伯努利方程的推導(dǎo)及其實(shí)際應(yīng)用

1、樓主：西北荒城時(shí)間：2015-03-0314:08:00點(diǎn)擊：1091回復(fù)：0一，伯努利方程的推導(dǎo)1726年，荷蘭科學(xué)家丹尼爾伯努利提出了描述理想流體在穩(wěn)流狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)規(guī)律伯努利原理，并用數(shù)學(xué)語言將之精確表達(dá)出來，即為伯努利方程。伯努利方程是流體力學(xué)領(lǐng)域里最重要的方程之一，學(xué)習(xí)伯努利方程有助于我們更深刻的理解流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并可以利用它對(duì)生活中的一些現(xiàn)象作出解釋。同時(shí)，作為土建專業(yè)的學(xué)生，我們將來在實(shí)際工作中，很可能要與水、油、氣等流體物質(zhì)打交道，因此，學(xué)習(xí)伯努利方程也有一定的實(shí)際意義。作為將近300歲高齡的物理定律，伯努利方程的理論是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。在本文中，筆

2、者只是想結(jié)合自己的理解，用自己的方式推導(dǎo)出伯努利方程，并應(yīng)用伯努利方程解釋或解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些問題。既然要推導(dǎo)伯努利方程，那么就首先要理解一個(gè)概念：理想流體。所謂理想流體，是指滿足以下兩個(gè)條件的流體：1，流體內(nèi)部各部分之間無黏著性。2，流體體積不可壓縮。需要指出的是，現(xiàn)實(shí)世界中的各種流體，其內(nèi)部或多或少都存在黏著性，并且所有流體的體積都是可以壓縮的，只是壓縮的困難程度不同而已。因此，理想流體只是一種理想化的模型，其在現(xiàn)實(shí)世界中是不存在的。但為了對(duì)問題做簡(jiǎn)化處理，我們可以講一些非常接近理想流體性質(zhì)的流體視為理想流體。假設(shè)有某理想流體在某細(xì)管中做穩(wěn)定流動(dòng)。如圖，在細(xì)管中任取一面積為S1的截面，其

3、與地面的相對(duì)高度h1,，流體在該截面上的流速為v1，并且該截面上的液壓為P1。某一時(shí)刻，有流體流經(jīng)s1截面，并在dt時(shí)間內(nèi)發(fā)生位移dx1運(yùn)動(dòng)到新截面s2。由于細(xì)管中的水是整體移動(dòng)的，現(xiàn)假設(shè)細(xì)管高度為h2處有一截面S3，其上流體在相同的時(shí)間內(nèi)同步運(yùn)動(dòng)到了截面s4,流速為v2,共發(fā)生位移dx2。則有如下三個(gè)事實(shí)：1：截面s1、s2之間流體的體積等于截面s3、s4之間流體的體積，即s1dx1=s2dx22：截面s1、s3之間流體的體積等于截面s2、s4之間流體的體積（由事實(shí)1可以推知）3：細(xì)管中相應(yīng)液體的機(jī)械能發(fā)生了變化。事實(shí)1和事實(shí)2實(shí)際上是質(zhì)量守恒的體現(xiàn)，事實(shí)3則須用能量守恒來解釋，即外力對(duì)該段

4、流體做功的總和等于該段流體機(jī)械能的變化。因截面s2、s3之間流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)沒有變化，故全部流體機(jī)械能的變化實(shí)質(zhì)上是截面s1、s2之間流體和截面s3、s4之間流體的機(jī)械能之差。因此，根據(jù)能量守恒得：W總二？Psldxlvl2+Psldxlghl-(?Ps2dx2v22+Ps2dx2gh2)(P為該流體密度)W總二plsldxl-p2s2dx2聯(lián)合兩式得：p2s2v2dt-plslvldt二？Ps2dx2v22+Ps2dx2gh2-(?psldxlvl2+psldxlghl)又有質(zhì)量守恒：sldxl二s2v2dt二sldxl二s2dx2故左右兩邊可以同時(shí)消去質(zhì)量：pl-p2=?Pv22+Ps2gh

5、2-?Pvl2-pghl移向整理即得伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：pl+?Pvl2+pghl=p2+?pv22+Ps2gh2由于我們的截面是任意取的，所以這個(gè)規(guī)律對(duì)于細(xì)管中的任意兩截面都是成立的，因此可以做一推廣。即有對(duì)于細(xì)管中的任意截面，都有：P+?Pv2+Pgh=c其中c是一個(gè)與流體種類和該流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的常量。推導(dǎo)完畢二，伯努利方程的實(shí)際應(yīng)用1, 飛機(jī)飛行的升力力從何而來？已知空氣密度P,飛機(jī)背部氣流速度v2和腹部氣流速度vl,求飛機(jī)腹部和背部的壓強(qiáng)差A(yù)po在極短的時(shí)間內(nèi)，飛機(jī)的高度h可以視為常數(shù)，故飛機(jī)背部和腹部的壓強(qiáng)都只與氣流速度有關(guān)。而飛機(jī)一般都是背部彎曲，腹部平坦，致使背部氣流速度大于

6、腹部氣流速度，由伯努利方程可知，腹部向上的壓強(qiáng)大于背部向下的壓強(qiáng)，故飛機(jī)可以克服重力起飛并飛行。利用伯努利方程代入計(jì)算可得：Ap二?pv22-?Pv122, 航行中的的兩船為何不能靠的太近？船在航行中之所以能保持平衡而不側(cè)翻，是因?yàn)榇瑑蓚?cè)的壓強(qiáng)等大反向，相互抵消的緣故。如果兩船靠的太近，則夾在兩船之間的水會(huì)在兩船的作用下運(yùn)動(dòng),致使船外側(cè)壓力大而內(nèi)側(cè)壓力小，可能導(dǎo)致兩船同時(shí)向中間側(cè)翻，發(fā)生安全事故。故兩艘航行中的船不能靠的太近。3, 風(fēng)速太大會(huì)導(dǎo)致人呼吸困難嗎？會(huì)。當(dāng)人們?cè)谑幥锴Щ蛘哒驹陲L(fēng)口時(shí)，常會(huì)感到呼吸有略微的“困難”，這也是由于外部氣流過大，導(dǎo)致外界壓強(qiáng)略微降低，進(jìn)而讓空氣進(jìn)入人體肺部變得

7、困難。4現(xiàn)有一批生產(chǎn)質(zhì)量不同的水管，欲組成一座大樓的供水系統(tǒng)，僅考慮物理因素，怎樣排列這些水管最合理？由伯努利方程可知，高度越大的地方壓強(qiáng)越小，水對(duì)管壁的壓力也就越小。因此，越往底部，對(duì)水管生產(chǎn)質(zhì)量的要求越高，所以將這些水管按質(zhì)量好壞由低到高連接起來最合理。y2nP或者:3,代入伯努利枳分，有1牛+£+卑K?p2山、字+?產(chǎn)字+旦+G2&pg2gpg物理意義：總水頭高度的守恒。（水頭表示）其中第I、II式多用于氣休流動(dòng)，III式多用于液體流動(dòng)分析。2、應(yīng)用條件理想流體，定常流動(dòng)，不可斥縮流體（正壓流體），質(zhì)量力為重力（質(zhì)量力有勢(shì)），沿流線或渦線成立。如為無旋流動(dòng),則全場(chǎng)成立。3、應(yīng)用拓展柏努利方程由理想流體流動(dòng)分析得出，說明流動(dòng)過程中的機(jī)械能守恒.如果流體不是埋想流體，則流動(dòng)必有旋（粘性產(chǎn)生旋渦），這時(shí)沿流線方向的總機(jī)械能將不會(huì)守恒。因?yàn)檎承孕?yīng)，旋渦流動(dòng)將把一部分機(jī)械能耗散為熱能（不可逆），這時(shí)沿流線的能量守恒應(yīng)該是機(jī)械能+耗