中國(guó)石油大學(xué)(華東)理論力學(xué)課件動(dòng)能定理20121213

1、yyyy年M月d日前言前言 在工程實(shí)際中，經(jīng)常用到功和能的概念。如機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)需要在工程實(shí)際中，經(jīng)常用到功和能的概念。如機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)需要電機(jī)輸入功，機(jī)器的轉(zhuǎn)速與動(dòng)能的關(guān)系等。電機(jī)輸入功，機(jī)器的轉(zhuǎn)速與動(dòng)能的關(guān)系等。 能：有各種形式，電能、熱能、機(jī)械能等，各種能量可以相能：有各種形式，電能、熱能、機(jī)械能等，各種能量可以相互轉(zhuǎn)化?；マD(zhuǎn)化。 功：是能量從一種形式轉(zhuǎn)化為另外一種形式的過(guò)程中所表現(xiàn)功：是能量從一種形式轉(zhuǎn)化為另外一種形式的過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的物理量。如物體自由落體時(shí)，物體的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，表出來(lái)的物理量。如物體自由落體時(shí)，物體的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，表現(xiàn)為重力的功。現(xiàn)為重力的功。 在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)能是機(jī)

2、械運(yùn)動(dòng)的一種度量；功是力在一段在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)能是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種度量；功是力在一段路程上對(duì)物體作用累計(jì)的度量。動(dòng)能定理通過(guò)動(dòng)能與功的關(guān)系描路程上對(duì)物體作用累計(jì)的度量。動(dòng)能定理通過(guò)動(dòng)能與功的關(guān)系描述了機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其他形式的能量之間的傳遞和轉(zhuǎn)化的規(guī)律。述了機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其他形式的能量之間的傳遞和轉(zhuǎn)化的規(guī)律。24-1 24-1 功和功率功和功率常力功常力功cosFsW F2Mv1MsFWsFF1M2MvsdrdM變力功變力功sFWdcosdrFWdd或或sFWdcosdtvFttrFrFWddddddF1M2MvsdrdM因?yàn)橐驗(yàn)閗FjFiFFzyxkzjyixrdddd所以所以zFyFxFWzyxddd

3、d總功總功zFyFxFWzyxcdddsFWcdcosrFWcd平均功率平均功率tWP*功率功率tWtWPtddlim0因?yàn)橐驗(yàn)閟FWdcosd所以所以cosFvP vFPtvFWdd24-2 24-2 一些常見(jiàn)力所作的功一些常見(jiàn)力所作的功重力功重力功)(21iiizzgmW或或)(12zzmgW質(zhì)點(diǎn)系重力功質(zhì)點(diǎn)系重力功mghzzmgW)(21CCCmghzzmgW)(21xM1MM2yzz1z2ogzmgzmiiii21即即彈性力的功彈性力的功xkxWd212MM1M2kxxxM2AM1OM1l0)(22122k)(22221k10l20l 若變形減小，彈性力若變形減小，彈性力的功為正；反之

4、為負(fù)。的功為正；反之為負(fù)。 當(dāng)物體上彈性力的作用點(diǎn)當(dāng)物體上彈性力的作用點(diǎn)沿曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，上式仍成立沿曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，上式仍成立定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功rFWddFFzFrFrxzyodCiMsF d因?yàn)橐驗(yàn)閐rFzMrF所以所以ddzMW全功全功d0zMW元功元功常力功常力功zMW 功率功率zzMtMtWPdddd幾種約束反力的功幾種約束反力的功0W光滑固定面反力的功光滑固定面反力的功drFNFNdrBArFrFWddd剛體內(nèi)力的功剛體內(nèi)力的功drAAdrBBFFcosdcosdBArFrFcosdcosdABrrF因?yàn)橐驗(yàn)閏osdcosdABrr0W所以所以滾子沿固定面純滾動(dòng)時(shí)滑動(dòng)

5、摩擦力的功滾子沿固定面純滾動(dòng)時(shí)滑動(dòng)摩擦力的功速度瞬心速度瞬心0W理想約束理想約束約束反力的元功和恒等于約束反力的元功和恒等于 零的約束零的約束24-3 24-3 動(dòng)能動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，速度為，速度為v，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為221mvT 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能2222211212121nnvmvmvmT恒正的標(biāo)量恒正的標(biāo)量221iivm單位單位J22s /mkg剛體作平動(dòng)剛體作平動(dòng)由由contv所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?21iivmT221vmTi221mv剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)由由iirv 所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?21iivmT221iirmT2iizrm

6、JziMo1o又因又因2221iirmivir221zJT 所以所以剛體作平面運(yùn)動(dòng)剛體作平面運(yùn)動(dòng)由由因?yàn)橐驗(yàn)?21iivmTCvivCiiMPCiiv 于是于是221iimT2221iim2iiPmJ又因又因221PJT 所以所以剛體作平面運(yùn)動(dòng)剛體作平面運(yùn)動(dòng)由平行移軸定理由平行移軸定理CvivCiiMPC2CCPmJJ于是于是22)(21CCmJT221PJT 22)(2121CCmJ而而CCv 222121CCmvJT所以所以由牛頓第二定理由牛頓第二定理cosddFtvmmav1v2v切向投影切向投影Fam兩邊乘以弧長(zhǎng)兩邊乘以弧長(zhǎng)d dsa24-4 24-4 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理FM

7、1M2MsdsFstvmdcosddd因?yàn)橐驗(yàn)閃sFddcosvmvdvtsmstvmdddddd)21(d2mvTd或或WsFddcosstvmddd)21(d2mvTd因此因此sFstvmdcosdddWTddWmvd)21(d2v1v2vaFM1M2Msd若在全過(guò)程上積分，得若在全過(guò)程上積分，得Wmvmv21222121或或WTT12質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理而而WTdd寫(xiě)成寫(xiě)成PtWtTdddd功率方程功率方程.,0vkm解解01vv 研究對(duì)象研究對(duì)象物體物體mgksM2M1v0例例 圖示物體以初速度碰到彈簧，已知圖示物體以初速度碰到彈簧，已知求求 物體下降的最大距離物體下降的最大距離s

8、。運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析02v受力分析受力分析20210mv動(dòng)能變化動(dòng)能變化221ksmgs 力做功力做功mgksM2M1v0動(dòng)能變化動(dòng)能變化20210mv221ksmgs 力做功力做功故有故有20210mv221ksmgs 故有故有02202mvmgsks解得解得kkmvmgmgs202)(按題意，取正號(hào)。令按題意，取正號(hào)。令kmgst靜變形靜變形ststgv2011則則st2v=0=0時(shí)時(shí)24-5 24-5 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理*2dd21diiiiiiiidwdwrFrFvm對(duì)質(zhì)點(diǎn)系求和，有對(duì)質(zhì)點(diǎn)系求和，有 設(shè)任一質(zhì)點(diǎn)設(shè)任一質(zhì)點(diǎn)Mi的質(zhì)量為的質(zhì)量為mi，速度，速度vi，外力合，外力

9、合力力Fi，內(nèi)力合力，內(nèi)力合力 。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)有元位移。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)有元位移dri時(shí)，有時(shí)，有*iF*ddiiWW2221d21diiiivmvm或或 *dddiiWWT質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 微分形式微分形式FiWTdd*ddiiPPtT功率方程形式功率方程形式在全過(guò)程積分，有在全過(guò)程積分，有*12iiWWTT質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 積分形式積分形式對(duì)理想約束對(duì)理想約束FiWTT12*dddiiWWT等價(jià)于等價(jià)于對(duì)理想約束，不包括約束反力的功，方程中沒(méi)有約對(duì)理想約束，不包括約束反力的功，方程中沒(méi)有約束反力，求解方便，也無(wú)法用動(dòng)能定理求得反力束反力，求解方便，也無(wú)法用動(dòng)能定理求得反力.,RFG

10、01v例例 圖示半徑為圖示半徑為R滾子從靜止開(kāi)始純滾動(dòng)，已知滾子從靜止開(kāi)始純滾動(dòng)，已知求求 上升距離上升距離 s 時(shí)的角速度。時(shí)的角速度。解解 研究對(duì)象研究對(duì)象 初瞬時(shí)初瞬時(shí) 滾子滾子 01TCsF運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析 末瞬時(shí)末瞬時(shí) 2222121CCvgGJTvCCsvCFRvC因?yàn)橐驗(yàn)?2222121CCvgGJT221RgGJC01T所以所以 22243RgGT sincosGsFsW受力分析受力分析 FNFtGCsvCF01T22243RgGT sincos04322GsFsRgG所以所以 )sincos(341GFGsgR解得解得 FNFtGsincosGsFsW221mvT例例 列車(chē)列

11、車(chē)質(zhì)量質(zhì)量m200t，以勻加速度，以勻加速度a0.2m/s 沿沿水水 平直平直線(xiàn)軌道行駛。行駛過(guò)程中，機(jī)車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)所克線(xiàn)軌道行駛。行駛過(guò)程中，機(jī)車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)所克 服服的列車(chē)阻力的列車(chē)阻力與列車(chē)質(zhì)量成正比：與列車(chē)質(zhì)量成正比：F=km，比，比 例系數(shù)例系數(shù)k=100N/t。已知。已知t=0時(shí)，車(chē)速時(shí)，車(chē)速v=18m/s。求求: : 求求t=10s時(shí)機(jī)車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的瞬時(shí)功率時(shí)機(jī)車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的瞬時(shí)功率。解解 求功率，宜用微分形式的動(dòng)能定理或功率方程求功率，宜用微分形式的動(dòng)能定理或功率方程 考慮一段過(guò)程考慮一段過(guò)程 時(shí)刻時(shí)刻t t tttd內(nèi)力功內(nèi)力功 tPd阻力功阻力功 skmd前進(jìn)距離前進(jìn)距離ds 2tttd內(nèi)力

12、功內(nèi)力功 tPd阻力功阻力功 skmd前進(jìn)距離前進(jìn)距離ds skmtPmvdTdd21d2由微分形式的動(dòng)能定理由微分形式的動(dòng)能定理 tsvdd即即 skmtPvmvddd故有故有 tvadd因?yàn)橐驗(yàn)?*dddiiWWTmvkaP)( 2s /m2 . 0akg/N1 . 0t /N100k因?yàn)橐驗(yàn)?mvkaP)( kg102003ms /m102 . 0180atvvt=10s =10s 2010200) 1 . 02 . 0(3P因此，因此，t=10s =10s 時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的瞬時(shí)功率為時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的瞬時(shí)功率為 W1012003kW1200例例 圖示提升機(jī)構(gòu)，已知轉(zhuǎn)筒半徑圖示提升機(jī)構(gòu)，已知轉(zhuǎn)筒半徑R

13、，齒輪比，齒輪比k=z2/z1, 齒輪齒輪1、2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1、J2，重物質(zhì)量，重物質(zhì)量m，電機(jī)，電機(jī) 作用常力偶矩作用常力偶矩M。求：求：求求重物自靜止上升距離重物自靜止上升距離s時(shí)的速度、加速度時(shí)的速度、加速度。CIz11z2II2s01T解解 研究對(duì)象研究對(duì)象 除電機(jī)外的整體除電機(jī)外的整體 運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析 初瞬時(shí)初瞬時(shí) 22222112212121mvJJT末瞬時(shí)末瞬時(shí) 211I轉(zhuǎn)過(guò)角度轉(zhuǎn)過(guò)角度 v受力分析受力分析 vCIz11z2II2s2201T力作功力作功 22222112212121mvJJTmgsM1由積分形式的動(dòng)能定理由積分形式的動(dòng)能定理 mgsMmvJJ1222

14、221102121211I轉(zhuǎn)過(guò)角度轉(zhuǎn)過(guò)角度 mgmgsMmvJJ122222110212121vCIz11z2II2s22mg因?yàn)橐驗(yàn)?RvRs/,/22kzz1221即即 Rksk/21kzz1221即即 Rkvk/21smgRkMvmRJRkJ222221121所以所以 avCIz11z2II2s22mgsmgRkMvmRJRkJ222221121解得解得 smRJkJRmgRMkv22212加速度加速度 視視v、s為變量，前式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得為變量，前式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 2221mRJkJRmgRMkatsmgRkMtvvmRJRkJdddd122221所以所以 avCIz11z2II2s2

15、2mg用微分形式的動(dòng)能定理用微分形式的動(dòng)能定理 考慮提升過(guò)程任意瞬時(shí)考慮提升過(guò)程任意瞬時(shí)t，重，重物速度為物速度為v，則機(jī)構(gòu)的動(dòng)能為，則機(jī)構(gòu)的動(dòng)能為 222221121vmRJRkJT不論不論M是否為常量，力的元功為是否為常量，力的元功為 smgRkMsmgMWdddd1所以所以 222221121dvmRJRkJsmgRkMd即即 222221121dvmRJRkJsmgRkMdvvmRJRkJd122221smgRkMd視視v、s為變量，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得為變量，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 2221mRJkJRmgRMkatsmgRkMtvvmRJRkJdddd122221所以所以 一、一、 動(dòng)力學(xué)普遍定

16、理中的重要物理量動(dòng)力學(xué)普遍定理中的重要物理量24-6 24-6 關(guān)于動(dòng)力學(xué)普遍定理的一些說(shuō)明關(guān)于動(dòng)力學(xué)普遍定理的一些說(shuō)明二、二、 動(dòng)力學(xué)普遍定理的形式動(dòng)力學(xué)普遍定理的形式機(jī)械運(yùn)動(dòng)量力的作用量物體慣性動(dòng)量沖量力系的主矢質(zhì)量動(dòng)量矩力矩力系的主矩轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)能功功率動(dòng)量定理動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理動(dòng)能定理微分形式積分形式微分方程質(zhì)心動(dòng)力學(xué)質(zhì)心動(dòng)力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)例例 圖示沖擊試驗(yàn)機(jī)。擺桿長(zhǎng)為圖示沖擊試驗(yàn)機(jī)。擺桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1，擺錘質(zhì)量為，擺錘質(zhì)量為m2，且且m1=m2=m。擺桿視為勻質(zhì)細(xì)桿，擺錘視為質(zhì)點(diǎn)。開(kāi)始時(shí)，。擺桿視為勻質(zhì)細(xì)桿，擺錘視為質(zhì)點(diǎn)。開(kāi)始時(shí)，擺桿擺桿O

17、A靜止在水平位置，然后釋放令其自由擺下。靜止在水平位置，然后釋放令其自由擺下。求求 (1)擺在水平位置開(kāi)始下擺的瞬時(shí)，擺的角加速度、角速度擺在水平位置開(kāi)始下擺的瞬時(shí)，擺的角加速度、角速度和軸承的反力。和軸承的反力。 (2)擺達(dá)到鉛直位置瞬時(shí)，擺的角加速度、角速度和軸承擺達(dá)到鉛直位置瞬時(shí)，擺的角加速度、角速度和軸承的反力。的反力。 解解 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系 研究對(duì)象研究對(duì)象取擺桿任意位置取擺桿任意位置OAxy運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)gm2CFCnFOAxygm1運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)受力分析受力分析應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 222213431mllmlmJz因?yàn)橐驗(yàn)?)cos()cos2(34212lgmlgmml所以所以 cos23mgl1 1、角加速度、角加速度 gm2CFCnFOAxygm1234mlcos23mgl解得解得 cos89lg應(yīng)用積分形式的動(dòng)能定理應(yīng)用積分形式的動(dòng)能定理 01T2 2、角速度、角速度 初時(shí)初時(shí) 2221zJT 角時(shí)角時(shí) 2232ml223421ml)sin()sin2(21lgmlgmWi力的功力的功 sin23mgl01T所以所以 sin2303222mglml22232mlT sin23mglWi解得解得 sin492lg或或 sin23lggm2CFCnFOAxygm1C