向量加減法運(yùn)算及其幾何意義公開(kāi)課

1、關(guān)于向量加減法運(yùn)算及其幾何意義公開(kāi)課5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件知識(shí)回顧知識(shí)回顧 1. 向量與數(shù)量有何區(qū)別向量與數(shù)量有何區(qū)別? 2. 怎樣來(lái)表示向量向量怎樣來(lái)表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?數(shù)量只有大小沒(méi)有方向數(shù)量只有大小沒(méi)有方向,如如:長(zhǎng)度長(zhǎng)度,質(zhì)量質(zhì)量,面積等面積等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向線段來(lái)表示用有向線段來(lái)表示,線段的長(zhǎng)度表示線段的大小，箭頭所指方線段的長(zhǎng)度表示線段的大小，箭頭所指方向表示向量的方向向表示向量的方向。AB2）

2、用字母來(lái)表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字用字母來(lái)表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示母表示.如aAB,長(zhǎng)度相等長(zhǎng)度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因?yàn)槿绱苏驗(yàn)槿绱?我們研究的向量是我們研究的向量是與起點(diǎn)無(wú)關(guān)與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的的自由向量自由向量,即任何向即任何向量可以在不改變它的大小和方向的前提下量可以在不改變它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁(yè)，共35頁(yè) 上海上海香港香港臺(tái)北臺(tái)北引入引入1：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁(yè)，共35頁(yè)上海上海香港香港臺(tái)北臺(tái)北O(jiān)AB現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁(yè)，共35頁(yè)OABOA+AB=OB現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁(yè)，共35頁(yè)向

3、量加法的三角形法則：向量加法的三角形法則：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、內(nèi)點(diǎn) ，則與，記 則 這稱(chēng)為 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即種求向量和種求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法的。的。首尾連首尾連首尾相接首尾相接現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁(yè)，共35頁(yè)嘗試練習(xí)一：嘗試練習(xí)一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根據(jù)圖示填空：）根據(jù)圖示填空：_ABBCCDDE AE 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁(yè)，共35頁(yè)例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向

4、量 。, a b abab 則則 OBab OABaba 三角形法則三角形法則作法作法1：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作作 ， ，OAa ABb b例題講解：例題講解：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件思考思考1：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上兩個(gè)向量：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上兩個(gè)向量共線共線時(shí)，加法的時(shí)，加法的三角形法三角形法 則則是是否還適用？如何作出兩個(gè)向量的和？否還適用？如何作出兩個(gè)向量的和？abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，則ABCBCAabab00aaa規(guī) 定 ：| |abababba 若 ， 方向相反，則（或）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁(yè)，共35

5、頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件 當(dāng)向量當(dāng)向量 不共線時(shí)，和向量的長(zhǎng)度不共線時(shí)，和向量的長(zhǎng)度 與向量與向量 的長(zhǎng)度和的長(zhǎng)度和 之間的大小關(guān)系如何？之間的大小關(guān)系如何？a b 、|aba b、|ababab三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊| |ababab 當(dāng)向量、不共線時(shí)有綜合以上探究我們可得結(jié)論：| |abab現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件 圖圖1 1表示橡皮條在兩個(gè)力表示橡皮條在兩個(gè)力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向伸長(zhǎng)方向伸長(zhǎng)了了EOEO；圖；圖2 2表示橡皮條在一個(gè)力表示橡皮條在一個(gè)力F F

6、的作用下，沿相同方向伸長(zhǎng)的作用下，沿相同方向伸長(zhǎng)了相同長(zhǎng)度了相同長(zhǎng)度EOEO。從力學(xué)的觀點(diǎn)分析，力。從力學(xué)的觀點(diǎn)分析，力F F與與F F1 1、F F2 2之間的關(guān)系之間的關(guān)系如何？如何？MCEOF1F2圖圖1ME OF圖圖2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁(yè)，共35頁(yè)OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 點(diǎn) 為點(diǎn)兩個(gè)為鄰邊則為點(diǎn)對(duì)線與 這平行四邊則稱(chēng)為 以同一起的已知向量 、 作, 以同一起的已知向量 、 作,以起的角就是 的和即以起的角就是 的和即向量加法的向量加法的種求向量和的方法，種求向量和的方法，形法形法。起點(diǎn)相同

7、起點(diǎn)相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁(yè)，共35頁(yè)OABCabba 起點(diǎn)相同起點(diǎn)相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則： 文字表述為：以同一起點(diǎn)的兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，文字表述為：以同一起點(diǎn)的兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，則以公共起點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)向量就是和向量。則以公共起點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)向量就是和向量?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁(yè)，共35頁(yè)例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例題講解：例題講解：作法作法2：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、

8、以以 為鄰邊作為鄰邊作 OACB ，.OCOAOBab 連結(jié)連結(jié)OC，則，則abba BCA平行四邊形法則平行四邊形法則現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁(yè)，共35頁(yè)嘗試練習(xí)二：嘗試練習(xí)二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法則三角形法則和和平行四邊形平行四邊形法則作法則作出出a b 、ab abbba現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件思考思考2:數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對(duì)任意數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對(duì)任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么對(duì)任意向量那么對(duì)任意向量 的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？的加法是否也滿足

9、交換律和結(jié)合律？請(qǐng)畫(huà)圖進(jìn)行探索。請(qǐng)畫(huà)圖進(jìn)行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a bc ab c 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件例例2.長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以點(diǎn)出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；）試用向量表示江水速度、

10、船速以及船實(shí)際航行的速度；（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來(lái)表示）。角來(lái)表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 圖， 、為鄰邊則實(shí)際.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件例例2.長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪船進(jìn)行運(yùn)輸，如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以點(diǎn)出發(fā)，以 km/h的速度向的速度

11、向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來(lái)表示）。角來(lái)表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(2 3)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船實(shí)際航行速度為答：船實(shí)際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為方向與水的流速間的夾角為60。ADBC現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十

12、八頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件（1）你還能回想起實(shí)數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？）你還能回想起實(shí)數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？（2）兩個(gè)實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算可以看成加法運(yùn)算嗎？）兩個(gè)實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算可以看成加法運(yùn)算嗎？思考思考：如設(shè)如設(shè),x yR xy()xy 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 的相反數(shù)記作的相反數(shù)記作 。aa如何定義向量的減法運(yùn)算呢？如何定義向量的減法運(yùn)算呢？ 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義向量的減法運(yùn)算及其幾何意義回顧回顧：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件一、相反向量：一、相反向量：規(guī)定：規(guī)定：設(shè)向量設(shè)向量 ，我們把與，我們把與 長(zhǎng)度相同，方向相反長(zhǎng)度相同，方

13、向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a（1）()a （3）設(shè)）設(shè) 互為相反向量，那么互為相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義向量的減法運(yùn)算及其幾何意義記作：記作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的減法：二、向量的減法：()abab （2）()aa()aaa00現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件BACab設(shè)設(shè),AB b AC a DEb()AEab 又又b BC a 所以所以BCa b ababab你能利用我們學(xué)過(guò)的向量的加法法則作出你能利用我們學(xué)過(guò)的向量的加法法則作出 嗎？嗎？

14、()ab 不借助向量的加法法則你能直接作出不借助向量的加法法則你能直接作出 嗎？嗎？ a b現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件三、幾何意義：三、幾何意義： 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)指向向量 的終點(diǎn)的向量的終點(diǎn)的向量ba ba（1）如果從）如果從 的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)指向 終點(diǎn)作向量，所得向量是什么呢？終點(diǎn)作向量，所得向量是什么呢？ab（2）當(dāng)）當(dāng) ， 共線時(shí)，怎樣作共線時(shí)，怎樣作 呢？呢？ababABOABOaOA bOB abBA 注意：注意：（1）起點(diǎn)必須相同起點(diǎn)必須相同。（。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點(diǎn)。的終點(diǎn)。ba

15、一般地一般地abBabbAO（三角形法則）（三角形法則）a練習(xí)：練習(xí)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA ACADBA 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件三、幾何意義三、幾何意義注意：注意：（1）起點(diǎn)必須相同。（）起點(diǎn)必須相同。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點(diǎn)。的終點(diǎn)。一般地一般地abBabbAO 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)指向向量 的終點(diǎn)的向量的終點(diǎn)的向量ba ba練習(xí)：練習(xí)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5

16、)OA OB DB CA ACADAB BA 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十三頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b c d cd abcd OBACDabd c作法：作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 則則BAab DCcd 作作注意：注意：起點(diǎn)相同，連接終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)。起點(diǎn)相同，連接終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)。a b c d 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件練習(xí)：練習(xí)：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,

17、a b （1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件ABCD解：由作向量和的平行解：由作向量和的平行四邊形法則，得四邊形法則，得AC=a+b;由作向量差的方法，知由作向量差的方法，知DB=AB-AD=a-b.ab例例2 2： 平行四邊形平行四邊形ABCDABCD中，中，AB=a,AD=b,AB=a,AD=b,用用 a, ba, b表示向量表示向量AC,DBAC,DB?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十六頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件例例3 : 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) ( (A AB B- -C CD D) )-

18、 -( (A AC C- -B BD D) )解解: ( (A AB B- -C CD D) )- -( (A AC C- -B BD D) ) = =A AB B- -C CDD- -A AC C+ +B BDD= = A AB B+ +D DC C+ +C CA A+ +B BD D = =( (A AB B+ +B BDD) )+ +( (DDC C+ +C CA A) ) = =A AD D+ +D DA A = = 0 0現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十七頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件 ,ABaADbABADABCD 解設(shè)作以和為鄰邊作平行四邊形。則ADBC,AC a bDB

19、a b |ababA CD BAB，ADABCD，ABCD為矩形所以四邊形為平行四邊形又因?yàn)樗倪呅?222|6810| | 10DBDBDBa ba b ba例例4已知已知|a|=6,|b|=8,且且|a+b|=| a- b|,求求|a- b|.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十八頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件AB BC AC222練習(xí)練習(xí)1正方形正方形ABCD邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為1，=a，=b， =c，則，則|a+b+c|等于（等于（ ）A0 B3 C DC練習(xí)練習(xí)2 2化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)PMPNMN 結(jié)果是結(jié)果是 0 0現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十九頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件練習(xí)3 a，b為非零向量，且為非零向量，且|a- b|=| a|+| b|，則則 （ ）Aa與與b方向相同方向相同 Ba = b Ca =b Da與與b方向相反方向相反ab|ab練習(xí)練習(xí)4 4向量向量 , , 的模分別是的模分別是3，4，求，求的取值范圍。的取值范圍。 D D1,71,7現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十頁(yè)，共35頁(yè)5/7/2022高一、一科數(shù)學(xué)專(zhuān)用課件ABCD練習(xí)練習(xí)5:5:如圖：平行四邊形如圖：平行四邊形ABCD, ABCD, 用用 表示向量表示向量 ,