第一型線積分和面積分學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1第一型線積分第一型線積分(jfn)和面積分和面積分(jfn)第一頁，共29頁。2009年5月2注意注意(zh y)：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲線積分記為曲線積分記為上對弧長的上對弧長的在閉曲線在閉曲線函數(shù)函數(shù)第1頁/共28頁第二頁，共29頁。2009年5月3定理定理(dngl)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在其中

2、其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè)基本思路基本思路:計(jì)算計(jì)算(j sun)定定積分積分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化求曲線積分求曲線積分第2頁/共28頁第三頁，共29頁。證證:01 ,nttt 設(shè)設(shè)為為上上的的一一個個分分割割. .1, iiitts 相相應(yīng)應(yīng)曲曲線線有有一一分分割割，記記上上的的弧弧長長為為1, iiitt dtttsiitti 1)()(22 22()()iiit由積分中值定理由積分中值定理0011lim( ,()lim(,)()niniiddiLiiif x yfsfsdMs 0212(),lim)()()niiiiiift maxmaxiitds

3、記，記，22( , )( )( )( )f x yC Ltt ，連連續(xù)續(xù)22 ( ),( )( )( )ftttt dt 可積可積)()()(),(22ttttf oxyAB1nA iA1iA 2A1AL()()iiiixy ，( ,)iiiM x y第3頁/共28頁第四頁，共29頁。2009年5月5注xdydsdxyo(2) (2) 注意注意(zh y)(zh y)到到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此因此(ync)(ync)上述計(jì)算公式相當(dāng)于上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. ”. (3)( , ),.f x yx y中不彼此獨(dú)立 而是相互有關(guān)的中不彼此獨(dú)立 而是相互有

4、關(guān)的(1).定積分的下限 一定要小于上限定積分的下限 一定要小于上限., 0 iits從而要求從而要求表示弧長，總是正的，表示弧長，總是正的，(4)對稱性對稱性 .平面曲線積分參照二重積分情況，平面曲線積分參照二重積分情況，空間曲線積分參照三重積分情況空間曲線積分參照三重積分情況第4頁/共28頁第五頁，共29頁。2009年5月6._)432(, 13412222 dsyxxyayxll則則其其周周長長記記為為為為橢橢圓圓設(shè)設(shè)例例dsyxdsyxxyll)43()432(2222 解解12431342222 yxyx又又dsdsyxIll12)43(22 .1212adsl 12a第5頁/共28

5、頁第六頁，共29頁。2009年5月7特殊特殊(tsh)情形情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 3):( )(.L rr.sin,cos),(22 drrrrfdsyxfL 第6頁/共28頁第七頁，共29頁。2009年5月8推廣推廣(tugun(tugung):g):)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf第7頁/共28頁第八頁，共29頁。2009年5月9 LdsyxI)(計(jì)

6、算計(jì)算例例1解解.)(;)3, 2()0 , 2()(;)0 , 2()0 , 0()(222的上半圓周的上半圓周是是之間的直線段之間的直線段與與是是之間的直線段之間的直線段與與是是RyxLiiiBALiiLi ()Lxy ds 320(2) 1yx dy 3021(2)2y dy 0 x ( ):2,(03),iiL xy2201xy dx 20 xdx 2 ()Lxy ds 0y ( ):0,(02),iL yx第8頁/共28頁第九頁，共29頁。2009年5月10( )sin ,( )cos ,x tRty tRtdsRdt ():cos ,sin (0)iiiL xRt yRtt 20(

7、)(cossin )2Lxy dsRtRt RdtR 第9頁/共28頁第十頁，共29頁。2009年5月11形的整個邊界。形的整個邊界。第一象限內(nèi)所圍成的扇第一象限內(nèi)所圍成的扇軸在軸在及及xxyayxLdseLyx ,:22222oxL2 :y=x2223:ayxL L1: y=0y例例解解1:0(0),Lyxa0,y 2:cos ,sinLxat yatdsdx dsadt 3:(02),Lyxxa1,y 2dsdx (0)4t 22123()xyLLLeds 22xyLeds 0axe dx 40ae adt 22202axedx 2(1)4aaaee 第10頁/共28頁第十一頁，共29頁。

8、2009年5月12解解 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下它在第一象限它在第一象限(xingxin)部分為部分為利用利用(lyng)(lyng)對稱對稱性性 , , 得得14dLIxs 2404cos da 22 2a 22:cos2,L ra 22404cos()()drrr 1:cos2(0)4Lra 222222,()().cydscxyaxy 求其中 為雙紐線求其中 為雙紐線例例422cos2ra 第11頁/共28頁第十二頁，共29頁。2009年5月13例例5 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解法解法(ji f)一一由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsyd

9、sx2221()3Ixyzds 故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長球面大圓周長 dsa222(1)(1)(1) ?Ixyzds 進(jìn)一步進(jìn)一步222(2223)xyzxyzds dsa)3(2).3(22 aa 第12頁/共28頁第十三頁，共29頁。2009年5月14解法解法(ji f)二二得得代代入入將將2222)(azyxzxy 0)2(223:222zyxaxzxL),cos31(sin2sin22,cos32ttaztaxztax )cos31(sin2)(ttazxy 則則）（,)2(2232222222axzxazzxx 化為參數(shù)化為參數(shù)(cnsh)方程方程220322

10、2co23s3Lx datadtsa 第13頁/共28頁第十四頁，共29頁。2009年5月15(1)( , ),x yL 當(dāng)表示的線密度時當(dāng)表示的線密度時( , );Lmx y ds ;,1),()2( LdsLyxf弧長弧長時時當(dāng)當(dāng),),(),()3(處的高時處的高時柱面在點(diǎn)柱面在點(diǎn)上的上的表示立于表示立于當(dāng)當(dāng)yxLyxf(,)( , ).L A BSf x y ds 柱面面積柱面面積dxyyxfba 21),(zxoy( , )zf x y sLABab第14頁/共28頁第十五頁，共29頁。2009年5月16(4),xy曲線弧對 軸及 軸的轉(zhuǎn)動慣量曲線弧對 軸及 軸的轉(zhuǎn)動慣量2222( ,

11、 ),( , ).() ( , ),xyLLoLIxx y ds Iyx y dsIxyx y ds 曲線弧的重心坐標(biāo)曲線弧的重心坐標(biāo))5( , )( , ),.( , )( , )LLLLxx y dsyx y dsxyx y dsx y ds第15頁/共28頁第十六頁，共29頁。2009年5月17例例 1 1 求柱面求柱面13232 yx在球面在球面1222 zyx內(nèi)內(nèi)的側(cè)面積的側(cè)面積. . 解解由對稱性由對稱性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx參數(shù)方程為參數(shù)方程為,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdtttt

12、Scossin3sincos182066 .233 第16頁/共28頁第十七頁，共29頁。2009年5月18tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 第17頁/共28頁第十八頁，共29頁。2009年5月19例例2. 設(shè)均勻設(shè)均勻(jnyn)螺旋形彈簧螺旋形彈簧L的的方程為方程為cos,sin,xatyat(02 ),zktt (1) 求它關(guān)于求它關(guān)于(guny) z 軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心求它的質(zhì)心(zh xn) .解解: 設(shè)其密度為設(shè)其密度為 (常數(shù)常數(shù)).2

13、2() dzLIxys 220a 22dakt 2222 aak(2) L的質(zhì)量的質(zhì)量dLms 222ak而而dLxs 22aak 20cos dtt 0 (1)xyzOak第18頁/共28頁第十九頁，共29頁。2009年5月20dLys 22aak 20sindtt 0 dLzs 22kak 20dtt 2222kak故質(zhì)心故質(zhì)心(zh xn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為( 0 , 0 ,)k 第19頁/共28頁第二十頁，共29頁。2009年5月21例例322222()()zLIxyxyz ds 解解(1)22222 22222223 2030322222()8(2)3kaak tak dtaaka tta

14、akak 222zcossin ,(02 ),( , , )1.2( , , ).xatyat zkttx y zxyzzIx y z設(shè)螺旋線，設(shè)螺旋線，線密度，線密度，求（ ）關(guān)于 軸的轉(zhuǎn)動慣量求（ ）關(guān)于 軸的轉(zhuǎn)動慣量（ ）它的重心（ ）它的重心第20頁/共28頁第二十一頁，共29頁。2009年5月22( , , )( , , )( , , );,LLLxx y z dsyx y z dszx y z dsxyzmmm2222222 222022223 232220238( , , )(2)3)()LLkx y z dsxyz dsak tak dtaak a ttmak ak 解解(2)

15、222 2220222222( , , )()2(2)Lkt ak tak dtk azkay z dskx 22222222222322222( , , )2(23(2)34)8(2)3Lzx y z dsk akakmak akzkaakk 第21頁/共28頁第二十二頁，共29頁。2009年5月232222 200222 222002222220022 220() sinsin ()2sin2cos2coscos ()42cosdtak tdtt ak tk ttdtk tdtk ttt ak tktdtk 22232222222263( , , )48(2)43Lxx y z dsk a

16、 akmakakkakax 22 2222022222 22220( , , )cos (4co)s (Lxx y z dsaak dta akt ak tdtkkt ak ta a 第22頁/共28頁第二十三頁，共29頁。2009年5月242222232222222( , , )48632)4(3Lyx y z dsk a akmakakaakyk 22222 222 202220( , ,sin()sin(Lyx y z dsaak dttak ttaka atkdt 2222 200222 22200222202222220022 222() cos()2cos42sin42sin 2s

17、sin()cos4indtak tdtak tk tttak tdtkk tdtkk ttktdktt 22224k a ak 第23頁/共28頁第二十四頁，共29頁。2009年5月251 1、對弧長曲線積分、對弧長曲線積分(jfn)(jfn)的計(jì)算的計(jì)算2 2、對弧長曲線積分、對弧長曲線積分(jfn)(jfn)的應(yīng)用的應(yīng)用第24頁/共28頁第二十五頁，共29頁。2009年5月26一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲線形構(gòu)件已知曲線形構(gòu)件L的線密度為的線密度為),(yx , ,則則L的質(zhì)量的質(zhì)量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 對對_的曲線積分與曲線的方向無關(guān)；的曲線積分

18、與曲線的方向無關(guān)；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二、二、 計(jì)算下列求弧長的曲線積分計(jì)算下列求弧長的曲線積分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其中其中L為圓周為圓周222ayx , ,直線直線xy 及及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界；軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界；練習(xí)題練習(xí)題第25頁/共28頁第二十六頁，共29頁。2009年5月27 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L為折線為折線ABCD, ,這里這里DCBA, 依次為點(diǎn)依次為點(diǎn)(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L為曲線為曲線 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、計(jì)算、計(jì)算 Ldsy, ,其中其中L為雙紐線為雙紐線 )0()()