泛函分析習(xí)題標(biāo)準(zhǔn)答案

1、第二章度量空間作業(yè)題答案提示1、 試問在R上，P(x,y)=(xyj能定義度量嗎？答：不能，因為三角不等式不成立。如取x=L則有P(x,y)=4,而P(x,z)=1,P(z,x)=12、試證明：(1)P(1x,y)=x-yp；(2)Pg尸中在R上都定義了度量。證：(1)僅證明三角不等式。注意到x-y|x-z+z-yxz2+z12y|2故有x-y|2x-zp+z-y(2)僅證明三角不等式易證函數(shù)中(x尸上在R+上是單調(diào)增加的，1x所以有中(|a+b產(chǎn)邛(a|+|b)，從而有a+IbIl+lIaII+blIab1十|a+|b+|1+|a+111bliab令Vx,y,zwR，令a=zx,b=yz即y

2、-xLJz-xL+y-z_1+|y-x|1+|zx|1+|y-z|4.試證明在C1a,b上，P(x,y)=jx(t)y(t)dt(2.3.12)定義了度量。證：(1)P(x,y)=0u|x(t)-y(t)三0(因為x,y是連續(xù)函數(shù))P(x,y)“及P(x,y)=P(y,x)顯然成立。b(2)：(x,y)=a|x(t)-y(t)|dtm:l.x(t)-z(t)|dtz(t)-y(t)|dtbbMa|x(t)-z(t)|dt+jz(t)y(t)|dt一；(x,z)：(z,y)5.試由Cauchy-Schwarz不等式證明2nn2xi證:Z|xi|I1+P2；(2)=(Pi2+P|)1/2；(3)=

3、maxi,P?證：僅證三角不等式。(1)略。(2)設(shè)x=(x1x2),y=(yy2)亡Rm0,則1(x,y)=；(x,yi)(x2,y2)i1-Pi2(Xi,zi)+Pi2(Zi,yi)2+LPl(X2,z2)+P|(z2,y2)fr1i工R2(Xi,4)+R2(Zi,yi)2+P；(X2,Z2)+P；(z2,y2)Fiii=W(x,z)+*z,y)!iZA+l21n0,有P(Xn,Xn0)0,四使得對于一切j,當(dāng)nN,時有也2,又因為匕所以女，當(dāng)1此時從而有X.-Xj+X/sup尤kX于是tOOtoo),故在Cooo14 .試證在賦范線性空間X中，級數(shù)月二1的收斂性，弁不蘊含00級數(shù)打=1的

4、收斂性。嚴(yán)=&(叫(OiWn1fi-nn則人一尸8,且|ynl=supy*=5n0000|y=E吃于是，A1n二1幾收斂00但,15 .設(shè)X是賦范線性空間，若級數(shù)的絕對收斂性蘊含著級數(shù)的收斂性，則是完備的。證：設(shè)Xn是X中1任一Cauchy列，則寸kN,三nk,s.t.當(dāng)日門町時,ISn-Smlnk,從而Snk是Sn的一個子列,弁且令X尸Sm,Xk=Sn-Snk,則S冰是級數(shù)工Xk的部分和序列，從而qQqQRXk|=S|Sk-Skll+|X1|=11X111+2，=Xi|+1kz?k】于是工Xk絕對收斂，故工Xk收斂。不妨設(shè)SnkTSeX,由于Xn是Cauchy列，故IS-S|0,bn當(dāng)n,m

5、N寸，xn-xm|N寸，有Xn-xm0bxnXmb即Xn是（X,卜。）中的Cauthy序列。反之，若Xn是（X0）中的Cauthy序列，則由（*）左邊不等式，可證x0是（X,卜）中的Cauthy序列。（2）Rn是有限維賦范線性空間，其上的范數(shù)都是等價的。20(2)的直接證明：證明在中,范數(shù)小和等價，其中nn1Xi=x|;lx2=(x%；|x.=maxxii=1i=1i1證1-IxiT-maxIxil,，二X0clMX2Vn|x0cl，故和K等價。2由Cauchy-Schwart不等式，得，nn21n-n2-ZXi(Z|x)2(Z1)2=(兇)2i1i1i4i1故有x1Vn|x2n1n1再有凡=

6、(Xi2)HxJ)2a=Xii4i1我們得-|x1X2|/1故卜1與七等價29.若T：D(T)tY是可逆的線性算子，xi,xn是線性無關(guān)的,試正明Txi,.,Txn也是線性無關(guān)的.證：若存在入1,.,入nG中且不全為零，使得1口.nTxn=0,則由于T存在且為線性的，故1T1Txi-./nTxn=1x1-/nTxn=0,與x1,.,xn線性無關(guān)矛盾。32 .若T#9是有界性算子，試證明對滿足x1的任意xwD(T),都有TxcT.思路：由TxMT|x即證結(jié)論。33 .設(shè)T：一使得Tx=：x1,迄.；試證明TWBl力22)證：設(shè)x=(x1,x2,.,xn,.),y=(y1,y2,.,yn,.),則

7、T：1x：=TMX12y二2乂，二1X212y2，.，:1Xn二2yn，.x2y2:1X1:2y1):1:222x2X1,12T|=supn7nnSUP4n從而T是線性算子.所以百產(chǎn)產(chǎn))且T1.進(jìn)一步可以證明一=1.37 .設(shè)T:C1b,1k010,1】,使得Tx(t尸J：x(T/,心0,1.(1)試求R(T)和T:R(T)tC110,11;(2)試問twb(r(t)Cb,11)嗎?(1) R(T)是滿足y(0)=0且在0,1上連續(xù)可微分的函數(shù)構(gòu)成的0,11的子空間，且T4y=yt,tl0,11o(2) T是線性的，但是無界的。事實上，(tn)=ntn蘊含著T|所138 .在C0,1上分別定義

8、SxCtLtJWTds和Tx(t)=tx(t)(1)試問S和T是可交換的嗎？(2)試求Sx,Tx,|STx和TSx修改|S|,T|,ST,|TS1(1) ST(x)=S(tx(t)=t。sx(s)ds,121TS(x)=T(t0x(s)ds)=t2ox(s)ds,故ST#TS,S和T不是可交換的。(2) SxM1。xds=x,所以So試證明TWB(X,X)。證：Vx,ywX,貝fjT(o(1x+a2y)=a1x(t-t)+a2y(t-)=a1Tx+口2Ty,即T是線性算子Tx=supx(tT)=supx(t)=x,t三rtErt|=140、證明下列在Ch,b1上定義的泛函是有界線性泛函：(1)

9、 f1(x)=(bxDy。)%,y/ckb固定；(2) f2(x)x(a)：x(b),：,:R固定證：(1)線性性略令B=maxy0(t)=y。，貝u有fJx)m：Bxdx=B(b-a)x,故有fiB(b-a)略41、設(shè)C1L1,11上的線性泛函f定義為01f(x)=J_Lx(t)dt-(x(t)dt,試求f解：rC11-1,11,01f(x)Ex|(Ldt+J0dt)=2x,所以|f|2,1取x(t)=tn,n為正奇數(shù)，twI-1,1則x=1,o11111丁12nf(x=ftndt-ftndt=2ftndt=2=衛(wèi)-2.n+1綜上所述,f|=2。44.(1)在-1,1上定義x=出月,心十陽)了0),試證明I是C1-1,1中的范數(shù)。(2)試證明f(x尸x(c)c=W在DlaM上定義了有界線性泛函。2J(3)試證明視hb】為bb】的子空間時，上面定義的f不再是有界的。證：（1）僅證三角不等式III小小II7、/,、.Ix+yl=maxIx(t)+y(t)I+maxIx(t)+y(t)I，maxix(t)I+maxly(t)I+maxlx(t)I+maxly(t)I1xI+1yI(2)僅證有界性lf(x)I=