非正弦周期電流電路

1、非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路考試點(diǎn)考試點(diǎn) 1、了解、了解非正弦周期量的非正弦周期量的傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)分解分解方法方法 2 2、掌握掌握非正弦周期量的非正弦周期量的有效值有效值、平均值平均值和和平均功率平均功率的定義和計(jì)算方法的定義和計(jì)算方法 3 3、掌握掌握非正弦周期電路的非正弦周期電路的分析方法分析方法非正弦周期信號非正弦周期信號一、信號的分類一、信號的分類1、正弦信號、正弦信號按正弦規(guī)律變化的信號按正弦規(guī)律變化的信號2、非正弦信號、非正弦信號不是按正弦規(guī)律變化的信號不是按正弦規(guī)律變化的信號tiO2圖中電流是正弦信號還是非正弦信號？圖中電流是正弦信號還是非正弦信號？非正弦信號非正

2、弦信號+ECuC模擬電子中常用的放大電路模擬電子中常用的放大電路uCUC0uCUC0uC+uC波形可以分解波形可以分解二、常見的非正弦信號二、常見的非正弦信號tiOtiO方波電流方波電流鋸齒波鋸齒波1、實(shí)驗(yàn)室常用的信號發(fā)生器、實(shí)驗(yàn)室常用的信號發(fā)生器可以產(chǎn)生正弦波，方波，三角波和鋸齒波；可以產(chǎn)生正弦波，方波，三角波和鋸齒波；激勵是是正弦電壓，激勵是是正弦電壓，電路元件是非線性元件二極管電路元件是非線性元件二極管整流電壓是非正弦量。整流電壓是非正弦量。tuOT/2TtuOT/2T2、整流分半波整流和全波整流、整流分半波整流和全波整流半波整流半波整流全波整流全波整流由語言、音樂、圖象等轉(zhuǎn)換過來的電信

3、號，都由語言、音樂、圖象等轉(zhuǎn)換過來的電信號，都不是正弦信號；不是正弦信號；4、非電量測量技術(shù)中、非電量測量技術(shù)中由非電量的變化變換而得的電信號隨時間而變由非電量的變化變換而得的電信號隨時間而變化的規(guī)律，也是非正弦的；化的規(guī)律，也是非正弦的；5、自動控制和電子計(jì)算機(jī)中、自動控制和電子計(jì)算機(jī)中使用的脈沖信號都不是正弦信號。使用的脈沖信號都不是正弦信號。3、無線電工程和其他電子工程中、無線電工程和其他電子工程中1、非正弦周期信號、非正弦周期信號f(t)=f(t+kT)k=0 , 1 , 2,2、非正弦非周期信號、非正弦非周期信號不是按正弦規(guī)律變化的非周期信號不是按正弦規(guī)律變化的非周期信號三、非正弦信

4、號的分類三、非正弦信號的分類四、諧波分析法四、諧波分析法1. 應(yīng)用應(yīng)用傅傅里葉里葉級數(shù)展開方法，將非正弦周期激勵級數(shù)展開方法，將非正弦周期激勵電壓、電流或信號分解為一系列不同頻率的正電壓、電流或信號分解為一系列不同頻率的正弦量之和；弦量之和；2. 根據(jù)根據(jù)疊加定理疊加定理，分別計(jì)算在各個正弦量，分別計(jì)算在各個正弦量單獨(dú)單獨(dú)作作用下在電路中產(chǎn)生的同頻率正弦電流分量和電用下在電路中產(chǎn)生的同頻率正弦電流分量和電壓分量；壓分量；3. 把所得分量按把所得分量按時域時域形式疊加。形式疊加。 周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)一、周期函數(shù)一、周期函數(shù)f(t)=f(t+kT)T為周期函數(shù)為周期函數(shù)f(t)的周期，的周期

5、，k=0，1，2，如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件，如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件，它就能展開成一個收斂的它就能展開成一個收斂的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)。電路中的非正弦周期量都能滿足這個條件。電路中的非正弦周期量都能滿足這個條件。)sin()cos( )2sin()2cos( )sin()cos()(11121211110tkbtkatbtatbtaatfkk1110)sin()cos(kkktkbtkaa二、傅里葉級數(shù)的兩種形式二、傅里葉級數(shù)的兩種形式1、第一種形式、第一種形式2200)(1)(1TTTdttfTdttfTaTkdttktfTa01)cos()(22011)()cos()(

6、1tdtktf)()cos()(111tdtktf221)cos()(2TTdttktfT系數(shù)的計(jì)算公式系數(shù)的計(jì)算公式TkdttktfTb01)sin()(22011)()sin()(1tdtktf)()sin()(111tdtktf221)sin()(2TTdttktfT)cos( )2cos( )cos()(12121110kkmmmtkAtAtAAtf110)cos(kkkmtkAA2、第二種形式、第二種形式A0稱為周期函數(shù)的稱為周期函數(shù)的恒定分量恒定分量（或直流分量）；（或直流分量）；A1mcos(1t+1)稱為稱為1次諧波次諧波（或基波分量），（或基波分量），其周期或頻率與原周期函數(shù)

7、相同；其周期或頻率與原周期函數(shù)相同；其他各項(xiàng)統(tǒng)稱為其他各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波高次諧波，即即2次、次、3次、次、4次、次、3、兩種形式系數(shù)之間的關(guān)系、兩種形式系數(shù)之間的關(guān)系110)cos()(kkkmtkAAtf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf第一種形式第一種形式第二種形式第二種形式A0=a022kkkmbaAak=Akmcoskbk=- Akmsink)arctan(kkkab4、傅里葉分解式的數(shù)學(xué)、電氣意義、傅里葉分解式的數(shù)學(xué)、電氣意義+-傅氏分解傅氏分解A0U1U2+-u(t)u(t)分解后的電源相當(dāng)于無限個電壓源串聯(lián)分解后的電源相當(dāng)于無限個電壓源串聯(lián)對于電路分析應(yīng)用的

8、方法是對于電路分析應(yīng)用的方法是疊加定理疊加定理三、三、f(t)的頻譜的頻譜傅里葉級數(shù)雖然詳盡而又準(zhǔn)確地表達(dá)了周期傅里葉級數(shù)雖然詳盡而又準(zhǔn)確地表達(dá)了周期函數(shù)分解的結(jié)果，但函數(shù)分解的結(jié)果，但不很直觀不很直觀。為了表示一個周期函數(shù)分解為傅氏級數(shù)后包為了表示一個周期函數(shù)分解為傅氏級數(shù)后包含哪些頻率分量以及各分量所占含哪些頻率分量以及各分量所占“比重比重”，用長度與各次諧波振幅大小相對應(yīng)的線段，用長度與各次諧波振幅大小相對應(yīng)的線段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來，按頻率的高低順序把它們依次排列起來，得到的圖形稱為得到的圖形稱為f(t)的的頻譜頻譜。1、幅度頻譜、幅度頻譜各次諧波的振幅用相應(yīng)線段依次排

9、列。各次諧波的振幅用相應(yīng)線段依次排列。2、相位頻譜、相位頻譜把各次諧波的初相用相應(yīng)線段依次排列。把各次諧波的初相用相應(yīng)線段依次排列。OAkmk14131211例：求周期性矩形信號的傅里葉級數(shù)展開式及其頻譜例：求周期性矩形信號的傅里葉級數(shù)展開式及其頻譜Of(t)t1tEm-Em2T2T解：解：f(t)在第一個周期內(nèi)的表達(dá)式為在第一個周期內(nèi)的表達(dá)式為f(t) =Em-Em20Tt TtT2根據(jù)公式計(jì)算系數(shù)根據(jù)公式計(jì)算系數(shù)TdttfTa00)(10Of(t)t1tEm-Em2T2T2011)()cos()(1tdtktfakOf(t)t1tEm-Em2T2T )()cos()()cos(121101

10、1tdtkEtdtkEmm011)()cos(2tdtkEm=02011)()sin()(1tdtktfbk )()sin()()sin(1211011tdtkEtdtkEmm011)()sin(2tdtkEm01)cos(12tkkEm)cos(1 2kkEm當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時：為偶數(shù)時：cos(k)=1bk=0當(dāng)當(dāng)k為奇數(shù)時：為奇數(shù)時：cos(k)=0kEbmk4由此求得由此求得)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtfOf(t)Em-Em1tOf(t)Em-Em1t取到取到11次諧波時合成的曲線次諧波時合成的曲線比較兩個圖可見，諧波項(xiàng)數(shù)取得越多，合比較兩個圖可見，諧

11、波項(xiàng)數(shù)取得越多，合成曲線就越接近于原來的波形。成曲線就越接近于原來的波形。Of(t)t1tEm-Em2T2T)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtff(t) =Em-Em20Tt TtT2令令Em=1，1t=/271513114171513114矩形信號矩形信號f(t)的頻譜的頻譜)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtfOAkmk171513113、頻譜與非正弦信號特征的關(guān)系、頻譜與非正弦信號特征的關(guān)系波形越接近正弦波，波形越接近正弦波，諧波成分越少；諧波成分越少；波形突變點(diǎn)越小，波形突變點(diǎn)越小，頻譜變化越大。頻譜變化越大。f(t)=10

12、cos(314t+30)OAkmk111、偶函數(shù)、偶函數(shù)f(t)=f(-t) 縱軸對稱的性質(zhì)縱軸對稱的性質(zhì)f(t)Otf(t)Ot四、非正弦函數(shù)波形特征與展開式的系數(shù)之四、非正弦函數(shù)波形特征與展開式的系數(shù)之間的關(guān)系間的關(guān)系可以證明：可以證明：bk=0展開式中只含有余弦頂分量和直流分量展開式中只含有余弦頂分量和直流分量1、偶函數(shù)、偶函數(shù)縱軸對稱的性質(zhì)縱軸對稱的性質(zhì)f(t)=f(-t)110)cos()(kktkaatff(t)=-f(-t)原點(diǎn)對稱的性質(zhì)原點(diǎn)對稱的性質(zhì)f(t)Otf(t)Ot2、奇函數(shù)、奇函數(shù)可以證明：可以證明：ak=0展開式中只含有正弦頂分量展開式中只含有正弦頂分量原點(diǎn)對稱的性

13、質(zhì)原點(diǎn)對稱的性質(zhì)f(t)=-f(-t)2、奇函數(shù)、奇函數(shù)11)sin()(kktkbtff(t)=-f(t+T/2)鏡對稱的性質(zhì)鏡對稱的性質(zhì)Of(t)tT2T3、奇諧波函數(shù)、奇諧波函數(shù)鏡對稱的性質(zhì)鏡對稱的性質(zhì)f(t)=f(t+T/2)3、奇諧波函數(shù)、奇諧波函數(shù)可以證明：可以證明：a2k =b2k =0展開式中只含有奇次諧波分量展開式中只含有奇次諧波分量 )3sin()3cos( )sin()cos(13131111tbtatbtaf(t)=f(t)Ot判斷下面波形的展開式特點(diǎn)判斷下面波形的展開式特點(diǎn)f(t)是奇函數(shù)是奇函數(shù)展開式中只含有正弦分量展開式中只含有正弦分量f(t)又是奇諧波函數(shù)又是奇

14、諧波函數(shù)展開式中只含有奇次諧波展開式中只含有奇次諧波)3sin()sin(1311tbtbf(t)=系數(shù)系數(shù)Akm與計(jì)時起點(diǎn)無關(guān)（但與計(jì)時起點(diǎn)無關(guān)（但k是有關(guān)的），是有關(guān)的），這是因?yàn)闃?gòu)成非正弦周期函數(shù)的各次諧波的這是因?yàn)闃?gòu)成非正弦周期函數(shù)的各次諧波的振幅以及各次諧波對該函數(shù)波形的相對位置總是一振幅以及各次諧波對該函數(shù)波形的相對位置總是一定的，定的，并不會因計(jì)時起點(diǎn)的變動而變動；并不會因計(jì)時起點(diǎn)的變動而變動；因此，計(jì)時起點(diǎn)的變動只能使各次諧波的初因此，計(jì)時起點(diǎn)的變動只能使各次諧波的初相作相應(yīng)地改變。相作相應(yīng)地改變。由于系數(shù)由于系數(shù)ak和和bk與初相與初相k有關(guān)，所以它們也隨有關(guān)，所以它們也隨計(jì)

15、時起點(diǎn)的改變而改變。計(jì)時起點(diǎn)的改變而改變。4、系數(shù)和計(jì)時起點(diǎn)的關(guān)系、系數(shù)和計(jì)時起點(diǎn)的關(guān)系由于系數(shù)由于系數(shù)ak和和bk與計(jì)時起點(diǎn)的選擇有關(guān)，所以與計(jì)時起點(diǎn)的選擇有關(guān)，所以函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)可能與計(jì)時起點(diǎn)的選擇函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)可能與計(jì)時起點(diǎn)的選擇有關(guān)。有關(guān)。但是，函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)卻與計(jì)時起點(diǎn)但是，函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)卻與計(jì)時起點(diǎn)無關(guān)。無關(guān)。因此適當(dāng)選擇計(jì)時起點(diǎn)有時會使函數(shù)的分解因此適當(dāng)選擇計(jì)時起點(diǎn)有時會使函數(shù)的分解簡化。簡化。4、系數(shù)和計(jì)時起點(diǎn)的關(guān)系、系數(shù)和計(jì)時起點(diǎn)的關(guān)系例：已知某信號半周期的波形，在下列不同條件下例：已知某信號半周期的波形，在下列不同條件下畫出整個周期的波形畫出

16、整個周期的波形Of(t)t1、只含有余弦分量、只含有余弦分量2、只含有正弦分量、只含有正弦分量3、只含有奇次諧波分量、只含有奇次諧波分量Of(t)t1、只含有余弦分量、只含有余弦分量f(t)應(yīng)是偶函數(shù)應(yīng)是偶函數(shù)關(guān)于縱軸對稱關(guān)于縱軸對稱Of(t)t2、只含有正弦分量、只含有正弦分量f(t)應(yīng)是奇函數(shù)應(yīng)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱Of(t)t3、只含有奇次諧波分量、只含有奇次諧波分量f(t)應(yīng)是奇諧波函數(shù)應(yīng)是奇諧波函數(shù)鏡象對稱鏡象對稱 有效值、平均值和平均功率一、非正弦周期量的有效值一、非正弦周期量的有效值1、有效值的定義、有效值的定義TdtiTI0212、有效值與各次諧波有效值之間的關(guān)系、有

17、效值與各次諧波有效值之間的關(guān)系假設(shè)一非正弦周期電流假設(shè)一非正弦周期電流 i 可以分解為傅里葉級數(shù)可以分解為傅里葉級數(shù)110)cos(kkkmtkIIidttkIITITkkkm02110)cos(1則得電流的有效值為則得電流的有效值為有效值與各次諧波有效值之間的關(guān)系有效值與各次諧波有效值之間的關(guān)系23222120IIIII非正弦周期電流的有效值等于恒定分量的平非正弦周期電流的有效值等于恒定分量的平方與各次諧波有效值的平方之和的平方根。方與各次諧波有效值的平方之和的平方根。此結(jié)論可推廣用于其他非正弦周期量。此結(jié)論可推廣用于其他非正弦周期量。二、非正弦周期量的平均值二、非正弦周期量的平均值1、平均

18、值的定義、平均值的定義TavdtiTI0|1非正弦周期電流平均值等于此電流絕對非正弦周期電流平均值等于此電流絕對值的平均值。值的平均值。2、正弦量的平均值、正弦量的平均值TmavdttITI0|cos|1=2Im/它相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值，它相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值，這是因?yàn)槿‰娏鞯慕^對值相當(dāng)于把負(fù)半周的各這是因?yàn)槿‰娏鞯慕^對值相當(dāng)于把負(fù)半周的各個值變?yōu)閷?yīng)的正值。個值變?yōu)閷?yīng)的正值。=0.637Im=0.898ItOiIavIm3、不同的測量結(jié)果、不同的測量結(jié)果對于同一非正弦周期電流，用不同類型的儀對于同一非正弦周期電流，用不同類型的儀表進(jìn)行測量時，會有不同的結(jié)果。表進(jìn)

19、行測量時，會有不同的結(jié)果。用用磁電磁電系儀表（直流儀表）測量，所得結(jié)果系儀表（直流儀表）測量，所得結(jié)果將是電流的將是電流的恒定分量恒定分量；用用電磁電磁系或系或電動電動系儀表測量時，所得結(jié)果將系儀表測量時，所得結(jié)果將是電流的是電流的有效值有效值；用用全波整流全波整流磁電系儀表測量時，所得結(jié)果將磁電系儀表測量時，所得結(jié)果將是電流的是電流的平均值平均值。由此可見，在測量非正弦周期電流和電壓時，由此可見，在測量非正弦周期電流和電壓時，要注意選擇合適的儀表，并注意在各種不同類型表要注意選擇合適的儀表，并注意在各種不同類型表的讀數(shù)所示的含意。的讀數(shù)所示的含意。例：計(jì)算有效值和平均值例：計(jì)算有效值和平均值

20、Oti(A)T/4T解：有效值為解：有效值為10402101TdtTI =5A平均值為平均值為 I0 =10*T/4T=2.5A三、非正弦周期電流電路的功率三、非正弦周期電流電路的功率1、瞬時功率、瞬時功率任意一端口的瞬時功率（吸收）為任意一端口的瞬時功率（吸收）為110)cos(kkukmtkUUuip110)cos(kkkmtkII式中式中u、i取關(guān)聯(lián)方向。取關(guān)聯(lián)方向。2、平均功率、平均功率kkkIUIUIUIUPcoscoscos22211100平均功率等于恒定分量構(gòu)成的功率和各次諧平均功率等于恒定分量構(gòu)成的功率和各次諧波平均功率的代數(shù)和。波平均功率的代數(shù)和。+u-i已知一端口的電壓和電

21、流，求已知一端口的電壓和電流，求電壓和電流的有效值和一端口電壓和電流的有效值和一端口的平均功率。的平均功率。V)15120sin(40)1160sin(30)2730cos(2010tttuA)15120sin(5)5290sin(4)3330cos(32ttti解：電壓的有效值解：電壓的有效值U=2222403020102222)240()220()220(10U電流的有效值電流的有效值2222)25()24()23(2I平均功率平均功率P = 102 + 203 + 304 +405P = 102 + 203 + 405P = 102 + 203cos60 + 405cos30 V)151

22、20sin(40)1160sin(30)2730cos(2010tttuA)15120sin(5)5290sin(4)3330cos(32ttti30cos)25)(240(60cos)23)(220(210P 非正弦電流電路的計(jì)算一、非正弦電流電路的計(jì)算具體步驟一、非正弦電流電路的計(jì)算具體步驟1、傅氏分解、傅氏分解把給定的非正弦周期電源電壓或電流把給定的非正弦周期電源電壓或電流分分解解為傅里葉級數(shù)，為傅里葉級數(shù)，高次諧波取到哪一項(xiàng)為止，要看所需要高次諧波取到哪一項(xiàng)為止，要看所需要準(zhǔn)確度的高低而定。準(zhǔn)確度的高低而定。傅里葉級數(shù)應(yīng)展開成傅里葉級數(shù)應(yīng)展開成第二種第二種形式。形式。分別求出電源電壓或

23、電流的恒定分量以及分別求出電源電壓或電流的恒定分量以及各諧波分量各諧波分量單獨(dú)作用單獨(dú)作用時的響應(yīng)。時的響應(yīng)。對各次諧波分量，求解時可以用對各次諧波分量，求解時可以用相量法相量法進(jìn)進(jìn)行，行，但要注意，感抗、容抗與但要注意，感抗、容抗與頻率頻率有關(guān)。有關(guān)。2、單獨(dú)作用、單獨(dú)作用直流分量單獨(dú)作用直流分量單獨(dú)作用電感電感L相當(dāng)于相當(dāng)于短路短路電容電容C相當(dāng)于相當(dāng)于開路開路求出求出U0(0)相量法相量法uS(1)(t)1(SU)1(OU uO(1)(t)XL(1)=1LXC(1)=1/1C高次諧波單獨(dú)作用高次諧波單獨(dú)作用uS(k)(t)(kSU)(kOU uO(k)(t)一次諧波單獨(dú)作用一次諧波單獨(dú)作

24、用XC(k)=1/k1CXL(k)=k1L=k XL(1)= XC(1)/k把上一步所計(jì)算出的結(jié)果化為把上一步所計(jì)算出的結(jié)果化為瞬時瞬時表達(dá)式后進(jìn)表達(dá)式后進(jìn)行相加，行相加，把表示不同頻率正弦電流的相量直接相加是沒把表示不同頻率正弦電流的相量直接相加是沒有意義的，有意義的，最終求得的響應(yīng)是用最終求得的響應(yīng)是用時間函數(shù)時間函數(shù)表示的。表示的。3、應(yīng)用疊加定理、應(yīng)用疊加定理例：例：R=3 ，1/ 1C=9.45 ，輸入電源為，輸入電源為uS=10+141.40cos(1t)+47.13cos(31t) +28.28cos(51t) +20.20cos(71t) +15.71cos(91t)+V。求電流求電流 i 和電阻吸收的平均功率和電阻吸收的平均功率P。CR+_uSi解：解： 各次諧波是正弦量，采用的方法是各次諧波是正弦量，采用的方法是相量法相量法電流相量的一般表達(dá)式電流相量的一般表達(dá)式)(kmI)(kSmUckjR11R=3 ，1/ 1C=9.45 ，輸入電源為，輸入電源為uS=10+141.40cos(1t)+47.13cos(31t) +28.28cos(51t) +20.20cos(71t) +