2019年天津卷理科數(shù)學高考真題

1、2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(理工類)本試卷分為第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至2頁，第II卷3至5頁。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！注意事項：1每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件A、B互斥，那么P(AUB)二P(A)+P(B)

2、.如果事件A、B相互獨立，那么P(AB)二P(A)P(B)圓柱的體積公式V=Sh，其中S表示圓柱的底面面積，h表示圓柱的高.棱錐的體積公式V=3Sh，其中S表示棱錐的底面面積，h表示棱錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設集合A=1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xgR11<x<3，則(Ap|C)UB=A.2B.2,3C.-123D.123,4x+y2<0,2.設變量x,y滿足約束條件<xy+2>0,x>1,則目標函數(shù)z=-4x+y的最大值為C.充要條件D.既不充分也不必要條件y>1,A2B3C5D63.設xg

3、R，貝卩“x25x<0”是“Ix11<1”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件4.閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，輸出S的值為A5B.8C.24D.29x2y25.已知拋物線y2二4x的焦點為F，準線為l，若l與雙曲線一1(a>0,b>0)的兩條漸近線分a2b2別交于點A和點B，且IAB1=41OFI(O為原點)，則雙曲線的離心率為A.2B.、3C.2D.56. 已知a=log2，b=log0.2，c=0.50.2，則a,b,c的大小關系為50.5A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b7. 已知

4、函數(shù)f(x)=Asin(x+申)(A>0,>0,I<兀)是奇函數(shù)，將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象對應的函數(shù)為g(x).若g(x)的最小正周期為2n，且=;2，A.-2B.-邁C.邁D.2Ix2一2ax+2a,x<1,8.已知aeR，設函數(shù)f(x)=若關于x的不等式f(x)>0在R上恒成立，則a的Ix一alnx,x>1.取值范圍為A0,lB.0,2C0,eD.1,e2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學（理工類）第II卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2.本卷共12小題，共1

5、10分。二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.5-i9.i是虛數(shù)單位，則一r的值為1+i（1102x-廠的展開式中的常數(shù)項為j8x3丿11已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側棱長均為J5若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為12.x-2+2cos0,設a&R，直線axy+2=0和圓s.ny=1+2sin00為參數(shù)）相切，則a的值為13.設x>0,y>0,x+2y=5，則（x±1）B±1）的最小值為.14.在四邊形ABCD中，ADBC,AB=2*3AD=5,ZA=300，點E在線

6、段CB的延長線上,且AE=BE，則BD-AE=三. 解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15. （本小題滿分13分）在厶ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC.(I)求cosB的值;兀1(II)求sin2B+：的值.I6丿16. (本小題滿分13分)設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為3.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.(I) 用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(II) 設M為事件“上學期間的三

7、天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.17. (本小題滿分13分)如圖，AE丄平面ABCD,CFAE,ADBC,AD丄AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(I) 求證：BF平面ADE；(II) 求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；(III) 若二面角E-BD-F的余弦值為1，求線段CF的長.18. (本小題滿分13分)設橢圓+鴿=1(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4,離心率為三.a2b25(I) 求橢圓的方程；(II) 設點P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M為直線PB與x軸的交點，點N

8、在y軸的負半軸上.若ION1=1OFI(O為原點)，且OP丄MN，求直線PB的斜率.19(本小題滿分14分)設a是等差數(shù)列,b是等比數(shù)列.已知a=4,b=6，=2a2,b=2a+4.nn11223320(I)求a和b的通項公式;nn11,2k<n<2k+i(II)設數(shù)列c滿足c=1,c=<n1nIb,n=2k,k(i)求數(shù)列匕V2n2n-1)的通項公式;(ii)求習ac(neN*).iii=1(本小題滿分14分)設函數(shù)f(x)=excosx,g(x)為f(x)的導函數(shù).(I)求f(x)的單調區(qū)間兀兀(H)當xJ其中keN*.I兀1時，證明f(x)+g(x)-x>0；12

9、丿(III)設x為函數(shù)u(x)=f(x)-1在區(qū)間n2n兀+,2n兀+42丿內的零點，其中neN，證明兀e-2nn2n兀+-x<2nsinx-cosx002019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(理工類)參考解答選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分40分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A7.C8.C填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分30分.9.：1310.2811.n12.13.4*314.-144解答題15.本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查運算求解能力

10、，滿分13分.bc(I)解：在厶ABC中，由正弦定理-,得bsinC-csinB,又由3csinB-4asinC,sinBsinC42得3bsinC=4asinC，即3b=4a.又因為b+c=2a，得到b=一a,c=一a.由余弦定理可得33416a2+a2a2a2+c2b29912accosB-222-a_a3(II)解：由(I)可得sinB=<1-罟,從而或伽=2sinBcosB-¥7cos2B-cos2Bsin2B-，故87x1-土28216(兀)兀兀sin2B+-sin2Bcos+cos2Bsin-1666本小題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事件和相互獨立

11、事件的概率計算公式等基礎知識考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力滿分13分2(I)解：因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為一,(2(2、k(13k故XB3,-,從而P(X-k)-Ck,k-0,1,2,3(3丿3<3丿<3丿所以，隨機變量X的分布列為X0123P12482799272隨機變量X的數(shù)學期望E(X)-3x一-2.(2(H)解：設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則YB3,且I3丿M-X-3,Y-1UX-2,Y-0.由題意知事件X-3,Y-1與X-2,Y-0互斥，且事件x-3)與y-1,事件x-2)與y-。均相互獨立

12、，從而由(I)知P(M)-P(X-3,Y-1UX-2,Y-0)-P(X-3,Y-1)+P(X-2,Y-0)P(x-3)p(y-1)+p(x-2)p(y-0)-27xI+4x27-蕓17本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎知識考查用空間向量解決立體幾何問題的方法考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力滿分13分依題意，可以建立以A為原點，分別以AB,AD,AE的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系(如圖)，可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2)設CF二h(h>0),則F(1,2,h).(I)證明：依

13、題意，AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量，又BF=(0,2,h)，可得BF-AB=0，又因為直線BF9平面ADE，所以BF平面ADE.(II)解：依題意，BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(一1,一2,2).設n=(x,y,z)為平面BDE的法向量，則n-BD=0,n-BE=0,一x+y=0,一x+2z=0不妨令z=bCE-n=-4ICEIInI-9(III)解：設加=(x,y,z)為平面BDF的法向量，則m-BD=0,m-BF=0,一x+y=0,2y+hz=0,可得n=(2,2,1).因此有cosfCE,n所以，直線CE與平面BDE所成角的正弦值為49不妨令y=1，

14、可得m=(1,1,一2Ih丿由題意，有他佩町mn4-2h3，解得h=7經檢驗，符合題意.h218本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程等基礎知識考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力滿分13分(I)解：設橢圓的半焦距為c,依題意，2b=4,，又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.a5x2y2所以，橢圓的方程為飛+才=(II)解：由題意，設P(x,yM(x,0).設直線PB的斜率為k(k豐0)，又B(0,2),PPpMykx+2,則直線PB的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立x2y2整理得(4+5k2)x2+20kx0，可得1,5420

15、k810k2y45k2x，代入ykx+2得y，進而直線op的斜率在ykx+2P4+5k2P4+5k2x10kp中，令y0，得xM2.由題意得N(0,1)，所以直線MN的斜率為2.由OP丄MN，得k1910k2=1，化簡得k2=24，從而k=±空530.2丿所以，直線PB的斜率為厶530或-仝羅本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識.考查化歸與轉化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運算求解能力滿分14分解：設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列"的公比為q依題意得需2置寫解得d二3,故a4+(n一1)x3=3n+1,b=6x2n-1=3x2n.q2,nn所以，

16、a的通項公式為a3n+1,b的通項公式為b3x2”.nnnn(II)(i)解：a(c1)=a(b1)=(3x2n+1)(3x2n1)9x4n12n2n2nn1)的通項公式為aC?1)9x4n1.所以，數(shù)列2n2n2n2n(ii)解：藝ac藝a+a(c1)藝a+工a(c1)iiiiii2i2ii1i1i1i12n(2n1)(2nx4+x3+工V9x4i一1(<i=1()4(1-4n)=3x22n-1+5x2n-1丿+9x一n1-4=27x22n-i+5x2n-i-n-12(neN*).20本小題主要考查導數(shù)的運算、不等式證明、運用導數(shù)研究函數(shù)的性質等基礎知識和方法考查函數(shù)思想和化歸與轉化思

17、想考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力滿分14分(兀5兀、解：由已知，有廣(x)=ex(cosx-sinx)因此，當x屮心忑*+yj(keZ)時，有sinx>cosx,得f'(x)<0,貝yf(x)'3兀兀j單調遞減；當xe嚴-才,2如-J(keZ)時，有sinx<cosx,得f'(x)>0，則f(x)單調遞增.所以，f(x)3兀兀的單調遞增區(qū)間為2k一丁2k冗+4(keZ)，f(x)的單調遞減區(qū)間為兀5兀2k兀+,2k兀+-44(keZ)兀(II)證明：記h(x)=f(x)+g(x)-x.依題意及(I)k2丿有g(x)=ex(cosx-sinx)，從而g'(x)=-2exsinx當x巧u時，g3<0，故h'(x)=f'(x)+g'(x)+g(x)(-1)=g'(x)<0*(兀'k2丿(兀'k2丿因此，h(x)在區(qū)間上單調遞減，進而h(x)nh42=0時，f(x)+g(x)詩-x卜0.k2丿(III)證明：依題意，u(x)=f(x)-1=0，即exncosx=1.i己y=x