線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性

1、第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 1第三章第三章 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性 本章主要介紹定性分析方法，即對(duì)決定系統(tǒng)運(yùn)本章主要介紹定性分析方法，即對(duì)決定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有重要意義的關(guān)鍵性質(zhì)（如動(dòng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有重要意義的關(guān)鍵性質(zhì)（如可控性、可觀測(cè)性、穩(wěn)定性等）進(jìn)行定性研究?？煽匦?、可觀測(cè)性、穩(wěn)定性等）進(jìn)行定性研究。 在線性系統(tǒng)的定性分析中，一個(gè)很重要的內(nèi)容在線性系統(tǒng)的定性分析中，一個(gè)很重要的內(nèi)容是關(guān)于系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性分析。是關(guān)于系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性分析。系統(tǒng)的可控、系統(tǒng)的可控、可觀測(cè)性是由卡爾曼于可觀測(cè)性是由卡爾曼于60年代首先提出的，事后被年

2、代首先提出的，事后被證明這是系統(tǒng)的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)屬性。證明這是系統(tǒng)的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)屬性。 本章首先給出可控性、可觀測(cè)性的嚴(yán)格的數(shù)本章首先給出可控性、可觀測(cè)性的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，然后導(dǎo)出判別線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)學(xué)定義，然后導(dǎo)出判別線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性的各種準(zhǔn)則，這些判別準(zhǔn)則無論在理論分析中還性的各種準(zhǔn)則，這些判別準(zhǔn)則無論在理論分析中還是在實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的。是在實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 23.1 可控性和可觀測(cè)性的定義可控性和可觀測(cè)性的定義 3.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)（）3.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)（線性定

3、常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)（）3.4 對(duì)偶原理對(duì)偶原理第三章第三章 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 3 p如果系統(tǒng)內(nèi)部的所有狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來影響如果系統(tǒng)內(nèi)部的所有狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來影響和控制而由任意的初始狀態(tài)達(dá)到原點(diǎn)，則稱和控制而由任意的初始狀態(tài)達(dá)到原點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是可系統(tǒng)是可控的控的，或者更確切的說是，或者更確切的說是狀態(tài)可控的狀態(tài)可控的，否則就稱系統(tǒng)，否則就稱系統(tǒng)為為不完全可控的，或簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)不可控不完全可控的，或簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)不可控。p如果系統(tǒng)內(nèi)部所有狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可如果系統(tǒng)內(nèi)部所有狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完

4、全反映，則稱系統(tǒng)是由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測(cè)的狀態(tài)可觀測(cè)的，否則就，否則就稱系統(tǒng)為稱系統(tǒng)為不完全可觀測(cè)的，或簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)不可觀測(cè)不完全可觀測(cè)的，或簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)不可觀測(cè)。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 4例例3-1：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為1122401052xxuxx 1206xyx結(jié)構(gòu)圖表明：通過控制量結(jié)構(gòu)圖表明：通過控制量u可以控制狀態(tài)可以控制狀態(tài)x1和和x2，所，所以系統(tǒng)完全能控；但輸出以系統(tǒng)完全能控；但輸出y只能反映狀態(tài)變量只能反映狀態(tài)變量x2，不，不能反映狀態(tài)變量能反映狀態(tài)變量x1，所以系統(tǒng)不完全能觀測(cè)。，所以系統(tǒng)不完全能觀測(cè)。圖圖3-1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

5、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 5考慮考慮n維線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程維線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程00( )( )( )txA t xB t ux txtT如果對(duì)取定初始時(shí)刻如果對(duì)取定初始時(shí)刻 的一個(gè)的一個(gè)非零初始狀態(tài)非零初始狀態(tài)x(t0) =x0，存在一個(gè)時(shí)刻，存在一個(gè)時(shí)刻 和一個(gè)和一個(gè)無約無約束的容許控制束的容許控制u(t)， ，使?fàn)顟B(tài)由，使?fàn)顟B(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移到移到t1時(shí)的時(shí)的x(t1)=0 ，則稱此，則稱此x0是在時(shí)刻是在時(shí)刻t0可控的可控的.tTt 0011,ttTtt,10ttt 第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 6如果狀態(tài)空間中的如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)所有

6、非零狀態(tài)都是在都是在t0（ ）時(shí)刻可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻）時(shí)刻可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0是是完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)在時(shí)刻完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0可控。若系可控。若系統(tǒng)在所有時(shí)刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致統(tǒng)在所有時(shí)刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的?？煽氐摹？紤]考慮n維線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程維線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程00( )( )( )txA t xB t ux txtTtTt 0第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 7 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)取定初始時(shí)刻取定初始時(shí)刻 ，如果狀態(tài)空間中，如果狀態(tài)空間中存在一存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻t0是不可控的是不可控的，則

7、稱，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻系統(tǒng)在時(shí)刻t0是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。不可控的。 00( )( )( )txA t xB t ux txtTtTt 0第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 8 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)若存在能將狀態(tài)若存在能將狀態(tài)x(t0)=0轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到x(tf)=xf的控制作用，的控制作用，則稱狀態(tài)則稱狀態(tài)xf是是t0時(shí)刻可達(dá)的。若時(shí)刻可達(dá)的。若xf對(duì)所有時(shí)刻都是對(duì)所有時(shí)刻都是可達(dá)的，則稱狀態(tài)可達(dá)的，則稱狀態(tài)xf為完全可達(dá)到或一致可達(dá)。為完全可達(dá)到或一致可達(dá)。若系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)空間中的每一個(gè)狀態(tài)都是時(shí)刻若系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)空間中的每一個(gè)狀態(tài)都是時(shí)刻t0

8、可可達(dá)的，則稱該系統(tǒng)是達(dá)的，則稱該系統(tǒng)是t0時(shí)刻完全可達(dá)的，或簡(jiǎn)稱系時(shí)刻完全可達(dá)的，或簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是統(tǒng)是t0時(shí)刻可達(dá)的。時(shí)刻可達(dá)的。 00( )( )( )txA t xB t ux txtT第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 91系統(tǒng)完全可觀測(cè)系統(tǒng)完全可觀測(cè) 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)如果取定初始時(shí)刻如果取定初始時(shí)刻 ，存在一個(gè)有限時(shí)刻，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ,對(duì)于所有對(duì)于所有 ，系統(tǒng)的輸出，系統(tǒng)的輸出y(t)能唯一確定狀態(tài)向量能唯一確定狀態(tài)向量的初值的初值x(t0)，則稱系統(tǒng)在，則稱系統(tǒng)在t0, t1內(nèi)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱內(nèi)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)。如果對(duì)于一切可觀測(cè)。如果對(duì)于一切t1t0

9、系統(tǒng)都是可觀測(cè)的，則稱系系統(tǒng)都是可觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)在統(tǒng)在t0, )內(nèi)是完全可觀測(cè)的。內(nèi)是完全可觀測(cè)的。0ttT110,ttT tt01,tt t000( ) ,( ),( )txA t xx txt tTyC t x第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 102系統(tǒng)不可觀測(cè)系統(tǒng)不可觀測(cè) 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)如果取定初始時(shí)刻如果取定初始時(shí)刻 ，存在一個(gè)有限時(shí)刻，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ,對(duì)于所有對(duì)于所有 ，系統(tǒng)的輸出，系統(tǒng)的輸出y(t)不能唯一確定所有狀不能唯一確定所有狀態(tài)的初值態(tài)的初值xi(t0)，i=0,1,n，即，即至少有一個(gè)狀態(tài)的初值不至少有一個(gè)狀態(tài)的初值不能被能被y(t)確定確定，則

10、稱系統(tǒng)在，則稱系統(tǒng)在t0, t1內(nèi)是不完全可觀測(cè)的，內(nèi)是不完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱不可觀測(cè)。簡(jiǎn)稱不可觀測(cè)。 0ttT110,ttT tt01,tt t000,( ) ,( )( )txA t xx txt tTyC t x第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 11線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要條件是：存在一個(gè)有限時(shí)完全可控的充分必要條件是：存在一個(gè)有限時(shí)刻刻t10，使如下定義的格拉姆矩陣：，使如下定義的格拉姆矩陣：為非奇異。為非奇異。注意：注意：在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)需計(jì)算在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)需計(jì)算eAt，這在，這在A的維數(shù)較的維數(shù)較高時(shí)并非易

11、事，所以高時(shí)并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中此判據(jù)主要用于理論分析中。 101, 0ttATAtdteBBetWT第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 12證：充分性證：充分性：已知：已知W(0, t1)為非奇異，欲證系統(tǒng)為完為非奇異，欲證系統(tǒng)為完全可控，全可控，采用構(gòu)造法來證明采用構(gòu)造法來證明。對(duì)任一非零初始狀態(tài)。對(duì)任一非零初始狀態(tài)x0可構(gòu)造控制可構(gòu)造控制u(t)為：為： 1101( )(0, ),0,TTA tu tB eWt xtt 則則u(t)作用下系統(tǒng)狀態(tài)作用下系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在在t1時(shí)刻的結(jié)果時(shí)刻的結(jié)果:1111111111()1001010010110000( )( )(0,

12、 )(0, )(0, )0TtAtA tttAtAtAtTA tAtAtAtAtnx texeBu t dtexeeBB edtWt xexe Wt Wt xexexxR這表明：對(duì)任一取定的初始狀態(tài)這表明：對(duì)任一取定的初始狀態(tài)x00 ，都存在有限，都存在有限時(shí)刻時(shí)刻t10和控制和控制u(t)，使?fàn)顟B(tài)由，使?fàn)顟B(tài)由x0轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到t1時(shí)刻的狀態(tài)時(shí)刻的狀態(tài)x(t1)=0 ，根據(jù)定義可知系統(tǒng)為完全可控。，根據(jù)定義可知系統(tǒng)為完全可控。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 13必要性必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證：已知系統(tǒng)完全可控，欲證W(0, t1) 非奇異。非奇異。反反設(shè)設(shè)W(0, t1)為奇異為奇異，

13、即存在某個(gè)非零向量，即存在某個(gè)非零向量 ，使，使0nxR010(0, )0Tx Wt x 1110100000002000(0, )TTTTtTTAtTA tTtTA tTA ttTA tx Wt xx eBB ex dtB exB exdtB exdt 其中其中|為范數(shù)，故其必為非負(fù)。欲使上式成立，必有為范數(shù)，故其必為非負(fù)。欲使上式成立，必有010,0, TTA tB extt 第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 14因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對(duì)此非零向量因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對(duì)此非零向量 應(yīng)有應(yīng)有 0 x111100( )( )0tAtAtAtx texeeBu t dt100( )tAt

14、xeBu t dt 1120000000( )( )TTttTAtTTA txx xeBu t dtxut B ex dt 020000 xx即此結(jié)果與假設(shè)此結(jié)果與假設(shè) 相矛盾，即相矛盾，即W(0, t1)為奇異的反設(shè)不成為奇異的反設(shè)不成立。因此，若系統(tǒng)完全可控，立。因此，若系統(tǒng)完全可控， W(0, t1)必為非奇異。必為非奇異。 00 x 第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 151）凱萊）凱萊-哈密爾頓定理：哈密爾頓定理：設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為1110( ) | I|nnnssAsss則矩陣則矩陣A滿足其特征方程，即滿足其特征方程，即1110( )I0nnnAAAA

15、2）推論推論1：矩陣矩陣A的的k (kn)次冪可表示為次冪可表示為A的的(n-1)階多階多項(xiàng)式項(xiàng)式10nkmmmAr Akn，注：注：此推論可用以簡(jiǎn)化矩陣冪的計(jì)算。此推論可用以簡(jiǎn)化矩陣冪的計(jì)算。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 163）推論）推論2：矩陣指數(shù)函數(shù)可表示為矩陣指數(shù)函數(shù)可表示為A的的(n-1)階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式10e( )nAtmmmt A例例3-4：已知：已知 ，計(jì)算，計(jì)算A100=?1201A解：解：A的特征多項(xiàng)式為：的特征多項(xiàng)式為：2( )det( I)21ssAss由凱萊由凱萊-哈密頓定理，得到哈密頓定理，得到2( )20AAAII22AA第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性

16、 1732222(2)32AAAAAAIAAI432323(2)243AAAAAAIAAI故故根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法有根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法有I) 1( kkAAk所以：所以： 100100200990100990100099AAI102001 第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 18線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要條件是完全可控的充分必要條件是 1nrank B ABABn 其中其中: n為矩陣為矩陣A的維數(shù)，的維數(shù)， 稱稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。為系統(tǒng)的可控性判別陣。1nSB ABAB注：注：秩判據(jù)是一種比較方便的判別方法。秩判據(jù)是一種比

17、較方便的判別方法。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 19證明：充分性：證明：充分性：已知已知rankS=n，欲證系統(tǒng)完全可控，欲證系統(tǒng)完全可控，采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全可控，則有：采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全可控，則有： 1110(0, ),0TtAtTA tWteBB edtt 為奇異，這意味著存在某個(gè)非零為奇異，這意味著存在某個(gè)非零n維常向量維常向量使使111000(0, )TtTTAtTA ttTTAtTAtWteBB edteBeBdt1,0,TAteBtt 0 將上式求導(dǎo)直到將上式求導(dǎo)直到(n-1)次，再在所得結(jié)果中令次，再在所得結(jié)果中令t=0，則，則可得到可得到:21,TTT

18、TnBABA BAB0000第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 2021,TTTTnBABA BAB000021TnTB AB A BABS 0 由于由于0，所以上式意味著，所以上式意味著S為行線性相關(guān)的，即為行線性相關(guān)的，即rankSn 。這顯然與已知。這顯然與已知rankS=n相矛盾。因而反相矛盾。因而反設(shè)不成立，系統(tǒng)應(yīng)為完全可控，充分性得證。設(shè)不成立，系統(tǒng)應(yīng)為完全可控，充分性得證。必要性：必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證已知系統(tǒng)完全可控，欲證rankS=n ，采用，采用反證法。反設(shè)反證法。反設(shè)rankSn ，這意味著，這意味著S為行線性相關(guān)，為行線性相關(guān)，因此必存在一個(gè)非零因此必存在一個(gè)非

19、零n維常向量維常向量 使使成立。成立。1TTnSB ABAB0 第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 211TTnSB ABAB0;0,1,1TiA Bin0 （由凱萊（由凱萊哈密爾頓定理）哈密爾頓定理）0,0,1,2,TiA Bi 10t1( 1)0;0,;0,1,2,!i iiAtBttii 第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 22110(0, )TtTAtTA tTeBB edtWt 因?yàn)橐阎驗(yàn)橐阎? ，若上式成立，則格拉姆矩陣，若上式成立，則格拉姆矩陣W(0, t1)為為奇異，即系統(tǒng)為不完全可控，和已知條件相矛盾，所奇異，即系統(tǒng)為不完全可控，和已知條件相矛盾，所以反設(shè)不成立。于是有以反

20、設(shè)不成立。于是有rankS=n ，必要性得證。，必要性得證。 2 23 322331112311230,TAtTTTTeBIAtA tA tBBABtA BtA Bttt ！0第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 23例例3-6：已知：已知判斷其能控性。判斷其能控性。401052xxu 2n 解：解：系統(tǒng)階次系統(tǒng)階次，確定出可控判別陣，確定出可控判別陣14210SBAB2rankSn，所以系統(tǒng)為完全可控。，所以系統(tǒng)為完全可控。 第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 24例例3-7：判斷下列系統(tǒng)的可控性：判斷下列系統(tǒng)的可控性11122233132210201101311xxuxxuxx解：解：213

21、254112244112244S矩陣矩陣S的第二行與第三行線性相關(guān)，的第二行與第三行線性相關(guān)，故故rankS =23，系統(tǒng)不可控。，系統(tǒng)不可控。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 25補(bǔ)充：可控性判別矩陣補(bǔ)充：可控性判別矩陣 ：npS線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt其中：其中：x為為n維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量；u為為p維輸入向量；維輸入向量；A和和B分別為分別為(nn) 和和(np)常陣。該線性定常連常陣。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件是：續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件是：n pn prankSrank BABABn其

22、中：其中： prankBpp，注：注：該方法是秩判據(jù)的改進(jìn)，特別適用于多輸入該方法是秩判據(jù)的改進(jìn)，特別適用于多輸入 系統(tǒng)，可減少不必要的計(jì)算。系統(tǒng)，可減少不必要的計(jì)算。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 26例例3-8：用可控性判別矩陣：用可控性判別矩陣 判別例判別例3-7所示系統(tǒng)所示系統(tǒng)的可控性。的可控性。 npS11122233132210201101311xxuxxuxx解：解：n=3, 系統(tǒng)輸入向量是系統(tǒng)輸入向量是2維的列向量，即維的列向量，即p = 2。2111211prankBrankp3 2213211221122S顯見矩陣顯見矩陣S3-2的第二行與第三行線性相關(guān)，的第二行與第三

23、行線性相關(guān)，故故 ，系統(tǒng)不可控。，系統(tǒng)不可控。23nprankS第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 27線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要條件是：對(duì)矩陣完全可控的充分必要條件是：對(duì)矩陣A的所有特的所有特征值征值 ， (1,2, )iin1,2,irankIABnin均成立，或等價(jià)地表示為均成立，或等價(jià)地表示為,rank sIABnsC 注：注：當(dāng)系統(tǒng)矩陣當(dāng)系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)較高時(shí)，應(yīng)用秩判據(jù)可能不的維數(shù)較高時(shí)，應(yīng)用秩判據(jù)可能不太方便，此時(shí)可考慮用太方便，此時(shí)可考慮用PBH判據(jù)試一下。判據(jù)試一下。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性

24、 28證明：證明： ，為多項(xiàng)式矩陣，為多項(xiàng)式矩陣，且對(duì)復(fù)數(shù)域上除且對(duì)復(fù)數(shù)域上除i以外的所有以外的所有s都有都有det(sI-A)0，即，即ranksI-A=n，進(jìn)而有，進(jìn)而有ranksI-A B=n，所以只要證明，所以只要證明 即可。即可。,rank sIABnsC 1,2,irankIABnin必要性：必要性：系統(tǒng)完全可控，欲證上式成立，采用反證法。系統(tǒng)完全可控，欲證上式成立，采用反證法。反設(shè)對(duì)某個(gè)反設(shè)對(duì)某個(gè)i 有有rankiI A B n，則意味著，則意味著 iIA B為為行線性相關(guān)。由此，必存在一個(gè)非零常向量行線性相關(guān)。由此，必存在一個(gè)非零常向量，使，使iTIAB 0 成立。考慮到問題的

25、一般性，由上式可得到：成立?？紤]到問題的一般性，由上式可得到：,0TTTiAB 第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 29進(jìn)而可得進(jìn)而可得:1,TTTTniBABBAB000 于是有于是有1TnTBABABS 0 因已知因已知0，所以欲使上式成立，必有，所以欲使上式成立，必有rankSn這意味著系統(tǒng)不完全可控，顯然與已知條件相矛盾。這意味著系統(tǒng)不完全可控，顯然與已知條件相矛盾。因此，反設(shè)不成立，即因此，反設(shè)不成立，即rankiI A B=n成立。成立。充分性：充分性：已知式已知式rankiI A B=n成立，欲證系統(tǒng)完成立，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法：利用和上述相反的思路，即可全可控。采用反證

26、法：利用和上述相反的思路，即可證得充分性。證得充分性。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 30例例3-9：已知線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為：已知線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為010001001010000101005020 xxu判斷系統(tǒng)的可控性。判斷系統(tǒng)的可控性。解：解：根據(jù)狀態(tài)方程可寫出根據(jù)狀態(tài)方程可寫出10001010100010100520sssIABss第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 31特征方程：特征方程： 010001001010rankrank000101005020010001001010rank4000101000030sIAB2det()(5)(5)0sIAsss解得解得A的特征值

27、為：的特征值為： 12340,5,5 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 120s第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 322）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 35s51010510rank=rank400010020sIAB3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 35s 51010510rank=rank400010020sIAB所以系統(tǒng)是完全可控的。所以系統(tǒng)是完全可控的。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 33線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要條件是：完全可控的充分必要條件是：A不能有與不能有與B的所有的所有列相正交的非零左特征向量。即對(duì)列相正交的非零左特征

28、向量。即對(duì)A的任一特征的任一特征值值i，使同時(shí)滿足，使同時(shí)滿足,TTTiAB 0 的特征向量的特征向量 。 0 注：注：一般的說，一般的說，PHB特征向量判據(jù)主要用于理論特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中分析中，特別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 34證明：必要性：證明：必要性：已知系統(tǒng)完全可控，反設(shè)存在一個(gè)向已知系統(tǒng)完全可控，反設(shè)存在一個(gè)向量量0，使式，使式 成立，則有成立，則有,TTTiAB 01,TTTTniBABBAB0001TnTBABABS 0由于由于0 ，所以上式意味著，所以上式意味著S為行線性相關(guān)的，為行線性相關(guān)的，即即r

29、ankSn，即系統(tǒng)為不完全可控。與已知條件相，即系統(tǒng)為不完全可控。與已知條件相矛盾，因而反設(shè)不成立，必要性得證。矛盾，因而反設(shè)不成立，必要性得證。充分性：充分性：對(duì)充分性的證明也用反證法，可按與以上對(duì)充分性的證明也用反證法，可按與以上相反的思路來進(jìn)行，具體推證過程略去。相反的思路來進(jìn)行，具體推證過程略去。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 35 當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣A的特征值的特征值 為兩兩相異時(shí)，為兩兩相異時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：其對(duì)角線規(guī)范型完全可控的充分必要條件是：其對(duì)角線規(guī)范型 12,n 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt12nxx

30、Bu中，中， 不包含元素全為零的不包含元素全為零的。B第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 36例例3-12：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為11122233800010103000202xxuxxuxx判斷系統(tǒng)的可控性。判斷系統(tǒng)的可控性。解：解：由于此規(guī)范型中由于此規(guī)范型中 不包含元素全為零的行，不包含元素全為零的行，故系統(tǒng)完全可控。故系統(tǒng)完全可控。B第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 37 當(dāng)系統(tǒng)矩陣當(dāng)系統(tǒng)矩陣A有重特征值時(shí)，線性定常連有重特征值時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當(dāng)完全可控的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型規(guī)

31、范型 中，中， 中與同一特征值的各中與同一特征值的各約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的各子塊的最后一行組成的矩陣是約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的各子塊的最后一行組成的矩陣是線性無關(guān)的。線性無關(guān)的。0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxtABxxuB第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 38例例3-13：已知約當(dāng)規(guī)范型系統(tǒng)如下：已知約當(dāng)規(guī)范型系統(tǒng)如下：2100000000020000010000200000400002000007000031000000000301100000003041xx+u試判斷其可控性。試判斷其可控性。解：解： ， ，均行線性無關(guān)，均行線性無關(guān)，所以：系統(tǒng)完全可控。所以：系統(tǒng)完全可控。1100

32、040007B2110041B第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 39例例3-14：證明如下系統(tǒng)總是完全可控的。：證明如下系統(tǒng)總是完全可控的。0110100101nxxuaaa 證明：證明：11001101nnaSarankSn，故完全可控。，故完全可控。 該題說明：可控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)完全可控。該題說明：可控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)完全可控。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 40 若在有限時(shí)間間隔若在有限時(shí)間間隔t0, t1內(nèi)，存在無約內(nèi)，存在無約束分段連續(xù)控制函數(shù)束分段連續(xù)控制函數(shù)u(t)， ，能使任，能使任意初始輸出意初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任意最終輸出轉(zhuǎn)移到任意最終輸出y(t1) ，則稱此系統(tǒng)是輸出完全

33、可控，簡(jiǎn)稱輸出可則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡(jiǎn)稱輸出可控?？亍?01,tt t第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 41設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：01(0),0,xAxBuxx ttyCxDu則輸出可控的充要條件是：輸出可控性矩陣則輸出可控的充要條件是：輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)的秩等于輸出變量的維數(shù)q，即，即10nSCBCABCABD0rankSq注意：注意：狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個(gè)不同的狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個(gè)不同的概念，二者沒有什么必然聯(lián)系。概念，二者沒有什么必然聯(lián)系。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 42判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性

34、和輸出可控性。判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。例例3-15：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為011121xxu10yx解：解：1）系統(tǒng)的狀態(tài)可控性矩陣為）系統(tǒng)的狀態(tài)可控性矩陣為1111SBABrank12S ，狀態(tài)不完全可控，狀態(tài)不完全可控 2）系統(tǒng)的輸出可控性矩陣為）系統(tǒng)的輸出可控性矩陣為 0110SCBCABD0rank1Sq , 系統(tǒng)輸出可控。系統(tǒng)輸出可控。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 43三三 線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)1 1 格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù) 線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 為完全能控的充要為完全能控的充要條件是，存在

35、一個(gè)有限時(shí)刻條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ，使如下定義的格拉姆矩陣使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。非奇異。10t0T010) t ,t () t () t () t ,t (,t tTcdtBBtW0t)tt , Jt (t0111第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 442 2 秩判據(jù)秩判據(jù) 線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻 為完全能控的充分為完全能控的充分條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻 ，使下式成立使下式成立n)t (M)t (M)t (Mrank11 -n11100t)tt , Jt (t0111) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (Mdtd) t

36、 (M) t (A) t (M) t (B) t (M2-n2-n1 -n0010第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 45 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是，存在有限時(shí)刻完全可觀測(cè)的充分必要條件是，存在有限時(shí)刻t10，使如下定義的格拉姆矩陣，使如下定義的格拉姆矩陣為非奇異。為非奇異。0(0)0 xAxxxtyCx1T10(0, )eeTtA tAtMtC Cdt注意：在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)需計(jì)算注意：在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)需計(jì)算eAt，這在，這在A的維數(shù)較的維數(shù)較高時(shí)并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。高時(shí)并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。 第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 46

37、 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是完全可觀測(cè)的充分必要條件是:或或0(0)0 xAxxxtyCx1nCCAranknCA1()TTTTnTrank CA CACn其中：其中：n是系統(tǒng)的維數(shù)，是系統(tǒng)的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可觀測(cè)性判別陣，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)性陣。稱為系統(tǒng)的可觀測(cè)性判別陣，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)性陣。1()TTTTnTTVCA CAC第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 47例例3-16：判斷下列系統(tǒng)的可觀性：判斷下列系統(tǒng)的可觀性：xAxyCx20,1001AC(1) 解：解：(1) 101220CrankVrankranknCA 系統(tǒng)不完全可觀測(cè)系統(tǒng)不完全可觀測(cè)11101111AC，(2)

38、 (2)111020112TTTrankVrank CA Crankn系統(tǒng)完全可觀測(cè)系統(tǒng)完全可觀測(cè)第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 48例例3-17：證明如下系統(tǒng)總是完全可觀測(cè)的。：證明如下系統(tǒng)總是完全可觀測(cè)的。0110011naaxxa001yx證明：證明：11101100nnaaVnV rank系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。 該題說明：該題說明：可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 49補(bǔ)充：可觀測(cè)性判別矩陣補(bǔ)充：可觀測(cè)性判別矩陣 n qV線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中：其中：x為為n維狀態(tài)

39、向量；維狀態(tài)向量；y為為q維輸出向量；維輸出向量；A和和C分別為分別為(nn) 和和(qn)常陣。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)常陣。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充要條件是：完全可觀測(cè)的充要條件是：其中：其中： 0(0)0 xAxxxtyCxn qn qCCArankVranknCAqrankCqq，適用于多輸出系統(tǒng)適用于多輸出系統(tǒng)第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 50例例3-18：判斷例：判斷例3-16所示系統(tǒng)所示系統(tǒng)2）的可觀性。）的可觀性。11101111AC，解：解：系統(tǒng)輸出向量是系統(tǒng)輸出向量是2維的列向量，即維的列向量，即q = 2。10211qrankCrankq2 21011V2n qr

40、ankVn故故 ，系統(tǒng)完全可觀測(cè)。，系統(tǒng)完全可觀測(cè)。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 51 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：對(duì)矩陣完全可觀測(cè)的充分必要條件是：對(duì)矩陣A的所的所有特征值有特征值 ，均有，均有0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(niirank;1,2,IiCninA( I)CranknsCsA ，成立?；虻葍r(jià)地表示為成立?；虻葍r(jià)地表示為第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 52 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：完全可觀測(cè)的充分必要條件是：A沒有與沒有與C的所的所有行相正交的非零右特征向量。即對(duì)有行相正交的非零右特征向量。即對(duì)A的任一的

41、任一特征值特征值 ，使同時(shí)滿足，使同時(shí)滿足0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(nii,iAC0 0 的特征向量的特征向量 。注：注：PHB特征向量判據(jù)主要用于理論分析中特征向量判據(jù)主要用于理論分析中。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 5312,nxxyCx 當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣A的特征值的特征值 為兩兩相異時(shí)，為兩兩相異時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：其對(duì)角線規(guī)范型完全可觀測(cè)的充分必要條件是：其對(duì)角線規(guī)范型 12,n 中，中， 不包含元素全為零的不包含元素全為零的。0(0)0 xAxxxtyCxC第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 54例例3-19：已知線性定

42、常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為800100010,123002xxyx判斷系統(tǒng)的可觀測(cè)性。判斷系統(tǒng)的可觀測(cè)性。解：由于此規(guī)范型中解：由于此規(guī)范型中 不包含元素全為零的不包含元素全為零的列，故系統(tǒng)完全可觀測(cè)。列，故系統(tǒng)完全可觀測(cè)。C第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 55 當(dāng)系統(tǒng)矩陣當(dāng)系統(tǒng)矩陣A有重特征值時(shí)，線性定常連有重特征值時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約完全可觀測(cè)的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型當(dāng)規(guī)范型中，中， 中與同一特征值的各約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的各子中與同一特征值的各約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的各子塊的第一列組成的矩陣是塊的第一列組成的矩陣是線

43、性無關(guān)的。線性無關(guān)的。0(0)0 xAxxxtyCxACxxy =xC第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 56例例3-20：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)如下：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)如下：2100000020000000200000002000000031000000300000003xx試判斷其可觀測(cè)性。試判斷其可觀測(cè)性。400020000301010005300yx解：解： 1400030 ,005C2201130C所以：系統(tǒng)完全可觀測(cè)。所以：系統(tǒng)完全可觀測(cè)。是列線性無關(guān)的；是列線性無關(guān)的；是列線性無關(guān)的；是列線性無關(guān)的；第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 57 完全可控且完全可觀測(cè)的子系統(tǒng)組合后不一完全可控且完

44、全可觀測(cè)的子系統(tǒng)組合后不一定保持原有的可控性或可觀測(cè)性。定保持原有的可控性或可觀測(cè)性。例例3-21：設(shè)完全可控且完全可觀測(cè)的子系統(tǒng)為：設(shè)完全可控且完全可觀測(cè)的子系統(tǒng)為11111101021341Sxxuyx ：，222222Sxxuyx ：，求出并聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，并判斷并聯(lián)求出并聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，并判斷并聯(lián)組合系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性。組合系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性。第3章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 58解：解：子系統(tǒng)并聯(lián)組合后的系統(tǒng)子系統(tǒng)并聯(lián)組合后的系統(tǒng)1111222200ABABxxuxx010034010011xxu 112122CCDDxyux21 1yx 可控性判別矩陣：可控