：這是該二自由度系統(tǒng)的兩個(gè)固有振動(dòng)頻率，分別稱為第一階固有頻率和第二階固有頻率。(c)mkmk3,210054452122bbmkkkmk0544522mkkkmk多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)則系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于第一階固有頻率的解是 這里b11、b21

3、是系統(tǒng)按固有頻率1振動(dòng)時(shí)，兩個(gè)自由度x1、 x2 (即質(zhì)量塊m1、m2)的振幅，它們組成系統(tǒng)按固有頻率1振動(dòng)時(shí)的形態(tài)，稱為系統(tǒng)的固有振型固有振型(主振型主振型)，對(duì)應(yīng)于第第一階固有頻率1的固有振型又叫第一階固有振型第一階固有振型。相應(yīng)于2振動(dòng)時(shí)的形態(tài)叫做第第二階固有振型。二階固有振型。 其對(duì)應(yīng)振動(dòng)稱為主振動(dòng)主振動(dòng)(也稱固有模態(tài)振動(dòng)也稱固有模態(tài)振動(dòng))。0)(121Bmk將上式回代系統(tǒng)原方程可得00544521112121bbmkkkmk)sin(11211121tbbxx多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)將1、 2 分別代入原方程, 可解得B1、B2的元素相對(duì)比值1212111145rkkmbb222221

4、2145rkkmbb 即系統(tǒng)的固有振型可由各個(gè)自由度上位移振幅的比來描述由各個(gè)自由度上位移振幅的比來描述。系統(tǒng)的第一階主振動(dòng)第一階主振動(dòng)：同理可得系統(tǒng)的第二階主振動(dòng)第二階主振動(dòng)：)sin()sin(11211111121tbbtBxx)sin()sin(22221222221tbbtBxx多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)二自由度無阻尼系統(tǒng)的兩個(gè)固有模態(tài)振動(dòng)僅是可能存在的運(yùn)動(dòng)形式。欲使系統(tǒng)真正產(chǎn)生這樣的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)滿足一定的運(yùn)動(dòng)初始條件。由固有模態(tài)振動(dòng)的解形式：)sin()(rrrrtBtxrrrrrrrBxBxcos)0(,sin)0(這說明：為使系統(tǒng)產(chǎn)生第r個(gè)固有振動(dòng)，系統(tǒng)的初始位移、初始速度必須與該階固

5、有振型成上式給定的比例關(guān)系。這一點(diǎn)不同于單自由度無阻尼系統(tǒng)的固有振動(dòng)(簡諧的)。如果二自由度系統(tǒng)的初始條件不能滿足上式，其自由振動(dòng)則總是兩個(gè)固有振動(dòng)的線性組合。則產(chǎn)生第r個(gè)固有振動(dòng)的初始條件是：多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)比如上例，可以將兩個(gè)固有振型寫成112121111rbbbB122222122rbbbB在本算例已求出，r1=1，r2= -1，從而系統(tǒng)兩個(gè)固有振型為(見右下圖)1111222211bBbBk4kkmmx1x2則原系統(tǒng)的自由振動(dòng)通解為)sin(11)sin(112222112121tbtbxx)3sin(11)sin(1122212121tmkbtmkbxx則自由振動(dòng)響應(yīng)為：代入初

6、始條件：222121sin11sin1101bb222121cos311cos1100mkbmkb解得212222121bb自由振動(dòng)響應(yīng)為)3cos(1121)cos(1121)()(21tmktmktxtx多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)此時(shí)響應(yīng)為兩個(gè)固有簡諧振動(dòng)的疊加，但已非周期(頻率比會(huì)得無理數(shù)的簡諧振動(dòng)疊加)。多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)一般多自由度無阻尼系統(tǒng)的固有模態(tài)分析一般多自由度無阻尼系統(tǒng)的固有模態(tài)分析N自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程0 KxxM 假設(shè)方程的解為 )sin(ptXx代入振動(dòng)方程可得0)(2Xmpk02mpk令2p上式改寫成XmXk 這是一個(gè)數(shù)學(xué)上的廣義特征值問題，由此解出其N個(gè)特

7、征值i(i=1,2,3,.N)，就可得到系統(tǒng)N個(gè)固有頻率pi(i=1,2,3,.N)。而相應(yīng)的N個(gè)特征向量Xi，就是系統(tǒng)的N個(gè)固有振型。多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)11XXmk或1XXkm 實(shí)際求解時(shí)，利用矩陣的對(duì)稱性，可用矩陣三角分解的方法。 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)特征值問題和廣義特征值問題的數(shù)值求解，可用現(xiàn)成的程序計(jì)算其特征值和特征向量。 可以將廣義特征值問題化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題，用標(biāo)準(zhǔn)方法求解： 如果仍用特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式的值為零來求解 p，當(dāng)自由度數(shù)較大時(shí)，從計(jì)算上講是不現(xiàn)實(shí)的，需要另找求解途徑。多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)固有振型的正交性固有振型的正交性 固有振型的正交性是無阻尼系統(tǒng)固有振型的一個(gè)非常重要的性

8、質(zhì)，它表現(xiàn)互異固有頻率所對(duì)應(yīng)固有振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的加權(quán)正交。用數(shù)學(xué)語言表示為：),(iipX),(jjpX分別為第i階固有頻率及相應(yīng)固有振型設(shè) 分別為第j階固有頻率及相應(yīng)固有振型2XmpXk固有頻率和振型滿足振動(dòng)方程)(0)(1,jijidefKMijijijTiijijTiKXXMXX多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)i2iXXmpkij2jXXmpkjTiXi2iXXXXmpkTjiTjj2jXXXXmpkTijTiTjX(1)(2)分別得到(2)式前乘(1)式前乘(3)(4)由于質(zhì)量陣、剛度陣的對(duì)稱性，(3)式轉(zhuǎn)置后得到 j2jXXXXmpkTiiTi(5)0)(22jTijimppXX(

9、5)式與(4)式相減：jipp 0jTim XX0jTik XX因?yàn)榇?5)式：所以(6) 固有振型的正交性，保證了各階模態(tài)運(yùn)動(dòng)的固有振型的正交性，保證了各階模態(tài)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性獨(dú)立性，無無阻尼阻尼系統(tǒng)的各階固有振動(dòng)間的能量是不耦合的。系統(tǒng)的各階固有振動(dòng)間的能量是不耦合的。 分別代入原方程多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)iiTiMmXXiiTiKkXXiiiMpK2由式 (5)顯然有當(dāng) i=j 時(shí)，式 (6)恒成立記：稱為第第i i階模態(tài)質(zhì)量階模態(tài)質(zhì)量稱為第第i i階模態(tài)剛度階模態(tài)剛度有了固有振型矩陣，相應(yīng)的固有振型正交性可表示為：nnnnnnnXXXXXXXXX212222111211321XXXXAi

10、TMdiagAmA2iiiTMpdiagKdiagAkA如果將各階固有振型按列排列成矩陣形式，則有稱為固有振型矩陣固有振型矩陣多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)0rrTrMM 廣義質(zhì)量(陣)，廣義剛度(陣)定義: 設(shè)任意特征向量), 2 , 1( ,Nrr第r階廣義質(zhì)量0rrTrKK第r階廣義剛度rTMdiagAmAMrTKdiagAkAK廣義質(zhì)量陣廣義剛度陣0/rrrMK質(zhì)量陣正定,剛度陣半正定mmmMBBT211001 , 111011001 , 121mmMBBTmmmMBBT211001 , 122011001 , 112mmMBBTkkkkkKBBT21154451 , 11101154451

11、, 121kkkkKBBTkkkkkKBBT181154451 , 12201154451 , 112kkkkKBBT21002002MMMdiagmmMBBiT210018002KKKdiagkkKBBiT多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng) 因?yàn)楣逃姓裥痛?離散)系統(tǒng)在作固有振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)量點(diǎn)振幅的比值，故它具有相對(duì)性，并不表示各質(zhì)量點(diǎn)振幅的絕對(duì)大小。從而可知，由固有振型計(jì)算得到的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度也與固有振型選取有關(guān)。但只要固有振型一旦確定，模態(tài)質(zhì)量 Mi、模態(tài)剛度 Ki 也就有確定值。多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)固有振型的歸一化固有振型的歸一化( (規(guī)范化、歸一化規(guī)范化、歸一化) ) 根據(jù)固有振型相對(duì)性，

12、對(duì)任一階固有振型的各個(gè)分量同乘以一個(gè)常數(shù)，仍然是該階固有振型。這就引出了固有振型的標(biāo)準(zhǔn)化歸一化問題。固有振型的歸一化方法一般有兩種：1. 在振動(dòng)的工程分析或振型測(cè)試時(shí)，通常采用將最大絕對(duì)值分量置1的方法，即將各階振型分別除以該階振型的最大分量，用公式表示為： 2.在理論分析中，通常采用使模態(tài)質(zhì)量為1的歸一化方法，即對(duì)固有振型歸一化后，使得多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)),max(121iNiiiiXXXXX1iiiXMXIAmAT2iTpdiagAkA從而，歸一化可用公式表示為：經(jīng)過這樣的歸一化后，固有振型矩陣顯然有如下性質(zhì)由：iiTiMXmX得：IM 固有振型正交性非常重要，可以通過模態(tài)坐標(biāo)變換來使

13、系統(tǒng)解耦。 引入如右所示實(shí)模態(tài)變換：Ayx 假設(shè)A中各振型已按模態(tài)質(zhì)量為1進(jìn)行歸一化，原方程前乘以AT，引入上述變換，則 0KAyAyMAATT 由歸一化定義有: 02ypdiagyi 任一階標(biāo)量形式為， 02iiiypy 對(duì)應(yīng)自由振動(dòng)問題, )sin(iiiitpy可見系統(tǒng)已經(jīng)完全解耦。ii,可由初始條件得模態(tài)坐標(biāo)下的初始條件系統(tǒng)的物理坐標(biāo)自由振動(dòng)響應(yīng)可表示為模態(tài)響應(yīng)的線性疊加：)sin(1iiiNiiitpXyAx多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)010 xAyMAAAT1則已經(jīng)關(guān)于質(zhì)量振歸一，若多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)例求圖示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，若初始條件為01)0()0(21xx00)0()0

14、(21xx求其自由振動(dòng)響應(yīng)(按模態(tài)質(zhì)量為1進(jìn)行歸一化)kkkmmx1x2解 系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程0022002121xxkkkkxxmm )sin(2121ptbbxx令可得到特征方程為：0)(34224mkpmkp固有頻率為mkpmkp321固有振型為02222mpkkkmpk即1111,21XXA若按另一求逆方法確定，固有振動(dòng)的初始條件則：確定初始條件：對(duì)解耦后方程自由振動(dòng)響應(yīng)為多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)1111,21XXA111121mA按質(zhì)量陣歸一，2/2/0100)0()0()0()0(21121mmmmAxxAyyT000000)0()0()0()0(21121mmAxxAyyT)si

15、n(iiiitpyiiiipyy)0()0(22)0()0(arctan22iiiiyyp2/22121m)cos(1121)cos(1121)cos(1121)cos(1121)()(21221121tptptpmtpmtxtx多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)實(shí)模態(tài)分析實(shí)模態(tài)分析(迭加迭加)法法基于模態(tài)坐標(biāo)變換1yAXyxNiii將模態(tài)坐標(biāo)變換式代入多自由度無阻尼系統(tǒng)振動(dòng)方程，并前乘ATyi為模態(tài)坐標(biāo) 可見，將振動(dòng)方程從物理坐標(biāo)系變換到模態(tài)坐標(biāo)系后，原來相互耦合的N個(gè)振動(dòng)微分方程，變成了N個(gè)相互獨(dú)立的單自由度振動(dòng)微分方程。這個(gè)過程也稱為坐標(biāo)解耦。模態(tài)坐標(biāo)就是我們要找的可以使方程無坐標(biāo)耦合(慣性和彈性耦合)的一組理想坐標(biāo)。.N)1,2,3(i0iiiiyKyM 由于都為對(duì)角陣，非對(duì)角線項(xiàng)為零，故上式可以寫成：0yAkAyAmATT 0yKyMii iiKM關(guān)于模態(tài)坐標(biāo) yi的單自由度微分方程，很容易得