多元函數(shù)極值及其應(yīng)用

1、17-7 多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用2復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)公式隱函數(shù)求導(dǎo)公式(1)( , )0( )F x yyf x (2)( , , )0( , )F x y zzf x y ddyxxyFF xzFzxF yzFzyF 公式法公式法：誰看成變量誰看成變量.,xyzFFF時(shí)把誰看成常量，時(shí)把誰看成常量，注意求注意求直接法直接法： 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo),這時(shí)若對(duì)這時(shí)若對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),把把z看成看成x和和y的函數(shù)的函數(shù)( , , )0F x y z 2.求隱函數(shù)求隱函數(shù) 偏導(dǎo)的兩個(gè)方法偏導(dǎo)的兩個(gè)方法3一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、多元函數(shù)的最值二、多元函數(shù)的最值

2、三、條件極值三、條件極值 第七章 第七節(jié)第七節(jié)多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用4的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值5的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值6的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值7的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值8的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值9的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxex

3、yz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值10的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值11的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值12的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值13的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值14的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值15的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)

4、的極值16的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值17的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值18),(yxfz ),(00yx),(00yx，),(yx00( , )( ,)f x yf x y ，),(00yx；),(00yxf，),(),(00yxfyxf ),(00yx).,(00yxf1920例例1 12234zxy 函函數(shù)數(shù)(0,0)在在處處有有極極小小值值(1)（橢圓拋物面）（橢圓拋物面）例例22zxy 函函數(shù)數(shù)(2)(0,0)在在處處有有極極大大值值（圓錐曲面）（圓錐曲面）例例z

5、xy 函函數(shù)數(shù)(0,0)在在處處無無極極值值（雙曲拋物面或稱馬鞍面雙曲拋物面或稱馬鞍面）(3)21. 0)(0 xf0 x)(xf0 x22),( yxfz ),(00yx),(00yx. 0),(, 0),(0000 yxfyxfyx),( yxfz ),(00yx ),(yx),(00yx ),(00yx，),(),(00yxfyxf 00,xxyy ，),(),(000yxfyxf ),(0yxf0 xx ；0),(00 yxfx.0),(00 yxfy23推廣：推廣：000( , , )(,)uf x y zP xy z 若若三三元元函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,000

6、(,)P xy z它它在在點(diǎn)點(diǎn)有有極極值值的的必必要要條條件件為為：000000000(,)0(,)0(,)0.xyzfx y zfx y zf x y z ，（具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)才是駐點(diǎn)）（具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)才是駐點(diǎn)）2422yxz 22yxz 25),(yxfz ),(00yx, 0),(, 0),(0000 yxfyxfyx,),(00Ayxfxx ),(yxf),(00yx02 BAC0 A0 A02 BAC02 BAC,),(00Byxfxy ,),(00Cyxfyy 26, 0),( yxfx0),( yxfy ),(yxfz ，),(00yx2BAC 27例例1. 求

7、函數(shù)求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn).得駐點(diǎn)得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0) 處處為極小值為極小值;解方程組解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(223328在點(diǎn)在點(diǎn)(3,0) 處處不是極值不是極值;在點(diǎn)在點(diǎn)(3,2) 處處為極大值為極大值.,66),( xyxfxx,

8、0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)在點(diǎn)(1,2) 處處不是極值不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC29例例2：求函數(shù)求函數(shù)333zxyxy yxzx332 解解xyzy332 3 xyzBxzAxx6 yzCyy6 解方程組解方程組0332 yx0332 xy 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)6,3,6ABC 2369270ACB (1,1)1zz 極極小小0,3,0ABC 290ACB 故所求函數(shù)的極值

9、為故所求函數(shù)的極值為:1)1 , 1( zz極小極小對(duì)駐點(diǎn)對(duì)駐點(diǎn)(1,1) :對(duì)駐點(diǎn)對(duì)駐點(diǎn)(0,0) :(0,0)所以函數(shù)在所以函數(shù)在 處無極值處無極值. .的極值的極值所以，所以，30解解例例3 3222224100 xyzxyz 求求由由方方程程確確定定的的( , ).zf x y 函函數(shù)數(shù)的的極極值值x y將將方方程程兩兩邊邊同同時(shí)時(shí)對(duì)對(duì) , , 求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)，2224022240 xxyyxz zzyz zz 得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)：(1, 1),P x y將將上上面面方方程程組組再再分分別別對(duì)對(duì) , , 求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，11|,|0,|,22xxPxyPyyPAzBzCzzz 2210(2)

10、(2)ACBzz 故故，(1, 1),P 將將代代入入原原方方程程 有有122,6zz ，12,z 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)(1, 1)2zf 所所以以為為極極小小值值. .104A ，26,z 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)104A ，(1, 1)6zf 所所以以為為極極大大值值. .31.)2)(),(22是是否否取取得得極極值值在在原原點(diǎn)點(diǎn)討討論論xyxyyxf 例例4:(0,0)(0,0)0 xyff 易易驗(yàn)驗(yàn)證證原原點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，且且(0,0)(0,0)0,(0,0)2xxxyyyAfBfCf 又又由由是是否否取取得得極極值值，無無法法判判斷斷函函數(shù)數(shù)在在原原點(diǎn)點(diǎn)根根據(jù)據(jù)定定理理 2, 0),(222 y

11、xfxyx時(shí)，時(shí)，但由于但由于時(shí)時(shí)，或或而而當(dāng)當(dāng)222xyxy , 0),( yxf所以，函數(shù)不可能在原點(diǎn)取得極值所以，函數(shù)不可能在原點(diǎn)取得極值.329422 yxz4:22 yxD33 （1） D （2）值值 . 34xyo6 yxD 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx. , 6 )4(),( 2大大值值與與最最小小值值上上的的最最軸軸所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域軸軸和和在在直直線線求求二二元元函函數(shù)數(shù)Dyxyxyxyxyxfz 內(nèi)的駐點(diǎn)，內(nèi)的駐點(diǎn)，先求函數(shù)在先求函數(shù)在 D 解方程組解方程組例例5解解, 4)1 , 2(),1 , 2( fD且且有有內(nèi)

12、內(nèi)的的唯唯一一的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)解解得得35, 2|64 xxy,64)2 , 4( f為為最最大大值值，4)1 , 2( f邊界上的最值，邊界上的最值，在在再求再求Dyxf ),( ，上上和和在邊界在邊界 0),( 0 0 yxfyx，即即上上在邊界在邊界 6 , 6 xyyx ),2)(6(),( 2 xxyxf于于是是, 02)6(4 2 xxxfx由由4, 021 xx得得xyo6 yxD.64)2 , 4(為為最最小小值值 f2( ,)(4)f x yx yxy36, 0),( yxfx0),( yxfy ),(yxfz ，),(00yx2BAC 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)37作業(yè)：作業(yè)：P319,1(1)(2)P319,1(1)(2)預(yù)習(xí)：從預(yù)習(xí)：從316316到到319319頁頁x38注意：注意： (1)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),22(0,0)zxy 在在如如：處處不可導(dǎo)不可導(dǎo),(0,0)但但它它在在處處有有.極極大大值值則則極值點(diǎn)可能是極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)駐點(diǎn)