拋物型方程的計(jì)算方法

1、分類(lèi)號(hào)：O241.82俠、力沖展丸學(xué)SHAANXINORMALUNIVERSITY本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目：一類(lèi)拋物型方程的計(jì)算方法作者單位數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院作者姓名專(zhuān)業(yè)班級(jí)2011級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)創(chuàng)新2班指導(dǎo)教師論文完成時(shí)間二Q五年四月一類(lèi)拋物型方程的數(shù)值計(jì)算方法（數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2011級(jí)創(chuàng)新2班）指導(dǎo)教師摘要：拋物型方程數(shù)值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一種對(duì)方程直接進(jìn)行離散化后得到的差分計(jì)算格式，有限元方法是基于拋物型方程的變分形式給出的數(shù)值計(jì)算格式.本文首先給出拋物型方程的差分計(jì)算方法，并分析了相應(yīng)差分格式的收斂性、穩(wěn)定性等基本理論問(wèn)題.然后，

2、給出拋物型方程的有限元計(jì)算方法及理論分析.關(guān)鍵詞：差分方法，有限元方法，收斂性，穩(wěn)定性NumericalcomputationmethodsforaparabolicequationYanqian(Class2,Grade2011,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:NiehuaAbstract:Thecommonmethodstosolveparabolicequationsincludedifferentialmethod,finiteelementmethodetc.Themainideaofdifferentialmeth

3、odistoconstructdifferentialschemesbydiscretizingdifferentialequationsdirectly.Finiteelementschemeisbasedonthevariationalmethodofparabolicequations.Inthisarticle,wegivesomedifferentialschemesforaparabolicequationandanalyzetheirconvergenceandstability.Moreover,thefiniteelementmethodandthecorresponding

4、theoreticalanalysisforparabolicequationareestablished.Keywords:differentialmethod,finiteelementmethod,convergence,stability1緒論1.1 引言自然界里中熱的傳播，溶質(zhì)在液體中彌散，多孔介質(zhì)中滲流等隨時(shí)間發(fā)展的現(xiàn)象和過(guò)程，都可以用拋物型方程來(lái)描述.因此，拋物型方程是刻畫(huà)自然界的一類(lèi)很重要的方程.然而，很多的方程我們并不能求出它的精解確，或者表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，所以需要采用數(shù)值方法去計(jì)算它們的近似解.拋物型方程最基本的計(jì)算方法當(dāng)屬有限差分法1,通過(guò)離散化便可得到計(jì)算格式，該方法構(gòu)造

5、簡(jiǎn)單，易于操作.但是在處理一些復(fù)雜的邊值問(wèn)題時(shí)計(jì)算會(huì)很復(fù)雜，因此我們需要探討一些新的處理手段.有限元計(jì)算方法起源于橢圓型方程的計(jì)算，它將求解橢圓型方程的解轉(zhuǎn)換為求解其變分形式的解1,從而極大地豐富了偏微分方程的計(jì)算手段.正式由于其在橢圓型方程計(jì)算中的巨大優(yōu)勢(shì)，以及拋物型方程與橢圓型方程的密切聯(lián)系，所以該方法很自然的被推廣到了拋物型方程初邊值問(wèn)題的計(jì)算上4.本文系統(tǒng)的總結(jié)了一類(lèi)拋物型方程的計(jì)算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通過(guò)數(shù)值算例給出了兩類(lèi)方法的一個(gè)比較.為此,本文需要先給出一些基本的分析知識(shí)作為研究該問(wèn)題的基礎(chǔ)6,7,下來(lái)就給出了拋物型方程的變分形式，這個(gè)是構(gòu)造有限元計(jì)算格式的基礎(chǔ)

6、，在此基礎(chǔ)上，給出了有限元計(jì)算格式并討論了其收斂性和穩(wěn)定性.1.2 準(zhǔn)備知識(shí)(1.1.1)拋物型偏微分方程是一類(lèi)典型的發(fā)展方程，其一般形式如下:其中u(x,t)是空間自變量線性橢圓型微分算子，即-L(u)=f(x).tX=(X1.Xn)和時(shí)間t的未知函數(shù)，L是關(guān)于空間變量的(n/2n內(nèi)L三士工aj+£bi,i,jCXiGXjicXi其系數(shù)aij,bijd右端項(xiàng)f為自變量X=(*.Xn)的實(shí)函數(shù)，且在方程(1.1.1)的定義域jRn中滿(mǎn)足橢圓性條件nn2'aij(x)ij-：(x)vi(1.1.2)i,j1i1«(x)>0,V(.1)wRZt,Vx-Q當(dāng)L是非線

7、性橢圓型微分算子或者f是u的非線性函數(shù)時(shí)，則稱(chēng)相應(yīng)的拋物型方程為非線性的.(1.1.3)(1.1.4)(1.1.5)(1.1.6)下面給出拋物型方程的定解條件：初值條件，不妨設(shè)初始時(shí)刻t=0,則u(x,0)=u°(x),-xc第一類(lèi)邊值條件：u(x,t)=uD(x,t),-x,/：.:,-t0第二類(lèi)邊值條件：:u,(x,t)=g(x,t),一x:.，一t0.:v第三類(lèi)邊值條件：.二u(一：u)(x,t)=g(x,t),_x-:,_t0ft其中uD,g,a是u(x,t)的已知函數(shù)40,且至少在一部J&aJfe叫，v為EC的單位外法向量.2,有限差分法本章將給出拋物型方程最基本的

8、計(jì)算方法一有限差分法。我們以一維熱傳導(dǎo)方程為例，給出其差分格式并討論其收斂性，穩(wěn)定性等基本問(wèn)題.本章內(nèi)容主要引用文獻(xiàn)1.用差分法計(jì)算拋物型方程的初邊值問(wèn)題時(shí)，可以先考慮在區(qū)域。上引入空間網(wǎng)格，例如在直角坐標(biāo)系中采用平行于坐標(biāo)軸的等距離直線族形成的矩形網(wǎng)格，其次，將定義在QXR+上的函數(shù)u(x,t)替換成定義在空間網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)集上的離散函數(shù)U(t);然后，用適當(dāng)?shù)牟罘指袷綄⑽⒎炙阕覮替換成差分算子Lh,這一過(guò)程稱(chēng)為半離散化.對(duì)由半離散化得到的常微分方程初值問(wèn)題，再進(jìn)一步對(duì)時(shí)間離散化，選用適當(dāng)?shù)那蠼獬Ｎ⒎址匠坛踔祮?wèn)題的數(shù)值方法，就得到求解拋物型方程的初邊值問(wèn)題的全離散化格式.接下來(lái)，將按照這一處理思路

9、對(duì)熱傳導(dǎo)方程的差分計(jì)算格式進(jìn)彳T探討.2.1 差分格式考慮一維熱傳導(dǎo)方程：二二2四=a±4+f(x),0<t<T(2.1.1)t:x其中a是正常數(shù)，f(x)連續(xù)。下面給出兩類(lèi)定解條件：第一，初值問(wèn)題：求可微函數(shù)u(x,t),滿(mǎn)足(1.1.1)和初始條件：第二，初邊值問(wèn)題：求可微函數(shù)u(x,t),滿(mǎn)足方程(1.1.1)和初始條件：u(x,0)=#(x),0<x<l(2.1.3)以及邊值條件u(Qt)=u(l,t)=0,0<t<T(2.1.4)現(xiàn)在考慮邊值問(wèn)題(1.2.1),(1.2.3),(1.2.4)的差分格式.取步長(zhǎng)空間h=%和時(shí)間步長(zhǎng)丁二%,其

10、中J,N都是自然數(shù).用兩族平行直線x=xj=jh(j=0,1.J)和t=tn=”6=0,1一.3)將矩形域G=0<x<l;0<t<T分割成矩形網(wǎng)格，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為(xj,tn).以Gh表示網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)集合，即位于開(kāi)矩形G的網(wǎng)點(diǎn)集合；Gh表示所有位于閉矩形G的網(wǎng)點(diǎn)集合；Th=GhGh是網(wǎng)格界點(diǎn)集合.其次，用u；表示定義在網(wǎng)點(diǎn)(xj,tn)上的函數(shù)0WjWJQWnWN,用適當(dāng)?shù)牟钌檀娣匠?1.2.1)中相應(yīng)的偏微商，便得到以下幾種最簡(jiǎn)單的差分格式.2.1.1 向前差分格式考慮n-1nnnnUj-ujUj2Uj+Uj，(2.1.5)=afj，i其中fj=f(xj)，j=1,2.JT

11、u0=j=(xj)；=u：=0n=0,1N-1以二a%2表示網(wǎng)比，將(2.2.5)整理成易于計(jì)算的形式，使得第n層值，即上標(biāo)為n在等式右邊，第n+1層值在等式左邊，則可得到u；41=run七十(12r)un+run+小(2.1.6)這樣的話(huà)，又(2.1.6)取n=0,利用初值條件/=%和邊值條件口01=山=0可計(jì)算出u1.再將n=1的值帶入計(jì)算，從而就可逐次迭代計(jì)算出所以的u；,并且視其為精確解u(xj,tn)的近似，由于第(n+1)層的值通過(guò)第n層值明顯表示，無(wú)需求解線性代數(shù)方程組，如此差分格式稱(chēng)為顯示格式.下來(lái)給出這種計(jì)算格式的誤差分析：；：2uLu-a2t；x(1)nLhUjn：；1nn

12、nnuj-ujuj1-2ujujja72h11二2c顯然截?cái)嗾`差(2.1.7)2220(.2h2)=0(.h2)2.1.2 向后差分格式將上式改寫(xiě)為n1nuj一uj一ah2uj=j=(Xj),u；=uJ=0,fj，(2.1.8J=1,2.J-1,N=0,1.N-1一ru：+(1+2r)u：4ru：=u：+fj.(2.1.9)顯然，第（n+1）層的值不能用第n層值明顯表示，而是由線性代數(shù)方程組（2.1.9）確定，這樣的差分格式稱(chēng)為隱格式.n1nUj-uj-aTnFn1n"1uj2ujh2則截?cái)嗾`差為R：(u)=L(；)u(Xj,tn)-Lu；=-A"(2.1.10)0(2h2

13、)=0(h2).此外，還有六點(diǎn)差分格式以及Richardson格式，具體可以參見(jiàn)文獻(xiàn)1,都是簡(jiǎn)單的拋物型方程差分格式.2.2差分格式的穩(wěn)定性與收斂性差分格式的穩(wěn)定性概念見(jiàn)文獻(xiàn)1，此處本文只給出相關(guān)的穩(wěn)定性定理及實(shí)例分析.2.2.1 判別穩(wěn)定性的直接估計(jì)法(矩陣法)命題11(必要條件)以P(C)表示矩陣C(e)的譜半徑，則差分格式穩(wěn)定性的必要條件是存在與T無(wú)關(guān)的常數(shù)M使P(C)<1+MT(P(C)<1+O(z)(2.2.1)命題2(充分條件)若C(e)是正規(guī)矩陣，及C和它的共腕轉(zhuǎn)置C成績(jī)可交換：CCC,則(2.2.1)也是差分格式穩(wěn)定的充分條件.推論1若S是對(duì)稱(chēng)矩陣，C(。是矩陣S的

14、實(shí)系數(shù)有理函數(shù)：C(t)=R(S),則差分格式穩(wěn)定的充要條件是myKl)M1+MT,其中*是S的特征值。(只需注意R(S)是實(shí)數(shù)和矩陣S的四則運(yùn)算)下面引出兩個(gè)例子，來(lái)具體分析有限差分計(jì)算的穩(wěn)定性判定：例1對(duì)向前差分格式(以下設(shè)(2.2.4)中的l=1),則C=(1-2r)I+rS,*=12r+2rcosjnh=14rsin2jh,為使<1+Mr或1-MrE*=1-4rsin2MhE1十Mr當(dāng)且僅當(dāng)jj24rsin2圮M2+MEj=1,2,J-1，從而4r<2,r<1.所以向前差分格式當(dāng)r<2221 時(shí)穩(wěn)定，當(dāng)r_1時(shí)不穩(wěn)定.22.2.2收斂性與斂速估計(jì)如最簡(jiǎn)差分格式，

15、考慮熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題：UcLu=-a.2二u二f(x),0二x：l,0<t<T,(2.2.2u(x,0)=(x),u(0,t)=u(l,t)=0.相應(yīng)的差分格式為L(zhǎng)un=fj,j=1,2,.,J-1,n=0,1,.,N-1,J(2.2.3)u0"：(x)U=un=0.其向量形式如U"=CUn+叭¥,其中C為增長(zhǎng)矩陣.那么差分逼近的截?cái)嗾`差R：(u)=Lhu(Xj,tn)-Lu；(2.2.4)u(x,t)是0MxMl,0SWT上的任一充分光滑函數(shù)，稱(chēng)差分算子Lh是邊值問(wèn)題(2.2.2)的相容逼近，如果相容條件成立，其中Rn是分量為Rn（u）的向量，

16、II是RJ中的范數(shù).先對(duì)差分解作出某種估計(jì)：將（2.2.3）的解分解為nnnUjtVjWj其中v；滿(mǎn)足零初值和非齊右端方程:Vn1=C(.)VnAF(V°=0)而w；滿(mǎn)足非零初值和齊右端方程:Wn1=C(.)Wn(W0=U°)其中Vn,Wn依次為以V；,w；為分量的向量。若差分格式按初值穩(wěn)定，則亦按右端穩(wěn)定，于是有常數(shù)Ki,K2,使Vn<KiF,Wn<K2W0=K2U0從而(2.2.6)Un|<K(|U0|+|F|),K=max(Ki，K2)現(xiàn)在估計(jì)差分解的誤差：設(shè)u（x,t）是熱傳導(dǎo)方程（2.2.2）的解，u；是差分方程（2.2.3）的解，誤差e；=u（

17、Xj,tn）-u；=u；-u；那么R；(u)=Lhu；-Lu=Lhu；-fj=Lhu；-Lhu；=Lhe；,即誤差e；滿(mǎn)足差分方程：Lhe；=R；(u),e：=0,j=1,2,.,J-1,其向量形式為En1=C()EnARn,這里En,Rn依次為以e；,Rjn為分量的向量.由估計(jì)式（2.2.5）得若相容條件(2.2.4)成立，則-un|=0,其中un表小以U(Xj,tn)為分量的向量.證明了如下：定理11:若差分方程滿(mǎn)足相容條件，且按初值穩(wěn)定，則差分解收斂到熱傳導(dǎo)方程的解，且有誤差估計(jì)式(2.2.7).推論1川：當(dāng)網(wǎng)比r414時(shí)，向前差分格式的解有收斂階O(e+h2)。對(duì)任何網(wǎng)比r>0,

18、向后差分格式的解有收斂階O(i+h2),六點(diǎn)對(duì)稱(chēng)格式的解有收斂階0(2h2).3,有限元計(jì)算有限元計(jì)算方法產(chǎn)生于橢圓型方程的計(jì)算網(wǎng)，其優(yōu)越的計(jì)算性能使得很多學(xué)者開(kāi)始探索將其用于發(fā)展方程的計(jì)算之中，文獻(xiàn)3給出了這方面的具體研究.本章給出熱傳導(dǎo)方程的有限元計(jì)算格式，首先給出有限元計(jì)算的基本理論，之后建立熱傳導(dǎo)方程的變分形式，從而在此基礎(chǔ)上給出有限元計(jì)算格式.3.1 基本理論本節(jié)先給出有限元計(jì)算的基本數(shù)學(xué)理論，包括索伯列夫空間初步和初邊值條件下解的存在性與正則性1,6,7, Sobolev空間構(gòu)造如下Sobolev空間:Wm'p(J)=vLloc。)：/|m,DvLp(c)賦范

19、數(shù)忖皿(。)=|DPvP)；p,1<p<«(3.1.1):加p,ZesssupDmv,p=o0(3.1.2)p寶Qq定理3.17上述賦范數(shù)的Sobolev空間是Banach空間.特別的，當(dāng)p=2,Wm,2(C)記為Hm(C),引入下述內(nèi)積(u,v)mQ=£(D%,D°v)(3.1.3)：'.m定理3.2口Hm(C)是Hilbert空間.另外，用記號(hào)C(0,T;X)表示映射族v(t):(0,T)TX),其中任一v關(guān)于tw(0,T)按空間X的度量是連續(xù)的.類(lèi)似的記號(hào)還有L2(0,T;X),U°(0,T;X).3.1.2 解的存在性，正則性

20、先給出如下定理9,假定u0wHstfwL2(0,T；Hs),s之0為整數(shù)，則初邊值問(wèn)題(2.2.1)-(2.2.4)存在唯一的解u(x,t),滿(mǎn)足uL2(0,T；Hs2),UtL2(0,T;Hs)t20|2(£|d%(,7)|dT<C0(|u0|Hs+I"Hs和估計(jì)式2f(d)|sdT).(3.1.4)Hs3.2 有限元計(jì)算格式本節(jié)討論初邊值問(wèn)題(1.1.1)-(1.1.4)的有限元近似.首先，給出其變分形式.記H0=vwH1:v=0當(dāng)xw!7.設(shè)fwC(0,T;H),用函數(shù)v(x)wH；與(1.1.(1) 1.1.4)的兩端做內(nèi)積，有(型,v)十(Au,v)=(f,

21、v)利用格林公式，；:tdd.dd-(Au,v)=(二:ajcuv)dx-.(.-ag-)vdx,1 iijd二為二為二yj二二xj因v=0當(dāng)x-T,故上式右端第二項(xiàng)為零，引進(jìn)雙線性泛函dd_a(u,v)=(-a。cuv)dx,1yjw%K那么可得，:u1(,v)+a(u,v)=(f,v),VvH0ftu(；0)=u°()(3.1.5)則稱(chēng)(3.1.5)為問(wèn)題(1.1.1)-(1.1.4)的變分形式.有限元方法的第一步，就是將求解區(qū)域C刨分成有限個(gè)互不重疊的子區(qū)域，稱(chēng)其為單元.用hmax表示刨分中單元的最大直徑，記相應(yīng)的刨分為I=Uh,0<h<hmax)，其代表了一個(gè)刨分

22、族.以P(K)和仃(K)表示h中單元的外接圓和內(nèi)切圓的直徑.如果存在不依賴(lài)于h的常數(shù)C,使得P(K)/<r(K)<C,則稱(chēng)刨分族I='h,0<h<hmax是正則的.第二步是構(gòu)造H0的一族有限維子空間Sh,0<h<h。,要求它具有如下逼近性質(zhì)：對(duì)于某一整數(shù)r之2,有infv-Vh|hv-Vh1<Chsvs,1<s<r,Vh-Sh對(duì)任意VWHscH0.(3.1.6)一般，&是通過(guò)在刨分上作分片多項(xiàng)式差值的方法去構(gòu)造的.由索伯列夫空間插值理論7,當(dāng)刨分族h=九0<卜<歐為正則時(shí)，由T；上所有屬于C(C)的,次數(shù)Er-1

23、的分片多項(xiàng)式組成的子空間Sh滿(mǎn)足條件.對(duì)于給定有限元空間&UH0后，初邊值問(wèn)題(1.1.1)-(1.1.4)的有限元近似定義為：求映射Uh(t):=0,TT&,它滿(mǎn)足(-,W)a(Uh,vh)=(f,/),一叫S7、ct(3.1.7)Uh(0)=u0其中u；wSh是函數(shù)u0(x)的某個(gè)近似.這里，可以看出(3.1.7)是變分問(wèn)題(3.1.5)的一個(gè)近似.設(shè)%(x)N%是空間6的一個(gè)基底，則近似問(wèn)題(3.1.5)又可以表示為：求解函數(shù)表達(dá)式NhUh(x,t)-%：j(t)j(x)j1即確定其中系數(shù)j(t)NL使得NhNh工;j(t)(j,i)':j(t)a(j,i)=(f

24、,i)j1j1i=1,2.Nh,(3.1.8)%(0)=小j=1,2.Nh,.diNh其中叫=,勺為/(x)=£j*(x)的系數(shù).dtJjT所以，(3.1.8)是以%(t)NZ為未知函數(shù)的一個(gè)一階常微分方程組.由于此處時(shí)間t仍然是一個(gè)連續(xù)變量，所以說(shuō)(3.1.8)是問(wèn)題(1.1.1)-(1.1.4)的一個(gè)半離散格式.引入一些記號(hào)：M=(mj)Nh5網(wǎng)=(一,j),B=(bj)NhNhM=a(i,)a(t)=(t),.二Nh(t)TF=(."),=(f,i),r=(r1.rNh)T,其中M是一個(gè)Gram矩陣，它是非退化的，從而可以將(3.1.8)改寫(xiě)為矩陣形式，即«

25、(t)+MB"(t)=MF,0<t<T,(3.1.9)：(0)=r.由常微分方程基本理論可知，初值問(wèn)題(3.1.9)對(duì)于任意F和r存在唯一的解口(t),從而近似問(wèn)題存在唯一解Uh(X,t).3.3收斂性分析和誤差估計(jì)本節(jié)介紹拋物問(wèn)題有限元的理論分析，將通過(guò)能量估計(jì)證明有限元法的收斂性和近似解的誤差估計(jì).首先給出方程dd_-'、(aij(x)c(x)w=f,x凸jT為因(3.1.10)w=0,x三.利用上一節(jié)的有限元空間ShUH0,可以得到(3.1.10)的一個(gè)有限元近似：求Wh亡Sh,使得a(Wh,Vh)=(f,Vh),VVheSh(3.1.11)其中a(；)是上

26、節(jié)中所定義的的雙線性泛函.因?yàn)閍(,)正定，通過(guò)Lax-Milgram定理6可以得到，有限元方程(3.1.10)存在唯一的解Wh-Sh.下面，本文將不加證明的給出關(guān)于拋物型方程有限元計(jì)算方法的收斂性分析和誤差估計(jì)，具體證明過(guò)程可以參考文獻(xiàn)3,4.定理1假定空間3具有逼近性質(zhì)(3.1.6)，邊值問(wèn)題(3.1.10)的解wWHscH；,則由(3.1.11)所定義的近似解Wh是收斂的，并且滿(mǎn)足|wh-w|+h|wh-w|1<Chs|Ws,1«s«r.(3.1.12)定理2(Gronwall不等式)設(shè)y(t)于0,T)連續(xù)且滿(mǎn)足(3.1.13)ty(t)-y0,()y()d,

27、0其中九之0且九(7產(chǎn)L1(0,T),則ty(t)<y0exp(z(x)dT)(3.1.14)-0對(duì)于半離散非齊次方程(3.1.7),此處將給出其解所滿(mǎn)足的一個(gè)先驗(yàn)估計(jì)式.定理3半離散方程(3.1.7)的解5(t),0MtwT滿(mǎn)足ttNh(t)|+.|UhI*-Uh(0)|+*f巫.(3.1.15)估計(jì)式(3.1.15)給出了半離散問(wèn)題(3.1.7)的適定性.特別的，當(dāng)f=0時(shí)，由上面定理可知：|Uh(t)|4/(0)|,口>0,即半離散齊次方程的解在L2。)范數(shù)意義下是穩(wěn)定的.下面給出非齊次半離散問(wèn)題(3.1.7)解的誤差估計(jì)：定理4假定空間Sh，0<h<h。具有逼近

28、性質(zhì)(3.1.6)，并且近似初值U0滿(mǎn)足u0-u0|<Chr|u0|r,(3.1.16)則半離散問(wèn)題(3.1.7)的解uh(t)滿(mǎn)足uh(t)-u(t)|<Chr|u0|r+J0|ut(T)|rdi(3.1.17)至此，本節(jié)就給出了拋物型問(wèn)題有限元法的收斂性和誤差估計(jì)，也就意味著本論文的目標(biāo)，拋物型方程(熱傳導(dǎo))的有限元計(jì)算方法完整的給出.4,總結(jié)將有限元方法推廣到拋物型方程，可以豐富這類(lèi)方程的計(jì)算手段，同時(shí)也可以有效的解決傳統(tǒng)的差分格式存在的缺陷.近年來(lái)，自適應(yīng)有限元計(jì)算方法成為這一領(lǐng)域的研究前沿9-12,它在傳統(tǒng)的有限元方法的基礎(chǔ)上增加了“智能”的因素，使得該方法可以更好的刻畫(huà)

29、客觀世界.本文詳細(xì)的給出了拋物型方程的簡(jiǎn)單差分計(jì)算格式和有限元計(jì)算格式.通過(guò)構(gòu)造計(jì)算格式，得出數(shù)值計(jì)算的矩陣方程，以及給出了收斂性，穩(wěn)定性，誤差估計(jì)等一些基本的理論，比較全面的介紹了拋物型方程的一些基本計(jì)算方法.更為詳盡的資料可以參考文獻(xiàn)4.當(dāng)然，本文只給出了拋物型方程計(jì)算的半離散格式，并沒(méi)有對(duì)時(shí)間變量t進(jìn)行離散化，如何給出拋物型方程的全離散格式，以及探討拋物型方程的其他計(jì)算方法，包括偏微分方程的應(yīng)用，例如現(xiàn)在有學(xué)者通過(guò)凸幾何的相關(guān)內(nèi)容如Brunn-Minkowski不等式來(lái)研究偏微分方程的凸性等12,14,這些都是自己今后學(xué)習(xí)的方向.參考文獻(xiàn)1 李榮華.微分方程數(shù)值解法M.北京：高等教育出版社,20022 李志平.偏微分方程數(shù)值解講義M.北京：北京大學(xué)出版社,20093 黃明