二次函數(shù)考點研究及復(fù)習(xí)建議

1、參加內(nèi)江市初中*亠亠2013年畢業(yè)班研二次函數(shù)考點研究及復(fù)習(xí)建議討會交流專題發(fā)言材料內(nèi)江市東興區(qū)永東鄉(xiāng)中心學(xué)校數(shù)學(xué)組唐永忠尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)、老師們：大家好！我來自于內(nèi)江市東興區(qū)永東鄉(xiāng)中心學(xué)校，上學(xué)期期末統(tǒng)考成績平均分107.19分，排名全區(qū)第一。非常感謝市教科所組織初三畢業(yè)班研討會給我這樣一個展示交流的平臺，今天我講解的題目為：二次函數(shù)考點研究及復(fù)習(xí)建議，敬請各位同仁批評指正：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)中重要的基礎(chǔ)概念之一，也是初中數(shù)學(xué)函數(shù)中最重要的基本概念之一。學(xué)習(xí)函數(shù)所涉及到的數(shù)學(xué)思想和方法，對學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)起著重要的作用。課本以二次函數(shù)這個重要的函數(shù)模型為載體，學(xué)習(xí)研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，并通過這

2、個二次函數(shù)有關(guān)知識的復(fù)習(xí)與提高，來溝通初中與高中數(shù)學(xué)函數(shù)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)由初中數(shù)學(xué)向高中數(shù)學(xué)函數(shù)的平穩(wěn)過渡，這是完全必要的。個人認為，二次函數(shù)在學(xué)習(xí)的不足之處主要有以下幾個方面：（1）函數(shù)的抽象能力不強。只知道二次函數(shù)的一般式，而不知道其他兩種形式，尤其是頂點式，不習(xí)慣于借助對稱軸的位置進行研究。課程標準沒有要求用配方法而是會根據(jù)公式確定圖像的頂點，且頂點公式不要求記憶和推導(dǎo)。不會通過配方法求二次函數(shù)的頂點坐標和最值。（2）解方程的能力差。二次函數(shù)在解題過程中往往可轉(zhuǎn)化為一元二次方程三元一次方程組（又是選學(xué)內(nèi)容）、二元一次方程組，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等內(nèi)容在初中課程標準中

3、不要求。（3）配方法在初中學(xué)習(xí)中落實不夠。配方法只是在解一元二次方程推導(dǎo)求根公式和用配方法求二次函數(shù)的頂點坐標公式時出現(xiàn)過。專門用配方法解決問題的練習(xí)不多。（4）課本中將待定系數(shù)法安排在選學(xué)內(nèi)容。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的問題中，已知圖象上的三點，其中一點必在y軸上。近幾年關(guān)于二次函數(shù)考點具體情況分析年份2010年中考2011年中考2012年中考2012年會考2013年適應(yīng)性練習(xí)（一）題型附加題：附加題：基礎(chǔ)題：附加題：基礎(chǔ)題：基礎(chǔ)題：解答題解答題選擇題解答題選擇題解答題題號第7題第28題第12題第28題第6題第20題分值12分12分3分12分3分10分總分130分（折合）130分（折合

4、）130分（折合）100分130分（折合）比例9.23%9.23%10.85%3%5.38%下面就六個方面提出自己的個人意見，僅供參考：一、熟悉考綱要求1. 通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=ax2+bx+c,并體會二次函數(shù)的意義2. 會用描點法(三點坐標)畫出二次函數(shù)的圖象,能從圖象上認識二次函數(shù)的性質(zhì).3. 會根據(jù)公式(配方法或公式法)將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y=a(x-h)2+k的形式，確定圖象的頂點(h,k)，開口方向(a>0向上，a<0向下)和對稱軸(x=h)(公式不要求記憶和推導(dǎo),但要根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)進行演示),并能解決簡單的實際問題.4會利用二次函數(shù)

5、的圖象求一元二次方程的近似解(如：x2-1=x).5知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數(shù)。二、應(yīng)考策略：1、深刻理解二次函數(shù)的概念，會用描點法畫二次函數(shù)圖象。2、能根據(jù)二次函數(shù)圖象特征概括二次函數(shù)的性質(zhì)。3、理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，會用圖象解一元二次方程。二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aH0)的圖象與x軸的交點橫坐標就是y=0時自變量x的取值，即是一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0)的根.4、(1)會用待定系數(shù)法求解析式(三種形式)A、已知圖象上二點，選一般式：y=ax2+bx+c(aH0)；B、已知頂點或?qū)ΨQ軸，選頂點式：y=a(xh)2+k(aH0)；C、已知圖象與

6、x軸的兩個交點(x1,0)，(x2,0)，選交點式：y=a(xx/xx2)(aH0).(2) 用配方法或公式法求拋物線頂點坐標。y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a(3) 拋物線的頂點常見的幾種變動方式：A、開口反向(或旋轉(zhuǎn)180°)，此時頂點坐標不變，只是a的符號相反；B、兩拋物線關(guān)于x軸對稱，此時頂點關(guān)于x軸對稱，a的符號相反；C、兩拋物線關(guān)于y軸對稱，此時頂點關(guān)于y軸對稱，a的符號不變.5、重視二次函數(shù)與實際問題能構(gòu)建函數(shù)模型解決反映時代氣息的實際問題。6、對于二次函數(shù)與其它知識的綜合應(yīng)多加練習(xí)。三、近三年內(nèi)江市二次函數(shù)考題分析1、2010年中考附加題第7題(12分

7、)如圖，拋物線y=mx2-2mx-3m(m>0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點.(1) 請求出拋物線頂點M的坐標(用含m的代數(shù)式表示)，A、B兩點的坐標；(2) 經(jīng)探究可知，ABCM與厶ABC的面積比不變，試求出這個比值；(3) 是否存在使BCM為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明考點】考查了數(shù)型相結(jié)合理解二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角形的性質(zhì)，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀以及解一元二次方程，根與系數(shù)之間的關(guān)系，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。2、2011年中考第28題（12分）如圖拋物線y=1/3x2-mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（01）且對

8、稱抽x=11）求出拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點D,使四邊形ABDC的面積為3.若存在，求出點D的坐標；若不存在.說明理由（使用圖1）；（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點P的坐標（使用圖2）.【考點】此題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，數(shù)型相結(jié)合的思想結(jié)合四邊形面積的特點求動點坐標，解一元二次方程，利用平行四邊形的性質(zhì)、識別求點坐標，運用了三角形全等等問題，同時著重考查了學(xué)生動手操作能力，分析能力。3、（1）2012年中考選擇題第12題（3分）如圖5，正的邊長為3cm,動點P從點A

9、出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿的方向運動，到達點C時停止，設(shè)運動時間為x（秒），,則y關(guān)于x的函數(shù)的圖像大致為（）-5【解析】：如圖5，當點P沿的方向運動時，直觀觀察CP的長度變化知：變小、變大、變小，從而圖像應(yīng)該先下降，后上升，下降，從而淘汰A,B；對比C,D，注意到為二次函數(shù)，圖像應(yīng)為曲線，故選擇C【考點】：本題考查函數(shù)的應(yīng)用，對問題的宏觀認識，以及將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。2）2012年中考解答題第28題（12分）如圖14,已知點A（1，0），B（4，0），點C在y軸的正半軸上，且ZACB=90o拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，其頂點為M.（1）求拋物線y=ax2+bx

10、+c的解析式；（2）試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并加以證明；（3）在拋物線上是否存在點N,使得Sbcn=4?如果存在，那么這樣的點有幾個？如果不存在,請說明理由?！究键c】：本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（交點式），數(shù)形結(jié)合理解二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，以及直線與圓位置關(guān)系判定，利用距離討論是否存在問題等，此題綜合能力強，對學(xué)生要求高。4、2012年會考選擇題第6題（3分）函數(shù)y=（x+2）2-4的頂點坐標是（）A（2，4）B（2，-4）C（-2，4）D（-2，-4）5、2013年適應(yīng)性練習(xí)（一）解答題第20題（10分）已知二次函數(shù)y=l/2x2+x

11、-3/2的圖象與x軸交于A、B兩點（A點在B點的右邊），與y軸交于點C,求：（1）在右邊畫出這個二次函數(shù)的大致圖象（2）求出點A、B、C的坐標。（3）若拋物線的頂點為D,求四邊形ABCD的面積?！究键c】：本題考查了描點法畫二次函數(shù)圖象,二次函數(shù)與一元二次方程之間的轉(zhuǎn)化問題,以及數(shù)形結(jié)合理解四邊形的面積（將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形）等問題。四、常規(guī)做法（一）根據(jù)圖象得信息,確定a、b、c之間關(guān)系1、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為（1/2,1），下列結(jié)論：acVO；a+b=O；4acb2=4a；a+b+cV0其中正確的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【目的】使學(xué)

12、生掌握字母a、b、c取值一一a的符號決定拋物線的開口方向；c的符號決定圖象與y軸的交點的縱坐標；a、b的符號共同決定對稱軸，當a、b同號時，對稱軸在y軸的左側(cè)，當a、b異號時，對稱軸在y軸的右側(cè)，當b=0時，對稱軸是y軸.（二）根據(jù)待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式2、已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象如圖所示，它與x軸交點坐標為（一1,0），與y軸的交點坐標為（0,3）.（1）求出b、c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)的值y為正數(shù)時，自變量x二的取值范圍.【目的】使學(xué)生掌握求二次函數(shù)解析式的常規(guī)做法一一待定系數(shù)法：系數(shù)中有字母的個數(shù)，來尋找點坐標的個數(shù)。解：（1）用待定系

13、數(shù)法得：b=2，c=3解之得.*y一x2+2x+3.（2）令y0,得一x2+2x+30，解之得X-1,：x23.當y>0時，x的取值范圍是一1vxv3.（三）二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系3、（1）已知一元二次方程x2+px+q0（p24q±0）的兩根為x1，x2，求證：x1+x2p,XX2q；（2）已知拋物線yx2+px+q與x軸交于A,B兩點，且過點（一1,一1），設(shè)線段AB的長為d,當p為何值時，d2取得最小值，并求出最小值.【目的】使學(xué)生掌握二次函數(shù)與一元二次方程間轉(zhuǎn)化：二次函數(shù)圖象與x軸交點，二次函數(shù)考點研究及復(fù)習(xí)建議定交點坐標(xn,0)，即轉(zhuǎn)化為一元二次方程

14、的形式。(1)證明:°°a=l,b=p,c=q,p24q±0,X+x2=b/a=p,XX2=c/a=q.(2)解：把(一1,一1)代入y=x2+px+q,得pq=2，即q=p2.設(shè)拋物線y=x2+px+q與x軸交于A,B兩點的坐標分別為(X,O),(x2,0).d=.d2=(x1x2)2=(x1+x2)24X.x2=p24q=p24p+8=(p2)2+4.當p=2時，d2的最小值是4.(四) 二次函數(shù)的應(yīng)用4、某商品的進價為每件50元,售價為每件60元,每個月可賣出200件；如果每件商品的售價上漲1元,則每個月少賣10件(每件售價不能高于72元),設(shè)每件商品的售價

15、上漲x元(x為正整數(shù))，每個月的銷售利潤為y元.(1) 求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；(2) 每件商品的售價定為多少時,每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？【目的】將實際生活問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解。解：根據(jù)題意，得y=(6050+x)(20010x),整理，得y=10x2+100x+2OOO(Ovx<12)；(2)由(1),得y=10x2+100x+2000=10(x5)2+2250.故當x=5時，最大月利潤y為2250元.(五) 二次函數(shù)與圓相關(guān)5、已知y=x+6交x,y軸于A,C兩點，經(jīng)過A,D兩點的拋物線y=ax2+bx(a<0)頂點

16、B在直線AC上(1)求A,C兩點坐標A(6,0),C(0,6)2)求出該拋物線的函數(shù)關(guān)系式(y=-1/3x2-2x)(3) 以B點為圓心，以AB為半徑作©B,將©B沿x軸翻折得到©D,試判斷直線AC與©D的位置關(guān)系，并說明理由(相切)(4)若E為©B優(yōu)弧ACD上一動點，連結(jié)AE、0E,問在拋物線上是否存在一點M,使ZMOA:ZAEO=2：3,若存在試求出點M的坐標，若不存在，試說明理由?！灸康摹渴箤W(xué)生明白二次函數(shù)知識的考查,可以與其它知識相結(jié)合。此題設(shè)計的知識有：直線與坐標軸的交點坐標,待定法求二次函數(shù)解析式,確定點與直線的位置關(guān)系,直線與圓的

17、位置關(guān)系到,圓的相關(guān)性質(zhì),銳角三角函數(shù),二次函數(shù)與方程的關(guān)系,確定點坐標等問題,這類問題綜合性強,應(yīng)用知識較多、思維能力強,解決的關(guān)鍵要進行分類討論(六) 探究創(chuàng)新題6.如圖，已知拋物線C1：y=a(x+2)25的頂點為P,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，點B的橫坐標是1.(1)求P點坐標及a的值；如圖(1),拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M,當點P、M關(guān)于點B成中心對稱時,y圖求C3的解析式；(3)如圖(2),點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4.拋物線C4的頂點為N,與x軸

18、相交于E、F兩點(點E在點F的左邊)，當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標.【目的】使學(xué)生進一步明確二次函數(shù)實用于各種題型，考查的面廣。此題設(shè)計有二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),解析式,圖形的對稱性,三角形的全等的性質(zhì)，勾股定理逆定理，此題要求圖形分析能力極高，發(fā)散思維極強【解析】(1)由拋物線C1：y=a(x+2)25得頂點P的坐標為(-2，-5)，點B(1，0)在拋物線C1上,0=a(1+2)25,解得，a=-5/9.如圖連結(jié)PM,作PH丄x軸于H,作MG丄x軸于G,點P、M關(guān)于點B成中心對稱，PM過點B,且PB=MB,PBH竺MBG,.MG=PH=5,BG=BH=3，頂點M的坐標為(4,5).拋物線C2由C1關(guān)于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到，拋物線C3的解析式為y=5/9(x4)2+5.：拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到,頂點N、P關(guān)于點Q成中心對稱,由(2)得點N的縱坐標為5.設(shè)點N坐標為(m,5),作PH丄x軸于H,作NG丄x軸于G,作PK丄NG于K.五、個人預(yù)測二次函數(shù)這一章在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位,同時也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),做為初高中銜接的內(nèi)容,二次函數(shù)在中考命題中一直是“重頭戲”,根據(jù)對近幾年中考試卷分析,預(yù)計2013年中考中對二次函數(shù)的考查題型有低檔的填空題,選