musicespritmvdr算法的譜估計

1、課程(論文)題目：MUSIC、ESPRIT、MVDR算法的譜估計內容：1算法原理1.1 MUSIC算法MUSIC算法利用信號子空間和噪聲子空間的正交性，構造空間譜函數(shù)，通過譜峰搜索，估計信號頻率。由APAHg=0,i=K+1,.,M且矩陣AHA可逆得(AhA)AHAPAHa=PAHa=0,i=K+1,.,M。又由于矩陣P為正定的對角矩陣，方程兩邊可再同時左乘P,，推出aH(%J訪=0,k=1,2,，K,i=K+1,.,M。這就表明，信號頻率向量aQ與噪聲子空間的特征向量正交。信號角頻率的估計可以由掃描函數(shù)Pmusic9)的K個峰值位置確定。-11,1PMusicg)=-佃=Fewt產(chǎn)a(切)G

2、a(缶)GGa(s)1.2 ESPRIT算法ESPRIT算法即基于旋轉不變技術的信號參數(shù)估計。連續(xù)M個時刻的觀測值可表示為向量形式x(n)=As(n)+v(n)。定義隨機過程y(n)=x(n+1),且向量y(n)和矩陣中分別為y(n)=y(n)y(n-1)IIIy(n-M+1)1r,4=diagej&e&HIejt>,則y(n尸Ag(n)+v(n+1)。向量x(n)的自相關矩陣為Rxx=Ex(n)xH(n)APAh+仃2VI,向量x(n)和y(n)的互相關矩陣為Rxy=Ex(n)yH(n)=APMAH+。2VZ。對Rxx進行特征分解，找到Rxx的最小特征值九min=%之%

3、之由2Am)。定義矩陣：2H2HHCxx=Rxx-<TvI=Rxx%inI=APA,Cxy=Ry仃VZ=Rxy<inZ=AP*A可以通過求解方程式|Cxx-九Cxy|=0來求得到矩陣Cxx,Cxy的廣義特征值。當>u=ej®,k=1川，K時,矩陣(Cxx-九Cxy)是奇異的；而兒*ej£*,k=1川，K時,(Cxx-九Cxy)是滿秩的。矩陣對Cxx,Cxy的廣義特征值恰為e儂jmejt>,這些根的相位即為信號的頻率估計。1.3MVDR算法MVDR算法即最小方差無失真響應算法，是有別于經(jīng)典功率譜估計和參數(shù)模型估計的另一類信號頻率估計方法。定義向量x(n

4、)M=Jx(n)x(n-1)HIx(n-M+1)，假k定信號通過一個M抽頭的FIR濾波器W(z)=Ew(k)z,則輸出信號為：k=0yn=xn*an八wkxn-k=xTwk=02y(n)的功率可以表小為p=E|y(n)=Ewxxw=wExxw=wRxxw。為求得濾波器的系數(shù)，需要滿足在對給定的某一頻率劭處，x(n)無失真地通過，且p最小。此時，Rxxa'iwMVDR=H1P=H1a-iRxxai1則PMVDR'-H1,，,，L二，二a-RxxaPmvdr(6)并不是真正意義上的功率譜，但a'iRxxai它描述了信號真正譜的相對強度，可以由此估計信號頻率2算法實現(xiàn)采用空間

5、譜估計的典型代表MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法，對含有高斯白噪聲的復正弦信號進行頻率估計。選取的信號數(shù)p=3,陣元數(shù)M=10,采樣數(shù)N=1000。待檢測信號的歸一化頻率為L=0.10,f2=0.20,f3=0.45,仿真的待檢測信號為：111上2可142力22加3eeeS=._j2二耳（M4）_j2二f2（M）_j2二f3（M）ee假設0聲2聲3都是零均值，方差為1的白噪聲，采樣數(shù)為N,且彼此之間相互獨立，則陣列響應矩陣為e-j2?-j2鼻ee-j2加3V假定口聲vi,i-I1,M】為零均值，方差為1的高斯白噪聲，采樣數(shù)為N,則待檢測信號引入的噪聲為v=*rrVm于是仿真信號為

6、：X=S*A+v2.1 MUSICWft利用MUSIC算法進行頻率估計時，首先求出仿真信號的自相關矩陣R=X*X'/N然后對自相關矩陣進行特征值分解得到特征值空間U和特征向量空間D,然后對特征值空間U進行升序排序，取較小的M-p個特征值所對應的特征向量組成噪聲子空問G,然后求得PMUSIC'，1W0,0.51music算法程序段如下所示：R=X*X'/N;UD=eig(R);d,index=sort(diag(D);U=U(:,index);fori=-N:Na=exp(-j*2*pi*0:M-1'*(i*0.5/N);Pmusic(i+1+N)=abs(1/(

7、a'*U(:,1:end-p)*U(:,1:end-p)'*a);endplot(omg,10*log10(Pmusic/max(Pmusic);%畫出MUSIC算法圖形2.2 ESPRI饃法ESPRIT算法要先構造相關矩陣Rxx和Rxy,然后對Rxx進行特征值分解得到最小特征信人min即為噪聲的方差仃v2,通過對矩陣對Cxx,Cxy進行廣義特征值分解，最接近單位圓的K個特征值相位即為信號的頻率估計。ESPRIT算法程序段如下所示：S1=U(1:end-1,8:10);S2=U(2:end,8:10);S12=S1S2;UuDd=eig(S12'*S12);dd,ind

8、=sort(diag(Dd);Uu=Uu(:,ind);dt=-Uu(1:3,1:3)*inv(Uu(4:6,1:3);dd=eig(dt);t_esprit=asin(-angle(dd)/(2*pi);plot(t_esprit,000,'*','color','red')%畫出ESPRIT算法圖形，紅色表示2.3 MVDR算法MVDR算法要先求自相關矩陣Rxx,然后將峰搜索矩陣a(叫)帶入最小方差譜估計公式PMVDR'=H1,一10,0.51aRxxa通過觀察譜峰得到信號的頻率估計值。MVDR算法程序段如下所示：fori=-N:Na

9、=exp(-j*2*pi*0:M-1'*(i*0.5/N);Pmvdr(i+N+1)=abs(1/(a'*inv(R)*a);endplot(omg,10*log10(Pmvdr/max(Pmvdr),'-','color','black')2.4 程序流程圖各算法程序流程圖如下所示:2.4.1MUSIC算法圖圖2.4.2ESPRIT算法圖2.4.3MVDR算法3仿真結果使用MATLAB軟件進行仿真，得出MUSIC算法、ESPRIT算法、MVDR算法的仿真圖形分別如圖3.1、圖3.2、圖3.3所示。為了將這三種算法的譜估計效果更加

10、直觀地比較，將三種算法的仿真結果圖形放在一張圖中進行比較，如圖3.4所示。另外，MUSIC算法得出的頻率估計為f=0.10,f2=0.20,f3=0.45,運算時間time=1.415;ESPRIT算法的頻率估計為f1=0.10,f2=0.20,f3=0.47,運算時間time=0.0251;MVDR算法的頻率估計為f1=0.10,f2=0.20,f3=0.45,運算時間time=0.0910。圖3.2ESPRIT仿真結果圖3.1MUSIC仿真結果圖3.4各種算法仿真比較結果圖3.3MVDR仿真結果4算法比較由仿真圖形和運算時間可以看出，MUSIC算法、ESPRIT算法和MVDR算法都可以實現(xiàn)對含噪復正弦信號的頻率估計，而且能夠克服DFT中存在能量泄漏和柵欄效應，誤差較小。三種方法中，MVDR算法實現(xiàn)最為簡單，在較小的運算次數(shù)時快捷且準確度高，但是運算量會隨著采樣點數(shù)的增大而急劇增大；MUSIC算法最為常規(guī)，而且能夠實現(xiàn)超分辨，有效的克服了工程應用中由于先驗信息不足而導致的分辨率降低問題，但是運算量也是很大，不利于次數(shù)較大的頻率估計；ESPRI