2016年高考全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)試題及答案精校解析版

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷I）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1、答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑.2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上白非答題區(qū)域內(nèi)均無(wú)效3、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4、選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑.答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答

2、題區(qū)域均無(wú)效5、考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交第I卷一.選擇題：本大題共12小題,每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .設(shè)集合A=xx24x+3<0,x2x-3>0，則AB=2 .設(shè)(1+i)x=1+yi,其中x,y是實(shí)數(shù)，則x+yi=(A)1(B)拒(C)V3(D)23 .已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=（A）100（B）99（C）98（D）974 .某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是.11

3、23（A）3（B）2（C）3（D）4225.已知方程-T-=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是mn3m-n1O1OO8.若ab10:二c；1，則9.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的x=0,y=1,n=1，則輸出x,y的值滿足(A)y=2x(B)y=3x(C)y=4x(D)y=5x的半徑.若該幾何體的體積是松，則它的表面積是7.函數(shù)y=2x2-eM在1-2,2的圖像大致為2y.(A)ac<bc(B)abc<bac(C)a10gbe<blogac(D)logac；10gbe6.如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直(A)17n(B)

4、18n(C)20n(D)28兀y.2-2O210.以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=472,|DE|=2痣，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距值為(A)(1,3)(B)(1,點(diǎn))(C)(0,3)(D)(0,51-12(A)2(B)4(C)6(D)811.平面）過(guò)正方體ABCD-AiBiCiDi的頂點(diǎn)A,"/平面CBiDi,口I平面ABCD=m，口I平面ABBiAi=n，則m、n所成角的正弦(A)2(C)(B)32n-1x=x+,y=nyn=n+11(D)-312.已知函數(shù)JTf(x)=sin(sx+中)(8)0,中<)2,x=-為f(x)的零點(diǎn)

5、,x=一為y=f(x)圖像4的對(duì)稱軸，且f(x)在i單調(diào)，則8的最大值為1836(A)11(B)9。7(D)5m=二、填空題：本大題共3小題,每小題5分13.設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則14.(2x+JX)5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是(用數(shù)字填寫答案)15 .設(shè)等比數(shù)列Qn滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為16 .某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的禾1J潤(rùn)為2

6、100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的禾1J潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為.解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17 .(本小題滿分為12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosc(acosB+bcosA)=c.(I)求C;(II)若c=J7,AABC的面積為逑，求MBC的周長(zhǎng).218 .(本小題滿分為12分)如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD,2AFD=901且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60.(I)證明：平面A

7、BEF_L平面EFDC;(II)求二面角E-BC-A的余弦值.C19 .(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖:以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)E表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).(I)求X的分布列;(II)若要求P(X&l

8、t;n)之0.5，確定n的最小值;(III)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？2220.(本小題滿分12分)設(shè)圓x+y+2x-15=0的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(I)證明EA+EB為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線5,直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.X221.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)e+a(x-1)有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)x1,x2是

9、f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：xi+x2<2.請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22 .(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖，OAB是等腰三角形，/AOB=120°.以O(shè)為圓心，1OA為半徑作圓.2(I)證明：直線AB與。O相切；(II)點(diǎn)C,D在OO±,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓，證明：AB/CD.23 .(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程，一一一,.x=acost,一在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線5的參數(shù)方程為X(t為參數(shù)，a>0).y=1asint在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2

10、:k4cos0.(I)說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(II)直線C3的極坐標(biāo)方程為8=0%,其中1M0滿足tana0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.24.(本小題滿分10分)選修45:不等式選講已知函數(shù)f(x)=x+12x3.(I)畫出y=f(x)的圖像；(II)求不等式f(xJ>1的解集.2016年高考全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)123456789101112答案DBCBAADCCBAB23】1.A=xxKx+3<01=x1<x<3卜B=x2x-3>0='xx>->IJ3故AfiB=，x-<x<

11、;32故選D.x二1x二12 .由（1+iA=1+yi可知：x+xi=1+yi,故W，解得：W.x=yy=1所以，xyi=x2y2=2.故選B.3 .由等差數(shù)列性質(zhì)可知：S9=%上曳3=9%鋁=9a5=27,故a5=3,22而a10=8,因此公差d=a10a5=110-5a100=加+90d=98.故選C.4 .如圖所示，畫出時(shí)間軸：7:307:407:508:008:108:208:30ACDB小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘10101根據(jù)幾何概型，所求概率P=20=1.402故選B.225 .-xy-二1表示

12、雙曲線，貝U(m2+nX3m2n)>0mn3m-n.2八2-m:n:3m由雙曲線性質(zhì)知：c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c是半焦距，焦距2c=22m=4,解得m=1故選A.-1:二n：二31一，、一1后的三視圖8表面積是7的球面面積和三個(gè)扇形面積之和87212S=-4二2+3-二2=17二故選A.7 .f(2)=8-e2>8-2.82>0,排除A1cfx：-4-e=0f(2)=8-e2<8-2.72<1,排除Bx>0時(shí)，f(x)=2x2-exf'(x)=4x-ex,當(dāng)x；0,-11時(shí),因此f(x而'0,1|單調(diào)遞減，排除C,4

13、故選D.8 .對(duì)A：由于0<c<1,.,.函數(shù)y=xc在R上單調(diào)遞增，因此a>b>1uac>bc,A錯(cuò)誤對(duì)B:由于1<c1<0,.函數(shù)y=xc在(1,")上單調(diào)遞減，.c1c-1cca>b>1a<buba<ab,B錯(cuò)慶對(duì)C：要比較alogbc和blogac,只需比較且加£和她£,只需比較Jnc和也c,只需blnblnblnablnbalna和alna11<alnablnb構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx(x>1),則f'(x尸lnx+1>1>0,f(x)在(1,-Ho)上單

14、調(diào)遞增,因此fa>fb廣0=alna.blnb.0之lnclnc.一“又由0<c<1得lnc<0,.<二blogac<alogbc,C正確alnablnb對(duì)D：要比較logac和10gbc,只需比較必和0clnalnb11而函數(shù)y=lnx在(1,*)上單倜遞增，故a>bA1ulna：>lnb>0u<lnalnblnclnc.一又由0<c<1得lnc<0,.>=logac>logbc,D錯(cuò)誤lnalnb故選C.9.如下表:輸出x=,y=6,滿足y=4x2故選C.10.以開(kāi)口向右的拋物線為例來(lái)解答，其他開(kāi)口同

15、理設(shè)拋物線為y2=2px(p>0)，設(shè)圓的方程為x2+y2=r2,題目條件翻譯如圖：設(shè)Ax0,22,D-p,5,點(diǎn)A(X0,2w5)在拋物線y2=2px上，8=2pxo點(diǎn)D.p,V5|在圓x2+y2=r2上，.5+|衛(wèi)j=r222循環(huán)節(jié)運(yùn)行次數(shù)nn1xx=x+I2Jy(y=ny)判斷22x+y至36是否輸出n(n=n+1)運(yùn)行前01/1A次01否否2第二次122否否3第三次326是是點(diǎn)A(x0,2T2)在圓x2+y2=r2上，x2+8=r2聯(lián)立解得：p=4,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=4.故選B.11 .如圖所示：豆/平面CB1D1，若設(shè)平面C0D1n平面ABCD=m1,則3/m又平面ABCD

16、/平面ABQD1,結(jié)合平面B1D1CPI平面ABC1D1=B,D1BQ",故BD"/m同理可得：CD1/nNCDB的大小.而B(niǎo)1C=BQ1=CR(均為面對(duì)交線)3,因此/CD1G1=,即sinCD1B1=故m、n的所成角的大小與巳口、Cd所成角的大小相等，即故選A.12 .由題意知:則*=2k+1，其中kZZ_,n55，：1:tT,f(x)在,|單倜，二二W-,0蕓1218363618122接下來(lái)用排除法不滿若切=11,邛=一此時(shí)f(x)=sin'11x-l1,f(x)在：,2遞增，在,5-j遞減,4.418444436足f(x)在工，五|單調(diào)1836若=9,：=4

17、,.匚，支；,此時(shí)f(x)=sin9x十一,4,滿足f(x)在,2|單調(diào)遞減1836故選B.13.由已知得：ab=m1,3a+b2u(m+1)+32=m2+12+12+22解得m=一2.14.設(shè)展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)為Tk+，kw0,1,2,3,4,5kkTk1=Ck2x5-x="25式？k5，a當(dāng)5萬(wàn)=3時(shí)，k=4,即T5=C5254x2=10x3故答案為10.15.由于弧是等比數(shù)列，設(shè)an=aiqn,，其中a是首項(xiàng),q是公比.aa=10'-二a2a4=5-2a1aq3aqaq二5二10仲=8,解得：1.q=2故an1a1a?.an=一2nn_7當(dāng)n=3或4時(shí),494%到最小值

18、.此時(shí)小C取到最大值26216.所以a1a2.an的最大值為64.設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件，構(gòu)造線性規(guī)則約束為1.5x+0,5j<15(x+0.3j?W905x+r<fi00JaQ工W可行域?yàn)?目標(biāo)函數(shù)z=2100x900y作出可行域?yàn)閳D中的四邊形，包括邊界，頂點(diǎn)為(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)在(60,100)處取得最大值，2=2100黑60+900黑100=21600017 .解：(1)2cosc(acosB+bcosA)=c由正弦定理得：2coscsinAcosBsinBcosA=sinC2cosCsin

19、AB=sinCA+B+C=n,A、B、CW(0,兀)sinAB=sinC01-2cosC=1,1cosC=-2C(0,K)由余弦定理得:22c=a.2b-2abcosC227二a2b2-2ab一2ab)-3ab=71S=absinC2-Jab4ab=62ab)78=7ab=5ABC周長(zhǎng)為a+b+c=5+"18 .解：(1)ABEF為正方形AF-EFZAFD=90AF_DFDFQEF=FAF_L面EFDCAF_LWABEF，平面ABEF_L平面EFDC由知DFE=CEF=60AB/EFAB0平面EFDCEFu平面EFDCABII平面ABCDAB二平面ABCD面ABCD門面EFDC=CD

20、ABIICDCD/EF，四邊形EFDC為等腰梯形以E為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)FD=aA(2a,2,E0,0,0B0,2a,0C1,0,aEB=(0,2a,0),羨一，.2aAB-2a,0,0設(shè)面BEC法向量為m=(x,y,z設(shè)二面角E-BCA的大小為2ay=0mEB=0_1- T,即ja而mBC=0-x-2ayaz=0設(shè)面ABC法向量為T-anBC=0X2-2ay2<4f.即<2nAB=02aX2=03az2=022X2=0,y2=.3,Z2=4cos二-313161919解:：二面角EBCA的余弦值為一當(dāng)場(chǎng)每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為記事件A為第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉198,9,10

21、,11記事件Bi為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉i+7個(gè)零件(i=1,2,3,4)i+7個(gè)零件(i=1,2,3,4)由題知PA)=PA)=PA)=PBi)=PB3)=PB4)=0.2,PA2-PB2)=0.4設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為X,則X的可能的取值為16,17,18,19,20,21,22PX=16=PAiPBi=0.20.2=0.04PX=17=PAiPB2PA2PBi=0.20.40.40.2=0.16PX=18=PAiPB3PA2PB2PA3PBi=0.20.20.20.20.40.4=0.24PX=19)=PA1PB4PA2PB3PA3PB2PA4PBi)=0.20.20.

22、20.2-0.40.20.20.4=0.24PX=20)=PA2PB4PA3PB3PA4PB2)=0.40.20.20.40.20.2=0.2Px=21)=PA3PB4PA4PB3)=0.20.20.20.2=0.08Px=22)=PA4PB4)=0.20.2=0.04X16171819202122P0.040.160.24：0.240.20.080.04要令P(xwn)>0.5,：'0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.24>0.5則n的最小值為19購(gòu)買零件所需費(fèi)用含兩部分，一部分為購(gòu)買機(jī)器時(shí)購(gòu)買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外

23、購(gòu)買的費(fèi)用當(dāng)n=19時(shí)，費(fèi)用的期望為19父200+500父0.2+1000M0.08十1500M0.04=4040當(dāng)n=20時(shí)，費(fèi)用的期望為20M200+500M0.08十1000M0.04=4080所以應(yīng)選用n=1920.(1)圓A整理為(x+12+y2=16,A坐標(biāo)(M,0),如圖,AC=AD,則/D=/C,7BE/AC,則/C=/EBD,由EBD=/D,則EB=ED.AEEB=AEED=AD=4所以E的軌跡為一個(gè)橢圓，方程為22xy一+=1，(y#0);4322xyC1:一+=1；設(shè)l:x=my+1,43因?yàn)镻Q±l,設(shè)PQ:y=5(x-1),聯(lián)立l與橢圓Cix=my1ix2y

24、2得(3m2+4)y2+6my-9=0;工=143r52.36m363m4則|MN|=.1m|yM-yN尸1m23m4x4212m12，3m4圓心A到PQ距離d-尸”)12m|,1m21m21-1.Smpnq=-|MN|PQ|=所以|PQ|=2.|AQ|-d2.1m12m14.3m424m121-=._=2423m41m23m413m21121. (I)f'(x)=(x1)ex+2a(x1)=(x1)(ex+2a).x_(i)設(shè)a=0,則f(x)=(x2)e,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).(ii)設(shè)a>0,則當(dāng)xw(3,1)時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)x(1,收)時(shí)，f'

25、(x)>0.所以f(x)在(,1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b滿足b<0且b<lna,則2f(b)>a(b-2)+a(b-1)2=a(b2|b)>0,故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).(iii)設(shè)a<0,由f'(x)=0得*=1或乂=ln(-2a).什e_.右a之一5,則ln(2a)<1,故當(dāng)xe(1,+無(wú))時(shí)，f'(x)>0,因此f(x)在(1,十無(wú))上單調(diào)遞增.又當(dāng)xW1時(shí)，f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).e右a(一萬(wàn)，則ln(-2a)>1,故當(dāng)x=(1,ln(-2a)時(shí)，

26、f'(x)<0；當(dāng)x亡(ln(-2a),收)時(shí)，f'(x)A0.因此f(x)在(1,ln(2a)單調(diào)遞減，在(ln(2a),收)單調(diào)遞增.又當(dāng)x1時(shí)，f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍為(0,十無(wú)).(II)不妨設(shè)x1<x2,由(I)知x1W(-°°,1),x2w(1,g),2-x2e(-°°,1),f(x)在(-°0,1)上單調(diào)遞減，所以x1+x2M2等價(jià)于f(x1)>f(2-x2),即f(2x2)<0.由于f(2x2)=xze2、2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x?2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-X2)=-X2e2-2-(X2-2)ex2.設(shè)g(x)=-xe2-X-(x-2)ex,貝Ug(x)=(x1)(e1-ex).所以當(dāng)