誤差分析隨機過程教程學習教案

1、會計學1誤差分析隨機誤差分析隨機(su j)過程教程過程教程第一頁，共42頁。第2頁/共42頁第二頁，共42頁。第3頁/共42頁第三頁，共42頁。（2）測量環(huán)境方面的因素 ：放置測量主機和被測試樣的隔震臺不能很好消除外界的低頻震動 ，儀器所在實驗室氣流和溫度的波動 ，空氣塵埃的漂浮、穩(wěn)壓電源供電(n din)電壓的微小波動。（3）操作人員方面的因素：操作人員的裝夾調整不當引起被采集的測量干涉圖像質量(zhling)低、條紋疏密不當 ，采集干涉圖像的攝像頭變焦倍數過小造成較大的離散化采樣誤差。 第4頁/共42頁第四頁，共42頁。第5頁/共42頁第五頁，共42頁。if0.1140.1160.118

2、0.120.1220.1240.1260.12801020304050 經過分析，由于上述誤差源多而又不能斷定哪個誤差源的影響占主要地位，因此造成該統(tǒng)計直方圖大致呈現正態(tài)分布的特征(tzhng)。如果其中有個別非正態(tài)的隨機誤差因素明顯占優(yōu)，則該統(tǒng)計直方圖就會呈現其他分布的特征(tzhng)。ix第6頁/共42頁第六頁，共42頁。ixNoImage0 xi0 xxii第7頁/共42頁第七頁，共42頁。當測量(cling)次數n充分大時，有10nii10nijij 以及(yj)抵償性是各種隨機誤差所共有的本質特征。 第8頁/共42頁第八頁，共42頁。k第9頁/共42頁第九頁，共42頁。第10頁/共

3、42頁第十頁，共42頁。第11頁/共42頁第十一頁，共42頁。 221exp22xf x 為測量總體的數學(shxu)期望，如不計系統(tǒng)誤差，則 即為隨機誤差 。x 為測量總體的標準差，是評價隨機誤差的基本指標，它的數值決定于標準器、儀器儀表、測量環(huán)境、測量人員和被測對象等各項因素(yn s)。對同一被測對象，測量系統(tǒng)確定后，標準偏差 的數值也就隨之確定。不同測量系統(tǒng)則 取值也不同。第12頁/共42頁第十二頁，共42頁。（1）單峰性：小誤差出現的概率比大誤差出現 的概率大。（2）對稱性：正誤差出現的概率與負誤差出現的概率相等(xingdng)。（3）有界性：在一定條件下絕對值不會超過一定界限。（

4、4）抵償性：隨測量次數增加，隨機誤差算術平均值趨于零。第13頁/共42頁第十三頁，共42頁。分布是隨機誤差的主要概率分布。第14頁/共42頁第十四頁，共42頁。2第15頁/共42頁第十五頁，共42頁。NoImagenxxx.,2111niixxn作為被測量(cling)真值的最佳估計。3.1 算術(sunsh)平均值第16頁/共42頁第十六頁，共42頁。011nniiiixnx因為(yn wi) 根據(gnj)隨機誤差的抵償性，當n充分大時，有 011niixxxn 簡單地說，大數定理就是“當試驗次數足夠多時，事件發(fā)生的頻率無窮接近于該事件發(fā)生的概率” 第17頁/共42頁第十七頁，共42頁。

5、若測量次數有限，由參數估計知，算術平均值是該測量總體期望的一個最佳(zu ji)的估計量 ，即滿足無偏性、有效性、一致性。 滿足最小二乘原理：該所有測量(cling)值對其算術平均值之差的平方和達到最小。 在正態(tài)分布條件下，滿足最大似然原理(yunl)即該測量事件發(fā)生的概率最大 。第18頁/共42頁第十八頁，共42頁。221( )11xiiD xDxnnn單次測量(cling)標準差算術(sunsh)平均值的標準差 根據概率論中關于方差的性質，可得到該算數平均值的標準差與單次測量標準差有如下關系： 上式表明，當測量次數n愈大，算術平均值的標準差愈小，即愈接近真值?？梢姡黾訙y量次數取其算術平均

6、值表示測量結果，是減小隨機誤差的一種途徑。第19頁/共42頁第十九頁，共42頁。122110 如右圖所示，10次測量的算術平均值與單次測量的總體分布關系，可以更全面而形象的說明這樣一個事實，即兩個的分布類型(lixng)和峰值位置未發(fā)生變化，只是分散性不同。第20頁/共42頁第二十頁，共42頁。 當 一定(ydng)時，n 10 以后， 已減小得較緩慢。x 測量次數愈大時，也愈難保證測量條件的不變，從而帶來新的誤差。另外，增加(zngji)測量次數，必然會增加(zngji)測量的工作量及其成051 01 52 0n0 .20 .40 .60 .81 .0 x 本。因此(ync)一般情況下，取1

7、0n15 以內較為適宜?？傊岣邷y量準確度，應選用適當準確度的測量儀器，選取適當的測量次數。第21頁/共42頁第二十一頁，共42頁。定義(dngy)：對于一組測量數據，我們往往用其標準差來表述這組數據的分散性。如果這組數據是來自于某測量總體的一個樣本，則該組數據的標準差是對該測量總體標準差的一個估計，稱其為樣本標準差，又稱為實驗標準差。標準偏差的基本方法：貝塞爾公式、極差法、最大誤差法。第22頁/共42頁第二十二頁，共42頁。2111niisxxn2s計算公式 是方差的無偏估計，但s并不是標準差 的無偏估計，因此還可以得到一個經過無偏修正(xizhng)的貝塞爾公式，在后面可以看到。2 為

8、殘余誤差(wch)，簡稱殘差。iivxx總體標準差的估計(實驗樣本標準差)第23頁/共42頁第二十三頁，共42頁。修正修正(xizhng)貝塞爾公式貝塞爾公式貝塞爾公式(gngsh)的修正因子n1nM34567891015201.251.13 1.091.06 1.05 1.041.041.03 1.031.02 1.01 值隨 減少(jinsho)明顯偏離系數1 在樣本數較小的情形（如），為了提高對s估計的相對誤差，最好用無偏修正的貝塞爾公式。1nMn6n 21111niinnssxxMMn 第24頁/共42頁第二十四頁，共42頁。在n次測量服從正態(tài)分布且獨立的條件(tiojin)下，可以導

9、出如下兩個關系式： ( )12(1)ssn2( )1nnsMs2( )1nsMs 估計標準差的相對誤差，用百分數表示，該百分數愈小，表示估計的信賴(xnli)程度愈高。適用的估計(gj)貝塞爾公式的相對誤差的公式 估計標準差的相對誤差第25頁/共42頁第二十五頁，共42頁。幾種幾種(j zhn)估計標準差的相對誤差估計標準差的相對誤差n貝塞爾公式(gngsh)0.80修正(xizhng)貝塞爾公式0.60極差法0.76最大誤差法0.750.511230.570.460.520.450.470.390.430.400.400.340.370.360.360.310.340.330.320.280

10、.310.310.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23當樣本數較小的情形用貝塞爾公式估計的信賴程度已經開始低于極差法和最大誤差法，應當改用修正的貝塞爾公式來估計標準差。第26頁/共42頁第二十六頁，共42頁。nnsd( )nsCs對多次獨立測得的數據 ， 最大值， 最小值，計算(j sun)它們的差值稱為極差即：12,nx xx當測量誤差服從(fcng)正態(tài)分布時，標準差的計算公式 估算( sun)時的相對誤差 maxxminx極差s也是測量總體標準差 的無偏估計，由它估算minmaxxxnmin

11、maxxxn第27頁/共42頁第二十七頁，共42頁。極差法系數極差法系數(xsh)nnnndndndnCnCnC1.130.7692.970.27163.530.2131.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.740.2072.700.31143.410.2282.850.29153.470.22第28頁/共42頁第二十八頁，共42頁。 公式中 和 的值可見如上表，與貝塞爾公式的估計標準差進行比較，可見在n10時，其相對

12、誤差比未修正的貝塞爾公式略小，而且計算方便，但僅適用于正態(tài)分布總體，故在一些測量領域(ln y)中也采用它。ndnC第29頁/共42頁第二十九頁，共42頁。max1insk( )nnrssk估算( sun)時的相對誤差 在已知被測量的真值的情形，多次獨立測得的數據(shj) ，計算它們的真誤差 ，從中找出絕對值最大的 ，測量誤差服從正態(tài)分布時，估計標準差的計算公式 12,nxxx12,nmaxi第30頁/共42頁第三十頁，共42頁。max1insk 在一般情況下，被測量(cling)的真值難以知道，無法應用最大誤差法估計標準差，可以用最大殘余誤差 估計標準差 maxi第31頁/共42頁第三十一

13、頁，共42頁。n0.880.511.771230.750.451.020.680.400.830.640.360.740.610.330.680.580.310.640.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251nknnrk1nk 1.250.75最大誤差最大誤差(wch)法系數法系數第32頁/共42頁第三十二頁，共42頁。對某量測得數據有7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，試分別用貝塞爾公式、修正(xizhng)貝塞爾公式、極差法、最大誤差法估計其測量標準差及其標準差的相對標準差。( 1 ) 用 貝 塞

14、爾 公 式(gngsh)估算17.72ixxn2210.1361isxxn0.1360.37s ( )10.232(1)ssn查表，并插值計算(j sun) ( )10.26(0.260.17)0.2510ss第33頁/共42頁第三十三頁，共42頁。(2) 用修正(xizhng)貝塞爾公式估算1.03 0.370.38nssM 查表，并插值計算(j sun) ( )10.23(0.230.16)0.2310ss(3) 用極差法估算( sun)maxmin117.9,7.5,11,7.97.50.4xxn113.17d110.25c 11110.40.133.17sd11( )0.25scs查表

15、，得故第34頁/共42頁第三十四頁，共42頁。（4）用最大誤差(wch)法估算3max 0.22i( )10.27(0.270.23)0.26610ss真值未知，計算(j sun)最大殘差 查表，插值計算(j sun)得 11110.57(0.570.51)0.565k 故max1110.56 0.220.13isk0 x第35頁/共42頁第三十五頁，共42頁。 比較上述四種方法對s的估計，貝塞爾公式和修正貝塞爾公式十分接近，而極差法和最大誤差法明顯估計偏小。從估計相對誤差上看，貝塞爾公式和修正貝塞爾公式較好，因為樣本數大于10，用貝塞爾公式估算并沒有顯著改善。 從估算簡易程度上看，極差法和最

16、大誤差法公式簡單，但需要查表計算。另外(ln wi)，極差法和最大誤差發(fā)的公式中所用的系數都是在假設為正態(tài)分布的條件下計算出來的。如果偏離正態(tài)分布比較大的情形，也照搬這些公式及其系數，則會影響估計得信賴程度。第36頁/共42頁第三十六頁，共42頁。第四節(jié) 極限(jxin)誤差4.1 極限誤差的定義 測量的目的在于掌握被測對象的客觀(kgun)實際狀態(tài)（真值），但是測量的結果總是含有誤差，在數據上不等于被測的真值。測量結果與被測的差異是由兩部分組成的：一部分是由隨機誤差的存在而引起的；另一部分是由于不能完全消除的系統(tǒng)誤差的存在而引起的。對于隨機誤差造成的那部分差異的確定，通常用估計隨機誤差界限，

17、即確定隨機極限誤差的辦法來解決。NoImage第37頁/共42頁第三十七頁，共42頁。 極限誤差時指極端誤差，是誤差不應超過的界限，此時對被測量的測量結果（單次測量或測量的算術平均值）的誤差，不超過極端誤差的置信概率 ，并使差值 可以忽略。此極端誤差稱為(chn wi)測量的極限誤差并用表示。ksp p1 極限誤差 的值可依據測量(cling)標準差，誤差分布及要求的置信概率確定：)(xksk或 稱為置信因子，是誤差分布(fnb)、自由度和置信概率的函數，通常有表可查。第38頁/共42頁第三十八頁，共42頁。4.2 單次測量(cling)的極限誤差x,abxx,abxx 在一組測量值中，大小 為的測量值落入指定(zhdng)區(qū)間 內的概率稱為置信概率，而該指定(zhdng)區(qū)間 稱為置信區(qū)間。()sT 顯然置信區(qū)間取得寬，置信概率就大，反之則小。 一般(ybn)，當置信區(qū)間寬為 時，測量值落入區(qū)間 內的概率為68.3%，也就是說，進行100次測量，大約有68次的值是落在 的范圍的。當置信區(qū)間寬為 時，對應概率為95.4%2當置信區(qū)間寬為 時，對應概率為99.7%3第39頁/共42頁第三十九頁，共42頁。3NoImage 把置信區(qū)間 作