線性代數(shù)試卷試題及答案

1、 線性代數(shù)A 試題（A 卷）試卷類別：閉卷 考試時間：120分鐘考試科目：線性代數(shù) 考試時間： 學號： 姓名： 題號一二三四五六 七總 分得分閱卷人一 單項選擇題（每小題3分，共30分）1設經過初等行變換變?yōu)?，則（ B ）.(下面的分別表示矩陣的秩)。； ； ； 無法判定與之間的關系。2設為階方陣且，則（ C ）。 中有一行元素全為零； 有兩行（列）元素對應成比例；中必有一行為其余行的線性組合； 的任一行為其余行的線性組合。3. 設是階矩陣(), ,則下列結論一定正確的是: ( D )4下列不是維向量組線性無關的充分必要條件是（ A ）存在一組不全為零的數(shù)使得；不存在一組不全為零的數(shù)使得的秩等

2、于；中任意一個向量都不能用其余向量線性表示5設階矩陣，若矩陣的秩為，則必為（ ）。1； ； ； .6四階行列式的值等于（ ）。； ； .7設為四階矩陣且，則的伴隨矩陣的行列式為（ C ）。； ； ； 8設為階矩陣滿足，為階單位矩陣,則（ C）； ； ； 9設，是兩個相似的矩陣，則下列結論不正確的是（ C ）。與的秩相同； 與的特征值相同；與的特征矩陣相同； 與的行列式相同；10設為階矩陣,則以為特征值是的（ D）。充分非必要條件； 必要非充分條件；既非充分又非必要條件； 充分必要條件； 二填空題（每小題3分，共18分）1計算行列式。2. _。3二次型對應的對稱矩陣為 。4已知，是歐氏空間的一組

3、標準正交基，則向量在這組基下的坐標為 。5已知矩陣的特征值為則_。6設均為3維列向量，記矩陣，。如果，則 。三(8分) , 求。四（10分）設向量組，。試求它的秩及一個極大無關組，并把其余向量用該極大無關組線性表示。五（12分）討論線性方程組解的情況，并在有無窮多解時求其解。六（14分）設，（1）、求出的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩陣，使得為對角矩陣。七（8分）對任意的矩陣,證明：(1) 為對稱矩陣, 為反對稱矩陣；(2) 可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。線性代數(shù)A參考答案（A卷）一、單項選擇題（每小題3分，共30分）12345678910BCDABDCCCD二、填空題（每

4、小題3分，共18分）1、 256； 2、 ； 3、；4、 ； 5、 4； 6、 2 。三 解：因為矩陣A的行列式不為零,則A可逆,因此.為了求,可利用下列初等行變換的方法：（6分）所以.（8分）四解：對向量組作如下的初等行變換可得：（5分）從而的一個極大線性無關組為，故秩2（8分）且，（10分）五解：對方程組的增廣矩陣進行如下初等行變換：(1) 當即系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3,此時方程組有唯一解.（5分）(2) 當系數(shù)矩陣的秩為1,增廣矩陣的秩為2,此時方程組無解.（6分）(3) 當此時方程組有無窮多組解.方程組的增廣矩陣進行初等行變換可化為故原方程組與下列方程組同解: 令可得上述非齊次線性方程組的一個特解;它對應的齊次線性方程組的基礎解系含有一個元素,令可得為該齊次線性方程組的一個解,它構成該齊次線性方程組的基礎解系.此時原方程組的通解為（12分）六解：（1）由于的特征多項式故的特征值為（二重特征值），。（3分）當時，由，即：得基礎解系為，故屬于特征值的所有特征向量為, 不全為零的任意常數(shù)。（6分）當時，由，即：得基礎解系為，故屬于特征值的所有特征向量為, 為非零的任意常數(shù)。-(8分)(2)將正交化可得：。再將其單位化得：將單位化得：。（12分）則是的一組單位正交的特征向量，令則是一個正交矩陣，且。（14分）七證明：(1) 因為, 因此為對稱矩陣。（2分）同理,因為,因此