材料閱讀題及答案

1、重慶中考材料閱讀題分類講練(含答案)類型1代數型新定義問題例1【2017重慶A】對任意一個三位數n如果n滿足各數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”.將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為F(n).例如n=123,對調百位與十位上的數字得到213,對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213+321+132=666,666+111=6,所以,F(123)=6.(1) 計算：F(243),F(617);若s,t都是“相異數”，其中s=100x+32,t=150

2、+y(1<x<9,1<y<9,F(s)x,y都是正整數)，規(guī)定：k=(首.當F(s)+F(t)=18時，求k的最大值.針對訓練1. 對于一個兩位正整數xy(0<y<x<9,且x、y為正整數)，我們把十位上的數與個位上的數的平方和叫做t的“平方和數”，把十位上的數與個位上的數的平方差叫做t的“平方差數”.例如：對數62來說，62+22=40,62-22=32,所以40和32就分別是62的“平方和數”與“平方差數”.(1) 75的“平方和數”是,5可以是的“平方差數”；若一個數的“平方和數”為10,它的“平方差數”為8,則這個數是.(2) 求證：當x<

3、;9,y<8時，t的2倍減去t的“平方差數”再減去99所得結果也是另一個數的“平方差數”.(3) 將數t的十位上的數與個位上的數交換得到數t若t與t的“平方和數”之和等于t'與t'的“平方差數”之和，求t.2. 將一個三位正整數n各數位上的數字重新排列后(含n本身).得到新三位數abc(avc),在所有重新排列中，當|a+c2b|最小時，我們稱abc是n的“調和優(yōu)選數”，并規(guī)定F(n)=b2ac.例如215可以重新排列為125、152、215,因為|1+52X2|=2，|1+22X5|=7，|2+52X1|=5,且2v5v7，所以125是215的“調和優(yōu)選數”，F(215

4、)=221X5=1.(1) F(236)=；(2) 如果在正整數n三個數位上的數字中，有一個數是另外兩個數的平均數，求證：F(n)是一個完全平方數；設三位自然數t=100x+60+y(1<x<9，1<y<9,x，y為自然數)，交換其個位上的數字與百位上的數字得到數t.若t1'=693,那么我們稱t為“和順數”.求所有“和順數”中F(t)的最大值.3. 進制也就是進位制，是人們規(guī)定的一種進位方法.對于任何一種進制X進制，就表示某一位置上的數運算時是逢X進一位.十進制是逢十進一，十六進制是逢十六進一，二進制就是逢二進一，以此類推，X進制就是逢X進一.為與十進制進行區(qū)

5、分，我們常把用X進制表示的數a寫成x.類比于十進制，我們可以知道：X進制表示的數(1111)x中，右起第一位上的1表示1xX0,第二位上的1表示1xX1,第三位上的1表示1X乂，第四位上的1表示1X乂.故(1111)X=1X乂+1X*+1XX1+1XX0,即：(1111)X轉化為十進制表示的數為乂+X2+X+X如：(1111)2=1X23+1X22+1X21+1X20=15,(1111)5=1X53+1X52+1X51+1X50=156.根據材料，完成以下問題：(1)把下列進制表示的數轉化為十進制表示的數：(101011)2=;(302)4=;(257)7=若一個五進制三位數(a4b)5與八進

6、制三位數(ba4)8之和能被13整除(1<a<5,1<b<5,且a、b均為整數)，求a的值；(3) 若一個六進制數與一個八進制數之和為666,則稱這兩個數互為“如意數”，試判斷(mm1)s與(nn5)8是否互為“如意數”？若是，求出這兩個數；若不是，說明理由.4. 我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=pxq(p，q是正整數，且p<q)，在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱pXq是n的最佳分解.并規(guī)定：F(n)=p.例如12可以分解成1x12,2X6或3X4,因為121>6-2>4-3,所以3X4是12的最佳分

7、解，所以F(12)_3=4.(1)如果一個正整數m是另外一個正整數n的平方，我們稱正整數m是完全平方數.求證：對任意一個完全平方數m,總有F(m)_1.如果一個兩位正整數t,t_10x+y(1<x<y<9,x,y為自然數)，交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為36，那么我們稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”；在所得的“吉祥數”中，求F(t)的最大值.類型2函數型新定義問題例2已知一個大于1的正整數t可以分解成t_ac+b2的形式(其中a<c,a,b,c均為正整數)，在t的所有表示結果中，當bc-ba取得最小值時，稱“ac+b2”b+

8、c是t的“等比中項分解”，此時規(guī)定：P(t)=2(a+b)，例如：7=1X6+12=2X3+12=1X3+22,1X6-1X1>2X3-2X1>1X3-1X2,所以2X3+12是7的“等比中項分解”，P(7)=|(1) 若一個正整數q=vm+n2,其中mn為正整數，則稱q為“偽完全平方數”，1證明：對任意一個“偽完全平方數”q都有P(q)=若一個兩位數s=10x+y(1<y<x<5，且x，y均為自然數)，交換原數十位上的數字和個位上的數字得到的新數的兩倍再加上原數的14倍，結果被8除余4，稱這樣的數s為“幸福數”，求所有“幸福數”的P(s)的最大值.針對訓練1.

9、如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于倍根方程的說法： 方程X2X2=0是倍根方程； 若(x2)(mx+n)=0是倍根方程，則4+5mnn2=0; 若點(p，q)在反比例函數y=2的圖象上，則關于x的方程px2+3x+q=0是x倍根方程.其中正確的是.(寫出所有正確說法的序號)2. 先閱讀下列材料，再解答下列問題：2材料：因式分解：(x+y)+2(x+y)+1.解：將“x+y”看成整體，令x+y=A,則原式=A2+2A+1=(A+1)2.再將“A”還原，得原式=(x+y+1)2.上述解題中用到的是“整體思想

10、”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：2(1)因式分解：1+2(xy)+(xy)=;因式分解：(a+b)(a+b4)+4=;證明：若n為正整數，則式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數的平方.3. 若三個非零實數x,y,z滿足：只要其中一個數的倒數等于另外兩個數的倒數的和，則稱這三個實數x,y,z構成“和諧三數組”.(1) 實數1,2，3可以構成“和諧三數組”嗎？請說明理由；k(2) 若M(t,yO,N(t+1,y2),R(t+3,y»三點均在函數y=(k為常數，k工x0)的圖象上，且這三點的縱坐標y,y2,y3構成“和諧三數組”，求實

11、數t的值；2若直線y=2bx+2c(bc工0)與x軸交于點A(X1,0)，與拋物線y=ax+3bx+3c(a工0)交于B(X2,y2),C(X3,y3)兩點. 求證：A,B,C三點的橫坐標X1,X2,X3構成“和諧三數組”；一cb 若a>2b>3c,X2=1,求點P(-,-)與原點O的距離OP的取值范圍.aa4. 若一個整數能表示成a2+b2(a,b是整數)的形式，則稱這個數為“完美數”.例如，5是“完美數”，因為5=22+12.再如，x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整數)，所以M也是“完美數”.(1)請你再寫一個小于10的“完美數”，并判斷29是否為“完美數”.

12、已知S=x2+4y2+4x12y+k(x,y是整數，k是常數)，要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由.如果數mn都是“完美數”，試說明mn也是“完美數”.5. 若將自然數中能被3整除的數，在數軸上的對應點稱為“3倍點”P,取任意的一個“3倍點”P,到點P距離為1的點所對應的數分別記為a，b.定義：若數K=a2+b2ab,則稱數K為“尼爾數”.例如：若P所表示的數為3,貝Ua=2,b=4,那么K=22+422X4=12;若P所表示的數為12,貝Ua=11,b=13,那么K=132+11213X11=147,所以12,147是“尼爾數”.(1) 請直接判斷6和39是不是“尼爾數

13、”,并且證明所有“尼爾數”一定被9除余3；(2) 已知兩個“尼爾數”的差是189,求這兩個“尼爾數”.類型3整除問題例3我們知道，任意一個大于1的正整數n都可以進行這樣的分解：n=p+q(p、q是正整數，且p<q)，在n的所有這種分解中，如果p、q兩數的乘積最大，我們就稱pq是n的最佳分解.并規(guī)定在最佳分解時：F(n)=pq.例如6可以分解成1+5或2+4或3+3,因為1X5<2X4<3X3,所以3+3是6的最佳分解,所以F(6)=3X3=9.(1) 求F(11)的值；(2) 一個正整數，由N個數字組成，若從左向右它的第一位數能被1整除，它的前兩位數被2除余1,前三位數被3除

14、余2,前四位數被4除余3,，一直到前N位數被N除余(N1)，我們稱這樣的數為“多余數”.如：236的第一位數“2”能被1整除,前兩位數“23”被2除余1,“236”被3除余2,則236是一個“多余數”.若把一個小于200的三位“多余數”記為t,它的各位數字之和再加1為一個完全平方數,請求出所有“多余數”中F(t)的最大值.針對訓練1. 一個正整數，由N個數字組成，若從左向右它的第一位數可以被1整除，它的前兩位數可以被2整除，前三位數可以被3整除，一直到前N位數可以被N整除，則這樣的數叫做“精巧數”.如：123的第一位數“1”可以被1整除，前兩位數“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，則

15、123是一個“精巧數”.(1) 若四位數123k是一個“精巧數”，求k的值；(2) 若一個三位“精巧數”2ab各位數字之和為一個完全平方數，請求出所有滿足條件的三位“精巧數”.2. 人和人之間講友情，有趣的是，數與數之間也有相類似的關系.若兩個不同的自然數的所有真因數(即除了自身以外的正因數)之和相等，我們稱這兩個數為“親和數”.例如：18的正因數有1、2、3、6、9、18，它的真因數之和為1+2+3+6+9=21;51的正因數有1、3、17、51，它的真因數之和為1+3+17=21,所以稱18和51為“親和數”.數還可以與動物形象地聯(lián)系起來，我們稱一個兩頭(首位與末位)都是1的數為“兩頭蛇數

16、”.例如：121、1351等.(1) 8的真因數之和為;求證：一個四位的“兩頭蛇數”與它去掉兩頭后得到的兩位數的3倍的差，能被7整除；(2) 一個百位上的數為4的五位“兩頭蛇數”能被16的“親和數”整除，若這個五位“兩頭蛇數”的千位上的數字小于十位上的數字，求滿足條件的五位“兩頭蛇數”.2xx+33. 材料1:將分式一x+1拆分成一個整式與一個分式(分子為整數)的和的形式.解:2x-x+3_x(x+1)2(x+1)+5_x(x+1)這樣，分式2xx+3x+1就拆分成一個整式x2與一個分式冊的和的形式.x+1x+1x+1材料2:已知一個能被11整除的個位與百位相同的三位整數100x+10y+x,

17、且1<x<4,求y與x的函數關系式.解:2xy9x+y+101x+10y99x+11y+2xy11_112xy又v1<x<4,0<y<9,A7<2xy<8,還要使為整數,二2xy_0.2x2+6x一3(1)將分式拆分成一個整式與一個分子為整數的分式的和的形式，則結xI果為已知整數x使分式2x2+5x20x3的值為整數,則滿足條件的整數x_(3) 已知一個六位整數20xy17能被33整除，求滿足條件的x,y的值.4. 在任意n(n>1且n為整數)位正整數K的首位后添加6得到的新數叫做K的“順數”，在K的末位前添加6得到的新數叫做K的“逆數”.

18、若K的“順數”與“逆數”之差能被17整除，稱K是“最佳拍檔數”.比如1324的“順數”為16324,1324的“逆數”為13264,1324的“順數”與“逆數”之差為1632413264=3060,3060-17=180,所以1324是“最佳拍檔數”.請根據以上方法判斷31568(填“是”或“不是”)“最佳拍檔數”；若一個首位是5的四位“最佳拍檔數”N,其個位數字與十位數字之和為8,且百位數字不小于十位數字，求所有符合條件的N的值；證明：任意三位或三位以上的正整數K的“順數”與“逆數”之差一定能被30整除.a5. 若整數a能被整數b整除，則一定存在整數n,使得b=n，即a=bn.例如:若整數a

19、能被整數7整除，則一定存在整數n,使得a=7n.(1) 將一個多位自然數分解為個位與個位之前的數，讓個位之前的數減去個位數的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數一定能被7整除例如：將數字1078分解為8和107,1078X2=91,因為91能被7整除，所以1078能被7整除，請你證明任意一個三位數都滿足上述規(guī)律.(2) 若將一個多位自然數分解為個位與個位之前的數，讓個位之前的數加上個位數的k(k為正整數，1<k<5)倍，所得之和能被13整除，求當k為何值時使得原多位自然數一定能被13整除.參考答案例1.解：(1)F(243)=(423+342+234)-111=9,F(617

20、)=(167+716+671)-111=14.s,t都是“相異數”，F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)+111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)寧111=y+6,F(s)+F(t)=18,.°.x+5+y+6=x+y+11=18,x+y=7,°.°1冬x冬9,1<y<9,x,y都是正整數,x=1,x=2,x=3,x=4,x=5,c或或或c或cy=6y=5y=4y=3y=2x=6,或1y=1.(2)vs是“相異數”，x豐2,x豐3,vt是“相異數”，x=1,亠x=4,x=5,y世1,y世5,二或或y=

21、6y=3y=2.F(s)=6,F(s)=9,F(s)=10,或或/、F(t)=12F(t)=9F(t)=8.k=妙=1或k=妙=i或k=血=5kF(t)2或kF(t)1或kF(t)4,.k的最大值為4.針對訓練1解：(1)74;32;31(2)證明：令t=10x+y,222(10x+y)(xy)99222222=20x+2yx+y99=(y+2y+1)(x20x+100)=(y+1)(x10),.t的2倍減去t的“平方差數”再減去99所得結果是另一個數的“平方差”數.令t=xy,t'=yx,由題意知：10x+y+x2+y2=10y+x+y2x2,所以9x9y+2x2=0,9(xy)+2

22、x2=0,2/xy>0,2x>0,.x=y=0.故t=0.2. 解：(1)F(236)=3(2)證明：設這個正整數n三個數位上的數字分別為：x+yx,y.F(n)=b2ac=|a+c2b|最小時，我們稱abc是n的“調和優(yōu)選數”2xy=x2+y2xy42.F(n)為一個完全平方數；t=100x+60+y,t=100y+60+x,/11=99x99y=693,.99(xy)=693,xy=7,x=y+7,.1<x<9,1<y<9,.1<y+7<9,.1<y<2,y=1,y=2,.或.t=861或t=962,x=8x=9,當t=861時，

23、可以重新排列為168,186,618.|1+82X6|=3,|1+62X8|=9,|6+82X1|=12,.168為861的“調和優(yōu)選數”，F(861)=6X6-1X8=28;當t=962時，可以重新排列為269,296,629,.|2+9-2X6|=1,|2+6-2X9|=10,|6+9-2X2|=11,二269為962的“調和優(yōu)選數”，F(962)=6X6-2X9=18.所有“和順數”中F(t)的最大值為28.3. 解：(1)43；50；140122(2) b+4X5+aX5+4+aX8+bX8=33a+65b+24=13(2a+5b+1)+7a+11,13整除7a+11,15而1<

24、a<5,1<b<5,二18冬7a+11<46,二7a+11=26或39.解得a=(舍去)或4,二a=4.(3) (mm)6+(nn5)8=1+6耐36仃卄5+8n+64n=6+42m72n.若互為“如意數”，則6+42耐72n=666, 7m12n=110,此時m必為偶數，經檢驗，當2,n=8時，7m12n=110,這兩個數為85和581.4. (1)證明：對任意一個完全平方數m,設n=a2(a為正整數)，|aa|=0,二aXa是m的最佳分解，a對任意一個完全平方數m總有F(m=-=1.a(2)設交換t的個位上的數與十位上的數得到的新數為t'，則t'=1

25、0y+x,t是“吉祥數”， t一t=(10y+x)(10x+y)=9(yx)=36, y=x+4,v1<x<y<9,x,y為自然數，滿足“吉祥數”的有15,26,37,48,59.32163F(15)=5,F(26)=亦，F(37)=37，F(48)=孑=；,F(59)=133211359.3>5>i3>37>59，所有“吉祥數”中，F(t)的最大值是4.例2解：(1)證明：Ia<c,a,b,c為正整數,bc-ba=b(ca)>0.又q=m+n2=m-mn2,令n=b,m=a=c,則此時bcba最小為0,故m-mn2是q的“等比中項分解”，

26、n+m1二P(q)=2(mn)=2.由題意，得2(10y+x)+14(10x+y)=8k+4(k為整數),即：142x+34y=8k+4.二8(18x+4y)+2y2x4=8k,2(yx2)是8的倍數，yx2是4的倍數.又v1<y<x<5且x,y均為自然數，6<yx2<2,Ayx2=4,x=y+2，s=31,42,53.vbcba=b(ca)，且a,b,c為正整數，a<c,當b越小，ca的差越小，b(ca)越小.當s=31時，31=5X6+12，貝9P(31)=2xI；'"=£；當s=42時，42=2X3+62,貝9P(42)=6

27、；3八=£2X(6+2)16'當s=53時，53=7X7+22或53=2X2+72,小19719則P(53)=.v>石二，P(s)max=.21612216針對訓練1.2. 解：(1)1+2(xy)+(xy)2=(xy+1)2;令A=a；b,則原式變?yōu)锳(A-4)+4=A4A；4=(A2)2,2故(a；b)(a；b4)+4=(a；b2);2證明：(n；1)(n；2)(n；3n)；1=(n2；3n)(n；1)(n；2)；1=(n；3n)(n；3n；2)；1222=(n；3n)；2(n；3n)；1=(n2；3n；1)2,vn為正整數，n2；3n；1也為正整數，代數式(n；1

28、)(n；2)(n2；3n)；1的值一定是某一個整數的平方.11113. 解：(1)v1,2,3的倒數分別為1,，彳且1>2>亍11v；3工1,二1,2,3不可以構成“和諧三數組”.kkkkkk亠“宀、比一Mt,-),Nt；1,百),Rt；3,両3)，且,笛，苻3構成“和諧三數組”.tt；1t；3 右匚=，得2t；4=t,得t=4;t4-1tt+3 若F:+耳3，得2t+3=t+1,得t=2;kkkt+3tt+1 若=R+，得2t+1=t+3,得t=2.綜上，t的值為一4或一2或2.證明：Ia,b,c均不為0,二X1,X2,X3都不為0,令y=2bx+2c=0,則整理得：ax+bx+

29、c=0.聯(lián)立2'整理得：ax111當一2<m<2且m0時，OP隨m的增大而增大，當m=q時，OP有最小值？，當m=寸時，OP有最大值I，1 以5口R210口/Opv：且oPm1,.OP<且0占1.2'224. 解：（1）（答案不唯一）0,1,2,4,8,9均可.因為29=52+22，所以29是完美數2222(2)當k=13時，S=x+4y+4x12y+13=x+4x+4+4y12y+9=(x+2)2+(2y3)2,vx,y是整數，.x+2,2y3也是整數，.S是一個“完美數”./m與n都是“完美數”，設m=a2+b2,n=c2+d2(a,b,c,d都是整數)，

30、+bx+c=0.y=ax+3bx+3c,bc/x2+X3=一，X2X3=,aa11x2+X3bab1X2X3X2X3accX1A,B,C三點的橫坐標X1,X2,X3構成“和諧三數組X2=1，a+b+c=0,c=ab.a>2b>3c,.a>2b>3(ab)，且a>0,整理得a>2b,5b>3a,b3111令n=，則一i<m<且0,貝UOP=2（m4）2+,：2>0,a522231313當一7<m<：時，OP隨m的增大而減小，當m=時，OP2有最大值忑，當m5252511=2時，oP有最小值；則222222222222mn=(

31、a+b)(c+d)=ac+ad+be+bd=a2e2+2abed+b2d2+b2c22abed+a2d2=(ac+bd)2+(bead)2./a,b,c,d是整數，ac+bd與bead都是整數，mn也是“完美數”.5. 解：(1)6不是“尼爾數”；39是“尼爾數”；設a=3n+1,b=3n1(其中n為自然數)，K=(3n+1)2+(3n1)2(3n+1)(3n1)222=2X9n+2X1(9n1)=9n+3,所有“尼爾數”一定被9除余3.(2)設這兩個“尼爾數”分別為9m23，9n23，其中mn為整數，則(9ni+3)(9n2+3)=189,22mn=21.(nHn)(m-n)=1X21或3X

32、7.mn=21,m-n=1mHn=7,或m-n=3.解得m=11,n=10m=5,n=2.當m=11,n=10時，9m+3=9X112+3=1092,229n2H3=9X102H3=903.當5,n=2時，9m+3=9X52+3=228,229nH3=9X2H3=39.答：這兩個“尼爾數”分別是1092和903或228和39.類型3.整除問題例3.解：(1)11=1H10=2H9=3H8=4H7=5H6,且1X10<2X9<3X8<4X7<5X6,所以F(11)=5X6=30.(2)設此數為1bc，由題可得10+b=2mH1，由得：10+b為奇數，所以b為奇數；100+

33、10bHc=3nH2，由得：1HbHc+1是3的倍數;1+bHeH1=k2.(其中mn,k為整數)又因為1冬b冬9,1冬e冬9,所以4冬1+b+CH1冬20,所以1HbHcH1只能等于9，即bHc=7.所以當b=1時，c=6,此數為116.當b=3時，c=4，此數為134；當b=5時，c=2,此數為152;當b=7時，c=0,此數為170;當b=9時,舍去；所以F(t)max=F(170)=85X85=7225.針對訓練1. 解：(1)t四位數123k是一個“精巧數”，1230+k是4的倍數；即1230+k=4n,當n=308時，k=2;當n=309時，k=6,k=2或6;2ab是“精巧數”，

34、a為偶數，且2+a+b是3的倍數，/a<10，bv10，a2+a+bv22，各位數字之和為一個完全平方數，2+a+b39，當a0時，b7；當a2時，b5;當a4時，b3;當a6時，b1，所有滿足條件的三位“精巧數”有：207，225，243，261.2. 解：證明：設這個四位“兩頭蛇數”為1ab1，由題意，得1ab1-3ab1001+100a+10b30a3b1001+70a+7b7(143+10a+b).a、b為整數，143+10a+b為整數，一個四位的“兩頭蛇數”與它去掉兩頭后得到的兩位數的3倍能被7整除.T16的真因數有：1，2，4，8，二1+2+4+815.151+3+11，二16的“親和數”為33.設這個五位“兩頭蛇數”為1x4y1，由題意，得衛(wèi)字為整數， 315+30x+10