復(fù)合材料力學(xué)課件第06章_層合平板彎曲屈曲和振動(dòng)

1、第六章第六章 層合平板的彎曲、層合平板的彎曲、 屈曲與振動(dòng)屈曲與振動(dòng) 6.2 6.1 6.3 6.4 6.5 本章研究的層合平板是各種復(fù)合材料本章研究的層合平板是各種復(fù)合材料層合板中最簡(jiǎn)單又應(yīng)用最廣泛的一種，其層合板中最簡(jiǎn)單又應(yīng)用最廣泛的一種，其限制是限制是：6.1 引引 言言d) 與層合板理論的假設(shè)相同，對(duì)于薄層合與層合板理論的假設(shè)相同，對(duì)于薄層合板有下列基體假設(shè)：板有下列基體假設(shè)： (1) 即近似為平面應(yīng)力狀態(tài)，只即近似為平面應(yīng)力狀態(tài)，只考慮考慮 和和 。 ,xy,xy,xy,zxzyz xy,xzyz,xyxy0zz(2) 采用直法線(xiàn)假設(shè)，橫向剪應(yīng)變采用直法線(xiàn)假設(shè)，橫向剪應(yīng)變 以以及及

2、近似為零近似為零,即固有的中面法線(xiàn)不變即固有的中面法線(xiàn)不變形。這與形。這與 有矛盾，但通常忽略不有矛盾，但通常忽略不計(jì)。計(jì)。 以及以及 是是 的線(xiàn)性函數(shù)。的線(xiàn)性函數(shù)。,u vz(3) 位移位移 和和 與板厚相比較很小，應(yīng)變與板厚相比較很小，應(yīng)變 與與1相比很小相比很小,且略去轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。且略去轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。, u vw,xyxy 這些假設(shè)表明：討論的是小應(yīng)變和小撓這些假設(shè)表明：討論的是小應(yīng)變和小撓度問(wèn)題；另外假設(shè)限于正交各向異性材料，度問(wèn)題；另外假設(shè)限于正交各向異性材料，只分析經(jīng)典層合板理論而不考慮層間應(yīng)力和只分析經(jīng)典層合板理論而不考慮層間應(yīng)力和橫向剪切影響。橫向剪切影響。( , )q x y6.2

3、 層合平板的彎曲層合平板的彎曲問(wèn)題是在橫向載荷問(wèn)題是在橫向載荷 作用下求解作用下求解合板的合板的撓度、變形和應(yīng)力撓度、變形和應(yīng)力。, z w, x u, y vabtxyNxNyQ( , )q x yyxNyNxQxM( , )q x yyxMyMxyMzyx000 xxxyijyijyxyxyxyNKNABKNK層合板的合力和合力矩與中應(yīng)變與曲率有下列關(guān)系層合板的合力和合力矩與中應(yīng)變與曲率有下列關(guān)系000 xxxyijyijyxyxyxyMKMBDKMK式中有式中有0000000 xyxyuxvxuvyx22222xyxywxKwKyKwzx y (6.1)d d, xy t從從層層合合板板

4、中中取取一一元元素素xyMdxxNNxxyQyNxyNxQ( , )q x ydxyxyNNxxdxyxxxQQdxyxyMMxxxyNxNxMdxxMMxxyMxyMdyyyMMydyyyNNydyyyyQQdyxyxyNNy其上作用合力和其上作用合力和合力矩，如圖合力矩，如圖6-3,dxdyt從層合板中取一板元素從層合板中取一板元素不計(jì)體積力，用合力和合力矩表示的平衡方程為不計(jì)體積力，用合力和合力矩表示的平衡方程為0,xyxNNxyx方向平衡方向平衡0,xyyNNxyy方向平衡方向平衡0,xyyNNxyz方向平衡方向平衡0,xyyqxyQQ,xyxxMMQxy,xyyyMMQxy繞繞y軸力

5、矩平衡軸力矩平衡繞繞x軸力矩平衡軸力矩平衡(6.2)由上式后三式綜合得由上式后三式綜合得2222220 xyyxMMMqxx yy 將第四章的剛度矩陣和將第四章的剛度矩陣和(6.1)代入代入(6.2)和和(6.3)可得到可得到用用 表示的平衡方程表示的平衡方程(6.3)00,u v w11 ,16,66,16 ,1216,2()xxyyyyxxxyA uA uA uA vAA v26 ,11,16,3yyxxxxxyA vB wB w1226,26,(2)0 xyyyyyBBwB w16 ,1266,26 ,66 ,26 ,()2xxxyyyxxxyA uAAuA uA vA v22 ,16,

6、1266,(2)yyxxxxxyA vB wBBw26,22,30 xyyyyyB wB w(6.4)(6.5)11,16,1266,26,42(2)4xxxxxxxyxxyyxyyyD wD wDDwD w22,11 ,16,1266,3(2)yyyyxxxxxyxxyD wB uB uBBu26 ,16 ,1226,(2)yyyxxxxxyB uB vBBv26 ,22 ,3( , )xyyyyyB vB vq x y上述三個(gè)方程是相互耦合的,必須聯(lián)立求解22211111666222LAAAxx yy , ,u v w引進(jìn)下列算子222121612662622()LAAAAxx yy (6

7、.6)22222662622222LAAAxx yy 4443311161266432242(2)LDDDDxx yx y 442622344DDx yy 333313111612662632233(2)LBBBBBxx yx yy 33332316126626223223(2)3LBBBBBxx yx yy 其中算子其中算子 和和 含有系數(shù)含有系數(shù) ，反映拉伸、，反映拉伸、彎曲的耦合效應(yīng)；彎曲的耦合效應(yīng)； 分別反分別反映拉伸、剪切耦合和彎曲、扭轉(zhuǎn)耦合。映拉伸、剪切耦合和彎曲、扭轉(zhuǎn)耦合。13L23LijB162616261626,AABBDD這時(shí)平衡方程式這時(shí)平衡方程式(6.4),(6.5),

8、(6.6)可簡(jiǎn)單表示為可簡(jiǎn)單表示為1112130L uL vL w1222230L uL vL w132333L uL vL wq(6.7) 當(dāng)層合板對(duì)稱(chēng)于中面時(shí)，當(dāng)層合板對(duì)稱(chēng)于中面時(shí)， 則式則式(6.4)、0ijB 式式(6.5)與式與式(6.6)相互獨(dú)立，由式相互獨(dú)立，由式(6.6)得出得出對(duì)稱(chēng)層合板彎曲的平衡方程為對(duì)稱(chēng)層合板彎曲的平衡方程為11,16,1266,42(2)xxxxxxxyxxyyD wD wDDw26,22,4( , )xyyyyyyyD wD wq x y(6.8)用式用式(6.7)表示，則為表示，則為11120L uL v1323(,0)LL 12220L uL v(

9、6.9)330L w 與與 的方程相互獨(dú)立，可分別求解。的方程相互獨(dú)立，可分別求解。, u vwijD 式式(6.9)表示，它與均勻材料各向異性板表示，它與均勻材料各向異性板的方程形式一樣，只是在的方程形式一樣，只是在 時(shí)有所不同。時(shí)有所不同。 如果是特殊正交各向異性層合板，由于如果是特殊正交各向異性層合板，由于16260DD，平衡方程簡(jiǎn)化為，平衡方程簡(jiǎn)化為11,1266,22,2(2)xxxxxxyyyyyyD wDDwD wq(6.10) 此式與正交各向異性均勻材料板方程形此式與正交各向異性均勻材料板方程形式一樣。式一樣。11221266(2),DDDDD，平衡方程為，平衡方程為,2/xx

10、xxxxyyyyyywwwq D 如果各層均為各向同性材料，但每層材如果各層均為各向同性材料，但每層材料不一定相同，則料不一定相同，則16260,DD這與各向同性板方程形式完全一樣。這與各向同性板方程形式完全一樣。 非對(duì)稱(chēng)層合板的一般情況，需要聯(lián)合求非對(duì)稱(chēng)層合板的一般情況，需要聯(lián)合求解平面問(wèn)題和彎曲問(wèn)題。相應(yīng)地，在邊界條解平面問(wèn)題和彎曲問(wèn)題。相應(yīng)地，在邊界條件中也要同時(shí)規(guī)定平面邊界條件和彎曲邊界件中也要同時(shí)規(guī)定平面邊界條件和彎曲邊界條件，對(duì)于四階微分方程，每邊需要有條件，對(duì)于四階微分方程，每邊需要有4個(gè)邊個(gè)邊界條件。界條件。8種可能類(lèi)型的簡(jiǎn)支和固支邊界條件種可能類(lèi)型的簡(jiǎn)支和固支邊界條件一般分類(lèi)

11、如下：一般分類(lèi)如下：1. 簡(jiǎn)支邊界條件簡(jiǎn)支邊界條件(用用s表示表示)1:s0,0,nnnttwMuu uu2:s0,0,nnnttwMNN uu3:s0,0,nnnntntwMuu NN4:s0,0,nnnntntwMNNNN 式中符號(hào)意義見(jiàn)圖式中符號(hào)意義見(jiàn)圖6-4，n,t分別表示分別表示法線(xiàn)和切線(xiàn)。法線(xiàn)和切線(xiàn)。2. 固支邊界條件固支邊界條件(用用c表示表示)1:c,0,0,nnnttwwuu uu2:c,0,0,nnnttwwNN uu3:c,0,0,nnnntntwwuu NN4:c,0,0,nnnntntwwNNNN 矩形板的矩形板的4邊，每邊可用上述邊，每邊可用上述8種邊界種邊界條件的

12、任一種表示，因此可能范圍很大，條件的任一種表示，因此可能范圍很大，如果再考慮自由邊界條件，則每邊有如果再考慮自由邊界條件，則每邊有12種種可能的邊界條件，這里只討論四邊簡(jiǎn)支的可能的邊界條件，這里只討論四邊簡(jiǎn)支的矩形層合板。矩形層合板。nNtuxntNntNnNnutunuy 考慮一四邊簡(jiǎn)支并承受分布橫向載荷考慮一四邊簡(jiǎn)支并承受分布橫向載荷作用的矩形層合板，如果作用的矩形層合板，如果6-5所示：所示：zxyab( , )q x y( , )q x y 用雙三角級(jí)數(shù)解，將橫向載荷用雙三角級(jí)數(shù)解，將橫向載荷 展開(kāi)展開(kāi)為：為：( , )q x y11( , )sinsinmnmnm xn xq x y

13、qab(6.11) 一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō) ，為任意正整數(shù)，為任意正整數(shù)， 可由下可由下式求出式求出,m nmnq0( , )q x yq0 04( , )sinsind da bmnm xnyqq x yx yabab 對(duì)于均布載荷對(duì)于均布載荷 ，可得出，可得出下面分別討論幾個(gè)特殊層合板情況的解下面分別討論幾個(gè)特殊層合板情況的解0021,3,51,3,516( , )sinsinmnqm xn xq x yqmnab (6.12)0,ijB 1. 特殊正交各向異性層合板特殊正交各向異性層合板 這里指特殊正交各向異性材料單層板或?qū)ΨQ(chēng)于這里指特殊正交各向異性材料單層板或?qū)ΨQ(chēng)于中面的多層特殊正交各向異性

14、層合板，由于中面的多層特殊正交各向異性層合板，由于 又又 162616260,AADD既不存在拉既不存在拉-彎耦合，彎耦合，也不存在拉剪和彎扭耦合，板的撓度也不存在拉剪和彎扭耦合，板的撓度 只由下面只由下面的平衡方程描述的平衡方程描述 w0021,3,51,3,516( , )sinsinmnqm xn xq x yqmnab 這里指特殊正交各向異性材料單層板或?qū)ΨQ(chēng)于這里指特殊正交各向異性材料單層板或?qū)ΨQ(chēng)于中面的多層特殊正交各向異性層合板，由于中面的多層特殊正交各向異性層合板，由于 0021,3,51,3,516( , )sinsinmnqm xn xq x yqmnab 162616260,

15、AADD 這里指特殊正交各向異性材料單層板或?qū)ΨQ(chēng)于這里指特殊正交各向異性材料單層板或?qū)ΨQ(chēng)于中面的多層特殊正交各向異性層合板，由于中面的多層特殊正交各向異性層合板，由于 0021,3,51,3,516( , )sinsinmnqm xn xq x yqmnab 162616260,AADD0021,3,51,3,516( , )sinsinmnqm xn xq x yqmnab 11,1266,22,2(2)( , )xxxxxxyyyyyyD wDDwD wq x y0, ,xa簡(jiǎn)支邊界條件為簡(jiǎn)支邊界條件為11,12,0,0 xxxyywMD wD w,u v由于由于 在微分方程中不出現(xiàn)，故邊

16、界條件很簡(jiǎn)單。在微分方程中不出現(xiàn)，故邊界條件很簡(jiǎn)單。0, ,yb12,22,0,0yxxyywMD wD w設(shè)撓度設(shè)撓度 為為w(6.14)(6.13)w w11sinsinmnmnm xnywaab滿(mǎn)足上述邊界條件，將此式代入方程滿(mǎn)足上述邊界條件，將此式代入方程 可得可得w4422411126622/2(2)mnmnqammnnDDDDaabb 代入式代入式 可得可得 的精確解，對(duì)于均布載荷的精確解，對(duì)于均布載荷 有解有解0q(6.14)4422411126622/2(2)mnmnqammnnDDDDaabb 代入式代入式 可得可得 的精確解，對(duì)于均布載荷的精確解，對(duì)于均布載荷 有解有解44

17、22411126622/2(2)mnmnqammnnDDDDaabb 4422411126622/2(2)mnmnqammnnDDDDaabb 1,3,51,3,5042246111266221sinsin162(2)mnm xm ymnabqwmmnnDDDDaabb (6.15)由由 可求應(yīng)變和應(yīng)力，注意式可求應(yīng)變和應(yīng)力，注意式 中只用中只用w(6.15)11,D122266,DDD表示層合板的剛度。表示層合板的剛度。2. 對(duì)稱(chēng)角鋪設(shè)層合板對(duì)稱(chēng)角鋪設(shè)層合板 層合板對(duì)稱(chēng)，層合板對(duì)稱(chēng)， 。這類(lèi)層合板。這類(lèi)層合板 不不為零，其基本方程為為零，其基本方程為(6.8)0ijB 1626,DD11,1

18、6,1266,42(2)xxxxxxxyxxyyD wD wDDw26,22,4( , )xyyyyyyyD wD wq x y0, ,xa邊界條件為邊界條件為11,12,16,0,20 xxxyyxywMD wD wD w0, ,xb12,22,26,0,20yxxyyxywMD wD wD w(6.16) 由于由于 存在，撓度存在，撓度 的表達(dá)式不的表達(dá)式不能象能象 那樣用雙三角級(jí)數(shù)展開(kāi)，那樣用雙三角級(jí)數(shù)展開(kāi)， 1626,DDw(6.14)否則否則 ,xxxyw和和 將出現(xiàn)正弦和余弦奇次函數(shù)，變量不將出現(xiàn)正弦和余弦奇次函數(shù)，變量不能分離，此外撓度展開(kāi)式也不能滿(mǎn)足邊界條能分離，此外撓度展開(kāi)式

19、也不能滿(mǎn)足邊界條件，因此只能用近似解法件，因此只能用近似解法瑞利瑞利-利茨法利茨法(Rayleigh-Ritz) ,xyyyw0, ,xa11,12,16,0,20 xxxyyxywMD wD wD w應(yīng)變能應(yīng)變能1()d d2xxyyxyxyUM KM KM Kx y(6.17)將第四章剛度表達(dá)式第二式代入上式將第四章剛度表達(dá)式第二式代入上式1112161()2xyxyxUD KD KD KK122226()xyxyyD KD KD KK162666()d dxyxyxyD KD KD KKx y2211,12,22,1()2()2xxxxyyyyDwD w wDw266,16,26,4()

20、44d dxyxxyyyyxyDwD w wD w wx yd dWqw x y外力所做的功為外力所做的功為層合板總勢(shì)能為層合板總勢(shì)能為211,12,1() +22xxxxyyUWDwD w w 2222,66,16,() +4()4yyxyxxxyDwDwD w w26,42d dyyxyD w wqw x y(6.18)仍選取仍選取(6.14)的表達(dá)式，它滿(mǎn)足位移邊界條件，即的表達(dá)式，它滿(mǎn)足位移邊界條件，即0, :xaw0;w0, :yb0w 。但不滿(mǎn)足力的邊界條件，即但不滿(mǎn)足力的邊界條件，即0, :xa0;xM 0, :yb0;yM 這時(shí)可用最小勢(shì)能原理，將這時(shí)可用最小勢(shì)能原理，將 表達(dá)

21、式代入表達(dá)式代入 表達(dá)表達(dá)式，由最小勢(shì)能原理式，由最小勢(shì)能原理0mna 如果選取如果選取 則由上式則由上式得到得到49個(gè)線(xiàn)性代數(shù)方程，可解得個(gè)線(xiàn)性代數(shù)方程，可解得49個(gè)未知量個(gè)未知量 。 0, :xa1,2,.,7,1,2,.7,mnmna2211/1,DD 126611(2)/1.5,DDD16112611/0.5,DDDD40max110.00452a qwD40max110.00425a qwD26D16D40max110.00452a qwD40max110.00425a qwD40max110.00452a qwD3. 反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)層合板反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)層合板1266,;A A112

22、2,AA11221266,DDD D112211,B BB126611(2)/1.5DDD2211/1,DD 16260,DD40max110.00324a qwD1122,B B11 ,66,1266,11,()0 xxyyxyxxxA uA uAAvB w11,1266,()2(2)xxxxyyyyxxyyDwwDDw11,()( , )xxxyyyBuvq x y1266,66 ,11,()0 xyyyyyyAAuA vB w(6.19)0, ,xa11 ,11,12,0,0 xxxxyywMB uD wD w11 ,12 ,11,0,0 xxyxxvNA uA vB w(6.20)0,

23、 ,yb11 ,12,22,0,0yyxxyywMB uD wD w12,11 ,11,0,0yxyyyuNA uA vB w11cossinmnmnm xnyuaab11scosmnmnm xn yvbinab11ssinmnmnm xnywcinab(6.21)0cossinxyqqab4. 反對(duì)稱(chēng)角鋪設(shè)層合板反對(duì)稱(chēng)角鋪設(shè)層合板162616260,AADD1626,BB11 ,66,1266,()xxyyxyA uA uAAv16,26,30 xxyyyyB wB w1266,66 ,22 ,()xyxxyyAAuA vA v(6.20)16,26,20 xxxxyyB wB w11,12

24、66,2(2)xxxxxxyyD wDDw22,16,(3)yyyyxxyxxxD wBuv26,(3)( , )yyyxyyBuvq x y(6.20)3:s0,0,nnnntntwMuu NN0, ,xa16,11,0,()xyxxxwMBuvD w66,16,0,()xyyxxxuNAuvB w(6.21)0, ,yb26,12,0,()yyxxxwMBuvD w66,11,0,()xyyxxxvNAuvB w12,0yyD w26,0yyB w22,0yyD w26,0yyB w11sincosmnmnm xnyuaab11cossmnmnm xn yvbinab11ssinmnmnm

25、 xnywcinab(6.22)11cossmnmnm xn yvbinab11ssinmnmnm xnywcinab11cossmnmnm xn yvbinab6.3 層合平板的屈曲層合平板的屈曲,xyxyN N N,0 x xxy yNN,0y yxy xNN(6.23),2x xxxy xyy yyxxxMMMNw,20 xyxyyyyNwNw,xxNMw011121611121602122262122260162666162666xxxyyyxyxyxyMBBBDDDKMBBBDDDKBBBDDDKM011121611121602122262122260162666162666xxxy

26、yyxyxyxyNAAABBBKNAAABBBKAAABBBKN4:s0,0,0 ,0nnnntwMNN1:s0,0,0 ,0nnntwMuu2:s0,0,0 ,0nnntwMNu3:s0,0,0 ,0nnnntwMuN1:s,0,0,0 ,0nnntwwuu2:s,0,0,0 ,0nnntwwNu3:s,0,0,0 ,0nnnntwwuN4:s,0,0,0 ,0nnnntwwNN(6.24)(6.25)6.3.2. 在平面載荷作用下四邊簡(jiǎn)支層合板的屈在平面載荷作用下四邊簡(jiǎn)支層合板的屈曲曲xNxxNxyxNxbazxNx1. 特殊正交各向異性層合板特殊正交各向異性層合板16260,AA0ijB

27、 0ijB 16260,AA0ijB 16260,DD11,1226,2(2)xxxxxxyyDwDDw22,0yyyyxxxDwNw(6.26)0,:xa0,w11,12,20 xxxyyMDwDw0, :yb0,w12,22,20yxxyyMDwDwmnsinsinmnm xn ywaabx22422111266222(2)xmnnaNDDDDabbm y(6.27)(6.28)1n xN2242211126622112(2)xnaNDDDDabbm mxN/a b2. 對(duì)稱(chēng)角鋪設(shè)層合板對(duì)稱(chēng)角鋪設(shè)層合板0ijB 11,16,1266,22(2)xxxxxxxyxxyyDwDwDDw26,2

28、2,40 xyyyyyyyxxxDwDwNw(6.29)0,:xa0,w11,12,16,20 xxxyyxyMD wD wD w0, :yb0,w12,22,26,20yxxyyxyMD wD wD w1626,D D11sinsinmnmnm xn ywaab1626,D D11sinsinmnmnm xn ywaab3. 反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)層合板反對(duì)稱(chēng)正交鋪設(shè)層合板1122,AA2211,BB1122,DD11,66,1266,11,()0 xxyyxyxxxAuAuAAvBw1266,66,11,11,()0 xyxxyyyyyAAuAvAvBw(6.30)11,1266,()2(2)xx

29、xxyyyyxxyyDwwDDw11,()0 xxxyyyxxxBuvNw0,:xa0,w11,11,12,0 xxxxyyMBuDwDw0, :yb0,w0,v11,12,11,0 xxyxxNAuAvBw11,12,22,0yxxxyyMBvDwDw12,11,11,0yxyyyNAuAvBw(6.31)(6.32)0cossinm xn yu uab0sincosm xn yv vab0sinsm xn yw winab22212 23 1322 1311 2333211 22122xT T TT TT TaNTmT TT22111166mnTAAab121266mnTAAab31311mTBa 22221166nmTAAba32311nTBb 44223311126622mnmnTDDDabab (6.33)110B13230,TT1122,DD2,n 1,1,2,3.;nm,m nmn1,2,3.;mxNmn6.4 層合平板的振動(dòng)層合平板的振動(dòng),0 x xxy yNN,0 xy xy yNN(6.34),2x xxxy xyy yyttMMMw, x yw,ttwq,xyxyNNN11,1266,222(2)xx