第4節(jié)廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆eppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié)* *一、無窮限積分?jǐn)可⑿缘呐袆e一、無窮限積分?jǐn)可⑿缘呐袆e 對(duì)對(duì)于于級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu，在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間), 1 上上定定義義函函數(shù)數(shù) nuxf )(，)1, nnx，Nn ， 則級(jí)數(shù)的部分和可表示為則級(jí)數(shù)的部分和可表示為 1121d)(nnnxxfuuuS定理定理( (比較判別法比較判別法) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg在在), a上上連連續(xù)續(xù)，且且有有 )()(0 xgxcf ，), ax， 則當(dāng)無窮限積分則當(dāng)無窮限積分 axxgd)(收斂時(shí)，收斂時(shí)， axxfd)(也收斂；也收斂； 證略證略. .)()(0 xgxcf ，), ax，其其中中 c為為正正的的常常數(shù)

2、數(shù)， 定理定理( (極限判別法極限判別法) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在), a上上連連續(xù)續(xù)，(其其中中0 a)，且且0)( xf，如如果果 則則當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)，無無窮窮限限積積分分 axxfd)(收收斂斂； 證略證略. . Axfxpx )(lim例例1 1解解由羅必塔法則，由羅必塔法則， xpxxx elim2xpxx elim2 0 例例2 2解解由于由于 所所以以，當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)，該該廣廣義義積積分分收收斂斂； xxxx 1arctanlimxxxxarctan1lim ,2 定理定理證略證略. . 如果廣義如果廣義 （此此時(shí)時(shí)稱稱 axxfd)(絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂） 例例3 3解解由于由

3、于,e|sine|xpxpxxx ), 0 x由由例例 1 知知 1dexxxp 收收斂斂， 二、瑕積分?jǐn)可⑿缘呐袆e二、瑕積分?jǐn)可⑿缘呐袆e 定理定理( (比較判別法比較判別法) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg在在,(ba上上連連續(xù)續(xù)， )()(0 xgxcf ，其其中中 c 為為正正的的常常數(shù)數(shù)， 則則當(dāng)當(dāng)瑕瑕積積分分 baxxgd)(收收斂斂時(shí)時(shí)， baxxfd)(也也收收斂斂； 證略證略. . )(limxfax ， )(limxgax ，且且恒恒有有 定理定理( (極限判別法極限判別法) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,(ba上上連連續(xù)續(xù)，且且 )(limxfax，如如果果 則則當(dāng)當(dāng)

4、10 p時(shí)時(shí)，瑕瑕積積分分 baxxfd)(收收斂斂； 證略證略. . Axfaxpax )()(lim例例4 4解解易知易知0 x為瑕點(diǎn)，為瑕點(diǎn)， 取取121 p， )(lim210 xfxx ,111lim20 xx例例5 5解解易易知知1 x為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)， 由于由于)()1(lim21)1(xfxx ,61)4)(1(1lim2)1( xxx)()1(lim211xfxx ,61)4)(1(1lim21 xxx例例6 6解解顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)1 p且且1 q時(shí)，是常義積分；時(shí)，是常義積分； 因因此此，當(dāng)當(dāng)0 p且且0 q時(shí)時(shí)，該該廣廣義義積積分分收收斂斂； 若若1 p，則則0 x是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)， )(lim10 xfxpx ,1)1(lim10 qxx,11 p;0 p若若1 q，則則