1.2求微分方程的解ppt課件

1、求微分方程的解主講教師: 侯志敏聯(lián)系方式: 61095178: 78378528E-mail: houzhiminyahooq 自牛頓發(fā)明微積分以來，微分方程在描述事物運(yùn)自牛頓發(fā)明微積分以來，微分方程在描述事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律上已發(fā)揮了重要的作用。實(shí)際應(yīng)用問題通過動(dòng)規(guī)律上已發(fā)揮了重要的作用。實(shí)際應(yīng)用問題通過數(shù)學(xué)建模所得到的方程，絕大多數(shù)是微分方程。數(shù)學(xué)建模所得到的方程，絕大多數(shù)是微分方程。q 由于實(shí)際應(yīng)用的需要，人們必須求解微分方程。由于實(shí)際應(yīng)用的需要，人們必須求解微分方程。然而能夠求得解析解的微分方程十分有限，絕大多然而能夠求得解析解的微分方程十分有限，絕大多數(shù)微分方程需要利用數(shù)值方法來近似求解。數(shù)

2、微分方程需要利用數(shù)值方法來近似求解。q 本實(shí)驗(yàn)主要研究如何用本實(shí)驗(yàn)主要研究如何用 Matlab 來計(jì)算微分方程來計(jì)算微分方程組的數(shù)值解，并重點(diǎn)介紹一個(gè)求解微分方程的組的數(shù)值解，并重點(diǎn)介紹一個(gè)求解微分方程的基本數(shù)值解法基本數(shù)值解法Euler折線法。折線法。問題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康膯栴}背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康膓 考慮一維經(jīng)典初值問題考慮一維經(jīng)典初值問題00 , , ( ,)() , dyf x yy xyxa bdx u 基本思想：用差商代替微商基本思想：用差商代替微商根據(jù)根據(jù) Talyor 公式，公式，y(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) xk 處有處有2()()() ()()kkky xy xxxyxOx 1kkhxx 11(

3、)()()()( )kkkkky xy xy xy xdyO hdxhhx 21()()()()kkky xy xhyxO h Euler 折線法折線法初值問題的初值問題的Euler折線法折線法q 具體步驟：具體步驟：等距剖分：等距剖分：0121nnaxxxxxb 步長(zhǎng)：步長(zhǎng)：1 0 1 21()/, , ,kkhxxknnba u 分割求解區(qū)間分割求解區(qū)間u 差商代替微商差商代替微商1()()kkky xy xdydxhx 1 ()()()kkky xy xh yx 得方程組：得方程組：0011 ()(,)kkkkkkyy xyyh f xyxxh 分割求解區(qū)間，差商代替微商，解代數(shù)方程分割

4、求解區(qū)間，差商代替微商，解代數(shù)方程 為分割點(diǎn)為分割點(diǎn) 0nkkx k = 0, 1, 2, ., n-1yk 是是 y (xk) 的近似的近似Euler 折線法舉例折線法舉例例：用例：用 Euler 法解初值問題法解初值問題22 0 201 , ( )dyxydxyxy 取步長(zhǎng)取步長(zhǎng) h = (2 - 0)/n = 2/n，得差分方程，得差分方程00110 1 2 ,(,)(/)kkkkkkkkkkxyyyh f xyyh yxyxxh 當(dāng)當(dāng) h=0.4，即，即 n=5 時(shí)，時(shí)，Matlab 源程序見下一頁源程序見下一頁解：解：Euler 折線法源程序折線法源程序clearf=sym(y+2*

5、x/y2);a=0; b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1;szj=x,y;for i=1:n-1 % i=1:n y=y+h*subs(f,x,y,x,y); x=x+h; szj=szj;x,y;endszjplot(szj(:,1),szj(:,2), ) Euler折線法舉例續(xù)）折線法舉例續(xù)）解析解：解析解：1 3352233/xyex 解析解解析解近似解近似解1 3352233/xyex Runge-Kutta 方法方法q 為了減小誤差，可采用以下方法：為了減小誤差，可采用以下方法：u 讓步長(zhǎng)讓步長(zhǎng) h 取得更小一些；取得更小一些；u

6、 改用具有較高精度的數(shù)值方法：改用具有較高精度的數(shù)值方法：q 龍格龍格-庫塔方法庫塔方法Runge-Kutta (龍格龍格-庫塔庫塔) 方法方法u 是一類求解常微分方程的數(shù)值方法是一類求解常微分方程的數(shù)值方法u 有多種不同的迭代格式有多種不同的迭代格式Runge-Kutta 方法方法q 用得較多的是用得較多的是 四階四階R-K方法方法00111234 (22)/6(),kkkkyy xxxhyyh LLLL 12132432222(,)(/ ,/ )(/ ,/ )(,)kkkkkkkkLf xyLf xhyhLLf xhyhLLf xh yhL 其中其中四階四階 R-K 方法源程序方法源程序c

7、lear;f=sym(y+2*x/y2);a=0; b=2; h=0.4;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1; szj=x,y;for i=1:n-1 % i=1:n l1=subs(f,x,y,x,y); l2=subs(f,x,y,x+h/2,y+l1*h/2); l3=subs(f,x,y,x+h/2,y+l2*h/2); l4=subs(f,x,y,x+h,y+l3*h); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=szj;x,y;endplot(szj(:,1),szj(:,2), dg-)Runge-Kutta 方法

8、方法Euler 法與法與 R-K法誤差比較法誤差比較Matlab 解初值問題解初值問題q 用用 Maltab自帶函數(shù)自帶函數(shù) 解初值問題解初值問題u 求解析解：求解析解：dsolve （Wang p59）u 求數(shù)值解：求數(shù)值解： ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、u ode23s、ode23tbdsolve 求解析解求解析解q dsolve 的使用的使用y=dsolve(eq1,eq2, . ,cond1,cond2, . ,v)其中其中 y 為輸出，為輸出， eq1、eq2、.為微分方程，為微分方程，cond1、cond2、.為初值條件，為初值條件，v 為自

9、變量。為自變量。例例 1：求微分方程：求微分方程 的通解，并驗(yàn)證。的通解，并驗(yàn)證。22xdyxyxedx y=dsolve(Dy+2 y=dsolve(Dy+2* *x x* *y=xy=x* *exp(-x2),x)exp(-x2),x) syms x; diff(y)+2 syms x; diff(y)+2* *x x* *y - xy - x* *exp(-x2)exp(-x2)dsolve 的使用的使用q 幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明l 如果省略初值條件，則表示求通解；如果省略初值條件，則表示求通解；l 如果省略自變量，則默認(rèn)自變量為如果省略自變量，則默認(rèn)自變量為 t dsolve(Dy=2*x,

10、x); dy/dx = 2xdsolve(Dy=2*x); dy/dt = 2xl 若找不到解析解，則返回其積分形式。若找不到解析解，則返回其積分形式。l 微分方程中用微分方程中用 D 表示對(duì)表示對(duì) 自變量自變量 的導(dǎo)數(shù)，如：的導(dǎo)數(shù)，如：Dy y； D2y y； D3y ydsolve 舉例舉例例例 2：求微分方程：求微分方程 在初值條件在初值條件 下下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。0 xxyye y=dsolve(x y=dsolve(x* *Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2* *exp(1),x)exp(1),x)

11、ezplot(y); ezplot(y);12( )ye dsolve 舉例舉例例例3：求微分方程組：求微分方程組 在初值條件在初值條件 下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。530tdxxyedtdyxydt x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=0, t)ezplot(x,y,0,1.3);0010|ttxy 注：解微分方程組時(shí)，如果所給的輸出個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同，注：解微分方程組時(shí)，如果所給的輸出個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同，則方程組的解按詞典順序輸出；如果只給一個(gè)輸出，則輸出則方程組的解按詞典順序輸出；如果

12、只給一個(gè)輸出，則輸出的是一個(gè)包含解的結(jié)構(gòu)的是一個(gè)包含解的結(jié)構(gòu)structure類型的數(shù)據(jù)。類型的數(shù)據(jù)。v dsolve dsolve 舉例舉例例：例：x,y=dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=1,t) r = dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=1,t)這里返回的這里返回的 r 是一個(gè)是一個(gè) 結(jié)構(gòu)類型結(jié)構(gòu)類型 的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)r.x %查看解函數(shù)查看解函數(shù) x(t)r.y %查看解函數(shù)查看解函數(shù) y(t)只有很少一部分微分方程組能求出解析解。只有很少一部分微分方程組能求出解析解。大部分微分方程組只能利用數(shù)

13、值方法求數(shù)值解。大部分微分方程組只能利用數(shù)值方法求數(shù)值解。dsolve的輸出個(gè)數(shù)只能為一個(gè)的輸出個(gè)數(shù)只能為一個(gè) 或或 與方程個(gè)數(shù)相等。與方程個(gè)數(shù)相等。Matlab函數(shù)數(shù)值求解函數(shù)數(shù)值求解T,Y = solver(odefun,tspan,y0)其中其中 y0 為初值條件，為初值條件，tspan為求解區(qū)間；為求解區(qū)間；Matlab在數(shù)值求解在數(shù)值求解時(shí)自動(dòng)對(duì)求解區(qū)間進(jìn)行分割，時(shí)自動(dòng)對(duì)求解區(qū)間進(jìn)行分割，T (向量向量) 中返回的是分割點(diǎn)的中返回的是分割點(diǎn)的值值(自變量自變量)，Y (向量向量) 中返回的是解函數(shù)在這些分割點(diǎn)上的函中返回的是解函數(shù)在這些分割點(diǎn)上的函數(shù)值。數(shù)值。solver 為為Mat

14、lab的的ODE求解器可以是求解器可以是 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb）沒有一種算法可以有效地解決所有的沒有一種算法可以有效地解決所有的 ODE 問題，因此問題，因此MATLAB 提供了多種提供了多種ODE求解器，對(duì)于不同的求解器，對(duì)于不同的ODE，可以調(diào)用不同的求解器?？梢哉{(diào)用不同的求解器。Matlab提供的提供的ODE求解器求解器求解器求解器 ODE類型類型特點(diǎn)特點(diǎn)說明說明ode45非剛性非剛性單步法；單步法；4，5 階階 R-K 方法；方法；累計(jì)截?cái)嗾`差為累計(jì)截?cái)嗾`差為 (x)3大部分場(chǎng)合的大部分場(chǎng)合的首選方法首選方法od

15、e23非剛性非剛性單步法；單步法；2，3 階階 R-K 方法；方法；累計(jì)截?cái)嗾`差為累計(jì)截?cái)嗾`差為 (x)3使用于精度較低的情形使用于精度較低的情形ode113非剛性非剛性多步法；多步法；Adams算法；高低精算法；高低精度均可到度均可到 10-310-6計(jì)算時(shí)間比計(jì)算時(shí)間比 ode45 短短ode23t適度剛性適度剛性 采用梯形算法采用梯形算法適度剛性情形適度剛性情形ode15s剛性剛性多步法；多步法；Gears 反向數(shù)值微反向數(shù)值微分；精度中等分；精度中等若若 ode45 失效時(shí)，可失效時(shí)，可嘗試使用嘗試使用ode23s剛性剛性單步法；單步法；2 階階Rosebrock 算算法；低精度法；低

16、精度當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比間比 ode15s 短短ode23tb剛性剛性梯形算法；低精度梯形算法；低精度當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比間比ode15s短短參數(shù)說明參數(shù)說明odefun 為顯式常微分方程，可以用命令為顯式常微分方程，可以用命令 inline 定義，定義，或在函數(shù)文件中定義，然后通過函數(shù)句柄調(diào)用。或在函數(shù)文件中定義，然后通過函數(shù)句柄調(diào)用。fun=inline(-2*y+2*x2+2*x,x,y);x,y=ode23(fun,0,0.5,1);注：也可以在注：也可以在 tspan 中指定對(duì)求解區(qū)間的分割，如：中指定對(duì)求解區(qū)間的分割，如：x,y=od

17、e23(fun,0:0.1:0.5,1); %此時(shí)此時(shí) x=0:0.1:0.5T,Y = solver(odefun,tspan,y0) 求初值問題求初值問題 的數(shù)值解，求解范的數(shù)值解，求解范圍為圍為 0,0.5222201( )dyyxxdxy 例例 4：數(shù)值求解舉例數(shù)值求解舉例如果需求解的問題是高階常微分方程，則需將其化為一階常如果需求解的問題是高階常微分方程，則需將其化為一階常微分方程組，此時(shí)需用函數(shù)文件來定義該常微分方程組。微分方程組，此時(shí)需用函數(shù)文件來定義該常微分方程組。122212112101 00 7/()( ),( ),dxdtxdxdtxxxxx 令令 ，則原方程可化為，則原方程可化為12,dyxy xdt 求解求解 Ver der Pol 初值問題初值問題2221001 00 7()( ),( ),d ydyyydtdtyy 例例 5：數(shù)值求解舉例數(shù)值求解舉例l 先編寫函數(shù)文件先編寫函數(shù)文件 verderpol.mfunction xprime=verderpol(t,x)global mu;xprime=x(2); mu*(1-x(1)2)*x(2) - x(1