復變函數(shù)積分方法總結

1、復變函數(shù)積分方法總結acer選取日期復變函數(shù)積分方法總結數(shù)學本就靈活多變，各類函數(shù)的排列組合會衍生多式多樣的函數(shù)新形勢，同時也具有本來原函數(shù)的性質(zhì)，也會有多類型的可積函數(shù)類型,也就會有相應的積分函數(shù)求解方法。就復變函數(shù)：z=x+iyi2=-l,x,y分別稱為z的實部和虛部，記作x=Re(z)zy=Im(z)oargz=0i6稱為主值“色工兀,Arg=argz+2k7T。利用直角坐標和極坐標的關系式x二rcos。,y二rsin。,故z=rcos0+irsinO；利用歐拉公式e,e=cos0+isin0oz=re'°o1.定義法求積分：定義：設函數(shù)w寸(z)定義在區(qū)域D內(nèi)，C為區(qū)

2、域D內(nèi)起點為A終點為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成n個弧段，設分點為A=Zo,Z1，-,Zk-l，Zk，Zn=B,在每個弧段第五(1<=1,2n)上任取一點盤并作和式5n=Xk-if()(Zk-Zk-i)=“盤切網(wǎng)記zk=Zk-Zk，弧段的長度巴?黑5k)(kE，2,n),當6->0時，不論時C的分發(fā)即盤的取法如何，Sn有唯一的極限，則稱該極限值為函數(shù)f(Z)沿曲線C的積分為：fcf(z)dz=lim50Sk-if()Azk設C負方向(即B到A的積分記作)/_f(z)dz.當C為閉曲線時，f(z)的積分記作f(z)dz(C圓周正方向為逆時針方向)例題:計算積分1)(dz2

3、)f2zdz,其中C表示a到b的任一曲線。(1)解：當C為閉合曲線時，fcdz=O.Vf(z)=l5n=Xk-if(fe)(Zk-Zk-i)=b-a/.limn.>oSn=b-a,即1)(dz=b-a.(2)當C為閉曲線時，J；dz=O.f(z)=2z;沿C連續(xù)，則積分(zdz存在,設金Zk.1,則Ei二(k1)(Zk-Zk-i)有可設<QZk，則±2二Xk-iZ(k-1)(Zk-Zk-D因為Sn的極限存在，且應與£1及22極限相等。所以5戶(Ei+E2)=Ek-izk(Zk-Zk-i)=b2-a2fc2zdz=b2-a21.2定義衍生1：參數(shù)法：f二u(x,y

4、)+iv(x,y),z=x+iy帶入工f(z)dz得：fcf(z)dz=fcudx-vdy+(vdx+udy再設z=x+iy(t)(aWtWB)ff(z)dz=ff(z(t)z(t)dt參數(shù)方程書寫：z=z0+(zrz0)t(0<t<l)；z=z0+re,e,(0<0<2k)例題1：fz2dz積分路線是原點到3+i的直線段解：參數(shù)方程z=(3+i)t)+72(12=4(3+-)2(3+»,dt=(3+i)3j01t2dtz26.=6+i3例題2：沿曲線y二x?計算J0rH(x2+iy)dz解：參數(shù)方程；匚或z=t+it，(0<t<l)Jf：+，(x

5、2+iy)dz=JQ1(t2+it2)(1+2it)dt=(l+i)fo(t2dt)dt+2iJt3dt1 5.=-FT661.3定義衍生2重要積分結果：z=zo+re10.(0<9<2tt)由參數(shù)法可得：(£-=f2Kireied6=-f1+ie-inedO*mC(ZZ0)n+1J。ei(n+l>©rn+lpHJ。Jdz2nin=0%(z-z0)n+1"ton¥0rdZrdZ例題LG|=l二例題2：必=1Q2解：=0解=2ni2 .柯西積分定理法：2.1 柯西古薩特定理：若fdz在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對B內(nèi)的任意一條封閉曲線有：&#

6、167;f(z)dz=O2.2 定理2：當f為單連通B內(nèi)的解析函數(shù)是積分與路線無關，僅由積分路線的起點Zo與終點Z1來確定。2.3 閉路復合定理：設函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C與G是D內(nèi)兩條正向簡單閉曲線,G在c的內(nèi)部，且以復合閉路二C+G所圍成的多連通區(qū)域G全含于b則有:Jf(z)dz=，f(z)dz+f(z)dz=OCCj即。f(z)dz=f(z)dzcC1推論：§f(z)dzN憶iff(z)dzcck例題Mdzc為包含。和i的正向簡單曲綜解：被積函數(shù)奇點z二。和z=l.在C內(nèi)互不相交，互不包含的正向曲線Ci和C2oz2-z2z12z1jr2z1j；"dz+q)

7、；"dzZ(l-z)Jc2z(1-z)+-dz4-4-dzz-lZ,c2z-lz4uclz-ldz+4-dz+Zc2dz+-dzz-lc2Z=O+2Tri+2rri+O=4tti2.4 原函數(shù)法(牛頓-萊布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函數(shù)在單連通域B內(nèi)沿簡單曲線C的積分只與起點Zo與終點Zi有關，即fcf(Od<=£if(9d4這里的和Zo積分的上下限。當下限Zo固定，讓上限Z】在B內(nèi)變動，則積分斑B內(nèi)確定了一個單值函數(shù)F(z),即F(z)=fzlf(Od所以有z0若f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析,則函數(shù)F(z)必為B內(nèi)的解析函數(shù),且F6)寸(z),根據(jù)定理2.2和

8、2.4可得f(z)dz=F(zD-F(z0).z()例題：求。zcoszdz解：函數(shù)zcosz在全平面內(nèi)解析1j：zcoszdz=zsinz|o-Jsinzdz=isini+cosz|)=isini+cosi-1此方法計算復變函數(shù)的積分和計算微積分學中類似的方法，但是要注意復變適合此方法的條件。2.5 柯西積分公式法：設B為以單連通區(qū)域,Z。位B中一點，如f(z)在B內(nèi)解析，則函數(shù)照Z-Zq在Zo不解析，所以在B內(nèi)沿圍繞Zo的閉曲線C的積分人里dz一般CZ-Zo不為零。取Zo位中心，以5>0為半徑的正向圓周|z-Zol二b位積分曲線小,由于f(z)的連續(xù)性，所以f-dz=f-dz=2Tr

9、if(Zo)Jcz-zoJCsz-zo、J2.5.1 定理：若f(z)在區(qū)域b內(nèi)解析，c為D內(nèi)任何一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，zo為C內(nèi)的任一點，有：f(z。)囁4膽dzz-z0例題一)心2等dz解：二2ttisinz|z=o=O2)(£.£dz1z|=2(9-z2)(z+i)z解：=4zl2¥TdZJ|z|=2z-(-i)=2-nZ=-,=F2.6 解析函數(shù)的高階導數(shù):解析函數(shù)的導數(shù)仍是解析函數(shù)，它的n階導數(shù)為f3)(zo)二親f.曲二1,2)其中C為f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞Zo的任一條正向簡單閉曲線，而它的內(nèi)部全含于D.例題：&|dzC：

10、|Z|=1解：由高階導數(shù)的柯西積分公式:原式:2巾能，)碼嗎3 .解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù):定義：(1)調(diào)和函數(shù)：如果二元實函數(shù)(p(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)函數(shù)，且滿足拉普拉斯方程：需言二0,則稱(p(x,y)為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。若f(z)=u+iv為解析函數(shù)，則u和v都是調(diào)和函數(shù)，反之不一定正確(2)共規(guī)調(diào)和函數(shù):u(x,y)為區(qū)域內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)，我們把是u+iv在D內(nèi)構成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)v(x,y)稱為u(x,y)的共輾調(diào)和函數(shù)。若v是u的共攏調(diào)和函數(shù)，則-u是v的共規(guī)調(diào)和函數(shù)關系：任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，它的實部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)；且虛部為實部的共規(guī)調(diào)和函數(shù)。3.1 求解

11、方法：(1)偏積分法：若已知實部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏導數(shù)會二券兩邊對y積分得v=/黑dy+g(x).再由新二-3又得/Mdy+g6)=-詈從而g(x)二/一獸一白/魯dydx+CdxJdxJz0yokzjlQydxJdx'1*丫+八_新_/+dydx+C同理可由v(x,y)求u(x,y).3.2 不定積分法：因為f&)=Ux+iVx=Ux-iUy=Vy+iVx所以f(z)=JU(z)dz+cf(z)=fV(z)dz+c3.3 線積分法：若已知實部u=u(x,y),利用C-R方程可得的.嚶dx+新dy二一新dx+/薩dy故虛部為(X，y)Ou.Ou(V二/

12、、一7dx+-dy+CJ(xo.y0,)藥dx該積分與路徑無關，可自選路徑，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例題：設u=x2-y2+xy為調(diào)和函數(shù)，試求其共筑函數(shù)v(x,y)級解析函數(shù)f(z”u(x,y)+iv(x,y)解：利用C-R條件d2uo卡-2duc011cd2uc-=2x+y=-2y+x=2dxOydxz所以滿足拉普拉斯方程，有dvducdvdio-=二2y-x-=t-=2x+ydxdyrdydx1所以v=/(2y-x)dx+(p(y)=2xy-y+<p(y)薩二2x+(p(y)=2x+y<p(y)=y叩(y)二3cv(x7)=2xy-y+cf(z)=u(x/y)

13、+iv(x/y)=|(2-i)z2+iC4 .留數(shù)求積分：留數(shù)定義：設Zo為函數(shù)f(z)的一個孤立奇點，即f(z)在去心鄰域、O<|z-zo|<6，我們把f(z)在zo處的洛朗展開式中負一次基項系數(shù)j稱為f在zo處的留數(shù),記為Resf,玄即Resf(z),z0=c.i1或者Resf(z),z0=af(z)dzC為0<|z-Zo|<64.1 留數(shù)定理：設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點ZZ2Zn,&f(z)dz=2TTi2g=1Resf(z),zk其中Zk表示函數(shù)f(z)的孤立奇點4.2 孤立奇點：定義:如果函數(shù)/在Zo不解析，但在Zo某個去心鄰域O<

14、|zZo|<b內(nèi)解析，則稱zo為f(z)的孤立奇點。例如L£都是以z=0為孤立奇Z點函數(shù)以z=-l、z=2為孤立奇點(z+1)(z+2)在孤立奇點Z二Zo的去心鄰域內(nèi)，函數(shù)f(z)可展開為洛朗級數(shù)n/N葭8"(z-zo)洛朗級數(shù)中負事項是否存在，若存在是有限項還是無限項，這對f(z)在Zo處的奇異性將起著決定性的作用。討論孤立奇點Zo的類型：4.2.1可去奇點：若函數(shù)f(z)在孤立奇點Zo的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式中不含負某項，即對一切n<0有品;0,則稱Zo是f(z)的可去奇點因為沒有負某項,即c分0,(E,2.)故遇到函數(shù)千的奇點、類型是可去奇點，一般對函數(shù)&

15、#163;求積分一般為零必f(z)dz=2Tri3=1Resf(zXzk=0o期新可去奇點方格函數(shù)/在某個去心鄰域0<|z-z0|<8內(nèi)解析，則zo是f(z)的可去奇點的充要條件是存在極限(Z)"o,其中J是一復常數(shù)；在的假設下，Zo是f(z)可去奇點的充要條件是:存在rWb,使得f(z)在O<|z-Zo|<r內(nèi)有界4.2.2 極點：若函數(shù)f(z)在孤立奇點zo的去心鄰域內(nèi)洛朗級數(shù)展開式中只有有限個負曷項，即有正整數(shù)m,c_mW0,而當n<-m時c.n=0則稱Zo是f(z)的m級極點。C-m+C-m+l""Tn十m+T+'z-

16、z0)(z-z0)+-EzaCo+c1(z-Zo)n>rn+-+Co(z-zo)nZ-Zo這里C_m#。，于是在0<|z-Z()|<b有f(Z)=C-m.C-m+1m(z-z0)妥Co+Ci(Z-Zo)tWn+Co(Z-Zo)n+:Fr?(p(z).Z-Zo(Z-Zo)川m+1(z-z0)其洛朗展開式是：f(z)二<p一個在0<|zZo卜6解析,同時(p(z)¥O,則Zo是f(z)的m級極點。判斷定理：(1)f(z)在Zo的去心鄰域0<|zZokb解析，Zo是f(z)的m級極點的充要條件是可以表示成*的形式。(2)zo是f(z)的m級極點的充要條件

17、是limzTz。f(z)=8.4.2.3 本性奇點：若函數(shù)f(z)在孤立奇點zo的去心鄰域內(nèi)洛朗級數(shù)展開式中只有無限個負曷項，則稱Zo是f(z)的本性奇點判斷方法：孤立奇點是本性奇點的充要條件是不存在有限或無窮的極限limzTZof(z)。4.3 函數(shù)在極點的留數(shù)：準則一：若Zo為一級極點，則Resf(z),z0=limzTZof(z)(z-z0)準則二：做Zo為m級極點，則Resf(z)，z小氤圾爵(z-z°)mf(z)準則三：設f(z)二照,P(z)以及Q(z)都在Zo解析，如果P(Zo)=O,QQ(z0>0,則Zo是f(z)的一級極點，而且:Resf(z),z0=4.4

18、無窮遠處的留數(shù)：定義:擴充z平面上設z=8為f(Z)上的孤立奇點，即f(Z)在R<|z|<+00內(nèi)解析，C為圓環(huán)繞原點Z二0的任一條正向簡單閉曲線，則積分值親打dz稱為f(z)在Z=8處的留數(shù)，記作Resf(z),8二白gtf(z)dz如果f(z),在R<|z|<+8內(nèi)的洛朗展開式為f(z)=E=-oocnzn貝|J有Resf(z)zc»=-c.i4.4.2 如果f(z)在擴充復平面上只有有限個孤立奇點(包括無窮遠處在內(nèi))設為Z,Z2,，zn,8則f(z)在各奇點的留數(shù)總和為零，即Ek=iResf(z)dz+Resf(z),oo=0;4.4.3 Resf(z),oo=-Resf(1)«0例題：求下列Res夕,8的值(1)f(z)=z2-l(2)f(z)=z(z+1)4(z-4)解：(1)在擴充復平面上有奇點：±1,00,而±1為f(z)的一級極點且Resf(z),l=limz_>1(z-l)f(z):limzTi-=-eResf(z)rl=limz(z-l)f啊二六VResf(2),00+Resf(z)4+Resf(z)rl=0得:.Resf(z)zoo=-Resf(z),l+Resf(z)rl=-(e-1+e)=-shl2(2)由公