同濟大學《自動控制原理》第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型 系統(tǒng)的數(shù)學模型就是描述所研究物理控制系統(tǒng)的動力學表達式。建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的目的是要依據(jù)該數(shù)學描述對系統(tǒng)進行分析與綜合。2.1 2.1 控制系統(tǒng)微分方程及其線性化控制系統(tǒng)微分方程及其線性化 以緒論中介紹的電子節(jié)氣門系統(tǒng)為例介紹如何建立一個自動控制系統(tǒng)的微分方程。 所謂系統(tǒng)的微分方程就是在時域描述系統(tǒng)輸出量（被控制量）與系統(tǒng)參考輸入量（給定量）間的動力學關系的微分方程式。具體的方法是：先求出系統(tǒng)單個元件輸入輸出間的數(shù)學表達式，然后再跟據(jù)系統(tǒng)的結(jié)

2、構(gòu)或信號傳遞關系綜合求出整個系統(tǒng)的數(shù)學表達式。同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型n建立電子節(jié)氣門角位移控制系統(tǒng)的微分方程建立電子節(jié)氣門角位移控制系統(tǒng)的微分方程l系統(tǒng)輸出量是節(jié)氣門活瓣的角位移（節(jié)氣門開度） 。l系統(tǒng)的給定量是與油門踏板位置成比例的節(jié)氣門開度給定信號 建立該系統(tǒng)的數(shù)學模型即建立該系統(tǒng)節(jié)氣門開度 與所希望的節(jié)氣門開度給定信號 間的關系式 ccrere11KaiaRaL1K eercrece輸入裝置誤差測量環(huán)節(jié)（比較環(huán)節(jié)）放大器電動機齒輪傳動負載（被控對象）執(zhí)行器參考輸

3、入輸入電位計輸出電位計反饋信號bUmefi 常數(shù)mT1J1T1Z2T2Z3T2J23Z4Z3Jc4TcLT1f2f3f*eqJ*eqf節(jié)氣門活瓣同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型n反饋元件反饋元件( )( )ccce tktn 比較元件比較元件( )( )( )rce te te tn 放大元件放大元件1( )( )ae tke t轉(zhuǎn)換系數(shù)ck（伏/弧度）maxbccukmaxc活瓣最大角位移bu控制電源電壓1k放大器增益同濟大學 汽車學院College of Automotiv

4、e, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型n控制對象（兩級減速器控制對象（兩級減速器+節(jié)氣門活瓣）節(jié)氣門活瓣）先討論一個有兩級機械減速的動力傳動系統(tǒng)，減速傳動的輸入轉(zhuǎn)矩為Tm , 輸出是阻轉(zhuǎn)矩為TL的慣性機械負載。圖圖1 1 兩級機械減速的動力傳動系統(tǒng)兩級機械減速的動力傳動系統(tǒng)同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型 圖中所示的Zi為各齒輪齒數(shù)，J1，J2，J3和1 ， 2 ， 3分別為各軸及相應齒輪的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)角。（其中 中包含負載

5、的轉(zhuǎn)動慣量）.11111mTJfT假設各軸均為絕對剛性，可得如下動力學方程組:.222223TJfT.33433LTJfT式中 齒輪傳動中各軸及齒輪的粘性阻尼系數(shù)（其中 包含 負載的粘性摩擦） ； T1-齒輪Z1對Tm的反轉(zhuǎn)矩； T2-Z2對T1的反轉(zhuǎn)矩； T3-Z3對T2的反轉(zhuǎn)矩； T4-Z4對T3的反轉(zhuǎn)矩； TL-負載對T4的反轉(zhuǎn)矩，即負載轉(zhuǎn)矩。(1)(2)(3)3J123,fff3f同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型由齒輪傳動的基本關系可知2211zTTz于是由式(1)、（

6、2）和（3）式，并代入以上的基本關系，可得：1212zz4433zTTz31 3321424zz zzz z.1311223311223324.222211 311 31 31112312322422424() ()()()()()mLLzzTJfJfJfTzzzz zzz zz zJJJfffTzz zzz zz z（4）同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型令： 稱為等效轉(zhuǎn)動慣量;令： 稱為等效阻尼系數(shù)令： 稱為等效負載轉(zhuǎn)矩2211 3123224()()eqzz zJJJJzz

7、 z2211 3123224()()eqzz zffffzz z1 324()LeqLz zTTz zeqJeqfLeqT同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型因此（4）式可改寫改為 則圖1所示的傳動系統(tǒng)可簡化為圖2所示的等效齒輪轉(zhuǎn)動.11meqeqLeqTJfT 圖圖2 2 從減速器輸入軸看進去的等效齒輪傳動從減速器輸入軸看進去的等效齒輪傳動同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的

8、數(shù)學模型 根據(jù)以上討論，本例中的控制對象（兩級減速器+節(jié)氣門活瓣）在數(shù)學處理上可以看作一個：l輸入軸上轉(zhuǎn)動慣量為 ，粘性阻尼系數(shù)為 ，阻轉(zhuǎn)矩 為零（在活瓣上無外力作用時），l負載輸出軸無轉(zhuǎn)動慣量、無粘性阻尼的假想變速傳動裝置。 該變速傳動裝置的變比為：eqJeqfLeqT31 3124=mz zkz z同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型( )met( )ai t0( )tn 執(zhí)行元件（電動機）執(zhí)行元件（電動機）其中 為電動機電樞輸入電壓； 為電動機輸出轉(zhuǎn)角； Ra 為電樞繞組的電

9、阻； La 為電樞繞組的電感； 為流過電樞繞組的電流 為電動機感應電動勢； T(t)為電動機轉(zhuǎn)矩； J J為電動機及負載折合到電動機軸上的動慣量之和 ； f f 為電動機及負載折合到電動機軸上的粘性阻尼系數(shù)之和 。( )ie t( )ai t( )metmeqJJmeqff同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型根據(jù)基爾霍夫第一定律，有：( )( )( )( )aia aamdi te tR i tLetdt( )( )T aT tK i t根據(jù)載流線圈在磁場中要受到力的作用物理原理，

10、可得到：式中KT 電動機轉(zhuǎn)矩常數(shù)。根據(jù)電磁感應定律，有式中Ke 反電動勢常數(shù)（1）（2）（3）( )( )omedtetKdt同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型根據(jù)牛頓第二定律，有2002( )( )( )dtdtT tfJdtdt將式（2）代入（4），得到：將式（3），式（5）代入（1），得2002( )( )( )aTTJ dtf dti tKdtKdt3200032( )( )( )()()( )aaaaTeTidtdtdtL JL fR JR fK KK e tdtdtd

11、t（4）（5）（6）同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型由于本例中電動機與減速器同軸相連，故1( )( )ottn 整個系統(tǒng)數(shù)學模型建立整個系統(tǒng)數(shù)學模型建立3232( )()( )()( )( )acaacaTecTimmmL J dtL fR J dtR fK KdtK e tkdtkdtkdt31( )( )( )( )cmmottktkt而系統(tǒng)角位移輸出 與電機角位移輸出 有以下關系( )ct1( ) t將以上關系帶入（6）式，便得到電機電樞電壓與節(jié)氣門活瓣角位移間的微分方程

12、表達式（* *）同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型3232( )()( )()( )( )acaacaTecTammmL J dtL fR J dtR fK KdtK e tkdtkdtkdt( )( )ccce tkt( )( )( )rce te te t將反饋元件、比較元件和放大元件的輸入輸出數(shù)學描述公式，1( )( )ae tke t（反饋元件）（比較元件）（放大元件）代入到電機電樞電壓和系統(tǒng)輸出角位移間的微分方程式（考慮到本例中電機電樞電壓用 表示）可以得到用微分方程描

13、述的本例電子節(jié)氣門角位移閉環(huán)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型( )ae t同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型1323211( )()( )()( )( )( )acaacaTecccrmTmTmTL JdtL fR J dtR fK Kdtkte tk k kdtk k kdtk k kdt上式說明本例電子節(jié)氣門角位移閉環(huán)控制系統(tǒng)是一個用三階常系數(shù)微分方程描述的線性定常系統(tǒng)任何用線性元件組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)都可以用一個線性微分方程描述。一個n階的系統(tǒng)，它的微分方程表達式可寫成以下標準形式：111

14、0111101( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd y tdy tdy tBBBB y tdtdtdtd x tdx tdx tAAAA x tdtdtdt同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型n控制系統(tǒng)的線性化控制系統(tǒng)的線性化 嚴格意義上的線性系統(tǒng)是不存在的，當組成系統(tǒng)的某個元件具有非線性性質(zhì)時，在一定條件下，對其數(shù)學描述可進行線性化處理，即對系統(tǒng)進行線性化，以便可使用線性系統(tǒng)理論對系統(tǒng)進行分析與設計。1l線性化處理的示例線性化處理的示例電子節(jié)

15、氣門系統(tǒng)中的減速器實際上是一個具有間隙非線性的環(huán)節(jié)，如下圖所示：c 由于間隙很小，可以用圖中的虛線（直線），代替實際減速器間隙（滯環(huán)）非線性特性。 當減速器間隙較大時，這種處理將導致較大的誤差。同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型l一般的線性化處理方法一般的線性化處理方法 以下介紹的一般線性化方法適用于在工作點附近元件的輸入與輸出函數(shù)關系是單值的，且近似線性。 假定非線性元件的非線性函數(shù)表達式 ，如下圖表示： ( )yf xxy( )yf xykx若該元件的工作點位為坐標的原點。且

16、實際工作中元件的輸入 變化范圍不超出圖中標出的范圍 那末可用圖中的線性方程 （虛直線）代替原非線性函數(shù)即在原點鄰域內(nèi)對即在原點鄰域內(nèi)對 進行進行泰勒展開，取常數(shù)和一次項，得泰勒展開，取常數(shù)和一次項，得到線性化方程。到線性化方程。()yfx( )yf xmaxxminxminmax,xx( )yf x同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章控制及系統(tǒng)的數(shù)學模型建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟u將系統(tǒng)劃分環(huán)節(jié)u確定各環(huán)節(jié)的輸入/輸出信號u根據(jù)物理定律或通過實驗等方法得出的物理規(guī)律列寫各環(huán)節(jié)

17、的原始方程式，并考慮適當?shù)幕唘將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量最后得出只包含系統(tǒng)輸入和輸出變量，以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量的系統(tǒng)微分方程式同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University2-1 拉氏變換拉氏變換一、拉氏變換及其性質(zhì)拉氏變換及其性質(zhì)（一）（一）、拉氏變換的定義拉氏變換的定義 時間函數(shù)時間函數(shù)f(t)f(t)，當，當t0t0時，時，f(t)=0f(t)=0，當，當t0t0時，時，f(t)f(t)有定有定義，則義，則 其中：其中： 為函數(shù)為函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換，的拉氏變換，F(xiàn)(s)F(s)也稱作也稱作f(t)f(t)的象函數(shù)。的象函

18、數(shù)。 通常工程上能產(chǎn)生的信號都有拉氏變換存在通常工程上能產(chǎn)生的信號都有拉氏變換存在 0( ) ( )( )stf t edtL f tF ssj同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 例例1. 1. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換的拉氏變換 例例2. 2. 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的拉氏變換的拉氏變換 0( )00atAetf tt ()00()0 ( )|atsts a ts a tL f tAe edtAedtAAesasa 101( )00 ttt001 ( )1( )|ststeL f tt edtss 2-1 拉氏變換拉氏變換同

19、濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 例例3. 3. 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 定義：定義： 或或 函數(shù)的面積為函數(shù)的面積為1 1，它的面積也稱為強度，它的面積也稱為強度 有如下性質(zhì)有如下性質(zhì)由拉氏變換定義由拉氏變換定義 ( ) t01lim0( )00tttttttt 或 0( )00ttt ( ) t( ) t( ) ( )(0)t f t dtf00 ( )( )1|ststtLtt edte同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 例例4. 4.

20、單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換的拉氏變換采用分部積分采用分部積分 令令000tttt 0 stL ttedtudvuvvdu,.ststeut dvedt vs 002002 11|ststststeeL ttdtssetesss 同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University二、拉氏變換的運算法則二、拉氏變換的運算法則 1 1、線性定理、線性定理 拉氏變換是一個線性變換，若有常數(shù)拉氏變換是一個線性變換，若有常數(shù)k k1 1， k k2 2，函數(shù)函數(shù)f f1 1(t)(t)，f f2 2(t)(t)，則，則 2 2、延遲定理、延遲定理 設

21、設f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s)F(s)，則，則f(t)f(t)的延遲函數(shù)的延遲函數(shù) ，T T為為延遲時間，則延遲時間，則 證明：令1 12211221122( )( )( )( )( )( )L k f tk f tk L f tk L f tk F sk F s ()( )TsL f tTeF s0()()stL f tTf tT edt()f tT()tT同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University3 3、位移定理、位移定理 設設f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s)F(s)，對任意一常數(shù)，對任意一常數(shù)a(

22、 a(可為實數(shù)可為實數(shù)或復數(shù)或復數(shù)) )有有( )()atL ef tF sa0()0( )( )( )( )sTTsssTTTsfedefedfedeF s同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 4 4、相似定理、相似定理 設設f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s)F(s)，則函數(shù)，則函數(shù)f(at),(af(at),(a為任意常數(shù)為任意常數(shù)) )有有 5 5、微分定理、微分定理 設設 為為 的的n n階導數(shù)，階導數(shù)，n=1,2,nn=1,2,n，若，若 的拉氏的拉氏變換為變換為F(s)F(s)，則有，則有 時的時的 的值的

23、值 的第的第 階導數(shù)當階導數(shù)當 時的取值時的取值 1 ()( )sL f atFaa()( )nft(1)(2)2(1)( )12(1)(2)(1)( )( )(0 )( )( )(0 )(0 )( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )nnnnnnL ftsF sfL fts F ssffL fts F ssfsfsff( )f t()f t(0 )f0t ( )f t( )(0 )if( )f ti0t 同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 6 6、積分定理、積分定理 設設f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s)F(s

24、)，則，則 式中式中 證：證： 采用分步積分采用分步積分 設設0(1)( )( )( )1( )(0)tF sLf t dtsF sLf t dtfss( 1)0(0)( )|tff t dt000( )( )ttstLf t dtf t dt edt 01( )( )ststtdvedtvesduf t dtuf t dt udvuvvdu同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 因此因此 又因為又因為 因此因此依次可以推到得到：依次可以推到得到：如果各重積分的初值為零，則如果各重積分的初值為零，則 00001( )( )( )( )

25、|stttsteLf t dtf t dtf t edtssF ss ( 1)0( )( )(0)tf t dtf t dtf(1)0(1)( )( )(0)( )(0)tLft dtLft dtLfF sfss( 1)( 2)()1( )1( )(0)11(0)(0)nnnnnF sLf t dtfssffss( )( )nnF sLf t dts 同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 7、初值定理初值定理 f(t)f(t)及其一階導數(shù)均為可拉氏變換的，則及其一階導數(shù)均為可拉氏變換的，則 證：由微分定理知證：由微分定理知 令令 ，

26、對上式兩邊取極限，對上式兩邊取極限 即即0(0 )lim( )lim( )stff tsF s0( )( )(0 )stf t edtsF sfs 0lim( )lim( )(0 )lim( )(0 )0stsssf t edtsF sfsF sflim( )(0 )lim( )stosF sff t同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 8 8、終值定理、終值定理 f(t)f(t)及其一階導數(shù)均為可拉氏變換的，且及其一階導數(shù)均為可拉氏變換的，且 存存在在 ， 則則 證：由微分定理證：由微分定理 令令 對上式兩邊取極限對上式兩邊取極限

27、 上式左邊上式左邊lim( )lim( )tsof tsF s0( )( )(0 )stf t edtsF sfso 000lim( )lim( )(0 )stssf t edtsF sf000lim( )( )( )(0 )lim( )(0 ) ststft edtft dtfff tftlim()ft同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 由此得由此得 即即 注意：注意：終值定理的適用條件是終值定理的適用條件是F(s)F(s)的所有極點都位于的所有極點都位于S S平面的左半部。平面的左半部。 所謂極點是使所謂極點是使F(s)F(s

28、)等于無窮大（不解析）所對應的復變量等于無窮大（不解析）所對應的復變量S S的取值的取值 例：例： 即即 以上以上 ， 均是有一對共軛復數(shù)極點均是有一對共軛復數(shù)極點 ； 這這兩個極點都位于兩個極點都位于S S平面的虛軸上，而不是左半平面。因此不能使用終值平面的虛軸上，而不是左半平面。因此不能使用終值定理確定其終值。實際上周期函數(shù)沒有終值。定理確定其終值。實際上周期函數(shù)沒有終值。 0lim ( )(0 )lim( )(0 )tsf tfsF sf0lim( )lim( )tsf tsF s2222sincosLtssLts2222( )( )scF sssF ss( )sF s( )cF s1s

29、j2sj 同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University9. 9.象函數(shù)的微分性質(zhì)象函數(shù)的微分性質(zhì)設 f(t) 的拉氏變換為F(s),則 的拉氏變換為( )tf t( )( )dF sL tf tds 10.10.象函數(shù)的積分性質(zhì)象函數(shù)的積分性質(zhì)設 f(t) 的拉氏變換為F(s),則 的拉氏變換為( )f tt0( )( )f tLF s dst同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 1010、卷積定理、卷積定理 設設 則則 式中式中 稱作函數(shù)稱作函數(shù) 和和 的卷積。的卷積。 若令若

30、令 ，則，則 上式說明：上式說明： 0() ( )( ) ( )tLf tgdF s G st dd 0000() ( )( ) ()( ) ()() ( )( )( ) ttttf tgdfg tdfg tdg tfdg tf t( )( )( )( )f tg tg tf t( )( ) ;( )( )F sL f tG sL g t0() ( )( )( )tf tgdf tg t( )f t( )g t同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 證：證： 【原因：當原因：當 時，時， 。故當積分上限。故當積分上限 后，并不改變積分

31、結(jié)果后，并不改變積分結(jié)果】 0() ( )() ( )ttstooLf tgdf tgdedt 00() ( )() ( )tf tgdf tgdt()0f tt() ( )() ( )tststoooof tgdedtf tgdedt 卷積定理證明：卷積定理證明：同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 可以證明若可以證明若f(t)f(t)，g(t) g(t) 是可拉氏變換的，以上積分絕對可是可拉氏變換的，以上積分絕對可積，故可改變以上積分順序積，故可改變以上積分順序 再令再令 ，則，則 ， () ( )( )()ststoooof

32、tgdedtgdf tedt tddt()0()() ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) tsosoossooLf tgdgdfedgdfedgedfedG sF s, :0; :tt 同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University2-2 拉氏變換拉氏變換二、拉氏反變換及其計算方法二、拉氏反變換及其計算方法 1 1、拉氏反變換的定義、拉氏反變換的定義 已知已知F(s)F(s)，求時間函數(shù)，求時間函數(shù)f(t)f(t)的拉氏反變換定義為的拉氏反變換定義為 其中其中r r是大于是大于F(s)F(s)所有奇異點實部的實常數(shù)。積分路

33、線所有奇異點實部的實常數(shù)。積分路線平行于虛軸，與虛軸的距離為平行于虛軸，與虛軸的距離為r r。 采用定義求拉氏反變換通常是非常困難的，在工程采用定義求拉氏反變換通常是非常困難的，在工程應用中一般不采用此方法。應用中一般不采用此方法。 11 ( )( )( )2rjstrjLF sf tF s e dsj 同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 2 2、拉氏反變換的計算方法、拉氏反變換的計算方法 在控制理論中，在控制理論中，F(xiàn)(s)F(s)都可以寫成都可以寫成s s的有理分式的有理分式 對于一個這樣的復雜的象函數(shù)對于一個這樣的復雜的象函

34、數(shù)F(s)F(s)，可采用以下介紹的，可采用以下介紹的部分分式法，先將部分分式法，先將F(s)F(s)表達為若干個簡單的標準象函數(shù)之表達為若干個簡單的標準象函數(shù)之和的形式，然后通過查表求得這些簡單象函數(shù)的原函數(shù)，和的形式，然后通過查表求得這些簡單象函數(shù)的原函數(shù)，相加后得到相加后得到F(s)F(s)的原函數(shù)的原函數(shù)。 如果設如果設 為為 分母多項式分母多項式 的根，的根，則則11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsb sbF sa sasa saB snmA s( )( )/( )F sB sA s( )A s12( )1( )( )( )()()()nnB sB sF sA

35、 sassssss1, 2.ns ss同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 根據(jù)根據(jù)A(s)=0A(s)=0有無重根和共軛復根，可采用不同的部分分式計算方有無重根和共軛復根，可采用不同的部分分式計算方法求取法求取F(s)F(s)的原函數(shù)的原函數(shù)f(t).f(t). 1) F(s)1) F(s)分母多項式分母多項式A(s)=0A(s)=0只有互不相同的根只有互不相同的根 在這種情況下，在這種情況下，F(xiàn)(s)F(s)可寫成以下的部分分式之和形式可寫成以下的部分分式之和形式 待定參數(shù)，待定參數(shù)， 只要能確定出只要能確定出 ，便可將，便可將

36、 寫成寫成n n個部分分式之和。個部分分式之和。 的確定方法（一）的確定方法（一）： 證：證： 1212( )( )( )nnkkkB sF sssssssA sik1, 2,inik( )( )( )B sF sA sik( )()|iiis skF s ss1212( )()()()|iiis sinis siniF s sskkkkssssssssssk同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 的確定方法（二）的確定方法（二）： 關于關于s的一階導數(shù)的一階導數(shù) 證：已知，證：已知， 由于由于 ，則上式可寫成，則上式可寫成 求得系數(shù)

37、求得系數(shù) 后后 ik( )( )|iissB skA s( )A s( )A s( )()( )()( )|iiiississkF sssB sssA s( )0iA s( )( )( )()( )()lim|iississiB sB siA sA sA ssskik121( )( )( )( )niniikF sF sFsFsss同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 于是：于是： 2 2） A(s)=0A(s)=0有共軛復根有共軛復根 有兩種方法，一種是把一對共軛復根當作兩個不相同的根用上述有兩種方法，一種是把一對共軛復根當作兩個

38、不相同的根用上述方法分別確定各部分分式的系數(shù)，并分別求拉式反變換。在原函數(shù)方法分別確定各部分分式的系數(shù)，并分別求拉式反變換。在原函數(shù)中再把與兩個共軛復根對應的原函數(shù)合并。中再把與兩個共軛復根對應的原函數(shù)合并。 另一種方法是按以下的部分分式形式確定系數(shù)另一種方法是按以下的部分分式形式確定系數(shù) 。 若若 的的n n個根中，個根中， 、 為一對共軛復根為一對共軛復根 ， 、 、 為為 n-2n-2個互不相同的實根。則個互不相同的實根。則F(s)F(s)可寫成以下形式的部分分式之和：可寫成以下形式的部分分式之和：1111 ( )( )inns tiiiiikLF sf tLk essik( )0A s

39、1s2s3s4sns31241234( )( )( )()()nnkkk skkB sF sA sssssssssss同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 以上部分分式中以上部分分式中 和和 的值可借助下式求出的值可借助下式求出 上式左邊等于上式左邊等于 ，上式右邊等于，上式右邊等于 ，令令* *式兩邊實部，虛部分別相等，即式兩邊實部，虛部分別相等，即 解該兩元一次方程組，求出解該兩元一次方程組，求出 ， ，其余的系數(shù)由前面，其余的系數(shù)由前面方法確定。方法確定。 例：求以下象函數(shù)的原函數(shù)例：求以下象函數(shù)的原函數(shù)1k2k1122*12

40、12( )()()()|s ss sor s sor s sF s ssssk sk ajb1212( ,)( ,)c k kjd k k1212( ,)( ,)c k kad k kb1k2k21( )(1)sF ss ss 同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 解：解：F(s)F(s)的分母多項式的分母多項式 有三個根，其中有三個根，其中 ； ； 將將F(s)F(s)寫成部分分式形式寫成部分分式形式 先確定先確定 再確定再確定 ， ， 按上述方法先計算按上述方法先計算* *式左邊（用式左邊（用 ）2(1)0s ss 10.50.

41、866sj 20.50.866sj 30s 31221( )(0.50.866)(0.50.866)(1)kk sksF ssjsjss ss 3k3200(1)( )1(1)|sss skF s ss ss 1k2k1ss1112122( )()()(1)0.50.866()()(1)0.50.866|s ss sF ssssssjsssss ssj同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 再計算再計算* *式右邊式右邊 從而有從而有 對于上式兩邊進行整理，則得對于上式兩邊進行整理，則得 令上式兩邊實虛部相等令上式兩邊實虛部相等 解出

42、解出 11212()( 0.50.866)|s sk skkjk120.50.866( 0.50.866)0.50.866jkjkj12120.50.866( 0.50.5)(0.8660.866)jkkjkk 12120.50.50.50.8660.8660.866kkkk121,0kk 同濟大學 汽車學院College of Automotive, Tongji University 系數(shù)系數(shù) 確定后的確定后的F(s)F(s)部分分式可得到如下：部分分式可得到如下：對以下部分分式求取拉式反變換對以下部分分式求取拉式反變換ik222222222221( )11(0.50.866)(0.50.866)1(0.5)0.86610.50.5(0.5)0.866(0.5