物理實驗 誤差分析與數(shù)據(jù)處理

1、空鉛謨麥分朽與數(shù)驚處理21測量與誤差22誤差的處理63不確定度與測量結(jié)果的表示104實驗中的錯誤與錯誤數(shù)據(jù)的剔除135有效數(shù)字及其運算規(guī)則156實驗數(shù)據(jù)的處理方法17僅鉛謨麥分柝鳥敵摒處理1測量與誤差1.1測及測*的分類物理實驗是以測量為基礎(chǔ)的。在實驗中，研究物理現(xiàn)象、物質(zhì)特性、驗證物理原理都需要進行測量。所謂測辱.就忌將借測旳僧理單與二丁進來作為標誰的回類葷逆彳尹.匕狡,.得世宅們旳脩鑿耒殺的些程。選來作為標準的同類量稱z為單位，倍數(shù)稱為測量數(shù)值。一個物理量的測量值等于測量數(shù)值與單位的乘積。在人類的發(fā)展歷史上，不同時期，不同的國家，乃至不同的地區(qū)，同一種物理量有著許多不同的計量單位。如長度單

2、位就分別有碼、英尺、市尺和米等。為了便于國際交流，國際計量大會于1990年確定了國際單位制（SI）,它規(guī)定了以米、千克、秒、安培、開爾文、摩爾、坎德拉作為基木單位，其他物理量（如力、能量、電壓、磁感應(yīng)強度等）均作為這些基木單位的導出單位。1. 直接測量與間接測量測量可分為兩類。一類是直接測量，是指直接將待測物理量與選定的同類物理量的標準單位相比較直接得到測量值的一種測量。它無須進行任何函數(shù)關(guān)系的輔助運算。如用尺測量長度、以秒表計時間、天平稱質(zhì)量、安培表測電流等。另一類是間接測量，是指被測量與直接測量的量Z間需要通過一定的函數(shù)關(guān)系的輔助運算，才能得到被測量物理量的量值的測量。如單擺測量重力加速度

3、時，需先直接測量單擺長，和單擺的周期7,再應(yīng)用公式g=軒,求得重力加速度4物理量的測量中，絕大部分是間接測量。但直接測量是一切測量的基礎(chǔ)。不論是直接測量，還是間接測量,都需要滿足一定的實驗條件，按照嚴格的方法及正確地使用儀器，才能得出應(yīng)有的結(jié)果。因此實驗過程中，一定要充分了解實驗目的，正確使用儀器，細心地進行操作讀數(shù)和記錄，才能達到鞏固理論知識和加強實驗技能訓練的目的。2. 等精度測量與不等精度測量同一個人，用同樣的方法，使用同樣的儀器，在相同的條件下對同一物理量進行多次測量，盡管各次測量并不完全相同，但我們沒有任何充足的理由來判斷某一次測量更為精確，只能認為它們測量的精確程度是完全相同的。我

4、們把這種具有同樣精確程度的測量稱Z為等精度測量。在所有的測量條件屮，只要有一個發(fā)生變化，這時所進行的測量即為不等精度測量。在物理實驗中，凡是要求多次測量均指等精度測量，應(yīng)盡可能保持等精度測量的條件不變。嚴格地說，在實驗過程屮保持測量條件不變是很困難的。但當某一條件的變化對測量結(jié)果的影響不大時，乃可視為等精度測量。在木書屮，除了特別指明外，都作為等精度測量。1.2誤差及誤差的表現(xiàn)形式1.誤差物理星在客觀上有著確定的數(shù)值，稱為真值。測量的最終目的都是要獲得物理暈的真值。但由于測星儀器精度的局限性、測量方法或理論公式的不完善性和實驗條件的不理想，測量人員不熟練等原因，使得測量結(jié)果與客觀真值有一定的差

5、異，這種差異稱Z為誤差。若某物理量測量的量值為X,真值為力，則產(chǎn)生的誤差為：x二x-A任何測量都不可避免地存在誤差。在誤差必然存在的條件下，物理量的真值是不可知的。所以在實際測量屮計算誤差時，通常所說的真值有如下兒種類型：（1）理論真值或定義真值。如用平均值代替真值，三角形內(nèi)角何等于180°等。（2）計量約定真值。如前面所介紹的基木物理量的單位標準，以及國際大會約定的基木物理量。（3）標準器相對真值（或?qū)嶋H值）。用比被標準過的儀器高一級的標準器的量值作為標準器相對真值。例如：用0.5級的電流表測得某電路的電流為1.200A,用0.2級電流表測得的電流為1.202A,則后者可示為前者的

6、真值。2. 誤差的表示形式誤差的表示形式有絕對誤差和相對誤差Z分。級對謖葷疑測單俱和具俱白勺數(shù)俱g葷：8-x-A（1-1）根據(jù)絕對誤差的大小還難以評價一個測量結(jié)果的可靠程度，還需要考慮被測量木身的大小，為此引入相對誤差，相對誤差尸定義為絕對誤差5與被測量量的真值x的比值，即:(1-2)E=-xlOO%x相對誤差常用百分比表示。它表示絕對誤差在整個物理量屮所占的比重，它是無單位的一個純數(shù)，所以既可以評價量值不同的同類物理量的測量，也可以評價不同物理量的測量，從而判斷它門之間優(yōu)劣。如果待測量有理論值或公認值，也可用百分差來表示測量的好壞。即:百分差磚I測量值弋認值boo%（1-3）公認值1.3誤差

7、的分類既然測暈不能得到真值，那么怎樣才能最大限度的減小測量誤差并估算出誤差的范圍呢？要解決這個問題，首先要了解誤差產(chǎn)生的原因及其性質(zhì)。測量誤差按其產(chǎn)生的原因與性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和過失誤差。1. 系統(tǒng)誤差在一定條件下（指儀器、方法和環(huán)境）對同一物理量進行多次測量時,其誤差按一定的規(guī)律變化，測量結(jié)果都大于真值或都小于真值。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因可能是已知的，也可能是未知的。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因主要有:（1）由于儀器本身存在一定的缺陷或使用不當造成的。如儀器零點不準、儀器水平或鉛直未調(diào)整、硅碼未校準等。（2）實驗方法不完善或這種方法所依據(jù)的理論木身具有近似性。例如用單擺測量重力加速度時，忽略空氣

8、對擺球的阻力的影響，用安培表測量電阻時，不考慮電表內(nèi)阻的影響等所引入的誤差。（3）實驗者生理或心理特點或缺乏經(jīng)驗所引入的誤差。例如有人讀數(shù)時，頭習慣性的偏向一方向，按動秒表時，習慣性的提前或滯后等。2. 隨機誤差同一物理量在多次測量過程中，誤差的大小和符號以不可預知的方式變化的測量誤差稱為隨機誤差，隨機誤差不可修正。隨機誤差產(chǎn)生的原因很多，歸納起來大致可分為以下兩個方面：（1）由于觀測者在對準目標、確定平衡（如天平）、估讀數(shù)據(jù)時所引入的誤差。（2）實驗中各種微小因素的變動。例如，實驗裝置和測量機構(gòu)在各次調(diào)整操作上的變動性，實驗中電源電壓的波動、環(huán)境的溫度、濕度、照度的變化所引起的誤差。隨機誤差

9、的出現(xiàn)，單就某一次觀測來說是沒有規(guī)律的，其大小和方向是不可預知的。但對某一物理暈進行足夠多次測量，則會發(fā)現(xiàn)隨機誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，隨機誤差可用統(tǒng)計方法進行估算。1.4測的精密度、準確度、精確度我們常用精度反映測星結(jié)果屮誤差大小的程度。誤差小的精度高，誤差大的精度低，這里精度卻是一個籠統(tǒng)的概念，它并不明確表示描寫的是哪一類誤差，為描述更具體，我們把精度分為精密度、準確度和精確度。1.精密度精密度表示測量結(jié)果屮的隨機誤差大小的程度。它是指在一定條件下進行重復測量時，所得結(jié)果的相互接近程度。它用來描述測量得重復性。精密度高，即測量數(shù)據(jù)得重復性好，隨機誤差較小。(i)精密度(ii)準確度(Hi)精

10、確度圖1-1測量的精密度、準確度、精確度圖示(以打靶為例)2. 準確度準確度表示測暈結(jié)果屮系統(tǒng)誤差大小得程度。用它來描述測量值接近真值得程度。準確度高，即測量結(jié)果接近真值得程度高，系統(tǒng)誤差小。3. 精確度精確度是對測量結(jié)果屮系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合描述。它是指測量結(jié)果的重復性及接近真值的程度。為了形象地說明這三個概念的區(qū)別和聯(lián)系，我們以打靶為例說明(圖1-1)：(i) 精密度高而準確度較差；(ii) 準確度高而精密度較差；(iii) 精密度和準確度都很高，即精確度很高。2誤差的處理誤差的產(chǎn)生有其必然性和普遍性，誤差自始至終存在于一切科學實驗中，一切測星結(jié)果都存在誤差。木節(jié)主要介紹上述兩類誤差的

11、處理方法。2.1系統(tǒng)誤差一個實驗結(jié)果的優(yōu)劣，往往在于系統(tǒng)誤差是否已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)或盡可能消除，所以預見一切可能產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差的因素，并設(shè)法減小它們是非常重要的。一般而言，對于系統(tǒng)誤差可以在實驗前對儀器進行校準，對實驗方法進行改進，在實驗時采取一定的措施對系統(tǒng)誤差進行補償和消除，實驗后對結(jié)果進行修正等。系統(tǒng)誤差的處理是一個比較復雜的問題，它沒有一個簡單的公式，主要取決于實驗者的經(jīng)驗和技巧并根據(jù)具體情況來處理。從實驗者對系統(tǒng)誤差掌握的程度來分，又可分為己定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差兩類。1. 已定系統(tǒng)誤差已定系統(tǒng)誤差是指絕對值和符號都已確定的，可以估算岀的系統(tǒng)誤差分量。例如：對一個標準值為50毫克的三等祛碼

12、，就無法知道該硅碼的誤差值是多少。只知道它對測量結(jié)果造成的未定系統(tǒng)誤差限為±2呢，但如果在使用前用高一級的硅碼進行校準，就可得到已定系統(tǒng)誤差得值。2. 未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差是指符號或絕對值未經(jīng)確定的系統(tǒng)誤差分量。例如，儀器出廠時的準確度指標是用符號儀表示的。它只給出該類儀器誤差的極限范圍。但實驗者使用該儀器時并不知道該儀器的誤差的確切大小和正負，只知道該儀器的準確程度不會超過儀的極限（例如上而所舉祛碼中的土2mg）0所以這種系統(tǒng)誤差通常只能定出它的極限范圍，由于不能知道它的確切大小和正負，故無法對其進行修正。對于未定系統(tǒng)誤差在物理實驗中我們一般只考慮儀器測量儀器的（最大）允許誤差

13、儀（簡稱儀器誤差）。2.2隨機誤差的估算隨機誤差的特點是隨機性。也就是說在相同條件下，對同一物理量進行多次重復測量，每次測量的誤差的大小和正負無法預知，純屬偶然。但是實踐和理論證明，如果測量次數(shù)足夠多的話，大部分測量的隨機誤差都服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。木書只著重介紹隨機誤差的正態(tài)分布。1. 正態(tài)分布的特征與數(shù)學表達遵從正態(tài)分布的隨機誤差有以下兒點特征：（1）單峰性。絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性（概率）比絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率小。（2）對稱性。絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的機會均等，對稱分布于真值的兩側(cè)。（3）有界性。在一定的條件下，誤差的絕對值不會超過一定的限度。（4）抵償性。當測量次數(shù)很多時，隨機誤

14、差的算術(shù)平均值趨于零，即1hiiX<5；=0一z正態(tài)分布的特征可用正態(tài)分布曲線形象地表達。如圖2-1所示。橫坐標表示誤差5二乂-乂式屮X。為被測量量的真值?？v坐標為一個與誤差出現(xiàn)的概率有關(guān)的概率密度函數(shù)f（5）。根據(jù)概率論的數(shù)學方法可以導出:(2-1)1(a)(b)圖2-1概率密度函數(shù)曲線圖測量值的隨機誤差出現(xiàn)在5到3+迪區(qū)間內(nèi)可能性為即圖(a)中陰影所含的面積元。上式中b是一個與實驗條件有關(guān)的常數(shù)，稱為標準誤差，其值為：<7=limy22i-(2-2)式中門為測量次數(shù)，各次測量的隨機誤差為心1,2"。2. 標準誤差的物理意義由式2-1可知，隨機誤差的正態(tài)分布曲線的形狀與

15、b值有關(guān)，如圖(b)所示，b值越小，分布曲線越尖銳，峰值f(5)越高，說明絕對值小的誤差占多數(shù)，且測量值的離散性較小，重復性好，測量精密度較高;反之b值越大，則曲線越平坦，該組測量值的離散性大，測量精密度低。標準誤差反映了測量值的離散程度。由/(J)d5是測量值隨機誤差出現(xiàn)在小區(qū)間的可能性(概率)，即刀次測量值誤差出現(xiàn)在(-6+6內(nèi)的概率為：(2-3)p(-a<3<a)=匸-l=-e6d=6&3%這說明對任一次測量，其測量值誤差出現(xiàn)在-b到+b區(qū)間內(nèi)的概率為68.3%o從概率密度分布函數(shù)的曲線圖來看：設(shè)曲線下面積為1即100%,則介于（-+間的曲線下的面積為68.3%o用同

16、樣的方法計算可得介于（-26+2b）間的概率為95.5%,介于（_3q+3b）間的概率為99.7%o顯然，測量誤差的絕對值大于3b的概率僅為0.3%«在通常情況下的有限次測量測量誤差超出±3b范圍的情況兒乎不會出現(xiàn)，所以把3b稱為極限誤差。3. 近真值算術(shù)平均值盡管一個物理量的真值是客觀存在的，但由于誤差的存在，企圖得到真值的愿望仍然不能實現(xiàn)。那么是否能夠得到一個測量結(jié)果的最佳值，或者說得到一個最接近真值的數(shù)值呢？根據(jù)隨機誤差具有抵償性特點，我們可以求得真值的壤住值甘俱一一近真值。設(shè)在相同條件下對一個物理量進行多次沒量，測量值分別為羽兀，則該沒量值的算術(shù)平均值：元=丄

17、63;兀（，二1，2,3,）（2-4）而各次測量的隨機誤差為：式中心為真值，兀為第，次測量值，對刀次測量的絕對誤差求和有：等式兩邊各除以刀可得：當測量次數(shù)“T0C由隨機誤差具有抵償性的特點，所以有：故根據(jù)以上推導可得：由此可知，測量次數(shù)愈多，算術(shù)平均值接近真值的可能性愈大。當測量次數(shù)足夠時，算術(shù)平均值是真值的最佳估計值。2.3標準誤差的估算一標準偏差由于真值不知道，誤差5無法計算，因而按照式2-2標準誤差b也無從估算。根據(jù)算術(shù)平均值是近真值的結(jié)論，在實際估算誤算時采用算術(shù)平均值代替真值，用各次測量值與算術(shù)平均值的差值片=兀-壬來估算各次測量的誤差，差值稱為殘差。當測量次數(shù)刀有限時，如用殘差來表

18、示誤差時，其計算公式為:(2-5)S,稱為任一次測量的標準偏差，它是測量次數(shù)有限多時，標準誤差的一個估計值。其代表的物理意義為：如果多次測量的隨機誤差遵從正態(tài)分布，那么，任一次測量的測量值誤差落在-到+S.,區(qū)域之間的可能性（概率）為68.3%o通過i吳差理論可以證明，平均值壬的標準偏差為：(26)S=三TI-1)偏差的命上式說明算術(shù)平均值的標準偏差是刀次測量中的任意一次測量值標準S小于因為算術(shù)平均值是測量結(jié)果的最佳值，它比任意-次測量值&更接近真值，所以誤差要小。s的物理意義是在多次測量的隨機誤差遵從正態(tài)分布的條件下，真值處于J±S丘區(qū)間內(nèi)的概率為68.3%o3不確定度與測

19、結(jié)果的表示3.1測不確定度由于測星誤差的存在，難以確定被測量的真值。測量不確定度是與測量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，它表征測量真值在某一個量值范圍內(nèi)不能肯定程度的一個估計值。也就是說不確定度是測量結(jié)果中無法修正的部分，反映了被測量的真值不能肯定的誤差范圍的一種評定，測量不確定度包含A類標準不確疋廈和B類邨準不隕疋度。1. A類標準不確定度由于偶然因素，在同一條件下對同一物理量尤進行多次重復測量值“耳,心,，兀，將是分散的，從分散的測量值出發(fā)用統(tǒng)計的方法評定標準不確定度，就是標準不確定度的A類評定。設(shè)A類標準不確定度為叫，用統(tǒng)計的方法算出平均值的標準偏差為不確定度的A類分量就取為平均值的標準偏差，即：&#

20、163;(心-壬)'Sy=1十一(3-1)Y-1)按誤差理論的正態(tài)分布，如不存在其他影響，則測量值范圍.v-u4(x),x+ua(a)屮包含真值的概率為68.3%o2. B類標準不確定度。測量屮凡是不符合統(tǒng)計規(guī)律的不確定度統(tǒng)稱為B類不確定度。在實際計算時，有的依據(jù)計量儀器的說明書或鑒定書，有的依據(jù)儀器的準確度，有的則粗略的依據(jù)儀器的分度值或經(jīng)驗，從屮獲得儀器的極限誤差，儀(或允許誤差或示值誤差)此類誤差一般可視為均勻分布，則B類評定不確定度為:(3-2)儀臥7例：使用量程為0300mm,分度值為0.05mm的游標卡尺，測量長度時，其示值誤差在土0.05mm以內(nèi)，即極限誤差為儀二0.05

21、mm,則由此游標卡尺引入的標準不確定度叫為：3. 合成標準不確定度(1)直接測量結(jié)果不確定度的估算物理實驗的測量結(jié)果表示中，總不確定度u(Q的估算方法行為兩類,即多次重重測量用統(tǒng)計方法算出的A類分量叫和用其它方法估算出的B類分量u,(x)o用方和根的方法合成為總不確定度u(Q：u(x)=Ju；(x)+u；(x)(3-3)例：已知游標卡尺(儀=0.005cm)的初始讀為0.05cm,測量圓環(huán)內(nèi)徑數(shù)據(jù)如下表所示，試求其測量的不確定度。測暈次數(shù)123456d(cm)3.2553.2503.2603.2553.2503.255計算出：則零點修正后:所以有：(2)間接測量不確定度的估算物理實驗的結(jié)果一般

22、都通過間接測量獲得的，間接測量是以直接測量為基礎(chǔ)的，直接測量值不可避免地有誤差存在，顯然由直接測量值根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過運算而獲得的間接測量的結(jié)果，必然也有誤差存在。怎樣來計算間接測量的誤差呢？這實質(zhì)上是要解決一個誤差的傳遞問題，即求得估算間接測量值誤差的公式，稱為誤差的傳遞公式。設(shè)間接測量量N是27個獨立的直接測量量力、B、C,，的函數(shù)，即fC4,B,C,，H)若各直接測量值力、B、C,，的不確定度分別為u（力），u（萬），u（C）,，u（/,它們使W值也有相應(yīng)的不確定度u（2,由于不確定度都是微小量，相當于數(shù)學中的“增量”，因此間接測量的不確定度公式與數(shù)學中的全微分公式基木相同，利用全

23、微分公式，則間接測暈的不確定度:咖=鶴卜如昌卜詢+（莎®+傷卜詢(3-4)如果先對函數(shù)表達或取對數(shù)，再求全微分可得:當間接測量量W是各直接測量量力、B、C,，的和或差的函數(shù)時,則用（3-4）式計算較為方便，當間接測量量W是各直接測量量么從C,的積或商的函數(shù)時，則用（3-4）式先計算N的相對不確定度型，然后N再計算u（M比較方便。在一些簡單的測量問題屮，有時要求不需太精確的測量問題中可以用絕對值合成方法，即ii(N)=討）+埶C)+T討)u(N)/町u(A)+叨(B)+叫(C)+F町u(H)N|oAdBdC|cH(3-6)(3-7)當然這種絕對值合成的方法所得結(jié)果一般偏大。與實際的不確

24、定度合成情況可能也有較大出入。但因其計算比較簡，在要求不高，作粗略做算時，往往采用絕對值合成法，但在科學實驗屮，一般都采用“方和根”合成來計算間接測量結(jié)果的不確定度，常用函數(shù)的方和根合成與絕對值合成公式見下表：函數(shù)表達式方和根合成公式絕對值合成公式AN=AxB,N=-BN=KA（K為常數(shù)）3.2測結(jié)果的一般表示一個完整的測量的結(jié)果不僅要給出該量值的大?。〝?shù)值和單位）同時還應(yīng)給出它的不確定度。用不確定度來表征測量結(jié)果的可信賴程度，于是測量結(jié)果應(yīng)寫成下列標準形式：式屮壬為測量值的最佳估計值，對等精度多次測量而言，無為多次測量值的算術(shù)平均值，u（Q為不確定度，厲為相對不確定度。4實驗中的錯誤與錯誤數(shù)

25、據(jù)的剔除實驗屮有時會出現(xiàn)錯誤，盡早發(fā)現(xiàn)實驗中的錯誤是實驗得以順利進行的前提保障，數(shù)據(jù)分析就是發(fā)現(xiàn)錯誤的重要方法。例1：三次單擺擺50個周期的時間，得出98.4s,96.7s,97.7s。從數(shù)據(jù)可知擺的周期接近2s,但前面兩個數(shù)據(jù)相差1.7s,而后兩個相差1.Os,它們都在半個周期以上，顯然這樣大的差異不能用手按稍表稍或滯后的操作誤差去解釋，即測量有誤差。例2：用靜力稱衡法測一塊玻璃的密度p,所用公式為叫_叫式中嗎二5.78g為玻璃質(zhì)量，=4.77g為玻璃懸掛在水屮的質(zhì)量。這次測量顯然有錯誤，因為在此皿與處之差近似為lg；°值接近6g/cm3，沒有這樣大密度的玻璃。4.1拉依達判據(jù)在一

26、組數(shù)據(jù)屮，有一、二個稍許偏大或偏小的數(shù)值，如果簡單的數(shù)據(jù)分析不能判定它是否為錯誤數(shù)據(jù)，就要借助于誤差理論。在前面標準誤差的物理意義屮已提到對于服從正態(tài)分布的隨機誤差，出現(xiàn)在±5區(qū)間內(nèi)概率為68.3%,與此相仿，同樣可以計算，在相同條件下對某一物理量進行多次測量，其任意一次測量值的誤差落在-35到+35區(qū)域之間的可能性(概率)為：0(35,33)=：/(心)込=99.7%(4-1)如果用測量列的算術(shù)平均替代真值，則測量列屮約有99.7%的數(shù)據(jù)應(yīng)落在無±3/區(qū)間內(nèi)，如果有數(shù)據(jù)出現(xiàn)在此區(qū)間之外，則我們可以認為它是錯誤數(shù)據(jù)，這時我們應(yīng)把它舍去，這樣以標準偏差$的3倍為界去決定數(shù)據(jù)的

27、取舍就成為一個剔除壞數(shù)據(jù)的準則，稱為拉依達準則。但要注意的是數(shù)據(jù)少于10個時此準則無效。4.2格羅布斯判據(jù)對于服從正態(tài)分布的測量結(jié)果，其偏差出現(xiàn)在±35附近的概率已經(jīng)很小，如果測量次數(shù)不多，偏差超過±35兒乎不可能，因而，用拉依達判據(jù)剔除疏失誤差時，往往有些疏失誤差剔除不掉。另外，僅僅根據(jù)少量的測量值來計算5,這木身就存在不小的誤差。因此當測量次數(shù)不多時,不宜用拉依達判據(jù)，但可以用格羅布斯判據(jù)。按此判據(jù)給出一個數(shù)據(jù)個數(shù)刀相聯(lián)系的系數(shù)當已知數(shù)據(jù)個數(shù)刀，算術(shù)平均值壬和測量列標準偏差則可以保留的測量值&的范圍為住-G”-Sx)<x,<(x+GSJ(4-2)久系

28、數(shù)表N3456789101112131.11.41.61.81.92.02.12.12.22.22.3Go56724318383N141516171819202225302.32.42.42.42.52.52.52.62.62.77148036064也可用擬合式計算G值n<30時取g“=4("-2.65丿+1305廠3。時取恥粵料g金例：測得一組長度值（單位：cm）98.2898.2698.2498.2998.2198.3098.9798.2598.2398.25計算出:數(shù)據(jù)98.97在此范圍Z外應(yīng)舍去。舍去后再計算有5有效數(shù)字及其運算規(guī)則5.1有效數(shù)字在物理量的測量屮，測星結(jié)

29、果都是存在一定的誤差，這些值不能任意地取舍，它反映出測暈量的準確程度。如何科學地，合理地反映測量結(jié)果,這就涉及到有效數(shù)字的問題。有效數(shù)字在物理實驗中經(jīng)常使用。什么是有效數(shù)字，有效位數(shù)如何確定，有效數(shù)字的運算規(guī)則有什么不同，在用有效數(shù)字表示測星結(jié)果時，如何與誤差聯(lián)系起來?？梢哉f，誤差決定有效數(shù)字。例如：實驗測得某一物理量，其測量列的算術(shù)平均值為1=1.674cm,算得其不確定度u(Q二0.04cm。從u(Q數(shù)值中可知，這一組測量量在小數(shù)點后面第二位就已經(jīng)有誤差，所以無等于1.674屮“7”已經(jīng)是有誤差的可疑數(shù)，表示結(jié)果無時后面一位“4”已不必再寫上，上述結(jié)果正確的表示應(yīng)為1.67±0.

30、04cmo也就是說，我們表示測量結(jié)果的數(shù)字中，只保留一位可疑數(shù)，其余應(yīng)全部是確切數(shù)。有效數(shù)字的定義為：有效數(shù)字是由若干位準確數(shù)和一位可疑數(shù)構(gòu)成。這些數(shù)字的總位數(shù)稱為有效數(shù)字。一個物理量的數(shù)值和數(shù)學上的數(shù)有著不同的意義。例如在數(shù)學上0.2500m=25.00mm。但在物理測量上0.2500mH25.000cm。因為0.2500的有效位數(shù)是四位，而25.000cm的有效位數(shù)是五位。實際上，這兩種不同的寫法表示了兩種不同精度的測量結(jié)果。所以在實驗屮記錄數(shù)據(jù)時，有效數(shù)字不能隨意增減。5. 2有效數(shù)字運算規(guī)則有效數(shù)字的正確運算關(guān)系到實驗結(jié)果的精確表達，由于運算條件不一樣，運算規(guī)則也不一樣。1. 四則運算

31、四則運算，一般可以依據(jù)以下運算規(guī)則：參加運算的各數(shù)字可以認為僅最后一位數(shù)碼是有誤差的，其他位的數(shù)碼是無誤差的；無誤差的數(shù)碼間的四則運算結(jié)果仍為無誤差數(shù)碼；有誤差的數(shù)碼參加四則運算結(jié)果有誤差的數(shù)碼，進位和借位認為是無誤差數(shù)碼；最后結(jié)果按四舍五入法僅保留一位有誤差數(shù)碼。（1）加減法例15.345+30.2（數(shù)字下面是指誤差所在位的數(shù)碼）取：5.345+30.2=35.5例235.48-20.3?。?5.48-20.3=15.2（2）乘除法例14.178X10.1取：4.178x10.1=42.2例2482164-123?。?8216-123=392用以上豎式才能得到計算結(jié)果的四則運算，對我們來講，

32、不現(xiàn)實，為了提高運算速度，又保證一定精度的誤差估計，可把上面加減運算和乘除運算分別總結(jié)為如下運算規(guī)則：1）加減法運算規(guī)則：若干項加減運算時，仍然按正常運算進行；計算結(jié)果的最后一位，應(yīng)取到與參加加減運算各項屮某項最后一位靠前的位置對齊。如3.14+1056.73+103-9.862=1153參加運算的各項最后一位最靠前的是103的個位，其計算結(jié)果的最后一位就保留在個位上。2）乘除法運算規(guī)則：計算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)保留到與參加運算的各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的位數(shù)相同。如2.7x3.9023.4567=3.0,參加運算的2.7有效數(shù)字是兩位，為最少,計算結(jié)果也就取兩位。這一規(guī)則在絕大多數(shù)情況下都成立，

33、極少數(shù)情況下,由于借位或進位可能多一位或少一位。如0.98x1.1=1.08就多一位。2. 函數(shù)運算有效數(shù)字取位函數(shù)運算不像四則運算那樣簡單，而要根據(jù)誤差傳遞公式來計算。例已知x-56.7,y-lnx,求y。因x的有誤差位是十分位上，所以取龍0.1,利用誤差傳遞公式|廣（繃心去估計y的誤差位嚴蘭=*丄“.002,說明y的誤差位在千分x56.7位上，故y二lnx二ln56.7=4.038。由上可知函數(shù)運算有效數(shù)字取位的規(guī)則：已知必計算y=f3時,取/為x的最后一位的數(shù)量級，利用誤差傳遞公式3=|廣|心估計y的誤差數(shù)碼位置，y的計算結(jié)果最后一位對應(yīng)的那個位置。6實驗數(shù)據(jù)的處理方法測量獲得了大量的實

34、驗數(shù)據(jù)，而要通過這些數(shù)據(jù)來得到可靠的實驗結(jié)果或物理規(guī)律，則需要學會正確的數(shù)據(jù)處理方法。木節(jié)將介紹在物理實驗中常用的列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法等數(shù)據(jù)處理的基木方法。6.1列表法在記錄和處理實驗測量數(shù)據(jù)時，經(jīng)常把數(shù)據(jù)列成表格，它可以簡單而明確地表示出有關(guān)物理量Z間的對應(yīng)關(guān)系，便于隨時檢查測量結(jié)果是否正確合理，及時發(fā)現(xiàn)問題，利于計算和分析誤差，并在必要時對數(shù)據(jù)隨時查對。通過列表法可有助于找出有關(guān)物理量Z間的規(guī)律性，得出定量的結(jié)論或經(jīng)驗公式等。列表法是工程技術(shù)人員經(jīng)常使用的一種方法。列表時，一般應(yīng)遵循下列規(guī)則(1) 簡單明了，便于看出有關(guān)物理量之間的關(guān)系，便于處理數(shù)據(jù)。(2) 在表格中均應(yīng)標明

35、物理量的名稱和單位。(3) 表格中數(shù)據(jù)要正確反映出有效數(shù)字。(4) 必要時應(yīng)對某些項目加以說明，并計算出平均值、標準誤差和相對誤差。例用千分尺測量鋼絲直徑，列表如下:次數(shù)初讀數(shù)(mm)未讀數(shù)(mm)直徑0(mm)(mm)u(0)(mm)Ur10.0022.1472.1452.1450.0010.06%20.0042.1482.14430.0032.1492.14640.0012.1452.14450.0042.1492.14560.0032.1472.1446.2作圖法物理實驗中所得到的一系列測量數(shù)據(jù)，也可以用圖線直觀地表示出來，作圖法就是在坐標紙上描繪出一系列數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的圖線?？梢匝芯课?/p>

36、理量之間的變化規(guī)律，找出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，求經(jīng)驗公式的常用方法之一。同時作好一張正確、實用、美觀的圖是實驗技能訓練中的一項基本功，每個同學都應(yīng)該掌握。1.圖示法物理實驗所揭示的物理量之間的關(guān)系，可以用一個解析函數(shù)關(guān)系來表示，也可以用坐標紙在某一坐平而內(nèi)由一條曲線表示，后者稱為實驗數(shù)據(jù)的圖形表示法，簡稱圖示法。圖示法的作圖規(guī)則如下：（1）選取坐標紙作圖一定要用坐標紙，根據(jù)不同實驗內(nèi)容和函數(shù)形式來選取不同坐標紙，在普物實驗中最常用的是直角坐標紙。再根據(jù)所測得數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和對測量結(jié)果的要求來定坐標紙的大小，原則上是以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和能包括所有實驗點作為選擇依據(jù)，一般圖上的最小分格至少應(yīng)是有

37、效數(shù)字的最后一位可靠數(shù)字。（2）定坐標和坐標標度通過以橫坐標表示自變量，縱坐標表示因變量。寫岀坐標軸所代表的物理量的名稱和單位。為了使圖線在坐標紙上的布局合理和充分利用坐標紙，坐標軸的起點不一定從變量的“0”開始。圖線若是直線，盡量使圖線比較對稱地充滿整個圖紙，不要使圖線偏于一角或一邊。為此，應(yīng)適當放大（或縮?。┛v坐標軸和橫坐標軸的比例。在坐標軸上按選定的比例標出若干等距離的整齊的數(shù)值標度，標度的數(shù)值的位數(shù)應(yīng)與實驗數(shù)據(jù)有效數(shù)字位數(shù)一致。選定比例時，應(yīng)使最小分格代表“1”、“2”或“5”，不要用“3”、“6”“7”、“9”表示一個單位。因為這樣不僅使標點和讀數(shù)不方便,而且也容易出錯。（3）標點根

38、據(jù)測量數(shù)據(jù)，找到每個實驗點在坐標紙上的位置，用鉛筆以“X”標出各點坐標，要求與測量數(shù)據(jù)對應(yīng)的坐標準確地落在“X”的交點上。一張圖上要畫兒條曲線時，每條曲線可用不同標記如“+”、“”等以示區(qū)別。（4）連線用直尺、曲線板、鉛筆將測量點連成直線或光滑曲線，校正曲線要通過校正點連成折線。因為實驗值有一定誤差，所以曲線不一定要通過所有實驗點，只要求線的兩旁實驗點分布均勻且離曲線較近，并在曲線的轉(zhuǎn)折處多測兒個點，對個別偏離很大的點，要重新審核，進行分析后決定取舍。（5）寫出圖紙名稱要求在圖紙的明顯位置標明圖紙的名稱，即圖名、作者姓名、H期、班級等。2.圖解法圖解法就是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)所作好的圖線，用解析法找岀

39、相應(yīng)的函數(shù)形式，如線性函數(shù)，二次函數(shù)、幕函數(shù)等，并求出其函數(shù)的參數(shù)，得出具體的方程式。特別是當圖線是直線時，采用此法更為方便。(1)直線圖解法 取點在直線上任取兩點A(,X),Bg上)，其坐標值最好是整數(shù)值。用“”符號表示所取的點，與實驗點相區(qū)別。一般不要取原實驗點。所取兩點在實驗范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分開一些，以減小誤差。 求斜率k在坐標紙的適當空白的位置，由直線方程y二kx+b,寫出斜率的計算公式：k=(6-1)心一“將兩點坐標值代入上式，寫出計算結(jié)果。 求截距b如果橫坐標的起點為零，其截距方為x=0時的y值，其直線的截距即由圖上直接讀出。如果起點不為零，可由下式求出截距：(6-2)例：已知電阻

40、絲的阻值斤與溫度廣的關(guān)系為：其中尼、日是常數(shù)?，F(xiàn)有一電阻絲，其阻值隨溫度變化如下表所示。請用作圖法作水-r直線，并求心處的值。t(°C)15.020.025.030.035.040.045.050.0R(Q)28.0528.5229.1029.5630.1030.5731.0031.62解：由上表可知£一£=500-150=350（°C）尺心一九嚴31.62-28.05=3.57（Q）即溫度t的變化范圍為35°C,而電阻值水的變化范圍為3.57Q。根據(jù)坐標紙大小的選擇原則，既要反映有效數(shù)字又能包括所有實驗點，選40格X40格的圖紙。取自變量r為

41、橫坐標，起點為10°C,每一小格為1°C；因變量水為縱坐標，起點為28Q,每一小格為0.1Q,描點連線圖，得水它直線如圖6-1,所示。圖6-1在直線上取兩點(19.0,28.40),(43.0,30.90)則:30.90-28.4043.0-19.0=0.104(Q/°C)43.0x28.40-19.0x30.90=2M(Q)43.0-19.0故有R=264+010/(Q)（2）曲線的改直在實際工作中，許多物理量Z間的函數(shù)關(guān)系形式是復雜的，并非都為線性，但是可以經(jīng)過適當變換后成為線性關(guān)系，即把曲變成直線，這種方法叫曲線改直。例如：®PV=C,C為常數(shù)由R

42、=q作R冷圖得直線，斜率即為GS=v0t+at2,vQ,a為常數(shù)。兩邊除以t得：巴=比+丄作f圖為直線，其斜率為丄d,截距為t2t2坯。y=d，其屮方為常數(shù)兩邊取對數(shù)，得lgy=lga+blgx,以lgy為橫坐標，_gy為縱坐標作圖得一直線，截距為lg&,斜率為方。3. 作圖法的優(yōu)點直觀：這是作圖法的最大優(yōu)點之一，可根據(jù)曲線形狀，很直觀很清楚地表示在一定條件下，某一物理量與另一物理量之間的相互關(guān)系，找出物理規(guī)律。簡便：在測量精度要求不高時，由曲線形狀探索函數(shù)關(guān)系，作圖法比其他數(shù)據(jù)處理方法要簡便?？梢园l(fā)現(xiàn)某些測量錯誤：若在曲線上個別點偏離特別大，可提醒人們重新核對。在圖線上，可以直接讀出

43、沒有進行測量的對應(yīng)于某x的y值（內(nèi)插法）。在一定條件下，也可以從圖線的延伸分部讀出測量數(shù)據(jù)范圍以外的點（外推法）。但也應(yīng)看到作圖法有其局限性。特別是受圖紙大小的限制，不能嚴格建立物理量之間函數(shù)關(guān)系，同時受到人為主觀性進行的描點、連線的影響,不可避免地會帶來誤差。6. 3逐差法逐差法是對等間距測量的有序數(shù)據(jù)進行逐項或相等間隔項相減得到結(jié)果的一種方法。它計算簡便，并可充分利用測量數(shù)據(jù)，及時發(fā)現(xiàn)差錯,總結(jié)規(guī)律，是物理實驗屮常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。1. 逐差法的使用條件（1）自變量X是等間距離變化的。（2）被測的物理量之間的函數(shù)形式可以寫成x的多項式，即my=£*o2. 逐差法的應(yīng)用以拉伸法

44、測彈簧的倔強系數(shù)為例，說明如下：設(shè)實驗屮等間隔地在彈簧下加硅碼（如每次加1克），共加9次，分別記下對應(yīng)的彈簧下端點的位置厶，厶，厶，厶，則可用逐差法進行以下處理。（1）驗證函數(shù)形式是線性關(guān)系把所測的數(shù)據(jù)逐項相減，即看厶，厶，厶，厶是否基本相等。而當厶均基木相等時，就驗證了外力與彈簧的伸長量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的，即用此法可檢查測暈結(jié)果是否正確，但注意的是必須要逐項逐差。（2）求物理量數(shù)值現(xiàn)計算每加1克祛碼時彈簧的平均伸長量：從上式可看出，屮間的測量值全部低消了，只有始末二次測量值起作用，與一次加9克祛碼的測量完全等價。為了保證多次測量的優(yōu)點，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作一些組合，仍能達到多次測星來減

45、小誤差的目的。因此一般使用逐差法的規(guī)則應(yīng)用如下方法：通?？蓪⒌乳g隔所測量的值分成前后兩組的，前一組為L。、L、厶、厶、厶后一組為厶、L&、L；、厶、厶將前后兩組的對應(yīng)項相減為再取平均值由此可見，與上面一般求平均值方法不同，這時每個數(shù)據(jù)都用上了。但應(yīng)注意，這里的立是增加5克硅碼時彈簧的平均伸長量。故對應(yīng)項逐差可以充分利用測量數(shù)據(jù)，具有對數(shù)據(jù)取平均和減小的效果。6.4最小二乘法由一組實驗數(shù)據(jù)找出一條最佳的擬合直線（或曲線），常用的方法是最小二乘法。所得的變量之間的相關(guān)函數(shù)關(guān)系稱為回歸方程。所以最小二乘法線性擬合亦稱為最小二乘法線性回歸。木章只討論用最小二乘法進行一元線性回歸問題，有關(guān)多元線

46、性回歸和非線性回歸，請參考其他書籍。1. 一元線性回歸最小二乘法所依據(jù)的原理是：在最佳擬合直線上，各相應(yīng)點的值與測量值之差的平方和應(yīng)比在其他的擬合直線上的都要小。假設(shè)所研究的變量只有兩個：x和y,且它們之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，是一元線性方程y=人+x（63）實驗測暈的一組數(shù)據(jù)是需要解決的問題是：根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)，如何確定（6-3）式中的常數(shù)A。和扎。實際上，相當于作圖法求直線的斜率和截距。由于實驗點不可能都同時落在（6-3）式表示的直線上，為使討論簡單起見，限定： 所有測量值都是等精度的。只要實驗屮不改變實驗條件和方法，這個條件就可以滿足。 只有一個變量有明顯的隨機誤差。因為尤和乃都含有誤差，

47、把誤差較小的一個作為變量X,就可滿足該條件。假設(shè)在（6-3）式中的X和y,是在等精度條件下測量的，且y有偏差,把實驗數(shù)據(jù)（"1）,（花，比），（?！?，兒）代入（6-3）式后得：其一般式為：(64)的大小與正負表示實驗點在直線兩側(cè)的分散程度，勺的值與仏、A的數(shù)值有關(guān)。根據(jù)最小二乘法的思想，如果缶4的值使£才最小，那么,（6-3）式就是所擬合的直線，即由式(6-5)(6-6)mmZ<=Z(XA)-肚)'f-i/-i對凡和4求一階偏導數(shù)，且使其為零得:Q(mfi-im石T<|=-22L(xA)_4“)=0t,Z£<I=2Z一人肚)兀=ooAVj

48、-i/-I令無為x的平均值，即匕丄丁為y的平均值，即嚴丄£片,m的平均值，即?=五為"的均值，即=-±xiyim.-1itiz'代入（6-6）式中得:解方程組得:/-1(67)2.把非線性相關(guān)問題變換成線性相關(guān)問在實際問題屮，當變量間不是直線關(guān)系時，可以通過適當?shù)淖兞孔儞Q,使不少曲線問題能夠轉(zhuǎn)化成線性相關(guān)的問題。需要注意的是，經(jīng)過變換等精度的限定條件不一定滿足，會產(chǎn)生一些新的問題。遇到這類情況應(yīng)采取更恰當?shù)那€擬合方法。下面舉兒例說明（1）若函數(shù)為T+F=C,其中C為常數(shù)，令：則有：（2）若函數(shù)為）匸斗，其屮&、方為常數(shù)，將原方程化為丄=»

49、;上，a+bxyx令：則有：3.相關(guān)系以上所討論的都是實驗在已知的函數(shù)形式下進行時，由實驗的測量數(shù)據(jù)求出的回歸方程。因此，在函數(shù)形式確定以后，用回歸法處理數(shù)據(jù)，其結(jié)果是唯一的，不會像作圖法那樣因人而異?？梢娪没貧w法處理問題的關(guān)鍵是函數(shù)形式的選取。但是當函數(shù)形式不明確時，要通過測量值來尋求經(jīng)驗公式，只能靠實驗數(shù)據(jù)的趨勢來推測。對同一組實驗數(shù)據(jù)，不同的工作者可能會取不同的函數(shù)形式，得出不同的結(jié)果。為了判斷所得結(jié)果是否合理，在待定常數(shù)確定以后，還需要計算一下相關(guān)系數(shù)幾對于元線性回歸，r定義為：p/_子工(6-8)V(x2-x2Xr-y2)相關(guān)系數(shù)r的數(shù)值大小反映了相關(guān)程度的好壞?？梢宰C明丨r丨的值介

50、于0和1之間，丨r|值越接近于1,說明實驗數(shù)據(jù)能密集在求得的直線附近，龍、y之間存在著線性關(guān)系，用線性函數(shù)進行回歸比較合理。相反，如果丨廠丨值遠小于1而接近0,說明實驗數(shù)據(jù)對求得的直線很分散,兒y之間不存在線性關(guān)系，即用線性回歸不妥，必須用其他函數(shù)重新試探。在物理實驗屮，一般當丨/丨20.9時，就認為兩個物理量之間存在較密切的線性關(guān)系。例用木節(jié)作圖法例子中電阻絲電阻值隨溫度變化的實驗數(shù)據(jù)，結(jié)合最小二乘法做以下內(nèi)容：(1) 線性擬合，并寫出直線方程：(2) 求出電阻溫度系數(shù)&和0°C時的電阻尿。(3) 求出相關(guān)系數(shù)/,評價相關(guān)程度。解：金屬導體的電阻和溫度的關(guān)系為R=Ro(l+cit)=Ro+