數(shù)學高三專題復習數(shù)列求通項方法及經(jīng)典練習含答案

1、學習好資料山東省煙臺市芝景區(qū)數(shù)學 2015-2016 高三專題復習-數(shù)列（1）求通項方法及經(jīng)典練習（含答案）煙臺樂博士教育特供明老師整理1、定義法:直接求首項和公差或公比。2、公式法:（n=1）兩種用途（列舉），結果要驗證能否寫成統(tǒng)一的式子.（n.2）r、fa+1：*例、數(shù)列 Qn的各項都為正數(shù)，且滿足 Sn= n n1 1）（nwN）,求數(shù)列的通項公式.42一，a-122,斛一:由 Sn=(n 匚 NH 寸 4an=4(Sn書Sn)=(an噂1)(an1)化間行4(an由+anKan由an-2)=0,因為 an0,二 an+-an=2,又 4=4a=但-12得 Q=1,故%是以 1 為首項，

2、2 為公差的等差數(shù)列，所以 a=2n-1.,2a,1*解二：由&二J JN 卜可得 2 宿=41,二 2 四=11(n 之 2)2化簡可得（病1）=Sn,，即 JS?招=1又 S=1,所以數(shù)列昆是首項為 1,公差為 1 的等差數(shù)列,JS?=n,從而 Sn=n2,所以 an=Sn-Sn=2n-1,又 a1=1 也適合，故 an=2n-1.練習：已知數(shù)列a0的前 n 項和 Sn滿足an+2SnSn,=0（n2）,a1=,求an.擴展一：作差法例、在數(shù)列an中，a1=1,a十2a2十3a3+Hl+nan=(n1)2+n,求an.歡迎下載SnSn-Sn1答案：an1212n(nT)(n=1)(

3、n-2)解：由a,+2a2+3a3+lll+nan=(n-1)2+n,得a,+2a2+3a3用I+(n1耳=(n-2)2+n1,例、已知數(shù)列Q滿足an+=2an+2n+%-1(nN*),%=52,求通項小.n斛：由an+=2an+2n*+3n-1,兩邊同除以2,行2皆-才=2耳-亍孑*n之1),列出相加行學習好資料歡迎下載1(n=1)兩式相減，得nan=-6n+6,4=拈-6n-(n_2),n練習(理):已知數(shù)列an滿足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+川+(n1)an(n 之 2),求 an.解：由 an=a+2a2+3a3+川+(n1)an(n 之 2),得 an.=ai+2a2+3

4、a3+|十(n1)an+nan,兩式相減，得an由一an=nan,即包=n+1(n2),所以 an=-a-，亙二|生比=n(n-1)川 4 父 3aananJanNa2n!=a2又由已知，得a?=a1+2a2,則 a?=a=1,代入上式，得 an=1345 川 n=n!,所以,an的通項公式為 an1(n=1)=n!2(n-2)擴展二、作商法例、在數(shù)列an中，a1=1,對所有的n2,都有“四日例外=n2，求 an.2解：:a1叼2電3引1*an=n2,aa2a3，制2=n(12,故當n、2時，兩式相除，得an=-n2,一(n-1)12=n2(n-1)2(n=1)(n-2)3、疊加法：對于型如

5、an+-an=f(n)類的通項公式.1例、在數(shù)列an中，a1=3,an+=an+,求通項公式 an.n(n1)n練習：在數(shù)列an中,a1=1，%=&鼠”2),求九11答水：an=E55、構造法：型如an+1=pan+f(n)(p 為常數(shù)且 pw0,pw1)的數(shù)列(1)f(n)=q(q 為常數(shù))般地，遞推關系式 a+1=pan+q(p、q 為常數(shù)，且 p*0,p*1)等價與an1=p(an),則an-3為等比數(shù)列，從而可求 an.1-p.一*1aA.例、已知數(shù)列an滿足 a1=1,an=j(n2),求通項 a.22解：由 an=-an,得 1-an=(122一11f又1心丁。,所以數(shù)列1

6、是首項為 1111公比為_的等比數(shù)歹!J,an=1-(1 一現(xiàn))(_)=1 十(一一).222練習：已知數(shù)列an的遞推關系為 an由=2an+1,且 a1=1,求通項 an.答案：an=2nT.又由已知求得a1=6,an=n*2n+3n+1(nwN*).練習：已知數(shù)列an滿足an+=an+23n+1,a1=3,求數(shù)列an的通項公式.3-3nc答案：an=2+n+2=3n+n-1.1-34、疊乘法：一般地，對于型如 an=f(n)-an的類型例(理)、已知數(shù)列an滿足 an干=2(n+1)5nMan,闞=3,求數(shù)列an的通項公式.a.解：因為 an書=2(n+1)5xa。，a1=3,所以烝#0,

7、則 q=2(n+1)5n，故 anan二王皿川 0a2al=2(n-11)5、2(n-21)5n勺 112(11)513an1.an_2a2a1n(n1)=2nJn(n-1)1113M2父 5(2”*父 3=3 父 215kMn!,所以數(shù)列an的通項公式為n(nJ)an=3 父 2nlM5Mn!.學習好資料歡迎下載an2n*(0,求數(shù)列 Qn的通項公式.1-I+i,數(shù)列尾/21;是首項為 0,公差為 i 的Z九Jj等差數(shù)列，故生2J=n1,an=(n1)/+2n.n練習：在數(shù)列an中,a1=3,nan書=(n+2)an+2n(n+1)(n+2),求通項 an。-1答案 an=-n(n+1)(4

8、n-1).2解：由條件可得：一a=+2,數(shù)列T是首項為一公差為 2 的(n1)(n2)n(n1)(n1)n(11)x12等差數(shù)列。法二、構造等比數(shù)列法例、在數(shù)列an中，a1=2,a?=3,an書=3an-n2an,求an；在數(shù)列 Q)中，a=1,a2=2,&與=-an+-an,求 an.33解：由條件 an23an1-2an,歡迎下載解：由條件可得免三-niA?an2-an1=2(an1-an),疊加法得:22(1-2n-)an=%+=2-1?1-2由條件可得an平_an+=(an+-an)(等比數(shù)列)，3點撥：形如 f(an.an*an)=0 的復合數(shù)列，可把復合數(shù)列轉化為等差或等比

9、數(shù)列，再用初等方法求得an.例、已知數(shù)列an滿足 a1=1,an書=3an+5M2n+4,求數(shù)列an的通項公式.解：設 anJxM2n*+y=3(an+XM2n+y),將已知條件代入此式，整理后得(5+2x)x2n+4+y=3xx2n+3y,令 15+2x=3x,解得x=5,4y=3yy=2.有 an書+5 父 2n書+2=3(an+50,將條件變形，得(an4f+an)(n+1)an4hnan=0,又 an0,得 an4+an0,所以 an由=nan，即旦土=,到此可米用：n1ann1n1n-dn2n1n211法一(遞推法)：an=an=an=111=III-a1,從而 an=.nnn-1n

10、n-12n法二(疊成法)：-HI&=.之用,所以 an-.an4ana1nn72n法三(構造法):由亙=。，得 E 冏書=1,故na。是常數(shù)列,nan=1Ma1=1j.4.ann1nann點撥：解法一是迭代法，這是通法；解法二是疊乘法，適合由條件=f(n)求通項的題學習好資料歡迎下載七T_73/1、故an-(-二)443學習好資料型；解法三是構造法(簡單+經(jīng)典)，根據(jù)條件特點構造特殊數(shù)列求通項，技巧性較強，體現(xiàn)了轉化思想.例、已知數(shù)列an滿足an4=3an+23n+1,a1=3,求數(shù)列的通項公式.練習：已知數(shù)列 Qn中，a1=1,an4-an=n,求通項公式 an.(嘗試疊加法)解：由

11、已知，得 an=an,n-1=an2-n-1iTn-22nn-1nn+2=1=4n-1rin-2I1=1226、歸納猜想：給出或求出了數(shù)列的前幾項可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后再用數(shù)學歸納法證明之.例、已知點的序列 An(xn,0),n=N，其中為=0,X2=a(a0),A3是線段 A1A2的中點，A是線段 A2A3的中點，An是線段 AnAn的中點，寫出 xn與 Xn,Xnq之間的關系式(n23)；設 an=Xn書-Xn,計算 21包e3,由此推測 0的通項公式，并加以證明.解：(1)An是線段 An“An4的中點，4=工+”工(n-3)；2(2)由題意，得 a1=X2

12、-X1=a-0=a,猜想 an=(-1嚴 a(nWN*),下面用數(shù)學歸納法證明:2(1)當 n=1 時，a1=a 顯然成立;1(2)假設 n=k 時命題成立，即 ak=(-一)a(k=N*),則當 n=k+1 時,歡迎下載解：由已知，得(兩邊除以3n卡)，得andan3n1-3n33n13n13n-33n1故?哼an1an1)(一aman.an2a2E-(l(33nl213)IH(-T2)-3332(n-1) +(+L_+)+113n3n3n3n32)，an3n(1-3n1)2(n-1)3n()1-32n11+1=+,即an3223nnX2X1a2X3-X2X22=_(X2X1)=一a,a3=

13、X4-X3=22X3X2211=(X3X2)=一a,2學習好資料Xk1Xk_1,ak1-xk2-xk1-2_Xk=-2(Xk1-Xk)=_當 n=k+1 時命題也成立，故命題對任意 nwN 都成立.歡迎下載111k11k-ak=()()a=(_)a,222-練習: 已知數(shù)列an滿足8a1= =一一，an 噂噂=an+98(n1)-2_Z_2(2n1)(2n3)求通項an2448a2一一，戛戛= =一一，254980a4=,猜測a81(2n1)2-12(2n1)2(1)當 n=1 時，a1=-,9所以等式成立;假設當 n=k 時等式成立，即 akJ J2 2)J,)J,(2k1)=k+1 時等式

14、也成立.7、倒數(shù)法：形如f(an,an，ana)=0的關系，可在等式兩邊同乘以ananan求出a例、已知數(shù)列an中，a1=1,an書an-(nwN)，求 anan11an=n例、設正數(shù)數(shù)列a。(nWN)滿足:.ananN-；an/an/=2an/(n 一 2),且 a0=a1=1,求an的通項公式.解：將原式兩邊同除以ja石整理得:則bn=2bny,故有bn+i=2(bn+1),又bi+1=2,.數(shù)列bn+1是首項為2,公比為2 的等比數(shù)列，bn+1=2n,即J=2n-1,旦=(2n1)2(nWN),逐項相乘得:.an4an1an=(2-1)2(22-1)2；，(2n1)2,考慮到 a。=1,

15、+，1(n=0)故an=3222Hln2、(2-1)2*(22-1)2川*(2n-1)2(n-1)例、已知數(shù)列an,其中 a1=1,且 an+=an2nan-3一21Tb卡，學習好資料，一 131解：=+2,設 bn=，則 bn+=-3bn+2,(N 刖萬法)bn=J21(巧)n，得an1anan555an=2n-(-3)n練習 1:設數(shù)列Jan滿足 ai=2,an+=-a(nN*),求an.答案：1=2Tan323求數(shù)列an的通項公式是 an.解：由 Sn書=S,得=3+4,令+九=3(2+?J,34SnSn1SnS01S11c、+2=3(-+2),Sn1Sn數(shù)列1 十 2是以 1+2=3

16、為首項，3 為公比的等比數(shù)歹I,SnS1+2=33nA=3n,一 11Sn=F，當 n 之 2 時，由an=SnSn(n2)得an=-n-3-13-21ant-23n32n一83n128、 其它特殊方法:(1)取對數(shù)法例、若數(shù)列an中，a1=3 且 an4f=an2(n 是正整數(shù))，則它的通項公式是 an=解由題意知%0,將 an書=an2兩邊取對數(shù)得 lgan*=2lgan,即應亙 t=2,所以數(shù)列l(wèi)gann_1n_1lgan是以 lga=lg3 為首項，公比為 2 的等比數(shù)列，lgan=lga1-2=lg3，即 an=3.(2)循環(huán)法：數(shù)列有形如 f(an七，an+,an)=0 的關系，如

17、果復合數(shù)列構不成等差、等比數(shù)列，有時可考慮構成循環(huán)關系而求出an.例、已知數(shù)列an中，a1=1,3n+an=2n+3,求明.歡迎下載練習 2:若數(shù)列1中，ai=1,Sn是數(shù)列a。的前 n 項之和，且 SSn34Sn(n1),1-23n3nJ-2=32n-83n12(n=1)(n-2)學習好資料解：由an+4=2n+3,得為+an.=2(n+1)+3,兩式相減得an-an=2,即數(shù)列an的奇數(shù)項組成一個首項為 1、公差為 2 的等差數(shù)列；偶數(shù)項組成一個首項為 a2=4,公差為 2 的等差數(shù)列。注：此例中的數(shù)列為特殊形式， 稱為周期數(shù)列.這類數(shù)列曾多次出現(xiàn)在高考試題中，要注意把握.練習：在數(shù)列an

18、中，a=1,a2=5,an羋=an卡an,求a2011.即每間隔 6 項循環(huán)一次，2011=6X335+1,a2011=a1=1.學習好資料經(jīng)典練習1 數(shù)列an的前 n 項和記為 Sn,已知 ai=1,an+i=t*Sn(n=1,2,3),求 an.n2 已知數(shù)列Jan的前 n 項和為 Sn,且滿足 an+2SnSn.i=0(n2);ai=1,求通項 an.23 已知函數(shù) f(x)=(VX+J2)2(x0),設正項數(shù)列an的首項 ai=2，前 n 項和 Sn滿足 Sn=f(Sn,i)(n2 且 nCN*),求通項 an.4 已知數(shù)歹！Jan中,a=i,且 an+i=3an-i(nN*),求 a

19、n.歡迎下載 a2n+i=1+2(n-1),a2n=4+2(n-1),an.是n+2,n 是偶數(shù)解: 由條件an-3=an羋-an平=(an4-an)an卡=-an?即an43an?歡迎下載5 已知正項數(shù)列an的前項和 Sn滿足 Sn=2(an+1)，求通項 Hn.2an2a.6 已知數(shù)列an中，a1=2,an=(n2),求通項 an.an2學習好資料答案：1 解析：=an+i=Sn+i-Sn,an+i=H2Sn(n+2)Sn=n(Sn+i-Sn),整理得 nSn+i=2(n+1)Snn即義=2員，故數(shù)列員是以 Si=ai=i 為首項，2 為公比的等比數(shù)列，即 ninni邑=2e,Sn=n-2n-i,n當 n2 時，an=Sn-Sn-i=nzn-(n-i)2n-2=(n+i)2n-2,當 n=i 時也適合，故 an=(n+i)-2n-2nNi.2 解析:當 n2 時，an=Sn-Sn-i=-2SnSn-i,兩邊同除以 SnSn-i得工Sn數(shù)列工是以 2 為首項,2 為公差的等差數(shù)列，則工=2+2(n-i)=2n,SnSnSn=，由ai=,2n2n12 時,an=Sn-Sn-i=-=-,不能合并.