高二數(shù)學(xué)利用向量解決空間角問題

1、3.2利用向量解決 空間角問題 空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時，可用定量的計算代替定性的分析，從而時，可用定量的計算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點之一。本節(jié)課主要是討論怎么樣用向的熱點之一。本節(jié)課主要是討論怎么樣用向量的辦法解決空間角問題。量的辦法解決空間角問題。異面直線所成角的范圍： 0,2ABCD1D, 與 的關(guān)系？CD AB思考

2、：思考：, 與 的關(guān)系？DC AB結(jié)論：結(jié)論：coscos, CD AB|題型一：線線角題型一：線線角例一：090 ,中，現(xiàn)將沿著Rt ABCBCAABC111平面的法向量平移到位置，已知ABCABC1，BCCACC111111取、的中點、 ，ABACDF11求與所成的角的余弦值.BDAFA1AB1BC1C1D1F題型一：線線角題型一：線線角所以 與 所成角的余弦值為解：以點C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則： CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2 A

3、F111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010題型一：線線角題型一：線線角練習(xí)：題型一：線線角題型一：線線角在長方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA1112,為上的一點,且MBCBM1點 在線段上，NAD1.ADAN1.(1)求證：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4), AM1(0,8, 4), AD10 AM AD1.ADAM（2）求與平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M題型二：線面角題型二：線面角直線與平

4、面所成角的范圍： 0,2ABO, 與 的關(guān)系？n BA思考：思考：n結(jié)論：結(jié)論：sincos, n AB|題型二：線面角題型二：線面角例二：題型二：線面角題型二：線面角在長方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA112,為上的一點,且MBCB M1點 在線段上，NAD1.ADAN1.(1)求證：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8, 4), AD（2）求與平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos, AD AD2 55與平面所成角的正弦值是ADANM2 55練習(xí)： 1111ABCDABC

5、 D的棱長為1.111.B CAB C求與面所成的角題型二：線面角題型二：線面角正方體ABCD1A1B1C1D題型三：二面角題型三：二面角二面角的范圍：0, 1n2 n2 n1ncos12|cos,| n ncos12|cos,| n nABO關(guān)鍵：觀察二面角的范圍關(guān)鍵：觀察二面角的范圍題型三：二面角題型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面與面所成二面角的余弦值A(chǔ)BCDS,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 90S平面求面與面所成二面角的余弦值A(chǔ)BCDSxyz解： 建立空直角坐系A(chǔ)-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0, 1)22 CDSDC ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量設(shè)平面2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1) n任取1212126cos,3| n nn nnn63即所求二面角得余弦值是小結(jié)：小結(jié)：1.異面直線所成角： coscos, CD AB|2.直線與平面所