數(shù)值分析例題

1、數(shù)數(shù) 值值 分分 析析第一章第一章 緒論與誤差分析緒論與誤差分析1 1 緒論：數(shù)值分析的研究?jī)?nèi)容緒論：數(shù)值分析的研究?jī)?nèi)容2 2 誤差的來(lái)源和分類(lèi)誤差的來(lái)源和分類(lèi)3 3 誤差的表示誤差的表示4 4 誤差的傳播誤差的傳播5 5 算法設(shè)計(jì)的若干原則算法設(shè)計(jì)的若干原則 例例1-3 1-3 設(shè)設(shè) x*=2.18是由精確值是由精確值x 經(jīng)過(guò)四舍五入得到的經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值。問(wèn)近似值。問(wèn) x的絕對(duì)誤差限的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限各是多少？各是多少？解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?x=x * 0.005 ， 關(guān)于近似數(shù)誤差的大小除了用絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差關(guān)于近似數(shù)誤差的大小除了用絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差度量以外，還

2、可以用有效數(shù)字度量，下面給出有效數(shù)字度量以外，還可以用有效數(shù)字度量，下面給出有效數(shù)字的概念。的概念。 所以所以絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限為為=0.005%23.018.2005.0* x 相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限為為1415926. 3 001. 01 14159. 3,142. 3,14. 3321 三、有效數(shù)字三、有效數(shù)字一個(gè)數(shù)的近似數(shù)往往是通過(guò)四舍五入的原則求得，例如一個(gè)數(shù)的近似數(shù)往往是通過(guò)四舍五入的原則求得，例如取以下近似數(shù)取以下近似數(shù) 可以發(fā)現(xiàn)每一個(gè)近似數(shù)的絕對(duì)誤差限都不超過(guò)近似數(shù)可以發(fā)現(xiàn)每一個(gè)近似數(shù)的絕對(duì)誤差限都不超過(guò)近似數(shù)末尾數(shù)位的半個(gè)單位。如果一個(gè)近似數(shù)滿(mǎn)足這個(gè)條件，末尾數(shù)位的半個(gè)單位。

3、如果一個(gè)近似數(shù)滿(mǎn)足這個(gè)條件，就把這個(gè)近似數(shù)從末尾到第一位非零數(shù)字之間的所有數(shù)就把這個(gè)近似數(shù)從末尾到第一位非零數(shù)字之間的所有數(shù)字叫做字叫做有效數(shù)字有效數(shù)字。0004. 02 000002. 03 21021005. 0 310210005. 0 51021000005. 0 則分別得到這些近似數(shù)的絕對(duì)誤差則分別得到這些近似數(shù)的絕對(duì)誤差結(jié)論：結(jié)論：通過(guò)四舍五入通過(guò)四舍五入原則求得的近似數(shù)，原則求得的近似數(shù)，其有效數(shù)字就是從末其有效數(shù)字就是從末尾到第一位非零數(shù)字尾到第一位非零數(shù)字之間的所有數(shù)字。之間的所有數(shù)字。則稱(chēng)近似數(shù)則稱(chēng)近似數(shù) x* 具有具有 n 位位有效數(shù)字有效數(shù)字。定義定義1.3 設(shè)數(shù)設(shè)數(shù)

4、x 的近似值可以表示為的近似值可以表示為mnx10. 021* 其中其中 m 是整數(shù)是整數(shù),i (i=1,2, , n) 是是0到到9 中的一個(gè)數(shù)字，中的一個(gè)數(shù)字，而而1 0. 如果如果其絕對(duì)誤差限為其絕對(duì)誤差限為例如近似數(shù)例如近似數(shù) x*=2.0004 ，其絕對(duì)誤差限為其絕對(duì)誤差限為由科學(xué)計(jì)數(shù)法由科學(xué)計(jì)數(shù)法 x* = 0.20004101 得到得到514*10211021 xx故，該近似數(shù)有五位有效數(shù)字故，該近似數(shù)有五位有效數(shù)字。*41102xx是末尾數(shù)是末尾數(shù)位的半個(gè)位的半個(gè)單位，即單位，即由四舍五由四舍五入得來(lái)入得來(lái)小結(jié)：由科學(xué)計(jì)小結(jié)：由科學(xué)計(jì)數(shù)法表示的數(shù)字?jǐn)?shù)法表示的數(shù)字，若其絕對(duì)誤差，

5、若其絕對(duì)誤差限滿(mǎn)足不等式，限滿(mǎn)足不等式，則有則有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字*1102m nxx 例例1-4 1-4 下列近似數(shù)是通過(guò)四舍五入的方法得到的，試下列近似數(shù)是通過(guò)四舍五入的方法得到的，試判定它們各有幾位有效數(shù)字：判定它們各有幾位有效數(shù)字： 解：我們可以直接根據(jù)近似數(shù)來(lái)判斷有效數(shù)字的位數(shù)，解：我們可以直接根據(jù)近似數(shù)來(lái)判斷有效數(shù)字的位數(shù)，也可以通過(guò)絕對(duì)誤差限來(lái)判斷。也可以通過(guò)絕對(duì)誤差限來(lái)判斷。有有5 5位有效數(shù)字。同理可以寫(xiě)出位有效數(shù)字。同理可以寫(xiě)出可以得出可以得出 x2 , x3 , x4 各具有各具有4、3、4 位有效數(shù)字位有效數(shù)字。 x1* =87540，x2*=875410, x3*

6、=0.00345, x4*= 0.3450 10-21112xx510.87540 10 x而55111021 xx所以1221102xx 520.875410 x 54221102xx 5331102xx 6441102xx 230.34510 x 240.345010 x -23331102xx 24441102xx 已已知知*11 02mnxx 例例1-4 已知已知 e =2.718281828, 試判斷下面兩個(gè)近似試判斷下面兩個(gè)近似數(shù)各有幾位有效數(shù)字?jǐn)?shù)各有幾位有效數(shù)字？6110210000005. 00000001. 0 ee718281. 2,718282. 221 ee615210

7、211021000005. 00000008. 0 ee解解：由于由于而而11102718282. 0718282. 2 e所以所以7161102110210000005. 00000001. 0 ee e1有有7 7位有效數(shù)字。同理：位有效數(shù)字。同理：e2 只有只有6 6位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。三、絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的關(guān)系三、絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的關(guān)系2 2、絕對(duì)誤差與有效數(shù)字的關(guān)系、絕對(duì)誤差與有效數(shù)字的關(guān)系xxxxexxxer*)(,)( ,)()(xxexer 得到得到：1 1、絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的關(guān)系、絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的關(guān)系nmxx 1021* 可以知道：有效數(shù)字位

8、數(shù)越多，絕對(duì)誤差限越小?？梢灾溃河行?shù)字位數(shù)越多，絕對(duì)誤差限越小。由關(guān)系式：由關(guān)系式：)()(xxexer 或或者者mnx10. 0*213 3、相對(duì)誤差與有效數(shù)字的關(guān)系、相對(duì)誤差與有效數(shù)字的關(guān)系由近似數(shù)由近似數(shù)得到相對(duì)誤差限得到相對(duì)誤差限nmxx 1021* 可以看出：可以看出：有效數(shù)字位數(shù)越多，相對(duì)誤差限越小。有效數(shù)字位數(shù)越多，相對(duì)誤差限越小。及及12*0.10mnx112.10mn 1110m*(1)11111012( )10102m nnrmxxe xxaa 解解：由于由于 ，則近似值則近似值 x* 可寫(xiě)可寫(xiě)為為4.420 12*0.10nx = = L L041 例例 1-5 為了

9、使為了使 的近似值的相對(duì)誤差小于的近似值的相對(duì)誤差小于 10-3，問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字？問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字？ 20 x根據(jù)根據(jù))1(111*1021101021)( nmnmrxxxxe 3)1(1010421 n只要只要即可即可,解得：解得：n4 ， 故只要取故只要取 n=4 , 就可滿(mǎn)足要求就可滿(mǎn)足要求。即應(yīng)取即應(yīng)取 4 4 位有效數(shù)字位有效數(shù)字，472135.420 準(zhǔn)確數(shù)為準(zhǔn)確數(shù)為：此時(shí)此時(shí) x =4.472 . 練習(xí)練習(xí)1.1: 判斷下列近似數(shù)個(gè)有幾位有效數(shù)字，用判斷下列近似數(shù)個(gè)有幾位有效數(shù)字，用絕對(duì)誤差限表示。絕對(duì)誤差限表示。注意注意：精確值的有效數(shù)字可以認(rèn)為有無(wú)限多位。如：精確值的

10、有效數(shù)字可以認(rèn)為有無(wú)限多位。如：50000.021 x1*=24.67x2*=385010 3x3*=0.674210 -2x4*=0.000374x5*=0.8400 習(xí)習(xí) 題題 一一 1-1 1-1 下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值。試分下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值。試分別指出它們的絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。別指出它們的絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。 a=0.0315, b=0.3015, c=31.50, d=5000 1-2 下列近似值的絕對(duì)誤差限都是下列近似值的絕對(duì)誤差限都是0.005, a=-1.00031 , b=0.042 , c=-0.00

11、032試指出它們有幾位有效數(shù)字。試指出它們有幾位有效數(shù)字。 1-3 為了使為了使 的近似值的相對(duì)誤差小于的近似值的相對(duì)誤差小于0.01%，試，試問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字？問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字？10 1-4 求方程求方程 x2-56x+1=0 的兩個(gè)根，使它們至少具有四位的兩個(gè)根，使它們至少具有四位有效數(shù)字有效數(shù)字 .964.553132 1-6 設(shè)設(shè) ,假定假定 g 是精確的，而對(duì)時(shí)間是精確的，而對(duì)時(shí)間 t 的測(cè)的測(cè)量有量有 0.1s 的誤差。證明：當(dāng)?shù)恼`差。證明：當(dāng)t 增大時(shí)增大時(shí)，S 的絕對(duì)誤的絕對(duì)誤差增大而相對(duì)誤差減小差增大而相對(duì)誤差減小. .221gtS 1-5 若取若取 及初始值及初始值 y

12、0=28 ,按遞推公式按遞推公式983.27783 , 2 , 1,78310011 nyynn 計(jì)算計(jì)算 y100，試估計(jì)試估計(jì)y100 有多大誤差有多大誤差。第二章第二章 代數(shù)插值代數(shù)插值求解求解 L1(x)=a1 x+a0ixiy0 x1x0y1y已知已知使得使得 f(x) L1(x), x x0 , x1.10100101yxxxxyxxxx 根據(jù)點(diǎn)斜式得到根據(jù)點(diǎn)斜式得到)()(0010101xxxxyyyxL )(1xLy )(xfy 0 x1xOxy如果令如果令1010)(xxxxxl 0101)(xxxxxl 則稱(chēng)則稱(chēng) l0(x) , l1(x)為一次插值多項(xiàng)式的為一次插值多項(xiàng)式

13、的基函數(shù)基函數(shù)。這時(shí)。這時(shí)：并稱(chēng)其為一次并稱(chēng)其為一次Lagrange插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 0)(, 1)(1000 xlxl1)(, 0)(1101 xlxlf(x) L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)求解求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0使得使得 f(x) L2(x), x x0 , x2.關(guān)于二次多項(xiàng)式的構(gòu)造采用如下方法：令關(guān)于二次多項(xiàng)式的構(gòu)造采用如下方法：令已知已知ixiy0 x1x0y1y2x2y并由插值條件并由插值條件得到得到)(20100 xxxxyA )(21011xxxxyB )(12022xxxxyC L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0

14、)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1)L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2于是得到于是得到2120210121012002010212)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL 則有則有 jijixlijij, 0, 1)( f(x) L2(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)+ y2 l2(x) 2020jjijijiiyxxxx)()()(2010210 xxxxxxxxxl 如果令如果令)()()(2101201xxxxxxxxxl )()()(1202102xxxxxxxxxl 并稱(chēng)其為二次并稱(chēng)其為二次La

15、grange 插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 緊湊格式緊湊格式則稱(chēng)則稱(chēng) l0(x) , l1(x)，l(x)為二次插值多項(xiàng)式的為二次插值多項(xiàng)式的基函數(shù)基函數(shù)。這時(shí)。這時(shí)：這樣，就得到二次拉格朗日插值多項(xiàng)式的三種表示形式這樣，就得到二次拉格朗日插值多項(xiàng)式的三種表示形式 20202)(jjijijiiyxxxxxL緊湊格式緊湊格式 這樣就得到在區(qū)間這樣就得到在區(qū)間a,b上關(guān)于上關(guān)于 f(x) 的近似計(jì)算式的近似計(jì)算式 202)()(jjjxlyxL基函數(shù)表示基函數(shù)表示 jjjjyxxxxxL 20332)()()()( 3(x)表示式表示式 ,),()(202xxxxLxf 下面給出下面給出n次拉格朗日

16、插值多項(xiàng)式的構(gòu)造次拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造。已知已知n+1組離散數(shù)據(jù)組離散數(shù)據(jù)ixiy0 x1x0y1ynxny按照二次按照二次Lagrange插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，令：插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，令：)()()()()()()(110201210 nnnnnxxxxxxAxxxxxxAxxxxxxAxL將插值條件將插值條件 Ln( x0 )= y0 代入，得到：代入，得到：)()(0201000nxxxxxxyA 同理，由插值條件同理，由插值條件 Ln( x1 )= y1 ，得到：得到：)()(1210111nxxxxxxyA ),(),()!1()()()()(1)1(baxnfxLxfxRnn

17、nn 對(duì)于誤差估計(jì)式對(duì)于誤差估計(jì)式當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí))(! 2)()()()(1011xxxxfxLxfxR 如果如果)(max,2xfMbax 存在，則可以估計(jì)誤差限：存在，則可以估計(jì)誤差限：)(max)(max21)(10,11010 xxxxxfxRxxxxxx 20122012)(814)(21xxMxxM 于是，得到如下于是，得到如下Lagrange插值多項(xiàng)式及其誤差估計(jì)插值多項(xiàng)式及其誤差估計(jì)這里這里 f(x) =Ln(x)+Rn(x)當(dāng)當(dāng) f(x) Ln(x) 時(shí)，誤差為時(shí)，誤差為Rn(x)。),(),()!1()()(1)1(baxnfxRnnn njjijinjiinyxxxxxL

18、00)(jnjjnjnnyxxxxxL 011)()()()( )()()(2103xxxxxxx 例例2 已知已知分別用線性插值和二次插值計(jì)算分別用線性插值和二次插值計(jì)算 sin0.3367.352274. 036. 0sin,333487. 034. 0sin,314567. 032. 0sin 解：設(shè)解：設(shè)36.0,34.0,32.0210 xxx352274. 0,333487. 0,314567. 0210 yyy（1）?。┤?x0 ,x1 作線性插值作線性插值101001011)(yxxxxyxxxxxL )32. 0(02. 0333487. 0)34. 0(02. 031456

19、7. 0 xx于是于是330365.0)3367.0(3367.0sin1 L關(guān)于誤差，由關(guān)于誤差，由)(2sin)(!2)()(10101xxxxxxxxfxR 得到：得到：)34. 03367. 0)(32. 03367. 0(333487. 021)3367. 0(1 R510918923. 0 0.320.3250.330.3350.3400.20.40.60.810.320.3250.330.3350.340.310.3150.320.3250.330.3350.34)(max)(max21)(10,11010 xxxxxfxRxxxxxx （2 2）. .取取 x0 ,x1 ,x2

20、 作二次插值作二次插值330374.0)3367.0(3367.0sin2 L2120210121012002010212)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL 得到得到 關(guān)于誤差，由關(guān)于誤差，由)()(6cos)()(! 3)()(2102102xxxxxxxxxxxxfxR )()(6cos)()(! 3)()(2102102xxxxxxxxxxxxfxR 得到得到)36. 03367. 0)(34. 03367. 0)(32. 03367. 0(161)3367. 0(2 R610107000. 0 0.320.330.340.350.36

21、-0.200.20.40.60.811.20.320.330.340.350.360.310.3150.320.3250.330.3350.340.3450.350.355本節(jié)本節(jié)(2 )要點(diǎn)要點(diǎn)1. 掌握掌握Lagrange 插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法及具體結(jié)構(gòu)插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法及具體結(jié)構(gòu)2. 掌握掌握Lagrange插值多項(xiàng)式誤差分析方法和結(jié)果插值多項(xiàng)式誤差分析方法和結(jié)果3. 編寫(xiě)編寫(xiě)Lagrange插值多項(xiàng)式計(jì)算程序進(jìn)行實(shí)際計(jì)算插值多項(xiàng)式計(jì)算程序進(jìn)行實(shí)際計(jì)算練習(xí)練習(xí) ：已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)的如下離散數(shù)據(jù)的如下離散數(shù)據(jù)x012y2312(1). 試用線性插值求函數(shù)在試用線性插值求函數(shù)在

22、 x= 1.5處的近似值。處的近似值。(2). 試用二次插值求函數(shù)在試用二次插值求函數(shù)在 x= 1.5處的近似值。處的近似值。1)(5 xxxf2,2,2,2,2,2543210f2,2,2,2,2,2,26543210f)!1()(,)1(10 nfxxxxfnn ! 5)(2,2,2,2,2,2)5(543210 ff 1! 5! 5 !6)(2,2,2,2,2,2,2)6(6543210 ff 0 ,)()(,)(,)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN )4)(3)(2)(1(5 . 0)3)(2)(1(2)2)(1(4)1

23、(20)(4 xxxxxxxxxxxN28125. 0329)5 . 1()5 . 1(4 Nf)5)(4)(3)(2)(1( 1 . 0)()(45 xxxxxxNxN)5 . 1()5 . 1(5Nf )55 . 1)(45 . 1)(35 . 1)(25 . 1)(15 . 1(1 . 0)5 . 1(4 N328125. 028125. 0 609375. 0 關(guān)于離散數(shù)據(jù)：關(guān)于離散數(shù)據(jù)：構(gòu)造了構(gòu)造了lagrange插值多項(xiàng)式：插值多項(xiàng)式：),(),()!1()()(1)1(baxnfxRnnn njjijinjiinyxxxxxL00)(Newton插值多項(xiàng)式：插值多項(xiàng)式：,)()(

24、,)(,)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN 根據(jù)問(wèn)題需要，有時(shí)還需要構(gòu)造分段插值多項(xiàng)式，下根據(jù)問(wèn)題需要，有時(shí)還需要構(gòu)造分段插值多項(xiàng)式，下面加以介紹面加以介紹ixiy0 x1x0y1ynxny4.2 4.2 分段線性插值分段線性插值為了提高近似程度，可以考慮用分段線性插值來(lái)逼近為了提高近似程度，可以考慮用分段線性插值來(lái)逼近原函數(shù)。原函數(shù)。oxy1 ixix0 xnx設(shè)設(shè) y=f(x) 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)a = x0 x1 xn= b 處的函數(shù)值為處的函數(shù)值為yi = f (xi) , i=0,1,2,n . 這時(shí)的插值函數(shù)為分段函數(shù)：這

25、時(shí)的插值函數(shù)為分段函數(shù)： , )(, )(, )()(1212101nnnxxxxsxxxxsxxxxsxSnixxxxyxxxxyxSiiiiiiiii, 2 , 1,)(1111 在區(qū)間在區(qū)間 上的線性函數(shù)為上的線性函數(shù)為,1iixx 誤差為：誤差為：)(! 2)()()()(1iiiiixxxxfxSxfxR iiixx 11 iiixxh,8)(412221iiiiihMxxM 則有：則有：)(2)()(1iiiixxxxfxR 令令1max( ) ,iiixxxMfx )(max)(max211,11iixxxxxxxxxxxfiiii 可以按如下的方式考慮：可以按如下的方式考慮：關(guān)

26、于整體誤差：關(guān)于整體誤差：)()()(xSxfxR 于是于是, ,當(dāng)當(dāng) h 0 時(shí)，分段線性插值時(shí)，分段線性插值S(x) 收斂于收斂于f(x) 。值值得注意的是：分段線性插值雖然有很好的收斂性質(zhì)，得注意的是：分段線性插值雖然有很好的收斂性質(zhì)，但卻不是光滑的。也就是說(shuō)，但卻不是光滑的。也就是說(shuō)，S(x)的導(dǎo)數(shù)不一定存在！的導(dǎo)數(shù)不一定存在！)(max)()()(1xRxSxfxRini 211maxmax81iniinihM 28hM 若記若記 則對(duì)任一則對(duì)任一 x a,b 都有都有,max1inihh ,max1iniMM 下面我們就考慮在節(jié)點(diǎn)處可導(dǎo)的插值多項(xiàng)式的構(gòu)造。下面我們就考慮在節(jié)點(diǎn)處可導(dǎo)

27、的插值多項(xiàng)式的構(gòu)造。4.3 分段分段Hermite 插值插值 分段線性插值多項(xiàng)式分段線性插值多項(xiàng)式S(x),在插值區(qū)間在插值區(qū)間a,b上只能保上只能保證連續(xù)性，而不光滑。要想得到在插值區(qū)間上光滑的分證連續(xù)性，而不光滑。要想得到在插值區(qū)間上光滑的分段插值多項(xiàng)式，可采用分段段插值多項(xiàng)式，可采用分段Hermite插值。插值。 如果已知函數(shù)如果已知函數(shù)y=f(x) 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)a = x0 x1 xn= b 處處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值：的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值：則在小區(qū)間則在小區(qū)間x i-1 , xi 上有四個(gè)插值條件：上有四個(gè)插值條件：故能構(gòu)造一個(gè)三次多項(xiàng)式故能構(gòu)造一個(gè)三次多項(xiàng)式 Hi(x) 并稱(chēng)其為并稱(chēng)其為三次

28、埃爾米三次埃爾米特特(Hermite)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式。 yk=f(xk), yk=f (xk) , k=0,1, ,n yi-1=f(xi-1), yi=f (xi) , y i-1=f (xi-1), yi=f (xi) , iiiiiiiiiiiyhxxxxhyhxxxxhxH3211321)( 2)( 2)( 代入下式代入下式)()()()()(1111xyxyxyxyxHiiiiiiiii 得到得到iiiiiiiiyhxxxxyhxxxx 2211221)()()(這樣，便求出了分段三次這樣，便求出了分段三次Hermite插值多項(xiàng)式：插值多項(xiàng)式： , )(, )(, )()(12

29、12101nnnxxxxHxxxxHxxxxHxH關(guān)于誤差，若關(guān)于誤差，若f(x)在在a,b具有具有4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可推階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可推得得 221)4()()(! 4)()()()(iiiiixxxxfxHxfxR iiixx,1 其中其中如果記如果記)(max)4(1xfMiixxxi 則有：則有：21,)(max!4)(1iixxxiixxxxMxRii 224! 4 iihM4438416! 4iiiihMhM 即即., 2, 1,384)(4nihMxRiii 關(guān)于整體誤差，若關(guān)于整體誤差，若 f(x) C4a,b , ,則可按如下方式考慮：則可按如下方式考慮：)(max)()()(1

30、xRxHxfxRini 41384maxiinihM411maxmax3841iniinihM 記記iniMM 1maxinihh 1max則有：則有：4384)(hMxR 于是于是,當(dāng)當(dāng)h 0 時(shí)，時(shí)，R(x) 0.說(shuō)明分段說(shuō)明分段三次三次Hermite插值插值 H(x) 收斂于收斂于f(x) 。 本節(jié)本節(jié)( (4 )4 )問(wèn)題問(wèn)題2.2.分段線性插值有何優(yōu)缺點(diǎn)？如何估計(jì)誤差？分段線性插值有何優(yōu)缺點(diǎn)？如何估計(jì)誤差？ 4.4.如何分段線性插值算法的程序設(shè)計(jì)？如何分段線性插值算法的程序設(shè)計(jì)？1.1.何為高次插值的何為高次插值的Runge 現(xiàn)象，應(yīng)如何避免？現(xiàn)象，應(yīng)如何避免？ 3.3.分段三次分段

31、三次Hermite插值有何優(yōu)缺點(diǎn)插值有何優(yōu)缺點(diǎn), ,如何估計(jì)誤差如何估計(jì)誤差221)4()()(! 4)()()()(iiiiixxxxfxHxfxR ix0 x1x2x)(ixf0y1y2y)(ixf 0y 5.5.如何構(gòu)造滿(mǎn)足以下條件的插值多項(xiàng)式并估計(jì)誤差？如何構(gòu)造滿(mǎn)足以下條件的插值多項(xiàng)式并估計(jì)誤差？ 2. 三次樣條函數(shù)的定義三次樣條函數(shù)的定義 已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x) 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)a = x0 x1 xn= b 處的函處的函數(shù)值為數(shù)值為如果函數(shù)如果函數(shù) S(x) 滿(mǎn)足條件：滿(mǎn)足條件：（2）S(x) 在子區(qū)間在子區(qū)間xi-1 ,xi上是不超過(guò)上是不超過(guò)三次的多項(xiàng)式；三次的多項(xiàng)式； 則稱(chēng)

32、則稱(chēng)S(x) 是三次樣條插值函數(shù)。是三次樣條插值函數(shù)。（3）S(x) 在在a,b具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；yk =f( xk) , k=0,1,2, ,n（1） S(xk)=yk ， k=0,1,2, ,n；常用的邊界條件有以下幾種：常用的邊界條件有以下幾種：邊界條件邊界條件1m： 00(),()nnS xyS xy 00 )(,)(nnyxSyxS 邊界條件邊界條件2M： )0()0()0()0()0()0( 0 00nnnxSxSxSxSxSxS邊界條件邊界條件3：假定函數(shù)假定函數(shù)y=f(x)是以是以b-a 為為周期的周期函周期的周期函數(shù)，這時(shí)要求數(shù)，這時(shí)要求S(x) 也是周期函

33、數(shù)，即也是周期函數(shù)，即 這樣我們便可以具體求出樣條函數(shù)來(lái)這樣我們便可以具體求出樣條函數(shù)來(lái)。1, 2 , 1,211 nigmmmiiiiii 11 iiiihhh 令：令：11 iiiiihhh iiiiiiiiihyyhyyg1113 iiiiiixxfxxf,311 于是于是11hhhnn 1hhhnnn ),(3110nnnnnxxfxxfg 得到得到00,nnmymy 這樣，我們只需要求出這樣，我們只需要求出 m0 ,m1 ,m n 即可即可。 邊界條件邊界條件1： 00(),()nnSxySxy 這時(shí)方程這時(shí)方程 11121232212121101222nnnnnngmmmgmmmg

34、mmm 改寫(xiě)為：改寫(xiě)為： nnnnnnygmmgmmmygmm11121232212011211222 或者，表示為矩陣方程或者，表示為矩陣方程 112201112211222212222nnnnnnnnnygggygmmmm (2.4)由于由于 k+k =1 , ,方程方程（2.4）的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，方程陣，方程（2.4）有惟一解，并可用追趕法求解。有惟一解，并可用追趕法求解。便得到三次樣條函數(shù)：便得到三次樣條函數(shù)： 解出解出m0 ,m1 ,m n 以后，代入下式以后，代入下式iiiiiiiiiiiyhxxxxhyhxxxxhxS3211321)( 2)

35、( 2)( iiiiiiiimhxxxxmhxxxx2211221)()()( , )(, )(, )()(1212101nnnxxxxsxxxxsxxxxsxSnni, 1, 2 , 1 也就是：也就是：00(),()nnSxySxy邊界條件邊界條件2： 00 1)0(yxS )0(nnnyxS 已知：已知：故可以得到故可以得到 )(642)0(121 iiiiiiiiiyyhmhmhxS)(624)0(121111 1iiiiiiiiiyyhmhmhxS 2)(32 0110110yhhyymm 0g 2)( 32 11nnnnnnnyhhyymm ng 將將 11121232212121

36、101222nnnnnngmmmgmmmgmmm 2)(32 0110110yhhyymm 0g ng 2)( 32 11nnnnnnnyhhyymm 與前面得到的方程組與前面得到的方程組結(jié)合，可以給出求解結(jié)合，可以給出求解 m0 ,m1 ,m n 的方程組：的方程組： nnnnnnggggmmmm1101101111212212 求解此方程組，也可以求出三次樣條函數(shù)。求解此方程組，也可以求出三次樣條函數(shù)。 nnnnnnnnngmmgmmmgmmmgmm2222111121121101010 (2.5)或者表示為矩陣方程或者表示為矩陣方程 )0()0()0()0()0()0( 0 00nnnx

37、SxSxSxSxSxS由第一個(gè)等式和第二個(gè)等式得到由第一個(gè)等式和第二個(gè)等式得到 y0=yn ,m0=mn邊界條件邊界條件3：周期邊界條件周期邊界條件由第三個(gè)等式說(shuō)明由第三個(gè)等式說(shuō)明)0()0( 0 1 nnxSxS11hhhnn 1hhhnnn ),(3110nnnnnxxfxxfg 令令得到得到nnnnngmmm 112 結(jié)合得到結(jié)合得到與與 11121232212121101222nnnnnngmmmgmmmgmmm 將將nnnnngmmm 112 nnnnnnnnnnngmmmgmmmgmmmgmmm11111121232212112112222 表示為矩陣方程：表示為矩陣方程： nnn

38、nnnnnggggmmmm1211211122112222 (2.6) 其系數(shù)矩陣稱(chēng)作周期三對(duì)角矩陣，也是嚴(yán)格對(duì)角占其系數(shù)矩陣稱(chēng)作周期三對(duì)角矩陣，也是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)優(yōu) ，因而方程組有唯一解。，因而方程組有唯一解。三次樣條函數(shù)三轉(zhuǎn)角算法的實(shí)現(xiàn)流程三次樣條函數(shù)三轉(zhuǎn)角算法的實(shí)現(xiàn)流程Step1: 輸入節(jié)點(diǎn)輸入節(jié)點(diǎn)x0 ,x1 , xn ,函數(shù)值函數(shù)值y0 ,y1 , yn、 邊界條件及邊界條件及 x.Step3: 根據(jù)邊界條件，求解相應(yīng)的方程組得到根據(jù)邊界條件，求解相應(yīng)的方程組得到 m0 , m1 , , mnStep2: 計(jì)算計(jì)算1, 2 , 1 ni11 iiiihhh 11 iiiiihhh ii

39、iiiiixxfxxfg,311 Step4: 判斷判斷 xx i-1 , xi ?Step5: 計(jì)算計(jì)算 y si(x)Step6: 輸出輸出 y0)3(, 1)0(, 1)3(, 0)2(, 1) 1 (, 0)0( ffffff212121 hhh 例例4 4 已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x) 的如下數(shù)據(jù)的如下數(shù)據(jù), ,試求其在區(qū)間試求其在區(qū)間0,30,3上的三次樣條插值函數(shù)上的三次樣條插值函數(shù)S(x)。 解解 這里邊界條件是這里邊界條件是0)3(, 1)0( SS3, 2, 1, 03210 xxxx設(shè)設(shè)1, 0, 1, 03210 yyyy求得求得1321 hhh21111 213232

40、 hhh 0),( 31012111 xxfxxfg 21122 0),( 32123222 xxfxxfg 已知已知0, 130 mm nnnnnnygmmgmmmygmm11121232212011211222 由方程組由方程組及及100 my033 my得到方程組得到方程組 0221212122121mmmm解得解得151,15421 mm這樣便求得這樣便求得 1 , 0),1(154) 1()1( 21 )(2221 xxxxxxxxS0,151,154, 13210 mmmmiiiiiiiiiiiyhxxxxhyhxxxxhxS3211321)( 2)( 2)( iiiiiiiimh

41、xxxxmhxxxx2211221)()()( 代入表達(dá)式代入表達(dá)式便得到所求的三次樣條函數(shù)便得到所求的三次樣條函數(shù)3 , 2)3)(2(151)2)(3( 21 )(223 xxxxxxS222)2)(1(154)2)(1( 21 )( xxxxxS2 , 1 ),2() 1(1512 xxx本節(jié)本節(jié)(5-1、2 )要點(diǎn)要點(diǎn)1. 什么是三次樣條函數(shù)？什么是三次樣條函數(shù)？2. 三次樣條函數(shù)的邊界條件是如何給出的？三次樣條函數(shù)的邊界條件是如何給出的？3. 三次樣條函數(shù)的三轉(zhuǎn)角算法是如何構(gòu)造的？三次樣條函數(shù)的三轉(zhuǎn)角算法是如何構(gòu)造的？4. 如何設(shè)計(jì)程序?qū)崿F(xiàn)三轉(zhuǎn)角算法？畫(huà)出流程圖。如何設(shè)計(jì)程序?qū)崿F(xiàn)三轉(zhuǎn)

42、角算法？畫(huà)出流程圖。5. 三對(duì)角線性方程組和一般線性方程組如何求解？三對(duì)角線性方程組和一般線性方程組如何求解？6. 完成完成P49習(xí)題習(xí)題2-12、2-13。2. 三彎矩算法三彎矩算法 只要求出在區(qū)間只要求出在區(qū)間x i-1 , x i 上的三次多項(xiàng)式上的三次多項(xiàng)式 Si (x) i=1 , 2, , n，并滿(mǎn)足前面四類(lèi)條件并滿(mǎn)足前面四類(lèi)條件 即可即可。在這里我們采用在這里我們采用另一種方法進(jìn)行求解，并稱(chēng)為另一種方法進(jìn)行求解，并稱(chēng)為三彎矩算法三彎矩算法。加邊界條件構(gòu)成的三次樣條函數(shù)為分段函數(shù)加邊界條件構(gòu)成的三次樣條函數(shù)為分段函數(shù) , )(, )(, )()(1212101nnnxxxxsxxx

43、xsxxxxsxSa = x0 x1 0 范圍內(nèi)，只需要從范圍內(nèi)，只需要從 22312)(Mnab2212)()(MhabTdxxffRbann 則有則有22312)(Mnab 12)(23Mabn 解出中出解出中出即可。即可。例例 4.3 4.3 用四點(diǎn)復(fù)化梯形公式計(jì)算用四點(diǎn)復(fù)化梯形公式計(jì)算 10214dxxI解：四點(diǎn)復(fù)化梯形公式就是將區(qū)間解：四點(diǎn)復(fù)化梯形公式就是將區(qū)間0，1三等分，如圖，三等分，如圖，于是于是 10214dxxI 322312)1()0(3121ffff 11)(2)()(2nkkxfbfafh 941429114224610131323)114014(20114102 d

44、xx而梯形公式的結(jié)果為而梯形公式的結(jié)果為1230.3 例例 4.4 4.4 用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分 ，應(yīng)將區(qū)間，應(yīng)將區(qū)間0,10,1多少等分，才可以使其截?cái)嗾`差不超過(guò)多少等分，才可以使其截?cái)嗾`差不超過(guò) 10dxeIx41021 解：復(fù)化梯形公式的誤差為解：復(fù)化梯形公式的誤差為)(12)()(23 fnabTdxxffRbann 而而xexf )( 1 , 0,)( xexf從而從而22312)(12)01(nefnfRn 令令42102112 ne30.676104 en68 n于是，只要將區(qū)間至少于是，只要將區(qū)間至少6868等分等分, ,就可以達(dá)到需要的精度要求。就可以

45、達(dá)到需要的精度要求。二、復(fù)化拋物線二、復(fù)化拋物線（ Simpson ）公式公式已知定積分的拋物線公式及其誤差為已知定積分的拋物線公式及其誤差為 nkxxbakkdxxfdxxf11)()(如果對(duì)于積分如果對(duì)于積分 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba),(,)(2880)()4(52bafabfR 在每個(gè)小區(qū)間上都采用在每個(gè)小區(qū)間上都采用Simpson公式，則得到復(fù)化公式，則得到復(fù)化Simpson公式。公式。于是，我們得到復(fù)化拋物線公式及其誤差為：于是，我們得到復(fù)化拋物線公式及其誤差為： nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121)()(2)(4)(6)(),(),(

46、2880)()4(4bafhabfRn 這時(shí)，做近似計(jì)算用：這時(shí)，做近似計(jì)算用： nknkkknbfxfxfafhS11121)()(2)(4)(6四點(diǎn)公式四點(diǎn)公式( (n= =3等分等分) )的節(jié)點(diǎn)如：的節(jié)點(diǎn)如：4452880)(MnabfRn b ba21xx1211 xx2212 x做誤差限估計(jì)用：做誤差限估計(jì)用：最后，總結(jié)出拋物線公式和復(fù)化拋物線公式最后，總結(jié)出拋物線公式和復(fù)化拋物線公式1.1.拋物線公式及其誤差拋物線公式及其誤差 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba),(,)(2880)()4(52bafabfR 2.2.復(fù)化拋物線公式及其誤差復(fù)化拋物線公式及其誤差

47、nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121)()(2)(4)(6)(),(),(2880)()(2880)()4(45)4(4bafnabfhabfRn 例例4-5 4-5 試?yán)煤瘮?shù)試?yán)煤瘮?shù) 的數(shù)據(jù)表（表的數(shù)據(jù)表（表4-14-1）分）分別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式計(jì)算下列積分的近似公式計(jì)算下列積分的近似值值 。 xxxfsin 10sindxxxI表表4-1 4-1 數(shù)據(jù)表數(shù)據(jù)表015/80.93615561/80.99739783/40.90885171/40.98961587/80.87719263/80.976726710.84147101

48、/20.958811也就是也就是 718)(2) 1 ()0(2iihfffhT945690.0 )84(2)83(2)82(2)81(2) 1 ()0(2ffffffh )87(2)86(2)85(2fff 解解: : 兩種復(fù)化公式分別計(jì)算如下：兩種復(fù)化公式分別計(jì)算如下： 81 h根據(jù)已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)，需要用到九點(diǎn)復(fù)化梯形公式：根據(jù)已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)，需要用到九點(diǎn)復(fù)化梯形公式： 945690.0sin10 dxxx)1()(2)21(4)0(631414fihfhiffhSii 以上兩種算法對(duì)區(qū)間采用不同等分，計(jì)算量大體一致，定以上兩種算法對(duì)區(qū)間采用不同等分，計(jì)算量大體一致，定積分精確到小數(shù)點(diǎn)后七位的

49、值是積分精確到小數(shù)點(diǎn)后七位的值是0.9460831，Simpson公式公式精度要高一些。精度要高一些。)87(4)85(4)83(4)81(4)0(241fffff 9460833. 0)1()43(2)21(2)41(2 ffff對(duì)于復(fù)化拋物型公式：對(duì)于復(fù)化拋物型公式： nknkkknbfxfxfafhS11121)()(2)(4)(641 h在這里在這里n=4 , ,步長(zhǎng)步長(zhǎng) 例例4-6 4-6 利用復(fù)化梯形公式和復(fù)化利用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式分別求公式分別求下列定積分下列定積分 ，若要使精度達(dá)到，若要使精度達(dá)到 =10=10-6-6 ，問(wèn)各需將區(qū)間，問(wèn)各需將區(qū)間0,10,1

50、多少等分？多少等分？ 10sindxxxI解解 由于由于 10)cos(sindttxxxxf從而從而 ,sin10 txdttxf 1033sintxdttxf于是有于是有 31cos102 dttxtxf 51cos1044 dttxtxf 102costxdttxf 1044costxdttxf由復(fù)化梯形公式和復(fù)化由復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式的誤差表示式公式的誤差表示式)(12)()(12)(232 fnabfhabfRn )(2880)()(2880)()4(45)4(4 fnabfhabfRn 4428801MnfRn 得到得到22121MnfRn 312 M514 M根據(jù)

51、上面的估計(jì)分別取根據(jù)上面的估計(jì)分別取則只要?jiǎng)t只要621031121 n64105128801 n可分別解出可分別解出，67.16636106 n89. 2144001046 n可可見(jiàn)見(jiàn)滿(mǎn)滿(mǎn)足足同同樣樣的的精精度度要要求求復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式需需將將區(qū)區(qū) 間間167等等分分復(fù)復(fù)化化拋拋物物線線公公式式只只需需將將區(qū)區(qū)間間 3等等分分本節(jié)本節(jié)( (3)3)小結(jié)小結(jié) 11)()(2)(2)(nkkbabfxfafhdxxf),(),(12)(2bafabhfRn 2.2.復(fù)化拋物線公式及其誤差復(fù)化拋物線公式及其誤差 nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121)()(2)(4)(6)()

52、,(),(2880)()(2880)()4(45)4(4bafnabfhabfRn 1.1.復(fù)化梯形公式及其誤差復(fù)化梯形公式及其誤差3 Gauss型求積公式關(guān)于數(shù)值積分公式關(guān)于數(shù)值積分公式0( )()(3.1)nbkkakf x dxA f x 除了用誤差來(lái)分析其精確度以外，還可以用代數(shù)精度來(lái)除了用誤差來(lái)分析其精確度以外，還可以用代數(shù)精度來(lái)判斷其精度的高低判斷其精度的高低。為了掌握這一方法，下面先給出代為了掌握這一方法，下面先給出代數(shù)精度的概念。數(shù)精度的概念。一、代數(shù)精度一、代數(shù)精度是區(qū)間是區(qū)間-1,1 上關(guān)于權(quán)函數(shù)上關(guān)于權(quán)函數(shù) (x)=1 的正交多項(xiàng)式，即的正交多項(xiàng)式，即三、常用的正交多項(xiàng)式

53、三、常用的正交多項(xiàng)式 , 2 , 1 , 0,1 , 1,) 1(!21)(2 nxxdxdnxLnnnnn1 1. . 勒讓德（勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式）多項(xiàng)式而且具有遞推性質(zhì)：而且具有遞推性質(zhì)： 11,122,0)()(),(nmnnmdxxLxLLLnmnm0111( )1,( )21( )( )( ),111kkkL xL xxkkLxxL xLxkkk 2.契比曉夫契比曉夫( (Chebyshev)多項(xiàng)式多項(xiàng)式, 2 , 1 , 0,1 , 1, )arccoscos()( nxxnxTn是區(qū)間是區(qū)間-1，1 上關(guān)于權(quán)函數(shù)上關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交多項(xiàng)式的正交多項(xiàng)式, , 211)

54、(xx 1211(,)( )( )1mnmnT TTx T x dxx 即即其首項(xiàng)系數(shù)為其首項(xiàng)系數(shù)為 2n-1 , ,具有下面的性質(zhì)具有下面的性質(zhì): 0,0,2, 0coscos0nmnmnmdnm , 2, 1),()(2)()(, 1)(1110kxTxxTxTxxTxTkkk（2 2）Tn(x) 在在-1,1上具有上具有n個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)nknkxk, 2 , 1,212cos （1 1）三項(xiàng)遞推關(guān)系）三項(xiàng)遞推關(guān)系這其實(shí)很容易由這其實(shí)很容易由 Tn(x)=cos(n arc cosx) 計(jì)算出來(lái)：計(jì)算出來(lái)：令令0)arccoscos()( xnxTn2arccos kxn則有則有nkx2)1

55、2(arccos nknkxk, 2 , 1,2)12(cos 3 3Laguerre（拉蓋爾）多項(xiàng)式（拉蓋爾）多項(xiàng)式( )(),0,0,1,2,nxnxnndL xex exndx 為區(qū)間為區(qū)間 0,+ ) )上關(guān)于權(quán)函數(shù)上關(guān)于權(quán)函數(shù)(x)=e -x 的正交多項(xiàng)式，即的正交多項(xiàng)式，即200,(,)( )( )( !) ,xmnmnmnLLeLx L x dxnmn 01211( )1,( )1( )(12)( )( ),1,2,kkkL xL xxLxkx L xk Lxk 而且而且 Ln(x) 的首項(xiàng)系數(shù)為的首項(xiàng)系數(shù)為 (-1)n 。具有性質(zhì)：。具有性質(zhì)：4.4.Hermite多項(xiàng)式多項(xiàng)式

56、, 2 , 1 , 0,) 1()(22 nxdxedexHnxnxnn是區(qū)間是區(qū)間(-,+)(-,+)上關(guān)于權(quán)函數(shù)上關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交多項(xiàng)的正交多項(xiàng)式式，即，即2)(xex 20,(,)( )( )2!,xmnmnnmnHHeHx Hx dxnmn 0111( )1,( )2( )2( )2( ),1,2,kkkHxHxxHxxHxkHxk 而且而且 Hn(x) 的首項(xiàng)系數(shù)為的首項(xiàng)系數(shù)為 2n ,具有性質(zhì)具有性質(zhì)：也就是說(shuō)對(duì)于積分公式也就是說(shuō)對(duì)于積分公式如果我們?nèi)〔逯倒?jié)點(diǎn)如果我們?nèi)〔逯倒?jié)點(diǎn) x1 ,x2 , , xn 為關(guān)于權(quán)函數(shù)為關(guān)于權(quán)函數(shù) (x) 正正交多項(xiàng)式交多項(xiàng)式 gn(x) 的零點(diǎn)

57、，則所得到的求積公式可達(dá)到的零點(diǎn)，則所得到的求積公式可達(dá)到 2n-1 階代數(shù)精度。階代數(shù)精度。 bankkkxfAdxxfx1)()()( baknknbaikinkiikdxxxxxxdxxxxxxA)()()()()(1 這時(shí)稱(chēng)上面的公式為這時(shí)稱(chēng)上面的公式為Gauss型求積公式，并稱(chēng)型求積公式，并稱(chēng)x1 , x2 , , xn 為為 Gauss 點(diǎn)。點(diǎn)。 下面給出構(gòu)造下面給出構(gòu)造Gauss型求積公式的步驟型求積公式的步驟。 bankkkxfAdxxxfI1 第三步：第三步：求出求積公式的系數(shù)：求出求積公式的系數(shù)： 第一步第一步：給出關(guān)于權(quán)函數(shù)給出關(guān)于權(quán)函數(shù)(x) 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式 gn

58、(x) ;第四步：第四步：給出給出 Gauus 型求積公式并計(jì)算積分近似值：型求積公式并計(jì)算積分近似值： 第二步：第二步：求出求出 gn(x) 的的 n 個(gè)零點(diǎn)：個(gè)零點(diǎn)： x1 ,x2 , , xn ; baknknbaknknkdxxgxxxgxdxxxxxxA)()()()()()()()( 對(duì)于積分對(duì)于積分 badxxfxI)()( 構(gòu)造構(gòu)造 Gauss 型求積公式的步驟如下：型求積公式的步驟如下：五 幾種常用Gauss型求積公式1 1、Gauss-Legendre(勒讓德勒讓德) )求積公式求積公式 構(gòu)造構(gòu)造Gauss型求積公式除需要求出正交多項(xiàng)式外，型求積公式除需要求出正交多項(xiàng)式外，

59、還需求出正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)和求積系數(shù)，當(dāng)還需求出正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)和求積系數(shù)，當(dāng)n3 時(shí)，這時(shí)，這些工作均很困難，下面給出幾種常用的些工作均很困難，下面給出幾種常用的Gauss型求積公型求積公式式.關(guān)于定積分關(guān)于定積分 11)(dxxfI權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)(x)=1, 已知已知LegendreLegendre多項(xiàng)式在多項(xiàng)式在-1，1上關(guān)于上關(guān)于(x)=1正交，由正交，由Gauss型求積公式的構(gòu)造，選型求積公式的構(gòu)造，選Gauss點(diǎn)點(diǎn)xk為為n次次Legendre多項(xiàng)式多項(xiàng)式 的零點(diǎn)，的零點(diǎn)，求積系數(shù)求積系數(shù)nnnnnxdxdnxL) 1(!21)(2 11( )()()nkknkxAdxxxx 11(

60、),1,2,()()nknkL xdxknxx Lx Gauss-Legendre求積公式中的各階求積公式中的各階Gauss點(diǎn)及求積系點(diǎn)及求積系數(shù)已經(jīng)算出，使用時(shí)只需要查表數(shù)已經(jīng)算出，使用時(shí)只需要查表即可，看下表。即可，看下表。這時(shí)，這時(shí)，Gauss型求積公式型求積公式)()(111knkkxfAdxxf 稱(chēng)為稱(chēng)為Gauss-Legendre求積公式。求積公式。nxkAknxkAk10260.93246951420.6612093865 +1.2386191816036076157300.467913934620.5773502692 130.774596669200