復(fù)變函數(shù)西安交大　第四版第六講學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)西安交大第四版第六西安交大第四版第六講講第一頁，共48頁。 在在3.63.6我們證明了在我們證明了在D D內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù), ,其導(dǎo)數(shù)其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)仍為解析函數(shù), ,所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本節(jié)所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本節(jié)利用這一重要利用這一重要(zhngyo)(zhngyo)結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系。的關(guān)系。內(nèi)內(nèi) 容容 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介第1頁/共47頁第二頁，共48頁。.),()00:),(2222內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為則則稱稱即即（方方程程續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且滿滿足足內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階連連在在若

2、若二二元元實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)DyxyxLaplaceDyx 定義定義內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。是是，內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域若若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()( 定理定理第2頁/共47頁第三頁，共48頁。證明：設(shè)證明：設(shè)f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在區(qū)域在區(qū)域(qy)D內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則xvyuyvxuRC 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222從從而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意階階的的連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)理理由由解解析析函函數(shù)數(shù)高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定, 0 2222 yuxuD內(nèi)有內(nèi)有故在故在0 222

3、2 yvxv同理有同理有第3頁/共47頁第四頁，共48頁。0, 0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在D內(nèi)滿足拉普拉斯內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程方程:內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)。是是，Dyxvvyxuu),(),( .),(),(,),(的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)和和在在稱稱使使得得內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)yxuyxvDivuDyxu 定義定義第4頁/共47頁第五頁，共48頁。上面上面(shng min)定理說明：定理說明：.部部的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)解解析析函函數(shù)數(shù)的的虛虛部部是是實(shí)實(shí)D.),(),(),(

4、),()(,的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必為為內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)解解析析在在即即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析由解析(ji x)的概念得：的概念得：.,:的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必為為調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)的的兩兩個(gè)個(gè)方方程程內(nèi)內(nèi)滿滿足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析內(nèi)內(nèi)就就不不在在則則內(nèi)內(nèi)的的兩兩個(gè)個(gè)調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)域域是是任任意意選選取取的的在在若若DivuDvu 現(xiàn)在研究反過來的問題：現(xiàn)在研究反過來的問題：第5頁/共47頁第六頁，共48頁。.的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)不不是是但但都都是是調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)與與盡盡管管yxuyxvyxvyxu 如如

5、)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 處處不解析處處不解析平面上平面上在在（由由此此，的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必須須是是方方程程，即即還還必必須須滿滿足足及及內(nèi)內(nèi)解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu .),(),(ivuyxvRCyxu 從從而而構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)程程可可求求得得它它的的虛虛部部方方利利用用部部已已知知一一個(gè)個(gè)解解析析函函數(shù)數(shù)的的實(shí)實(shí)),(yxv虛虛部部),(yxu實(shí)實(shí)部部第6頁/共47頁第七頁，共48頁。0,),(,2222 yuxuDyxuD則則函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和是是區(qū)區(qū)域域一一單單連連通通區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)一一階

6、階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在、即即Dxuyu ,)()(xuxyuy 且且),(yxdvv )()(),(),(),(00cdyxudxyuyxvyxyxdyyvdxxv dyxudxyu 第7頁/共47頁第八頁，共48頁。.內(nèi)內(nèi)解解析析在在方方程程滿滿足足DivuRCxuyvyuxv .)(),()(,),( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在使得使得式所確定的式所確定的則則內(nèi)調(diào)和函數(shù)內(nèi)調(diào)和函數(shù)在單連通在單連通設(shè)設(shè)DivuzfyxvDyxu 定理定理)()(),(),(),(00cdyxudxyuyxvyxyx第8頁/共47頁第九頁，共48頁。A 公式公式(gngsh)不用強(qiáng)記！可如下推出：不用強(qiáng)記！可如下推出：dyx

7、vdxyvdyyudxxuduRC 方方程程由由),(),(yxvyxu求求其其共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)已已知知：類似類似(li s)地，地，然后然后(rnhu)兩端積分得，兩端積分得，),(),(yxuyxv也也可可以以求求其其調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)如如已已知知：dyudxudyyvdxxvdvxyRC 方方程程由由cdyudxuvyxyxxy )(),(),(00然然后后兩兩端端積積分分得得，第9頁/共47頁第十頁，共48頁。)()(),(),(),(00cdyvdxvyxuyxyxxyA 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際(shj)A問題中都有重要應(yīng)用。本

8、節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解問題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解A析函數(shù)的關(guān)系。析函數(shù)的關(guān)系。第10頁/共47頁第十一頁，共48頁。iifyxyxuivuzf 1)()(22由由下下列列條條件件求求解解析析函函數(shù)數(shù)例例1xyyuxvyxxuyv 22解解cdyyxdxxyyxvyx ),()0,0()2()2(),(曲線曲線(qxin)積積分法分法xy0(x,y)xdyyxdxxydyyvdxxvdv)2()2( cdyyxxdxyx 00)2(cyxyx 22222其中其中(qzhng)c 為任意實(shí)的常數(shù)為任意實(shí)的常數(shù)第11頁/共47頁第十二頁，共48頁。icziiciyxiiyxcyxyxi

9、xyyxzf 2222222)211()(2)()21221()()(故故代代入入上上式式得得，iif 1)(A )(21),(21zziyzzx )(1, 0zfyx代入代入或令或令 21 c也可得也可得iicii 1)21(22)21()(,212izizfc 即即ici 1)21(1第12頁/共47頁第十三頁，共48頁。ydyxdxxdyydx 22dyyvdxxvdv 又解又解cyxyxyxv 222),(22)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 湊湊全全微微分分(wi fn)法法)22(222yxddxy dyyxdxxyRC)2()2( 方方程程由由其中其中c 為

10、任意為任意(rny)實(shí)的常數(shù)實(shí)的常數(shù)第13頁/共47頁第十四頁，共48頁。)(2222xyxyvyxyv )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解偏偏積積分分(jfn)法法)( 2xyxv cxx 2)(2 cxyxyyxv 222),(22xx )( xyyuxv 2其中其中c 為任意為任意(rny)實(shí)的常數(shù)實(shí)的常數(shù)第14頁/共47頁第十五頁，共48頁。yxxxiuuivuzf )( )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解不不定定(bdng)積積分分法法)()(2iyxiiyx zi 2iczizf 222)()2()2(yxiyx )(2(

11、iyxi 其中其中(qzhng)c 為任意實(shí)的常數(shù)為任意實(shí)的常數(shù)第15頁/共47頁第十六頁，共48頁。一般一般(ybn),若已知實(shí)部若已知實(shí)部u,則則 icdzzUzfzUiuuzfyx)()()()(若已知虛部若已知虛部v,則則cdzzVzfzVivvzfxy)()()()(其中其中c 為任意為任意(rny)實(shí)的常數(shù)實(shí)的常數(shù)其中其中(qzhng)c 為任意實(shí)的常數(shù)為任意實(shí)的常數(shù)第16頁/共47頁第十七頁，共48頁。& 1. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限& 2. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(j sh)的概念的概念第第 四四 章章 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)第17頁/共47頁第十八頁，共48頁。 1. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(fs

12、h)列列的極限的極限定義定義(dngy),), 2 , 1(nnnniban 其其中中設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列： ，iba 又設(shè)復(fù)常數(shù)：又設(shè)復(fù)常數(shù)：時(shí)時(shí)的的極極限限，當(dāng)當(dāng)稱稱為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列那那么么，恒恒有有若若 nNnNnn, 0, 0 定理定理1.lim,limlimbbaannnnnn 證明證明 nnnNnN恒恒有有即即，”已已知知“, 0, 0lim.,lim 收收斂斂于于此此時(shí)時(shí)，也也稱稱復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列時(shí)時(shí)，或或當(dāng)當(dāng)記記作作nnnnn 第18頁/共47頁第十九頁，共48頁。)()(bbiaannn 又又即即，”已已知知“bbaannnn lim,lim22)()(bbaann nnnnbbaa

13、.lim,limbbaannnn 故故恒恒有有, 0, 0NnN 22 bbaann，)()(bbiaannn 又又 bbaann.lim nn故故第19頁/共47頁第二十頁，共48頁。2. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(j sh)的概念的概念 nnn 211 niinns121 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(j sh)的前面的前面n項(xiàng)的和項(xiàng)的和-級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和稱稱為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和ssnn lim稱稱為為收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nn 不收斂不收斂(shulin)稱稱為為發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nn -無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)定義定義), 2 , 1( nibannn 設(shè)復(fù)數(shù)列：設(shè)復(fù)數(shù)列： 收收斂斂若若部部分分和和數(shù)數(shù)列列ns第20頁/

14、共47頁第二十一頁，共48頁。例例1解解的斂散性。的斂散性。判別判別 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂定理定理(dngl)2都都收收斂斂。和和收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 111nnnnnnba 都收斂。都收斂。和和由定理由定理 111111lim,limlim,)(nnnnnnnnnnnnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas 證明證明(zhngmng)第21頁/共47頁第二十二頁，共48頁。A 由定理由定理2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(j sh)的收斂問題可歸之為的收斂問題可歸之為A 兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)

15、級(jí)數(shù)(j sh)的收斂問題。的收斂問題。. 0lim: nn 收收斂斂的的必必要要條條件件級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nn 性質(zhì)性質(zhì)定理定理3.1111 nnnnnnnn 收收斂斂，且且收收斂斂若若證明證明(zhngmng)222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba 收斂。收斂。得得由定理由定理均絕對(duì)收斂，均絕對(duì)收斂，和和由比較判定法由比較判定法 1112nnnnnnba 1111,nnnnnkknkk 1, 0limnnnn發(fā)散發(fā)散則則如果如果推論推論 第22頁/共47頁第二十三頁，共48頁。A 收斂.收斂.收斂收斂若若 11nnnn ?)1(:(1 nnni例例如如定義定義(dngy).1

16、1111條條件件收收斂斂為為收收斂斂，則則稱稱發(fā)發(fā)散散，而而若若為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂；收收斂斂，則則稱稱若若 nnnnnnnnnn 由定理由定理3的證明過程，及不等式的證明過程，及不等式:22有有nnnnbaba 定理定理4都都收收斂斂。和和收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 111nnnnnnba 第23頁/共47頁第二十四頁，共48頁。解解.)1(111)1(1121發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnninnn絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂。收收斂斂， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2) 1(21) 1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn例例2否否絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂？下

17、下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)非非絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn第24頁/共47頁第二十五頁，共48頁。例例3的斂散性。的斂散性。討論討論 0!nnnz解解斂。斂。在復(fù)平面上處處絕對(duì)收在復(fù)平面上處處絕對(duì)收令令 000!,nnrnnnnnzenrnzrz練習(xí)練習(xí)(linx)：的斂散性。的斂散性。討論討論 111nnien 的斂散性。的斂散性。討論討論 02cosnnin2cosnneein 用收斂用收斂(shulin)必要條件做必要條件做第25頁/共47頁第二十六頁，共48頁

18、。& 1. 冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念(ginin)& 2. 收斂定理收斂定理& 3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑& 4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法& 5. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)第26頁/共47頁第二十七頁，共48頁。1. 冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念(ginin)定義定義(dngy)設(shè)復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù)(hnsh)列：列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( nDzzfn-稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的最前面級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和項(xiàng)的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()

19、()(-級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和發(fā)發(fā)散散。在在不不存存在在，稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)其其和和為為收收斂斂在在稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)若若0000000)1()(lim),(,)1(),()(limzzszszzszsDznnnn 第27頁/共47頁第二十八頁，共48頁。若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)(1)在在D內(nèi)處處收斂?jī)?nèi)處處收斂(shulin)，其和為，其和為z的函數(shù)的函數(shù))()()()(21zfzfzfzsn -級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)的和函數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz當(dāng)當(dāng)稱為冪級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)并并不不失失一一般般性性。研研究究級(jí)級(jí)

20、數(shù)數(shù)中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 第28頁/共47頁第二十九頁，共48頁。.,)0(000級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)必必絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂的的則則對(duì)對(duì)滿滿足足收收斂斂在在若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)zzzzzzcnnn 2. 收斂收斂(shulin)定理定理同實(shí)變函數(shù)一樣同實(shí)變函數(shù)一樣(yyng)，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：定理定理(dngl)1 (阿貝爾阿貝爾(Able)定理定理(dngl)）.,00級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)必必發(fā)發(fā)散散的的則則對(duì)對(duì)滿滿足足發(fā)發(fā)散散若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在zzzzz 第29頁/共47頁第三十頁，共48頁。 ,2,1 ,0,max00202010 nMzczczcz

21、ccMnnNN故故取取 證明證明(zhngmng)，即即則則收收斂斂0lim,)1(000 nnnnnnzczc nnzcNnN000，恒恒有有，1,00 qzzzz則則若若,00nnnnnnMqzzzczc ,0收收斂斂由由于于 nnMq,0收收斂斂由由比比較較判判別別法法得得 nnnzc絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂。 0nnnzc第30頁/共47頁第三十一頁，共48頁。(2)用反證法，用反證法，3. 收斂收斂(shulin)圓與收斂圓與收斂(shulin)半徑半徑收斂，收斂，有，有設(shè)設(shè) 01011,nnnzczzz由由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種三種(

22、sn zhn)情況：情況：(i)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)(shsh)都收斂，級(jí)數(shù)都收斂，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)在復(fù)平面上處處收斂。平面上處處收斂。！收收斂斂與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾，得得證證知知由由 00)1(nnnzc(ii )除除z=0外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)，外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)， 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上除在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。外處處發(fā)散。第31頁/共47頁第三十二頁，共48頁。.)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級(jí)級(jí)在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散使使得得收收斂斂使使得得 nnnnn

23、ncciii 顯然顯然(xinrn)，1,1上上在在圓圓周周 z 11,1nnppnnnz是是收收斂斂的的該級(jí)數(shù)該級(jí)數(shù)(j sh)在收斂圓上是處處收斂的。在收斂圓上是處處收斂的。第40頁/共47頁第四十一頁，共48頁。nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2( nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 R,11上上在在圓圓周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(, 0)1(coslimnninnznien發(fā)發(fā)散散。 綜上綜上該級(jí)數(shù)該級(jí)數(shù)(j sh)發(fā)散。發(fā)散。該級(jí)數(shù)該級(jí)數(shù)(j sh)收斂

24、，收斂，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)11 z時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)11 z;)1)(ch)2(1 nnzni第41頁/共47頁第四十二頁，共48頁。222)2(ln1ln1nnnninc R222lnln2ln)arg(ln)ln()3( ninininiinin其其中中：nnnnnnnc222)2(ln1limlim 故故0)2(ln1lim2122 nn.)ln()3(1nninz 故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處(chch)收斂的收斂的.第42頁/共47頁第四十三頁，共48頁。5. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算(yn sun)和性質(zhì)和性質(zhì)q代數(shù)代數(shù)(dish)運(yùn)算運(yùn)算2010)()(rRzgzbrRzfzannnnnn 設(shè)設(shè)Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min(21rrR 其中：其中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算(yn sun)-冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算第43頁/共47頁第四十四頁，共48頁。rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0內(nèi)內(nèi)解解析析，且且在在設(shè)設(shè)Rzzgazgfnnn 0)()(-冪級(jí)數(shù)的代