鮮大權(quán)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第13講

1、1綱要綱要1、參數(shù)點(diǎn)估計(jì)復(fù)習(xí)、參數(shù)點(diǎn)估計(jì)復(fù)習(xí)2、置信區(qū)間與置信度、置信區(qū)間與置信度 3、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)4、單側(cè)置信區(qū)間、單側(cè)置信區(qū)間5、 (0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)6、小結(jié)、小結(jié)21、兩種點(diǎn)估計(jì)法綱要、兩種點(diǎn)估計(jì)法綱要: 矩估計(jì)法：矩估計(jì)法：求矩、替換、解參數(shù)求矩、替換、解參數(shù)最大似然估計(jì)法：最大似然估計(jì)法：似然函數(shù)、取對(duì)數(shù)、求最值似然函數(shù)、取對(duì)數(shù)、求最值 在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中常先使用最大似然估計(jì)法在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中常先使用最大似然估計(jì)法, 在在最大似然估計(jì)法使用不方便時(shí)再用矩估計(jì)法最大似然估計(jì)法使用不方便時(shí)再用矩估計(jì)法。1211( )( ,;

2、 )( ; )( ; );nnniiiiLL x xxp xf x似然函數(shù)或參數(shù)點(diǎn)估計(jì)參數(shù)點(diǎn)估計(jì)3引言引言 從前面可看到從前面可看到, 對(duì)于同一個(gè)參數(shù)對(duì)于同一個(gè)參數(shù), 用不同的用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不相同估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不相同, 原則上任何原則上任何統(tǒng)計(jì)量都可以作為未知參數(shù)的估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量都可以作為未知參數(shù)的估計(jì)量。問(wèn)題問(wèn)題(1)對(duì)于同一個(gè)參數(shù)究竟采用哪一個(gè)估計(jì)量好對(duì)于同一個(gè)參數(shù)究竟采用哪一個(gè)估計(jì)量好?(2)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是什么評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是什么?下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn)。下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn)。二、估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)二、估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 41.無(wú)偏性無(wú)偏性( (Unbiase

3、d) ) 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，為總體為總體若若XXXXn,21 ,的分布中的待估參數(shù)的分布中的待估參數(shù)是包含在總體是包含在總體 X )(的取值范圍的取值范圍是是 12(,)( ) , ( ), nXXXEE定義：若估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望且對(duì)有則稱(chēng)是的無(wú)偏估計(jì)量。無(wú)偏估計(jì)的實(shí)際意義無(wú)偏估計(jì)的實(shí)際意義: 無(wú)系統(tǒng)誤差。無(wú)系統(tǒng)誤差。5.1 , ,)1()(121的無(wú)偏估計(jì)的無(wú)偏估計(jì)階總體矩階總體矩是是階樣本矩階樣本矩總體服從什么分布總體服從什么分布論論的一個(gè)樣本，試證明不的一個(gè)樣本，試證明不是是又設(shè)又設(shè)存在存在階矩階矩的的設(shè)總體設(shè)總體knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX 證證同分布，同分布，與

4、與因?yàn)橐驗(yàn)閄XXXn,21)()(kkiXEXE 故有故有., 2 , 1,nik nikikXEnAE1)(1)(即即.k 例例10.6. 的無(wú)偏估計(jì)的無(wú)偏估計(jì)階總體矩階總體矩是是階樣本矩階樣本矩故故kkkAk 特別的特別的:. )( 1估計(jì)量估計(jì)量的無(wú)偏的無(wú)偏的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望總是總體總是總體XEXX 不論總體不論總體 X 服從什么分布服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在只要它的數(shù)學(xué)期望存在,7222221 , 0 , 1, , ()().niiXXn對(duì)于均值方差都存在的總體 若均為未知 則的估計(jì)量是有偏的 即不是無(wú)偏估計(jì)證證.2222211,niiXXAXn222222222222222

5、2 () ()() ()1 ()()()()E AE XD XE XnnEE AXE AE Xn又有偏例例11.8. , 1 2偏的偏的所得到的估計(jì)量就是無(wú)所得到的估計(jì)量就是無(wú)乘乘若以若以 nn(該方法稱(chēng)為該方法稱(chēng)為無(wú)偏化無(wú)偏化)。.)(11222 EnnnnE221 Snn 因?yàn)橐驗(yàn)? )(1112 niiXXn, 22的無(wú)偏估計(jì)的無(wú)偏估計(jì)是是即即 S.22的估計(jì)量的估計(jì)量作作故通常取故通常取 S92. 最小方差性和有效性最小方差性和有效性( (Minimum Variance and efficiency) . , ,212121有效有效較較則認(rèn)為則認(rèn)為更密集更密集的附近較的附近較的觀察值

6、在真值的觀察值在真值相同的情況下相同的情況下在樣本容量在樣本容量如果如果和和的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量比較參數(shù)比較參數(shù) n 由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度偏離程度, 所以無(wú)偏估計(jì)以方差小者為好。所以無(wú)偏估計(jì)以方差小者為好。111222121212(,)(,), ()(),nnXXXXXXDD定義:設(shè)與都是 的無(wú)偏估計(jì)量若有則稱(chēng)較有效。10例例12.(2006數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一)設(shè)總體設(shè)總體X X的概率密度為的概率密度為:,01,;1,12,0,xf xx其他,其中 是未知參數(shù) ， 為來(lái)自總體 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記 為樣本值 中小于1的個(gè)數(shù)，求 的

7、最大似然估計(jì)。0112n,.,XXXXN12,.,nx xx例例13.(2004數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一)設(shè)總體設(shè)總體X X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:11,1,( ;)0,1,xF xxx其中未知參數(shù) ， 為來(lái)自總體 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求：（I） 的矩估計(jì)量； （II） 的最大似然估計(jì)量。X112,nXXX11例例1.(2006年年12月期終考試，月期終考試，10分分)設(shè)設(shè)總體總體 為它的一個(gè)樣本，問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量哪些是為它的一個(gè)樣本，問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量哪些是 的無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量？哪個(gè)無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量更有效？的無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量？哪個(gè)無(wú)偏統(tǒng)計(jì)量更有效？2123( ,),XNxxx 、 、1231231233318,774121162XX

8、XXXXXXX333123、相合性1212(,), , (,), .nnXXXnXXX 定義:若為參數(shù) 的估計(jì)量若對(duì)當(dāng)時(shí)依概率收斂于則稱(chēng)為的相合估計(jì)量 相合性相合性(或稱(chēng)一致性或稱(chēng)一致性)是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)基本是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)基本要求要求, 不具備相合性的估計(jì)量是不予以考慮的。不具備相合性的估計(jì)量是不予以考慮的。132、評(píng)價(jià)估計(jì)量的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)、評(píng)價(jià)估計(jì)量的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 無(wú)偏性無(wú)偏性有效性有效性相合性相合性 由最大似然估計(jì)法得到的估計(jì)量由最大似然估計(jì)法得到的估計(jì)量, 在一定條件下也在一定條件下也具相合性，而估計(jì)量相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時(shí)具相合性，而估計(jì)量相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時(shí)才顯出優(yōu)越性才顯出

9、優(yōu)越性, 這在實(shí)際中常難以做到這在實(shí)際中常難以做到,因此在工程中因此在工程中常只使用無(wú)偏性和有效性?xún)蓸?biāo)準(zhǔn)。常只使用無(wú)偏性和有效性?xún)蓸?biāo)準(zhǔn)。 14 引言引言 為彌補(bǔ)點(diǎn)估計(jì)這一缺陷為彌補(bǔ)點(diǎn)估計(jì)這一缺陷 。 20世紀(jì)世紀(jì)30年代，統(tǒng)計(jì)學(xué)家年代，統(tǒng)計(jì)學(xué)家Neyman奈曼引入了一種估計(jì)方法。奈曼引入了一種估計(jì)方法。,點(diǎn)估計(jì)法是由樣本求得一個(gè)值 去估計(jì)參數(shù) ，但 僅是的一個(gè)近似值，其精確程度無(wú)法判斷。 由一組樣本值可得到一個(gè)估計(jì)值 ，但樣本值是隨機(jī)的 因而也是隨機(jī)的。哪一個(gè)樣本值算出的近似值更接近真值，也無(wú)法判斷。( ,),希望通過(guò)樣本確定一個(gè)包含真值 的區(qū)間同時(shí)給出該區(qū)間包含真值 的可靠程度。該參數(shù)估計(jì)法

10、稱(chēng)為該參數(shù)估計(jì)法稱(chēng)為區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) ，也稱(chēng)為也稱(chēng)為置信區(qū)間法置信區(qū)間法估計(jì)估計(jì)。 15一、置信區(qū)間與置信度一、置信區(qū)間與置信度 121212,01,(,),(,),()1(,)1, 1nnnxxxxxxxxxP 設(shè)是總體分布的一個(gè)未知參數(shù)，是總體的一 個(gè)樣本，對(duì)于給定的能確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和使得則稱(chēng)區(qū)間為參數(shù)的置信水平為的稱(chēng)為1、定義、定義. 置信區(qū)間置信區(qū)間置信度置信度 。 分別稱(chēng)為置信下限和置信上限。分別稱(chēng)為置信下限和置信上限。 、16一旦有了樣本，就把一旦有了樣本，就把 估計(jì)在區(qū)間估計(jì)在區(qū)間 內(nèi)。內(nèi)。 , 對(duì)參數(shù)對(duì)參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴(lài)于樣作區(qū)間估計(jì)，是要設(shè)法找出兩個(gè)只依

11、賴(lài)于樣本的界限本的界限(兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量?jī)蓚€(gè)統(tǒng)計(jì)量)(X1,Xn)(X1,Xn)兩點(diǎn)要求兩點(diǎn)要求,要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間 內(nèi)，內(nèi)， P即概率即概率 要盡可能大要盡可能大.1可靠性：可靠性：2精確性：精確性：要求估計(jì)的精確度盡可能高，要求估計(jì)的精確度盡可能高，即區(qū)間長(zhǎng)度即區(qū)間長(zhǎng)度 盡可能短。盡可能短。這是一對(duì)矛盾，一般是在保證可這是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精確度。靠度的條件下盡可能提高精確度。2、置信度和置信區(qū)間的意義、置信度和置信區(qū)間的意義17. 1的的估估計(jì)計(jì)值值區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)沒(méi)沒(méi)有有給給出出參參數(shù)數(shù).,.,. 2置置信信度度越越低低越越

12、小小但但是是包包含含參參數(shù)數(shù)的的概概率率也也差差可可能能會(huì)會(huì)越越小小誤誤置置信信區(qū)區(qū)間間越越短短但但誤誤差差越越大大的的概概率率越越大大包包含含參參數(shù)數(shù)置置信信度度越越大大置置信信區(qū)區(qū)間間越越長(zhǎng)長(zhǎng)3、說(shuō)明、說(shuō)明.,立立盡盡可可能能小小的的置置信信區(qū)區(qū)間間建建條條件件下下要要在在保保證證一一定定置置信信度度的的因因此此184、一般步驟、一般步驟(P163):22222,nnnnXXXXabP aXXbaXXbXX o11o1o11尋求樣本X的一函數(shù)w=w(X; )包含待估參數(shù) 而不含其它未知參數(shù)，w的分布已知且不依賴(lài)包括 的任何未知參數(shù)；2 對(duì)給定的置信水平1- ，定出兩常數(shù) 、 使w(X; )

13、1-3 若能從w(X; )得到等價(jià)不等式其中 (X2,nnXX 1),(X)都是統(tǒng)計(jì)量，則()為 的一個(gè)置信水平為1- 的置信區(qū)間。19單個(gè)總體單個(gè)總體 的情況的情況兩個(gè)總體兩個(gè)總體 的情況的情況2( ,)N 211(,),N 222(,)N 2221)(0,1)2() (1)(1)3)1,(的三個(gè)抽樣分布：XNnXt nSnnSXN n 20( (一一) )單正態(tài)總體單正態(tài)總體 的情況的情況2( ,)N 2( ,),XN 并設(shè)并設(shè) 為來(lái)自總體的為來(lái)自總體的 1,nXX樣本樣本 ,2,X S分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差 .均值均值 的置信區(qū)間的置信區(qū)間1.12為已知為已知(

14、0,1)XNn 可得到可得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1 22(,)XuXunn2()Xun 或或21例例1(P63)：2212( ,),nXNxxxX 設(shè)總體已知， 未知，為來(lái)自 的樣本，求 的置信水平為1- 的置信區(qū)間。解：解： 分三步完成分三步完成.)1(確確定定一一個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量.,有有關(guān)關(guān)且且與與該該統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的分分布布已已知知 211(,)niixxNnn取樣本均值(0 ,1)/xNn由P.168分布定理2有22得得由由上上式式左左端端不不等等式式解解出出 )3( 1)(2/2/nzxnzxP/2/2(,)xzxznn于是得所求置信區(qū)間為)(t O

15、x2/ 2/ z2/ z /2/2/2/2(2)0,()1,()12/zxzPzzn 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求使2322為未知為未知 (1)Xt nSn 可得到可得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間為為 1 此分布不依賴(lài)于此分布不依賴(lài)于任何未知參數(shù)任何未知參數(shù)2|(1)1XPtnSn 由由22(1),(1)SSXtnXtnnn2(1)SXtnn或或2422221(1)1(),1.1693 (1)/niisxxnxPt nsn確定統(tǒng)計(jì)量用的無(wú)偏估計(jì)量估計(jì) 由分布定理 有.1,),(2122置置信信區(qū)區(qū)間間的的求求樣樣本本為為均均為為未未知知與與設(shè)設(shè)總總體體 nxxxNX例例2.解：解：

16、 分三步完成分三步完成25/2/2/2(2)1,(1)0(1)(1)1/ttnxPtntnsn 對(duì)給定置信度查 分布表求 使)(tfOx2/ 2/ t2/ t /2/2/2/2(3)(1)(1)1(1),(1)ssP xtnxtnnnssxtnxtnnn 由上式左端不等式解出得則得所求置信區(qū)間為26 例例3. 有一大批糖果有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)取現(xiàn)從中隨機(jī)取 16 袋袋 , 稱(chēng)得重量稱(chēng)得重量(以克計(jì)以克計(jì))如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496設(shè)袋裝糖果重量近似服從正態(tài)分布設(shè)袋裝糖果重量近似服

17、從正態(tài)分布,試求總體均值試求總體均值 的置的置信水平為信水平為0.95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解解.10.9520.025,115,n1611503.75 ,16iixx 16211()6.2022 .15iisxx 0.025(15)2.1315t 2(1)sxtnn于是得到于是得到 的的置信水平為置信水平為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為即即(500.4,507.1)27方差方差 的置信區(qū)間的置信區(qū)間22.222(1)(1)nSn 2221222(1)(1)(1)1由nSnn 可得到可得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間為為1 2222212(1)(1)(,)(1)(1)n

18、SnSnn 222122(1)(1)(1)1由nSPnn 可得到標(biāo)準(zhǔn)差可得到標(biāo)準(zhǔn)差 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間為為1 2221211(,)(1)(1)nSnSnn 28.1,),(22122置置信信區(qū)區(qū)間間的的求求樣樣本本為為均均為為未未知知與與設(shè)設(shè)總總體體 nxxxNX22211(1)()1niisxxn確定統(tǒng)計(jì)量，是的無(wú)偏估計(jì)量222(1)2(1)nsn由P.168分布定理 知例例4.解：解：2221/ 2/ 22221/ 2/ 22222221/ 2/ 2(1) ,(1)(1)(1)(1)1(1)(1)1(,)(1)(1)nnnsPnnnsnsnn(2)查分布表得使得

19、的置信區(qū)間為)(tftO22/ 2/ 2/ 22/1 29 例例5. 有一大批糖果有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)地取現(xiàn)從中隨機(jī)地取 16 袋袋 , 稱(chēng)得重量稱(chēng)得重量(以以克計(jì)克計(jì))如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體標(biāo)準(zhǔn)差試求總體標(biāo)準(zhǔn)差 的的置信水平置信水平0.95為的置信區(qū)間為的置信區(qū)間.解解20.025120.975,115,n16211()6.2022 .15iisxx 220.0250.975(15)27.488,

20、(15)6.262于是得到于是得到 的的置信水平為置信水平為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(4.58,9.60)即2221211(,)(1)(1)nSnSnn 30區(qū)間估計(jì)綱要信號(hào):定統(tǒng)計(jì)量定統(tǒng)計(jì)量,查分位點(diǎn)查分位點(diǎn),算區(qū)間。算區(qū)間。31( (二二) )雙正態(tài)總體雙正態(tài)總體 的情況的情況211(,),N 222(,)N 設(shè)已給定置信水平為設(shè)已給定置信水平為 , 并設(shè)并設(shè) 1 112,nXXX是來(lái)自第一個(gè)總體的樣本是來(lái)自第一個(gè)總體的樣本 , 212,nY YY是來(lái)自第二是來(lái)自第二個(gè)總體的樣本個(gè)總體的樣本 ,這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立 .且設(shè)且設(shè) 分別分別,X Y為第一、二個(gè)總體的樣本

21、均值為第一、二個(gè)總體的樣本均值 , 2212,SS為第一、二為第一、二個(gè)總體的樣本方差個(gè)總體的樣本方差 . 兩個(gè)總體均值差兩個(gè)總體均值差 的置信區(qū)間的置信區(qū)間12 1.12212,為已知為已知322111(,),XN n2222(,)YN n因?yàn)橐驗(yàn)?相互獨(dú)立相互獨(dú)立 ,X Y所以所以 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 . ,X Y故故22121212(,)XYN nn12221212()()(0,1)XYNnn 或或2212212()XYunn則得則得 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 12 33222212,為已知為已知2121212()() (2)11XYt nnSnn 其中其中2,

22、SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 2121211(2)XYtnnSnn于是得到于是得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 12 其中其中2,SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 34 例例6.為比較為比較 I , 兩種型號(hào)步槍子彈的槍口兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度速度 ,隨機(jī)地取隨機(jī)地取 I 型子彈型子彈 10 發(fā)發(fā) ,得到槍口速度的平得到槍口速度的平 均值均值 為為 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 隨隨機(jī)地取機(jī)地取 型子彈型子彈 20 發(fā)發(fā) ,得到槍口速度的平均值為得到槍口速度的平均值為 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 假設(shè)兩總假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布體都可

23、認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布.且生產(chǎn)過(guò)程可認(rèn)且生產(chǎn)過(guò)程可認(rèn)為方差相等為方差相等 .求兩總體均值差求兩總體均值差 的的置信水平為置信水平為 0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.1500(),xm s 211.10(),sm s 2496(),xm s 221.20().sm s 12 35解解122121211(2)xxtnnsnn 依題意依題意 , 可認(rèn)為分別來(lái)自?xún)煽傮w的樣本是可認(rèn)為分別來(lái)自?xún)煽傮w的樣本是相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的.又因?yàn)橛杉僭O(shè)兩總體的又因?yàn)橛杉僭O(shè)兩總體的方差相等方差相等 ,但但數(shù)數(shù)值未知值未知 ,故兩總體均值差故兩總體均值差 的的置信水平為置信水平為的置信區(qū)間的置信區(qū)間為為12 1 其中其中

24、2,ss 222112212(1)(1).2nsnssnn 36這里這里121220.025,10 ,20,228,nnnn0.025(28)2.048.t 1.1688.s 故兩總體均值差故兩總體均值差 的的置信水平為置信水平為0.95 的置信區(qū)的置信區(qū)間間為為12 1500,x 2496,x 122121211(2)xxtnnsnn(40.93)即即 (3.07, 4.93) .37兩個(gè)總體方差比兩個(gè)總體方差比 的置信區(qū)間的置信區(qū)間22122.( 為已知為已知 )12, 22122122212(1,1)SSFnn221212122122212(1,1)(1,1)1SSP FnnFnn 由由

25、即即222111222221222121211 1(1,1)(1,1)SSPS FnnS Fnn 則得則得 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為1 2212222111222221222121211()(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn 38 例例7.研究由機(jī)器研究由機(jī)器 A 和機(jī)器和機(jī)器 B 生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑 , 隨機(jī)地抽取機(jī)器隨機(jī)地抽取機(jī)器 A生產(chǎn)的鋼管生產(chǎn)的鋼管18只只 , 測(cè)得樣本方差測(cè)得樣本方差 隨機(jī)地取機(jī)器隨機(jī)地取機(jī)器 B 生產(chǎn)的鋼管生產(chǎn)的鋼管13只只 ,測(cè)得樣本方差測(cè)得樣本方差 設(shè)兩樣本相互獨(dú)立設(shè)兩樣本相互獨(dú)立 , 且設(shè)由機(jī)器且設(shè)由機(jī)器 A

26、 和機(jī)器和機(jī)器 B 生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑分別服生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布從正態(tài)分布 這里這里 (i =1,2) 均未知均未知 .試求方差比試求方差比 的的置信水平為置信水平為 0.90 的置的置信區(qū)間。信區(qū)間。2210.34();smm 2,ii 2220.29().smm 221122,N N 2212390.10,20.05,120.95,0.05(17,12)2.59,F 即即 (0.45 , 2.79) .22112218,0.34,13,0.29.nsns解解.0.950.0511(17,12).(12,17)2.38FF故兩總體方差比故兩總體方差比 的的置信水平為置信水平為0.9

27、0 的置信區(qū)的置信區(qū)間間為為2212222111222221222121211()(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn 405152222221/20.025/21.1259511(1259)(91 61416 ) 142.55 14(1)(4)2.776142.5(1)2.77614.851259 14.81259 14.80.95(1244.2, 1273.8)iiiixxsxtntstnn 解樣本均值查表得得的置信區(qū)間為.,5,1250,1260, 1265, 1245, 1275.,(0.05)oooooCCCCC例8 用某儀器測(cè)量溫度 重復(fù)次 得數(shù)據(jù)若測(cè)得的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布試

28、求溫度真值所在范圍。41522122/ 20.02522/ 2221/ 20.975221/ 21.(1259)142.551(1)(4)11.143(1)4142.551(1)11.143(1)(4)0.488(1)4142.51168(1)0.488iisxnnsnnnsn解查表得29.,5,12501260126512451275,0.95oooooCCCCC例 用某儀器測(cè)量溫度 重復(fù)次 得數(shù)據(jù)、， 若測(cè)得的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布試求總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間。0.95(51, 1168)0.95( 51,1168)(7.2, 34.2)于是總體方差的置信區(qū)間為標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為即42三、單側(cè)

29、置信區(qū)間三、單側(cè)置信區(qū)間 上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限。如元件使用壽命過(guò)長(zhǎng)人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限。如元件使用壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了。這時(shí)可將置信上限取為沒(méi)問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了。這時(shí)可將置信上限取為+，只考慮，只考慮置信下限，這樣的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間。置信下限，這樣的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間。 單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：?jiǎn)蝹?cè)置信區(qū)間和置信限的定義：),(nXXX21 滿(mǎn)足滿(mǎn)足設(shè)設(shè) 是是 一個(gè)待估參數(shù)，給定一個(gè)待估參數(shù)，給定, 0 若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確

30、定的統(tǒng)計(jì)量確定的統(tǒng)計(jì)量1P則稱(chēng)區(qū)間則稱(chēng)區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間. ), 1稱(chēng)為單側(cè)置信下限稱(chēng)為單側(cè)置信下限.),(nXXX21若統(tǒng)計(jì)量若統(tǒng)計(jì)量 滿(mǎn)足滿(mǎn)足1P則稱(chēng)區(qū)間則稱(chēng)區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間. ,( 1 稱(chēng)為單側(cè)置信上限稱(chēng)為單側(cè)置信上限.43四、四、(0-1)(0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體設(shè)總體X服從服從(0-1)分布分布,求參數(shù)求參數(shù)p的置信水平為的置信水平為1-的置信區(qū)間的置信區(qū)間.設(shè)設(shè)X1, X2, Xn是一個(gè)樣本是一個(gè)樣本 (n較大較大), 由中心極限定理有由中心極限定理有),(

31、)()(10111NpnpnpXnpnpnpXnii112zpnpnpXnP)(于是有,2122124ppaacbbp置信區(qū)間為故P168例例222222()(2)0nzpnXzpnX不等式等價(jià)于44五、考題選講五、考題選講1、(1993數(shù)學(xué)三)設(shè)總體X的方差為1，據(jù)來(lái)自X的容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，測(cè)得樣本均值為5，則 的數(shù)學(xué)期望的置信度近似等于0.95的置信區(qū)間為 。X(4.8,5.2)2、(1996數(shù)學(xué)三)由來(lái)自正態(tài)總體 ，容量為9的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若得到樣本均值 則未知參數(shù) 的置信度0.95的置信區(qū)間是 。 (注： )2( ,0.9 )XN5,X 0.051.96u(4.412,5.5

32、88)45 3、一批零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布 ，其中 均未知. 現(xiàn)從中隨機(jī)抽取16個(gè)零件，測(cè)得樣本均值 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ，則 的置信度為0.90的置信區(qū)間是 。),(2N2,)(20 cmx )( 1 cms 0.050.0511( ).(20(16),20(16).44Att0.10.111( ).(20(16),20(16).44Btt0.050.0511( ).(20(15),20(15).44Ctt0.10.111().(20(15),20(15).44Dtt( )C( )C46六、小六、小 結(jié)結(jié)信信區(qū)區(qū)間間區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)、置置信信度度、置置基基本本概概念念：的的區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)正正態(tài)態(tài)總總體體的的均均值值與與方方差差基基本本方方法法：置置信信區(qū)區(qū)間間為為方方差差已已知知，均均值值的的 1. 1),(2/2/nzxnzx 置置信信區(qū)區(qū)間間為為方方差差未未知知，均均值值的的 1. 2)1(,)1(2/2/nsntxnsntx 置置信信區(qū)區(qū)間間為為總總體體方方差差的的 1. 3)1()1(,)1()1(22/222/12 nsnnsn 置置信信區(qū)區(qū)間間為為總總體體標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差的的 1) 1() 1(,) 1() 1(22/222/12 nsnnsn 要求：