有限元法理論及應(yīng)用參考答案

1、有限元法理論及應(yīng)用大作業(yè)1、試簡要闡述有限元理論分析的基本步驟主要有哪些？答：有限元分析的主要步驟主要有：(1)結(jié)構(gòu)的離散化，即單元的劃分；(2)單元分析，包括選擇位移模式、根據(jù)幾何方程建立應(yīng)變與位移的關(guān)系、根據(jù)虛功原理建立節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，最后得到單元?jiǎng)偠确匠蹋?3)等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算；(4)整體分析，建立整體剛度方程；(5)引入約束，求解整體平衡方程。2、有限元網(wǎng)格劃分的基本原則是什么？指出圖示網(wǎng)格劃分中不合理的地方。題2圖答：一般選用三角形或四邊形單元，在滿足一定精度情況，盡可能少一些單元有限元?jiǎng)澐志W(wǎng)格的基本原則：1,拓?fù)湔_性原則。即單元間是靠單元頂點(diǎn)、或單元邊、或單元面連接2 .

2、幾何保持原則。即網(wǎng)絡(luò)劃分后，單元的集合為原結(jié)構(gòu)近似3 .特性一致原則。即材料相同，厚度相同4 .單元形狀優(yōu)良原則。單元邊、角相差盡可能小5,密度可控原則。即在保證一定精度的前提下，網(wǎng)格盡可能的稀疏一些。(a)(b)中節(jié)點(diǎn)沒有有效的連接，且(b)中單元邊差相差很大。(c)中沒有考慮對稱性，單元邊差很大。3、分別指出圖示平面結(jié)構(gòu)劃分為什么單元？有多少個(gè)節(jié)點(diǎn)？多少個(gè)自由度?(c)混凝土梁結(jié)構(gòu)(d)水壩模型答：(a)劃分為桿單元，8個(gè)節(jié)點(diǎn)，12個(gè)自由度。(b)劃分為平面梁單元，8個(gè)節(jié)點(diǎn)，15個(gè)自由度。(c)平面四節(jié)點(diǎn)四邊形單元，8個(gè)節(jié)點(diǎn)，13個(gè)自由度。(d)平面三角形單元，29個(gè)節(jié)點(diǎn)，38個(gè)自由度。4

3、、什么是等參數(shù)單元？。答：如果坐標(biāo)變換和位移插值采用相同的節(jié)點(diǎn)，并且單元的形狀變換函數(shù)與位移插值的形函數(shù)一樣，則稱這種變換為等參變換，這樣的單元稱為等參單元。5、在平面三節(jié)點(diǎn)三角形單元中，能否選取如下的位移模式，為什么？,2,2,.2u(x,y)=%+c(2X+a3y“、u(x,y)=%x+%*丫+口3y(1).2(2).22v(x,y)=«4+CC5X+c(6yv(x,y)=«4X+u5xy+ct6y答：(1)不能，因?yàn)槲灰坪瘮?shù)要滿足幾何各向同性，即單元的位移分布不應(yīng)與人為選取的坐標(biāo)方位有關(guān)，即位移函數(shù)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)該是能夠互換的。所以位移多項(xiàng)式應(yīng)按巴斯卡三角形來選擇。

4、(2)不能，位移函數(shù)應(yīng)該包括常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。6、設(shè)位移為線性變化，將圖示各單元邊上的載荷等效到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上去(1)集中力F平行于x軸，e點(diǎn)到i、j點(diǎn)的距離分別為1ie,1je；(2)邊長為1ij的ij邊上有線性分布載荷，最大值為q。答：(1)Fja=lielielje0Fia(2)i,j兩節(jié)點(diǎn)受到的力分別為1jelie1je01,1,qhj，-qlij1-qljSin061.八qljcos016j-Pj1qljsin31.,-qliicoS3j17、圖示三角形ijm為等邊三角形單元，邊長為1,單位面積材料密度位中力F垂直作用于mj邊的中點(diǎn)，集度為q的均布載荷垂直作用于im邊。寫出三角形單元的節(jié)

5、點(diǎn)載荷向量F題7圖答：將q移置到m,i節(jié)點(diǎn)：Pmi=一近1ql41.4”Pi一百Jql4Vql一將F移置到m,j兩節(jié)點(diǎn)：Pm2=將重力移置到i,j,m點(diǎn)：Pm3=疊加后得：Pmql-Pj41-F4-12-l211.3、2一一ql一一Fl44123匚F4F，l2412Pj2=Pi3Pi8、如圖所示為線性位移函數(shù)的三角形單元，若已知試證明ij邊上任意一點(diǎn)的位移都為零。證：設(shè)ij邊上任一點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,則其位移為:UiViNi0Nj0Nm0NiNj0NmUjVjUm=Pj341-F4qi'3、2J12i、j兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移為零,vm點(diǎn)位移為Ui,vi,Uj,vj均為要證6=0,只需證,CnFX

6、j-xiNr=(am+bmx+cmy)/2A,anFxyj-xjyi,bm=yi-yj.N=xiyj-Xjyi+(yi-yj)x+(xj-Xi)y/2A=xyi-yxi/2A;該點(diǎn)為ij邊上任一點(diǎn)yi/xi=y/x二Nm=09、已知圖示的三角形單元，其jm邊和mi邊邊長均為a,單元厚度為t,彈性模E,泊松比為ii=0,試求:(D行函數(shù)矩陣N;(2)應(yīng)變矩陣B;(3)應(yīng)力矩陣S;(4)單元?jiǎng)偠染仃嘖o解：令m點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),m點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,j點(diǎn)坐標(biāo)為（0,a）,i點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)aifym-xmyj，aj=xmX-為ym=0,am=xiyjxjyibi=yjym=a,bjbm=yiCicj

7、xi-xmcmXjNi1，,、-(aibxcy),i,j,m2A1N二r*i2a1ax=x,aNj1ay=-y,NaNiN=-00NiNj00NjNm0a011-x1*2(a2-ax-ay)1-(a-x-y)aNma10a-x-y001a-x-yBUbi0?iCibibj0E1-2cjSIWbH2一20：0"a0：001-a-100-10-101-1-10101一10：0一10:。一20：00101-'10-'1-10-10-1-1E2a一20：0-20-'101-20T-1一1一20:。0101一10:。-'10-'1-1t-一1Et4-20

8、-2-1-1-1-1-2題9圖-2-1-1010、如圖所示，設(shè)桁架桿的長度為位移函數(shù)為2點(diǎn):01-1-1-2題10圖1,截面積為A,材料彈性模量為E,單元的u(x)=1+02x,導(dǎo)出其單元?jiǎng)偠染仃?。x=0u=u1x=lu=u21.工2I-u1u2u1u=U1令N11-7；N2u=N1U1N2u2=N1N2U2udu-ududxdxdx1Tx一u2lE=Ee=Efefele=Le1J=S:，eKe=fVVBTDBdvD-為彈性矩陣(對于一維問題,為E)KeEAEA一AdxlEAEA11、如圖為一懸臂梁，其厚度為1m,長度為2m,高度為1m,彈性模量為E,泊松比為呼1/3,在自由端面上作用有均勻載

9、荷，合力為F,若用圖示兩個(gè)三角形單元進(jìn)行有限元分析，試計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移；若將懸臂梁離散為四個(gè)平面三角形單元，令仙=0,試求整體剛度矩陣。解：離散為兩個(gè)單元求各節(jié)點(diǎn)位移，假設(shè)t很小，則該問題為平面應(yīng)力問題：一、單元編號、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)i12j23m44各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為：1(0,0),2(2,0),3(2,1),4(0,1)面積A=1;、求單元?jiǎng)偠染仃?i=1,j=2,m=4)(1)對單元由ai=xjym-xmyjbi=yi-ymci=xm-xj得b1=-1c1=-2b2=1c2=0b4=0c4=2ku4-37-37-34-3,k21_4k413k14卜24=Pk44k11k21.k41brbs2Jcr

10、bs32上2,1_Nbrcscrbs2crG2313一1一JTbsr,s=i,j,m21一31飛一_234k22P:_42ki4=p|333一4一一。21k24=P|230一3一-I3431123k42=.3ok44=P3004323132331002330132304-32-3-o2-34-3o=-1c4=0(1)、對單元(i=2,j=3,m=4)同理求得：b2=0c2=-2b3=1c3=2b4求得：k22=P-43.001k33=P7_34_341313工可得單元的單元?jiǎng)偠染仃?下42-43-4k23=Pk34=P-1232-3-42313一一0二k24=P|23I-03110k44=P0

11、1J一302-3-4313、整理剛度矩陣3-13231023-1231213023130將兩個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚨淖泳仃噷μ柸胱M成整體剛度矩陣一_34I3-12K=P3043_32313023_3043231343234323_343-1四、單元等效節(jié)點(diǎn)力和整體等效節(jié)點(diǎn)載荷431332313043123_303023_1301331.單元不受分布力作用.R=0單元有分布力F/t作用，利用R=jNTqtds=1NTFtds=N0bs20Lj0Lm0T4s_0Li0Lj0LmFij邊上Lm=0RLi0LjL|0Li0T0001;01.dsLj00FR=Fl0L0Lj00Tds由L，1lLids=2R

12、勺010100T將兩個(gè)單元的等效節(jié)點(diǎn)力以對號入座的方式迭加，再加上節(jié)點(diǎn)1和4上的未知集中力，得整體等效節(jié)點(diǎn)載荷為R=XiY10-20-2X4Y4T五、求解整體平衡方程整體平衡方程:一7447-3_2321Et1600|00_4_2_212-3_270-4-204-200-4-100-20-4-2013-2-124-274-3-4413-24-3-270-2-10-2U112V14u20V2一2U3-1V30U413J-xjY0F20F_I2X4.丫4約束邊界條件為：u1=v1=u4=v4=0將這四個(gè)零位移的行劃去，剩下方程為:oF-2oF-2-J2233uVuV-2-12413-4-274O1

13、3-2-127O-4-23一32得整體節(jié)點(diǎn)位移列陣：'-F001.4948.4201.8789.00000T題11圖12、利用對稱性或反對稱性等原理建立圖示結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算模型題12圖題13圖答：1.定義工作文件名和工作標(biāo)題(1)定義工作文件名：執(zhí)行UtilityMenu>File>ChangeJobname命令，在彈出的<ChangeJobname對話框中輸入“Plate選擇<Newloganderrorfiles>復(fù)選框，單擊瓶按鈕。(2)定義工作標(biāo)題：執(zhí)行UtilityMenu>File>ChangeTitle命令，在彈出的<Cha

14、ngeTitle>對話框中輸入“TheAnalysisofPlateStresswithsmallcube”,單擊破按鈕。(3)重新顯示：執(zhí)行UtilityMenu>Plot>Replot命令。(4)關(guān)閉三角坐標(biāo)符號：執(zhí)行UtilityMenu>PlotCtrls>WindowControls>WindowOptions命令，彈出<WindowOptions>對話框。在<Locationoftriad>下拉列表框中選擇“NotShown”選項(xiàng)，單擊或按鈕。2 .定義單元類型和材料屬性(1) 選擇單元類型：執(zhí)行MainMenu>P

15、reprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete命令，彈出<ElementType>對話框。單擊am.按鈕，彈出如圖所示的<LibraryofElementType>對話框。選擇“StructuralSolid”和“Quad4node42”選項(xiàng)，單擊偎按鈕,Options-selectK3:PlaneStrain>OK>然后單擊Clo,c按鈕。(2)設(shè)置材料屬性：執(zhí)行MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels命令，MaterialModels

16、命令，彈出<DefineMaterialModelsBehavior>窗口。雙擊<MaterialModelAvailable列表框中的“StructuralLinearElasticIsotropic”選項(xiàng)，彈出<LinearIsotropicMaterialPropertiesforMaterialNumber1>對話框。在<EX環(huán)口<PRXY>本框中分別輸入“2ell”及“0.3”。單擊按鈕，然后執(zhí)行Material>Exit命令，完成材料屬性的設(shè)置。(3)保存數(shù)據(jù)：單擊ANSYSTools中的中“弗按鈕。3 .創(chuàng)建幾何模型(1)生成

17、一個(gè)矩形面：執(zhí)行MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Are-As>Rectangle>ByDimensions命令，彈出<CreateRectanglebyDimensions對話框>。如圖所示輸入數(shù)據(jù)，單擊破按鈕，在OutputWindow物口中顯示一個(gè)矩形。(2)和上面步驟一樣，只是數(shù)據(jù)改變。(3)執(zhí)行面相操作：執(zhí)行MainMenu>Preprocessor>Modeling>Operate>Bool-Leans>Subtract>Areas命令，彈出一個(gè)拾取框。拾取

18、編號為A1的面，單擊按鈕然后拾取編號為A2的圓面，單擊便按鈕。生成結(jié)果如圖所示。ANSYSAJ.IAS4.生成有限元網(wǎng)格(1)設(shè)置網(wǎng)格尺寸的大小：執(zhí)行MainMenu>Preprocessor>Meshing>SizeCn-trls>MaualSize>Global>Size命令，彈出如圖所示的<GlobalElementSi-zes>)Ct話框。在<Elementedgelength>文本框中輸入“0.5”，單擊服按鈕。(2)采用自由網(wǎng)格劃分單元：執(zhí)行MainMenu>Preprocessor>Mesh>Areas

19、>Free命令，彈出一個(gè)拾取框。拾取編號為A3的面，單擊卬按鈕，生成的網(wǎng)格如圖所示。(3)保存結(jié)果：單擊工具欄中的人%比按鈕。ANSYS5.施加載荷并求解(1)施加約束條件：執(zhí)行MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Struct-rual>Displacement>onLines命令。彈出一個(gè)拾取框。拾取編號為L10和L9的線，單擊按鈕，彈出如圖所示的<ApplyU,ROTon1的6$>對話框。選擇"UX'選項(xiàng)，單擊吸按鈕。(2)施加載荷：執(zhí)行MainMenu>Solution>

20、;DefineLoads>Apply>Structrual>Pressure>OnLines命令，彈出一個(gè)拾取框。拾取編號為L2的線，還有上下兩條線。單擊破按鈕，彈出如圖所示的ApplyPRESOn口佗$對話框。在LoadPRESvalue文本框中輸入“-1000”單擊按鈕，生成結(jié)果如圖所示。(3)求解：執(zhí)行MainMenuSolutionSolveCurrentLS命令，彈出一個(gè)提示框。瀏覽后執(zhí)行FileClose命令，單擊按鈕開始求解運(yùn)算。當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)Solutionisdone對話框時(shí)，單擊眥按鈕，完成求解運(yùn)算。(4)保存分析結(jié)果：執(zhí)行UtilityMenuFile

21、Saveas命令，彈出Save2$對話框。輸入“PlateRESU"，單擊醵按鈕。1E1EHEWTSJITL2200920:31:20ANSYS13、分析圖示帶方孔、對角受壓的正方形薄板的變形，試建立其有限元計(jì)算模型。答：該題為對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷作用，可作如下簡化，即取原薄板的1/4,x軸上各點(diǎn)的垂直位移為0,y軸上各點(diǎn)的水平位移為0。集中力作用于頂部節(jié)點(diǎn)，但大小減半。(1)建立有限元模型；(2)用通用有限元軟件進(jìn)行計(jì)算。答：1.定義工作文件名和工作標(biāo)題(1) 定義工作文件名：執(zhí)行UtilityMenu>File>ChangeJobname命令,在彈出的<Chang

22、eJobname方寸話框中輸入"Plate"。選擇<Newloganderrorfiles>復(fù)選框，單擊醵按鈕。(2) 定義工作標(biāo)題：執(zhí)行UtilityMenu>File>ChangeTitle命令，在彈出的<ChangeTitle>對話框中輸入"TheAnalysisofPlateStresswithsmallcube”,單擊醵按鈕。(3)重新顯示：執(zhí)行UtilityMenu>Plot>Replot命令。(4)關(guān)閉三角坐標(biāo)符號：執(zhí)行UtilityMenu>PlotCtrls>WindowControls

23、>WindowOptions命令，彈出<WindowOptions>對話框。在<Locationoftriad>下拉列表框中選擇"NotShown”選項(xiàng)，單擊0K按鈕。2 .定義單元類型和材料屬性(1) 選擇單元類型：執(zhí)行MainMenu>Preprocessor>ElementType>Add/Edit/Delete命令,彈出ElementType>對話框。單擊工數(shù)按鈕，彈出如圖所示的LibraryofElementType>對話框。選擇"StructuralSolid"和"Quad4node

24、42”選項(xiàng)，單擊0K按鈕，Options>selectK3:PlaneStrain>OK>然后單擊日°"按鈕。(2)設(shè)置材料屬性：執(zhí)行MainMenu>Preprocessor>MaterialProps>MaterialModels命令，MaterialModels命令，彈出DefineMaterialModelsBehavior>窗口。雙擊MaterialModelAvailable>列表框中的"StructuralLinearElasticIsotropic”選項(xiàng)，彈出LinearIsotropicMateri

25、alPropertiesforMaterialNumber1>對話框。在<EX環(huán)口<PRXY文本框中分別輸入“2ell”及“0.3”。單擊按鈕，然后執(zhí)行Material>Exit命令，完成材料屬性的設(shè)置。保存數(shù)據(jù)：單擊ANSYSTools中的卜研邯按鈕。3 .創(chuàng)建幾何模型(1)特征點(diǎn)ANSYSMainMenu:Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>InActiveCS依次輸入四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：input:1(-10,0),2(10,0),3(0,-10),4(0,10)>OKPOINTSTYPEHUHAN

26、SYSTULEZOO520±5iSl!Al01(1)生成矩形面ANSYSMainMenu:Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Arbitrary>ThroughKPS依次連接四個(gè)特征點(diǎn),1(10,0),2(-10,0),3(0,-10),4(0,10)一OK(2)重復(fù)上面的步驟，只是輸入的關(guān)鍵點(diǎn)的位置有所不同，再在這個(gè)大的方形中再建一個(gè)小方形。(3)執(zhí)行面相操作：執(zhí)行MainMenu>Preprocessor>Modeling>Operate>Bool-Leans>Subtract>A

27、reas命令，彈出一個(gè)拾取框。拾取編號為編號為A2的圓面，單擊破按鈕。生成結(jié)果如圖所示。A1的面，單擊按鈕。然后拾取ANSYS4.生成有限元網(wǎng)格和上題是一樣的。5.施加載荷并求解和上題不同是施加約束條件要建立關(guān)鍵點(diǎn)10(0,0),對其進(jìn)行全方位約束。施加載荷的時(shí)候是集中載荷，執(zhí)行MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structrual>Force/Moment>OnKeypoints14、圖示為一帶圓孔的正方形平板，在x方向作用均布壓力0.25Mpa,板厚1m,具體尺寸如圖，試完成:(1)建立有限元模型；(2)用通用有限元軟件進(jìn)行計(jì)算。解：根據(jù)對稱性，取原結(jié)構(gòu)的1/4劃分單元，如圖：單元形式為四節(jié)點(diǎn)四邊形單元，在靠近開孔的部分單元?jiǎng)澐謶?yīng)較密，在遠(yuǎn)離開孔的部分單元?jiǎng)澐州^疏。單元?jiǎng)澐终w結(jié)構(gòu)圖小孔附近單元放大圖采用ansys軟件分析取1/4分析因?yàn)榘搴?m故可以簡化為平面應(yīng)力問題選擇材料系數(shù)選擇plane82單元單元性質(zhì)：2維8節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)實(shí)體單元plane82單元說明plane82是2維4節(jié)點(diǎn)單元(PLANE42)的高階版本。對于四邊形和三角形混合網(wǎng)格，它有較高的結(jié)果精度；可以適應(yīng)不規(guī)則形狀而較少損失精度。本8節(jié)點(diǎn)單元具有一致位移形狀函數(shù)，能很好地適