工程振動3——自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)

1、1. 復習模態(tài)分析理論1.1 單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)(幅頻、相頻、實頻與虛頻、品質因子等)系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)h(t)與系統(tǒng)的頻響函數(shù)H(®)是一對傅里葉變換對，與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)是一對拉普拉斯變換對。即有：H(o)=JXh(t)e-iOtdth律丁®H(O)e-iOtdoH(s)書h(t)e-stdth(t)=：jg盥H(o)eF22i復頻率響應的實部ReH(o爪1-(o/«n)2l-(o/on)22+(2go/on)2復頻率響應的虛部ImH(o)=-2go/On1-(o/on)22+(2go/on)2單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的各種表達式及其特征“()1，對頻響函

2、數(shù)特征的H(w)=2k-mw2+jT|k描述采用的幾種表達式1) 幅頻圖：幅值與頻率之間的關系曲線2) 相頻圖：相位與頻率之間的關系曲線3) 實頻圖：實部與頻率之間的關系曲線4) 虛頻圖：虛部與頻率之間的關系曲線5) 矢端軌跡圖(Nyquist圖)1.2 單自由度結構阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)的各種表達形式頻響函數(shù)的基本表達式：H(o)=1=丄1=1.1k-mo2+jqkmo02-o2+jqo#k1-Q2+jn頻響函數(shù)的極坐標表達式：H(o)=|H(o)，阮)=丄/1幅頻特性，kf2丿+q2mt一相頻特性。申=arctanII11-Q2丿頻響函數(shù)的直角坐標表達式H(o)=HR(o)+jH1(o)HR(o

3、)=丄(_Q2)2hq2實頻特性，Hl(o)=丄虛頻特性頻響函數(shù)的矢量表達式：H(o)=HR(o)i+H1(o)j1.3 單自由度結構阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)各種表達式圖形及數(shù)字特征幅頻特性：固有頻率：®0=®D阻尼比：“嗨斗Am11一m0m0相頻特性實頻特性：|H（蟻-固有頻率由零點M確定阻尼=gKAmm0m0正負極值點水平距離反映阻尼大小虛頻特性：比較虛頻曲線與幅頻曲線，二者形狀相同不過一為負峰一為正峰，但虛頻曲線半功率帶寬內的點較幅頻曲線多，故用虛頻曲線作參數(shù)識別較幅頻曲線要好。Nyquist圖作參數(shù)識別較好。Nyquist圖：無論阻尼多大，半功率點總位于水平直徑兩端，半功率

4、點之間的曲線范圍相當大，共振區(qū)在Nyquist圖上最易反映出來，故用對數(shù)幅頻圖：Bode圖不僅能在很寬頻段內反映系統(tǒng)的幅頻特性而且能將低頻段和高頻段內幅2.Z：/I1M頻特性用最突出的特征反映出來。2. 預習多自由度系統(tǒng)振動響應2.1實模態(tài)分析對一個有n個自由度的振動系統(tǒng)，需用n個獨立的物理坐標描述其物理參數(shù)模型。在線性范圍內，物理坐標系中的自由振動響應為n個主振動的線性疊加,每個主振動都是一種特定形態(tài)的自由振動（簡諧振動或衰減振動），振動頻率即系統(tǒng)的主頻率（固有頻率或阻尼固有頻率），振動形態(tài)即系統(tǒng)的主振型（模態(tài)或固有振型），對應每個阻尼系統(tǒng)的主振型有相應的模態(tài)阻尼。本節(jié)用模態(tài)坐標法研究模態(tài)參

5、數(shù)模型和非參數(shù)模型。坐標變換法的基礎是求解系統(tǒng)特征值問題。特征值與模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼有關（不一定就是模態(tài)頻率）特征矢量與模態(tài)矢量相聯(lián)系（不一定就是模態(tài)矢量）。對無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)，表示系統(tǒng)主振型的模態(tài)矢量實數(shù)矢量，故稱實模態(tài)系統(tǒng)，相應的模態(tài)分析過程是實模態(tài)分析。2.2實模態(tài)坐標系中的自由響應根據(jù)特征矢量的正交性，n個線性無關的特征矢量j構成一個n維矢量空間i的完備正交基，稱這一n維空間為模態(tài)空間或模態(tài)坐標系。對于實模態(tài)系統(tǒng)，模態(tài)矢量構成的模態(tài)空間是實線性空間。設物理坐標系中的矢量x在模態(tài)坐標系中的模態(tài)坐標為y（i=l,2,n）,則x=n%=”。它是以j為變換矩陣的線性變換，i=1ii反映了物

6、理坐標系與模態(tài)坐標系的關系，也稱為模態(tài)展開定理。nx=工y疔申yi=1代入到振動方程中，左乘亦，注意模態(tài)矢量的正交性，得到微分方程。寫成正則形式dir+dik?？梢?，在模態(tài)坐標系中，無阻尼自由振動方程變成一組解耦的振動diagm,y+diagkjy=0其中Y'=y+diag応y=0考慮初始條件y0=diagm?TMx0i1ty0=px0=dlagpMx0mi得模態(tài)坐標系中的自由響應y,=Y,sin（®/+0.），ii0ii0=arctan零為與初始條件有關的常量。0.arctany0.2.3 物理坐標系中的自由響應=片mt+0)_片D”+0)式中D=pY(.12)如果系統(tǒng)以某

7、階固有頻率«x=工®iYsin(o.t+0.)-工D.sin(o.t+0.)D.=*%(.=1,2，,n)0.=1.=1振動，則振動規(guī)律D,(t0)(.12)無阻尼系統(tǒng)的主振動。由于Yl是與初始條Xj=D.sin(Wg.t+0.)(=1,2，,n)l件有關的常量，因此，系統(tǒng)以某階固有頻率“做自由振動時，振動形態(tài)D.與主振型m完全町19相同，這就是主振型的物理意義。進一步討論主振型的性態(tài)?？疾熘髡駝酉赂鱾€物理坐標的振動情況，寫出Xi=Djsin(°f+i)(i=12,n)中每個元素Xki=Dkisin(®Oit+0;-)=kiYisin(®Qi-

8、t+0;-)(k=1,2，-,n)在第i個主振動中，0為與初始條件有關的常值，與物理坐標k無關。i2.4 多自由度系統(tǒng)的復模態(tài)分析具有一般粘性阻尼和一般結構阻尼振動系統(tǒng)的模態(tài)矢量是復矢量，有關的模態(tài)分析基本理論稱為復模態(tài)分析。復模態(tài)矢量不具備實模態(tài)系統(tǒng)中模態(tài)矢量那樣關于M、K、C的正交性。一般粘性阻尼系統(tǒng)以某階主振動做自由振動時，每個物理坐標的初相位不僅與該階主振動有關，還與物理坐標k有關，即各物理坐標的初相位不同。因而，每個物理坐標振動時并不同時到達平衡位置和最大位置，即主振型節(jié)點和（線）是變化的。不具備模態(tài)保持性，主振型不再是駐波形式，而是行波形式，這是復模態(tài)系統(tǒng)的特點。從物理模型到模態(tài)模型的轉換，是方程Mx+Cx+Kx=f(t)解耦的數(shù)學過程。從物理意義上來認識，這是一種從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程。方程Mx+Cx+Kx=f（t）是根據(jù)達朗貝爾原理和虎克定律建立的，在物理坐標系統(tǒng)中，其質量陣、剛度陣中一般有一個，有時兩個都是非對角陣，使運動方程不能解耦。在模態(tài)坐標系統(tǒng)中，模態(tài)坐標yi代表在位移向量中第i階固有振型（模態(tài)振型）所作的貢獻，方