連續(xù)傳遞函數(shù)離散化的方法與原理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計目錄 專心-專注-專業(yè)第一章 模擬化設(shè)計基礎(chǔ) 數(shù)字控制系統(tǒng)的設(shè)計有兩條道路，一是模擬化設(shè)計，一是直接數(shù)字設(shè)計。如果已經(jīng)有成熟的模擬控制器，可以節(jié)省很多時間和部分試驗費用，只要將模擬控制器離散化即可投入應(yīng)用。如果模擬控制器還不存在，可以利用已有的模擬系統(tǒng)的設(shè)計經(jīng)驗，先設(shè)計出模擬控制器，再進行離散化。 將模擬控制器離散化，如果用手工進行，計算量比較大。借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB控制工具箱，可以輕松地完成所需要的全部計算步驟。如果需要的話，還可以使用MATLAB的SIMULINK工具箱，進行模擬仿真。第一節(jié) 步驟步驟1 模擬控制器的處理 在數(shù)字控制系統(tǒng)中

2、，總是有傳輸特性為零階保持器的數(shù)模轉(zhuǎn)換器（DAC），因此，如果模擬控制器尚未設(shè)計，則應(yīng)以下圖的方式設(shè)計模擬控制器，即在對象前面加上一個零階保持器，形成一個新對象，然后針對這個新對象求模擬控制器D(s)。事實上，模擬控制器一般是已經(jīng)設(shè)計好的，無法或不方便更改了，離散化后的系統(tǒng)只好作為近似設(shè)計了。 然而，按照上述思路，可否將已有的控制器除以一個零階保持器再離散化呢？還沒有這方面的實際經(jīng)驗。以下假設(shè)選定的G(s)，D(s)如下圖，而且不對G(s)作添加保持器的預(yù)處理。步驟2 離散化模擬控制器 離散化模擬控制器之前，先要確定離散化算法和采樣時間。離散化算法有好幾種，第二章中有詳細的論述，現(xiàn)假定采用雙線

3、性變換法。確定采樣時間，需要考慮被控對象的特性，計算機的性能，以及干擾信號的影響等，初步可按采樣時間T<0.1Tp，Tp為被控對象時間常數(shù)，或T=(0.1250.25)，為被控對象的純滯后，初步確定后再綜合平衡其它因素，當(dāng)然這需要一定的經(jīng)驗，現(xiàn)在假定取0.05秒。 假設(shè)模擬控制器為，在MATLAB中，用c2d函數(shù)進行離散化，過程為：ds=zpk(-2,-15,8) %建立模擬控制器的s傳遞函數(shù)dz=c2d(ds,0.05,'tustin') %將模擬控制器按tustin方法轉(zhuǎn)換為z傳遞函數(shù)的數(shù)字控制器dz=c2d(ds,0.05,'tustin') %將模

4、擬控制器按tustin方法轉(zhuǎn)換為z傳遞函數(shù)的數(shù)字控制器 轉(zhuǎn)換結(jié)果為：步驟3 檢驗數(shù)字控制器的性能 數(shù)字控制器的性能項目比較多，我們僅以直流增益，頻率特性，零極點分布說明。 直流增益 dcgain(dz)返回直流增益1.0667 頻率特性 bode(ds,'r',dz,'g')伯德圖，見下頁左圖 零極點分布 pzmap(dz)零極點分布圖，見下頁右圖步驟4 離散化控制對象 為了進行模擬仿真，需要對控制對象進行離散化，由于步驟1所說的原因，應(yīng)把被控對象視為零階保持器與原對象的串連，即應(yīng)對進行離散化，這時可在c2d函數(shù)中使用零階保持器(zoh)方法，如果認為不需要添加

5、零階保持器，即直接對G(s)離散化，則應(yīng)在c2d函數(shù)中使用沖擊響應(yīng)不變法（imp）。 借用零階保持器(zoh)方法，將對象帶一階保持器離散化的過程如下： . %模擬控制器D(s)轉(zhuǎn)換為D(z)的過程見前gs=zpk( ,0,-2,20) %建立對象的s傳遞函數(shù)g1z=c2d(gs,0.05,'zoh') %借用c2d函數(shù)進行帶零階保持器的對象的離散化 轉(zhuǎn)換結(jié)果為：步驟5 模擬仿真 求離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 用MATLAB算TRCZ與TRCS： trcz=dz*g1z/(1+dz*g1z)trcs=

6、ds*gs/(1+ds*gs) 結(jié)果為： 用MATLAB函數(shù)STEP畫階躍響應(yīng)圖形：hold on %圖形保持step(trcs,'r',2) %畫連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖,紅色,終止時間為2秒step(trcz,'b',2) %畫離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖,蘭色,終止時間為2秒 響應(yīng)圖形為：步驟6 求數(shù)字控制器的時域表達式 上面已經(jīng)求出， 連續(xù)傳遞函數(shù)的tustin離散式為 ，或 。 對上式取z反變換，得時域表達式，根據(jù)此式就可以寫出計算的程序代碼來了。 除上述步驟之外，在編寫程序代碼時，還需要考慮幾個問題： ADC位數(shù) ADC位數(shù)是一個硬件問題，在系統(tǒng)設(shè)計時，就應(yīng)該結(jié)

7、合控制算法，仔細分析ADC位數(shù)對控制精度的影響。 數(shù)據(jù)類型 在控制算法中有3種數(shù)據(jù)類型可以采用：無符號整數(shù)，定點數(shù)，浮點數(shù)。我們知道，無符號整數(shù)運算既是最簡單和速度最快的運算，又是定點數(shù)運算和浮點數(shù)運算的基礎(chǔ)。在數(shù)據(jù)動態(tài)范圍比較小的情況下，應(yīng)盡可能用無符號整數(shù)運算代替定點數(shù)運算和浮點數(shù)運算。 浮點數(shù)運算是一整套運算，包括加，減，乘，除，對階，規(guī)格化，溢出處理等一系列子程序，使用浮點數(shù)的程序，將占用比較多的代碼空間和比較長的運行時間。不論使用匯編語言還是c語言，對于是否使用浮點數(shù)運算，都應(yīng)進行比較仔細的酌斟。 數(shù)值計算誤差 數(shù)值計算引入的誤差有3個方面，一是定點數(shù)字長不夠或者浮點數(shù)有效數(shù)字過少，

8、一是兩個相近的數(shù)相減，一是加減乘除次數(shù)過多。在程序設(shè)計中，應(yīng)優(yōu)化算法以避免計算誤差的引入。第二節(jié) 在MATLAB中離散化 1. 建立s降冪傳遞函數(shù) 建立多項式型s降冪傳遞函數(shù) 方法1. sys = tf(num,den) 方法2. s = tf('s')，再令sys = f(s) 例： 已知，用tf函數(shù)建立多項式型s降冪傳遞函數(shù)，若G0以零極點形式給出，即已知，仍可用tf函數(shù)建立多項式型s降冪傳遞函數(shù)，但需用多項式乘法函數(shù)conv配合，G0=tf(conv(3,0.5 1),conv(conv(1 0,1 1),0.25 1) 建立零極點型s傳遞函數(shù) 方法1. sys = zp

9、k(z,p,k) 方法2. s = zpk('s')，再令sys = f(s)。 2. 傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換 將任意形式的s傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為s降冪傳遞函數(shù)sys = tf(sys) 將任意形式的s傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為s零極點傳遞函數(shù)sys = zpk(sys) 3. 建立z傳遞函數(shù) 將連續(xù)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為離散傳遞函數(shù) sysd = c2d(sysc,t,method) 建立多項式形式的z傳遞函數(shù) 方法1. sys = tf(num,den,Dt) 方法2. z = tf('z',Dt)，再令sys = f(z) 建立零極點z傳遞函數(shù) 方法1. sys = zpk(z,p,k,D

10、t) 方法2. z = zpk('z',Dt)，再令sys = f(z) 4. 建立z-1格式的傳遞函數(shù) 直接根據(jù)分子和分母建立z-1格式的傳遞函數(shù)sys_z = filt(num,den,Dt) 當(dāng)已有多項式形式的z降冪傳遞函數(shù)時，按以下步驟： 取z降冪傳遞函數(shù)a的分子多項式系數(shù)num,den = tfdata(sys_s,'v') 建立z-1格式的傳遞函數(shù)sys_z = filt(num,den,Dt) 5. 將多項式形式的高階z-1降冪傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為并聯(lián)傳遞函數(shù)，按以下步驟： “手工”將z-1降冪傳遞函數(shù)a改寫成多項式形式的z降冪傳遞函數(shù)b。 取z降冪傳遞

11、函數(shù)b的分子多項式系數(shù)num和分母多項式系數(shù)den。 利用residue函數(shù)取z降冪傳遞函數(shù)b的分項分式，an ad ak=residue(num,den)。 分項結(jié)果可能出現(xiàn)共軛復(fù)數(shù)，在這種情況下應(yīng)將含有共軛復(fù)數(shù)的分式合并成二次有理質(zhì)分式。 根據(jù)分項結(jié)果手工寫出z降冪多項式形式的并聯(lián)表達式。 “手工”將z降冪多項式形式的并聯(lián)表達式改寫成z-1降冪多項式形式的并聯(lián)表達式。 “手工”對z-1降冪多項式形式的并聯(lián)表達式中的每一個分式項降階，即將每一個分式項變形，使得分式項的分子的階次比分母的階次低1階，變形完畢再將全部常數(shù)項合并。 舉例 設(shè)有z-1降冪傳遞函數(shù) 改寫成z降冪傳遞函數(shù) ， 取分項矢量

12、 an ad ak=residue(nz,dz) 得 an=0.5101 -0.1971 ad=1.0000 0.2700 ak=0.1 手工寫分項分式 ， 令 ， 令 又令 故 驗證 實際上，大多數(shù)數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)都是一階或者二階的，所以需要分解的并不是很多。 6. 將高階z-1降冪傳遞函數(shù)生成串聯(lián)傳遞函數(shù)使用zpk函數(shù) sys_zpk= zpk(sys_pl)零極點的概念是相對于z而不是相對于z-1說的，但對于以z-1為變量的降冪傳遞函數(shù)sys_pl來說，仍然可以用zpk(sys_pl)生成以z-1為變量的因式積形式傳遞函數(shù)，權(quán)且也稱為零極點形式。zpk函數(shù)對于z降冪傳遞函和z-1降冪

13、傳都能得到合理的結(jié)果，原因是zpk函數(shù)的作用就是把分子多項式和分母多項式分別進行因式分解。第三節(jié) 延時環(huán)節(jié)e-Ts的處理 在建立s傳遞函數(shù)的LTI模型時，對于延時環(huán)節(jié)e-T s，可按如下方法處理： 1. 在tf函數(shù)中使用屬性inputdely或者iodely ，例如：>> tf(1 -1,1 3 5,'inputdelay',0.35)將返回以下形式的傳遞函數(shù) s 1exp(-0.35*s) * - s2 + 3 s + 5使用這個方法不能建立形如的傳遞函數(shù)，因為帶延時的傳遞函數(shù)不能與不帶延時的傳遞函數(shù)相加，但可以使用c2d進行離散化，但要求延時時間t必須是采樣時間

14、Dt的整數(shù)倍，若不是整數(shù)倍，則在轉(zhuǎn)換時不理會延時環(huán)節(jié)，例如：用tf函數(shù)建立2個傳遞函數(shù)，主體部分相同，但一個無輸入延時，一個有輸入延時0.35s， >> a=tf(1 -1,1 4 5) s - 1 - s2 + 4 s + 5 >> a1=tf(1 -1,1 4 5,'iodelay',0.35) s - 1 exp(-0.35*s) * - s2 + 4 s + 5 若采樣時間為0.05，因為延時時間是采樣時間的整數(shù)倍，轉(zhuǎn)換結(jié)果的主體部分完全一樣： >> c2d(a,0.05,'imp') z2 - 1.039 z + 9

15、.146e-018 - sampling time： 0.05 z2 - 1.807 z + 0.8187 >> c2d(a1,0.05,'imp') z2 - 1.039 z + 9.146e-018 z(-7) * - sampling time： 0.05 z2 - 1.807 z + 0.8187 若采樣時間為0.1，因為延時時間不是采樣時間的整數(shù)倍，結(jié)果的主體部分不一樣： >> c2d(a,0.1,'imp') z2 - 1.06 z + 4.349e-018 - sampling time： 0.1 z2 - 1.629 z

16、+ 0.6703 >> c2d(a1,0.1,'imp') 0.768 z - 0.851 z(-3) * - sampling time： 0.1 z2 - 1.629 z + 0.6703 2. 將e-Ts有理化 設(shè)，因e-Ts的一階有理表達式是 ，故 。 為了對ts進行離散化，首先使用tf函數(shù)建立lti模型的ts。若，則。 3. 在離散化時使用恒等式 設(shè)，因，采樣時間為t，若T=mt，則，因為離散化時總是認為，故取。 根據(jù)以上假設(shè)，用MATLAB的c2d函數(shù)對g(s)進行離散化，則，進而。則。第四節(jié) 控制函數(shù)分類以下函數(shù)在control toolbox中，這里

17、所述僅限于siso模型1 創(chuàng)建多項式形式的傳遞函數(shù) sys = tf(num,den) 創(chuàng)建一個s降冪多項式連續(xù)傳遞函數(shù)sys，分子多項式系數(shù)和分母多項式系數(shù)分別為num和den。 sys = tf(num,den,Dt) 創(chuàng)建一個z降冪離散傳遞函數(shù)sys，Dt是采樣時間，行矢量num和den同上。 sys = tf(sys) 把一個任意的lti模型sys轉(zhuǎn)換成多項式傳遞函數(shù)，例如把零極點模型轉(zhuǎn)換成多項式傳遞函數(shù)。 sys = tf 創(chuàng)建一個空的tf對象。 sys = tf(m) 指定靜態(tài)增益m。2 創(chuàng)建零極點形式的傳遞函數(shù) sys = zpk(z,p,k) 創(chuàng)建一個零極點模型的連續(xù)傳遞函數(shù)s

18、ys，零極點矢量分別是z和p，增益是k。 sys = zpk(z,p,k,Dt) 創(chuàng)建一個零極點模型的離散傳遞函數(shù)sys，零極點矢量分別是z和p，增益是k，采樣時間是Dt。在零極點對象中，如果沒有零點，則z=。 sys = zpk 創(chuàng)建一個空的零極點對象。 sys = zpk(d) 指定靜態(tài)增益d。3 創(chuàng)建任意形式的傳遞函數(shù) s = tf('s') 指定多項式傳遞函數(shù)變量為s變量 z = tf('z',Dt) 指定多項式傳遞函數(shù)變量為z變量，Dt為采樣時間 形如的傳遞函數(shù)，既不能直接用tf函數(shù)建立，也不能直接用zpk函數(shù)建立。 定義了s=tf('s

19、9;)后，寫出賦值式f=10/(s*(0.25*s+1)*(0.05*s+1)，回車后即可得到多項式型傳遞函數(shù)，再令f1=zpk(f)，可得。 s = zpk('s') 指定零極點傳遞函數(shù)變量為s變量 z = zpk('z', Dt) 指定零極點傳遞函數(shù)變量為z變量，Dt為采樣時間 定義了s = zpk('s')，寫出賦值式f=10/(s*(0.25*s+1)*(0.05*s+1)，回車后即可得到零極點型傳遞函數(shù)。4 建立z-1降冪離散傳遞函數(shù) sys = filt(num,den,Dt) 返回z-1降冪離散傳遞函數(shù)，num和den分別是分子和分

20、母多項式系數(shù)，Dt是采樣時間。 sys = filt(m) 返回增益離散傳遞函數(shù)。5 連續(xù)函數(shù)離散化 sysd = c2d(sysc,t,method)把連續(xù)傳遞函數(shù)sysc轉(zhuǎn)換成采樣時間為Dt的離散傳遞函數(shù)，字符串method為離散化方法： 'zoh'(零階保持，即階躍響應(yīng)不變)，'foh'(一階保持)，'imp'(沖擊響應(yīng)不變,v6以上版本)，'tustin' (雙線性近似)，'prewarp'(帶預(yù)畸變的雙線性近似)，'matched'(零極點匹配)。 注： 缺省的方法是'zoh

21、9; 'foh'的算法是而不是，這一點可以通過驗證證實，驗證方法是，令，但此結(jié)果中，的分子和分母將含有公因式，所以應(yīng)進一步用zpk函數(shù)把表示成零極點形式，然后用“手工”的方法寫出不含公因式的來，可以看到，最后的結(jié)果與用foh方法得到的結(jié)果完全一致。 當(dāng)使用'prewarp'方法時，臨界頻率wc(in rad/sec)作為第四個輸入來指定，如sysd = c2d(sysc,t,'prewarp',wc) 。另有1種形式是，opt = c2dOptions('Method','tustin','PrewarpF

22、requency',.5), c2d(ds,.05,opt)。6 取多項式模型傳遞函數(shù)的分子和分母的系數(shù)矢量 num,den = tfdata(sys,'v') 對于siso模型sys返回作為分子和分母系數(shù)的單行矩陣num和den。 num,den,t = tfdata(sys,'v') 同上，同時返回采樣時間Dt。7 取零極點模型傳遞函數(shù)的零點和極點的單行矩陣 z,p,k = zpkdata(sys,'v') 返回lti模型sys的零極點矢量z和p，增益k。8 取e-T s近似式 num,den = pade(t,n) 返回e-T

23、83;s的n階pade近似式，行矢量num和den是s的降冪多項式系數(shù)。 e-Ts的一階有理表達式是 。 e-T·s的高階有理表達式是 9 畫階躍響應(yīng)圖 step(sys) 畫出由tf，zpk，or ss等函數(shù)創(chuàng)建的lti模型sys的階躍響應(yīng)圖。 step(sys,tfinal) 畫出lti模型sys從t=0到t=tfinal的階躍響應(yīng)圖。對于未指定采樣時間的離散模型，tfinal被解釋為采樣的數(shù)目。 step(sys,t) 使用用戶提供的矢量t畫階躍響應(yīng)圖。對于離散時間模型，t的形式應(yīng)該是ti: Dt:tf，在這里，Dt是采樣時間。對于連續(xù)時間模型，t的形式應(yīng)該是ti:dt:tf，

24、在這里，dt變成對于連續(xù)系統(tǒng)的近似離散化的采樣時間。Ti是開始時間，tf是終止時間。因為階躍輸入總是假定在t=0開始，所以通常不考慮ti和tf，即只使用一個終止時間t。 step(sys1,sys2,.,t) 在一個單個的圖上畫出多個lti模型sys1，sys2，. 的階躍響應(yīng)圖，時間矢量t是可選擇，還可以以step(sys1,¢r¢,sys2,¢y¢,sys3,¢gx¢)的方式對每一個系統(tǒng)指定顏色，線型和標(biāo)記。 y,t = step(sys) 返回用于仿真的時間t的輸出響應(yīng)y，但并沒有圖形畫在屏幕上，如果sys有ny輸出和nu輸入和

25、lt = length(t)，y就是一個尺寸為lt ny nu的陣列，而y(:,:,j)給出第j個輸入通道的階躍響應(yīng)。10 畫脈沖響應(yīng)圖 impulse 脈沖響應(yīng)函數(shù)，用法與step相同11 畫頻率響應(yīng)圖-伯德圖(連續(xù)或離散) bode(sys) 畫伯德圖 bode(sys,wmin,wmax) 在頻率wmin，wmax(in radians/second)之間畫伯德圖 bode(sys,w) 按指定的頻率矢量w(in radians/second)畫伯德圖 bode(sys1,sys2,.) 畫多個lti模型sys1，sys2，.的伯德圖 bode(sys1,sys2,.,w) 按指定的頻率

26、矢量w(in radians/second)畫多個lti模型sys1，sys2，.的伯德圖以下函數(shù)在符號工具箱symbolick中，需注意，在使用這些函數(shù)前，要對所使用的變量進行符號說明，例如：syms a t %是用空格分隔而不是用逗號分隔a=sin(t)L=laplace(a)12 福里哀變換fourier 反福里哀變換ifourier13 拉普拉斯變換laplace 反拉普拉斯變換ilaplace14 z變換ztrans 反z變換iztrans注：以上3 種變換必須是符號表達式，例如： syms t laplace(sin(t)15 改善公式的可讀性pretty16 多項式轉(zhuǎn)換為符號表達

27、式poly2sym17 化簡符號表達式simplify18 取符號表達式的分子和分母numden以下函數(shù)在符號工具箱polyfun中，在公式變換中可能會用到19 部分分式展開an ad ak = residue(n,d) n和d分別為原分式的分子和分母矢量，an和ad分別為分項式的分子和分母矢量，ak為整式部分。這是一個數(shù)學(xué)公式，在數(shù)字控制器程序設(shè)計中，利用部分分式展開的方法，把高于2階的分式變換為不高于2階的分式之和，從而把高階傳遞函數(shù)算法變?yōu)榈碗A傳遞函數(shù)并聯(lián)的算法。在使用這個方法時，不論在分子矢量中還是在分母矢量中，如果有共軛復(fù)數(shù)出現(xiàn)，則應(yīng)將其整合為2階質(zhì)因式。20 多項式乘法c = co

28、nv(a,b) a×b=c21 多項式除法q,r = deconv(b,a) b÷a=q.r，即b = conv(a,q) + r第二章 離散化算法 連續(xù)傳遞函數(shù)離散化的核心環(huán)節(jié)，就是將控制器的s傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為z傳遞函數(shù)。離散化后，系統(tǒng)應(yīng)該仍有好的穩(wěn)定性，好的控制精度，而不是要求轉(zhuǎn)換前后，兩個數(shù)學(xué)公式等值。因此，離散化方法有多種。本章對這些方法的轉(zhuǎn)換原理和由來進行了演繹。 離散化后得到的離散傳遞函數(shù)的穩(wěn)定性，沒有進行討論，僅列了一張表進行比較。離散的結(jié)果，雖然可能會控制精度降低，應(yīng)該認為，這不是主要問題。真正影響控制精度的因素，主要還是采樣周期的長短。 一般情況下，由連續(xù)到

29、離散的設(shè)計最好多實驗幾種方法（通過仿真，得出滿意的結(jié)果）。因為匹配零、極點映射法、雙線性變換法都能得出比較滿意的結(jié)果，初步設(shè)計時，可以試用這些方法。 而其實，后向差分近似法也是合理的選擇。但MATLAB的c2d函數(shù)中沒有這一方法，在該方法的介紹之后，給出了一個可由MATLAB引用的m文件函數(shù)。摘要 3種保持器法 保持器法即將s函數(shù)串聯(lián)上一個保持器后取z變換，也可以從“對輸入信號的響應(yīng)不變”的角度導(dǎo)出。無保持器法（階躍響應(yīng)不變）imp 零階保持器法（階躍響應(yīng)不變）zoh 一階保持器法（斜坡輸入不變）foh（一階保持器）MATLAB中無此方法 4種近似法 近似法將s與z的無理關(guān)系近似地化為有理關(guān)系

30、，主要應(yīng)用于傳遞函數(shù)從連續(xù)到離散的變換。 后向差分近似法MATLAB的C2D函數(shù)中沒有這個方法 前向差分近似法MATLAB的C2D函數(shù)中沒有這個方法 雙線性近似法tustin 預(yù)畸雙線性近似法 ，w1為進行預(yù)畸變的頻率prevarp 增益匹配： 或 1種匹配法 匹配法完全從控制學(xué)的角度看問題，也是應(yīng)用于傳遞函數(shù)從連續(xù)到離散的變換。 零極點匹配法 若，matched 則， 或者， 確定增益kz： a 令， b 若D(s)分子有s因子，例如， 可以令 ，也可以令 比較離散化方法變換公式映射關(guān)系特點沖擊響應(yīng)不變法Z變換法 imp脈沖響應(yīng)采樣值相同；容易產(chǎn)生頻率混迭現(xiàn)象，為采樣角頻率。階躍響應(yīng)不變法零

31、階保持器法 zoh階躍響應(yīng)采樣值相同；穩(wěn)定增益不變。斜坡響應(yīng)不變法一階保持器法 foh向前差分法D(s)穩(wěn)定，D(z)可能不穩(wěn)定；等效精度差。向后差分法變換計算簡單；如果D(s)穩(wěn)定，D(z)穩(wěn)定；離散濾波器的過程特性及頻率特性有一定的失真，需要較小的采樣周期T。雙線性變換法 tustinD(s)穩(wěn)定，D(z)也穩(wěn)定；低頻特失真，但無頻率混迭現(xiàn)象。穩(wěn)定增益不變；具有串聯(lián)特性。預(yù)修正雙線性變換法 prevarp有前一種變換的特點;還能保證在關(guān)鍵頻率1處，幅頻特性不變。零極點匹配法 matchedZ域與s域零極點位置一一對應(yīng)；當(dāng)沒有零點時，補充z=1的零點可避免頻率混迭現(xiàn)象。第一節(jié) 沖擊響應(yīng)不變法

32、(imp，無保持器直接z變換法) 公式推導(dǎo)1 無保持器，直接轉(zhuǎn)換：公式推導(dǎo)2 按沖擊響應(yīng)不變的原則： （沖擊響應(yīng)不變，中的1表示）第二節(jié) 階躍響應(yīng)不變法(zoh，零階保持器z變換法) ，式中T為采樣周期，所以 公式推導(dǎo)1 按串聯(lián)零階保持器的原則： 因為零階保持器的s傳遞函數(shù)為，故公式推導(dǎo)2 按階躍響應(yīng)不變的原則： 設(shè)階躍信號，則，按照下一節(jié)對斜坡響應(yīng)不變法的推導(dǎo)，立即可以寫出第三節(jié) 斜坡響應(yīng)不變法(foh，一階保持器z變換法) ，按斜坡響應(yīng)不變原則導(dǎo)出，也可按一階保持器原則配合e-Ts的臺勞近似式得出，foh方法使用此式 ，從一階保持器的思路推出 以上2個公式中T為采樣周期，兩式差異請參看“附

33、錄 兩種一階離散化方法的結(jié)果的比較”。公式推導(dǎo)1 按斜坡響應(yīng)不變的原則： 設(shè)連續(xù)濾波器為D(s)，輸入為斜坡函數(shù)e(t)=t，則，采樣輸出為us(kT)。按z變換的定義，us(kT)的變換就是的z變換，故。 又設(shè)離散濾波器的傳遞函數(shù)為D(z)，它的輸出為uz(KT)，按斜坡響應(yīng)不變的要求，應(yīng)有uz(kT)=us(kT)，故，但離散濾波器的輸出為U(z)=E(z)D(z)，而斜坡函數(shù)e(t)=t的z變換為，求Uz(z) 與E(z)的比值，得斜坡響應(yīng)不變法離散公式 。公式推導(dǎo)2 按串聯(lián)一階保持器的原則： 一階保持器的傳遞函數(shù)為，則一階保持器法離散公式為，故 。 根據(jù)臺勞近似式，用取代中的Ts+1，

34、則得到。 顯然，反過來也可以將近似為。 由此可以認為，“斜坡響應(yīng)不變公式”和“串聯(lián)一階保持器公式”互為近似式。經(jīng)驗證，MATLAB的C2D函數(shù)中foh方法使用的就是“斜坡響應(yīng)不變法公式”。 使用臺勞近似式的條件是，T很小，時間單位也很小。第四節(jié) 后向差分代換法(backward difference) 公式推導(dǎo)1 近似微分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，則，取反變換得， 將中的微分用后向差分代替，得， 對上式取z變換，得 ， 整理后得離散傳遞函數(shù) ， 比較和，知 。公式推導(dǎo)2 近似積分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，則，反變換得 ，進行近似積分，而且把輸出看作由兩部分組成，一部分是前一個時刻面積的累加值，一部分是本次

35、的面積值。如果認為本次的面積是本次采樣值與采樣周期的乘積，則 式(B) 取z變換，得 合并同類項，得離散傳遞函數(shù) 比較和，知 。 所以，后向差分法就是積分法，并且以當(dāng)前采樣值為計算依據(jù)，所以可以稱為本次采樣積分，式(B)的圖形見下頁。公式推導(dǎo)3有理化z與s的關(guān)系： ，由此式求得。% 差分近似法 function y=c2d1(ds,t0,str)% 函數(shù) c2d1 補充MATLAB控制類函數(shù) c2d 之不足,可以將連續(xù)傳遞函數(shù)以向前差分法和向后差分法變換為離散傳遞函數(shù)% 因為雙線性變換法與向前差分法和向后差分法同屬近似法,所以 c2d1 函數(shù)也包括了雙線性變換法% 輸出參數(shù) y ： LTI模型

36、,離散傳遞函數(shù)% 輸入?yún)?shù) ds ： LTI模型,連續(xù)傳遞函數(shù)% t0 ： 數(shù)值,采樣時間% str ： 字符串,變換方法 backdiff=向后差分 fordiff=向前差分 tustin=雙線性syms z;% -檢查采樣時間Ts是否大于0if t0<=0 error('Ts<0 or Ts=0 unallowed');end% -根據(jù)輸入的"方法",確定代入公式if strcmp(str,'backdiff') s=(z-1)/(t0*z); string='coefficient of result of back

37、ward difference:' string1='zero-pole of result of backward difference:'elseif strcmp(str,'fordiff') s=(z-1)/t0; string='coefficient of result of forward difference:' string1='zero-pole of result of forward difference:'elseif strcmp(str,'tustin') s=(2/t0)*(

38、z-1)/(z+1); string='coefficient of result of double linear:' string1='zero-pole of result of double linear:'else disp(' '); error('please chek method parameter');end% -%以下將模型的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為符號表達式,以便s=f(z)代入到ds中num,den=tfdata(ds,'v'); %取模型連續(xù)傳遞函數(shù)的分子和分母(多項式)nums=poly2sym

39、(num,'s');%將多項式轉(zhuǎn)換為符號dens=poly2sym(den,'s');tran=nums/dens; %生成一個符號分式m=compose(tran,s); %代入m=simplify(m); %化簡n d=numden(m); %取符號表達式的分子和分母n=sym2poly(n); %取符號表達式的分子多項式系數(shù)，按降冪排列d=sym2poly(d); %取符號表達式的分母多項式系數(shù)，按降冪排列% -%以下顯示分子和分母的系數(shù),是輔助性的disp(string)n=n/d(1); %使分母的最高項的系數(shù)為1d=d/d(1);n_str=num2

40、str(n);d_str=num2str(d);n_disp=strcat('fn = ',n_str);d_disp=strcat('fd = ',d_str);disp(n_disp);disp(d_disp);% -%以下生成離散傳遞函數(shù)y=tf(n,d,t0);% -%以下求出離散傳遞函數(shù)的零點和極點disp(string1);z p k=zpkdata(y,'v')% -%以下畫出連續(xù)傳遞函數(shù)和離散傳遞函數(shù)的伯德圖bode(ds,'r',y,'g');zpk(z,p,k,t0)% 程序結(jié)束第五節(jié) 前向差分

41、代換法(forward difference) 公式推導(dǎo)1 近似微分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，則，反變換得 ， 將中的微分用前向差分代替，得 。 將所有的采樣值提前一個周期，得 ， 。 取z變換，得 ， 故 。 整理后得離散傳遞函數(shù) 。 比較和，知 。 也可以不進行時間位移，直接從 進行z變換，同樣可得 ， 。 。公式推導(dǎo)2 近似積分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，則，它的積分表達式是，進行近似積分，而且把輸出看作由兩部分組成，一部分是前一個時刻面積的累加值，一部分是本次的面積值。如果認為本次的面積是前次采樣值與與采樣周期的乘積，則 (式B)， 取z變換，得 ， 合并同類項，得離散傳遞函數(shù) 。 比較和，得 所以

42、，前向差分法就是積分法，并且以前一次采樣值為計算依據(jù)，所以可以稱為前次采樣積分，式(B)的圖形是公式推導(dǎo)3 有理化z與s的關(guān)系： ，由此式求得。第六節(jié) 雙線性近似法(tustin) 公式推導(dǎo)1 近似微分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，則，它的微分表達式是。 將用后向差分代替，用前采樣值與本次采樣值的平均值代替，得， 對上式取z變換 ， 即 ， 故 ， 比較和，得 。公式推導(dǎo)2 近似積分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，它的積分表達式是，進行近似積分，而且把輸出看作由兩部分組成，一部分是前一個時刻面積的累加值，一部分是本次的面積值。如果認為本次面積是前次采樣值與本次采樣值，兩次采樣值的平均值平均值與采樣周期的乘積，則 (

43、式B), 取z變換，得 , 合并同類項，得 。 比較和，得 。 所以，雙線性近似法也是積分法，與差分法不同的是它是梯形積分，式(B)的圖形是：公式推導(dǎo)3 有理化z與s的關(guān)系： ，由此式求得。公式推導(dǎo)4 使用的臺勞級數(shù)： 由，得 故。公式推導(dǎo)5 使用th s壓縮s平面： 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的。為了克服這一缺點，設(shè)想通過兩個步驟建立S平面與Z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系。雙線性變換的映射關(guān)系 第一步 將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里 考察雙曲正切變換，當(dāng)由時，w由，也就是說將s平面的w軸壓縮到平面軸上的一段上。將這一關(guān)系推

44、廣到整個s平面，則得到s平面到平面的映射關(guān)系，系數(shù)的來源是，當(dāng)時，可得。 第二步 通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去 令，得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系， 或者 驗證： 變換的單值性：當(dāng)時，代入，即S的虛軸映射到Z平面正好是單位圓。 S平面 Z平面 S1平面 變換的穩(wěn)定性： 代入z表達式，得 和。當(dāng)時，|z|<1即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此，穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。第七節(jié) 預(yù)畸雙線性法(prevarp) 第一步：求預(yù)修正頻率 ，w1為預(yù)防畸變的頻率， 為修正后的頻率。 第二步：預(yù)畸變 。 第三步：變換 。 綜

45、合以上3步： ，w1為預(yù)防畸變的頻率 。 變換后，穩(wěn)態(tài)增益將變化，需以或的原則進行增益匹配。 舉例： 若 ， 則 若 ， 則第八節(jié) 零極點匹配法(matched) D(S) è D(Z) 若 ， 則 。 分子上因子(Z+1)n-m的作用是：把處的零點投射到來單位園上，使D(Z)的分母和分子的階數(shù)就相同。（如果不加這個因子，D(Z)脈沖響應(yīng)會產(chǎn)生n-m個采樣時間的延遲，對系統(tǒng)造成不利影響?）。 或者 。 后一個公式比前一個公式少一個零點，MATLAB函數(shù)c2d的matched方法是按后一個公式進行變換的（但脈沖響應(yīng)具有一個采樣時間的延遲?）。 確定D(z)的增益kz的方法： a 令與的

46、穩(wěn)態(tài)增益相等求得，即令， b 若D(s)分子有s因子，例如，可依高頻段增益相等原則確定增益,即，也可選擇某關(guān)鍵頻率處的幅頻相等，即。 對零極點匹配法做的描述，可以使用符號數(shù)學(xué)編寫m文件程序，“手工式”地進行驗證。下面的程序以連續(xù)傳遞函數(shù)為例，運行此程序后，可以看到，文中描述的方法與c2d函數(shù)的mtched方法是一致的，也說明文本中沒有排版錯誤，這樣應(yīng)該更有于助理解和使用零極點匹配法。%程序開始syms s z kz t %預(yù)置采樣周期tt=0.7 %預(yù)置采樣周期s1=1 %建立ds的分子s2=vpa(s3+1.8*s2+1.8*s+1) %建立ds的分母s2r=solve(s2) %求ds的極點z1=(z+1)2 %建立dz分子的零點表達式,不包含增益z1=vpa(expand(z1),5) %展開dz分子的零點表達式為多項式表達式,不包含增益z2=(z-exp(t*s2r(1)*(z-exp(t*s2r(2)*(z-exp(t*s2r(3) %建立dz分母的極點表達式z2=vpa(subs(z2,'t',tt),5) %將dz分母中周期t用預(yù)置的值tt代替，不改變極點表達式形式z2=vpa(expand(z2),5)