高等數(shù)學常用概念及公式

1、高等數(shù)學常用概念及公式極限的概念當 x 無限增大（ x）或 x 無限的趨近于 x0（xx0）時，函數(shù) f(x) 無限的趨近于常數(shù) A，則稱函數(shù) f(x)當 x或 xx0 時，以常數(shù) A 為極限，記作：lim f(x)=A或lim f(x)=Axxx0導數(shù)的概念設函數(shù) y=f(x) 在點 x0 某鄰域內有定義，對自變量的增量xx- x 0，函數(shù)有增量y=f(x)-f(x0，如果增量比y當 x0 時有極限，則稱函數(shù) f(x) 在點)xx0 可導，并把該極限值叫函數(shù)y=f(x)在點 x0的導數(shù)，記為 f (x 0) ，即f (x0) limy =limf ( x)f ( x0 )x 0x x x0x

2、x0也可以記為 y=| x=x0 ， dy | x=x0或 df (x) | x=x0dxdx函數(shù)的微分概念設函數(shù) y=f （x）在某區(qū)間內有定義， x 及 x+x 都在此區(qū)間內，如果函數(shù)的增量y=f （x+x）-f(x)可表示成y=A x+ x其中 A 是常數(shù)或只是 x 的函數(shù)，而與x 無關，當 x0 時是無窮小量 ( 即 x 這一項是個比x 更高階的無窮小 ) ，那么稱函數(shù) y=f （x）在點 x 可微，而 Ax 叫函數(shù) y=f （x）在點 x 的微分。記作 dy，即：dy=Ax=f (x)dx不定積分的概念原函數(shù)： 設 f(x) 是定義在某個區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在一個函數(shù)F(x) ，

3、對于該區(qū)間上每一點都滿足F(x)= f(x)或d F(x)= f(x)dx則稱函數(shù)F(x)是已知函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。不定積分： 設F(x)是函數(shù)f(x)的任意一個原函數(shù)，則所有原函數(shù)F(x)+c（c為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作求已知函數(shù)的原函數(shù)的方法，叫不定積分法，簡稱積分法。其中“”是不定積分的記號； f(x) 稱為被積函數(shù)； f(x)dx稱為被積表達式；x 稱為積分變量； c 為任意實數(shù)，稱為積分常數(shù)。定積分的概念設函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a ，b 上連續(xù)，用分點a=x0x1x2xi-1 xi xn-1 xn=b，把區(qū)間 a ，b 任意分成 n 個小區(qū)間

4、x i-1 ，xi （i=1,2,n ）每個小區(qū)間的長度為xi = x i - x i-1 （i=1,2,n ），在每個小區(qū)間 x i-1，xi 上任取一點 i ，作和式nI n= f ( i )xii 1當分點無限增加 (n ) 且所有小區(qū)間長度中的最大值 =maxxi 0 時，和式 I n 的極限，叫做函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a ，b 上的定積分，記作bf ( x)dx ，即ablimna f ( x)dx =f ( i xi )n(0)i 1其中 f(x) 稱為被積函數(shù)， b 和 a 分別稱為定積分的上限和下限，區(qū)間a ，b叫積分區(qū)間， x 為積分變量。極限的性質及運算法則無窮小的概念：

5、 若函數(shù) f(x) 當 xx0( 或 x ) 時的極限為零，則稱f(x) 當 x x0( 或 x ) 時為無窮小量，簡稱無窮小。須要注意的是，無窮小是變量，不能與一個很小的數(shù)混為一談。無窮小的性質： 性質 1：有限個無窮小的代數(shù)和也是無窮小。性質 2：有界函數(shù)與無窮小的乘積也是無窮小。推論 1：常數(shù)與無窮小的乘積也是無窮小。推論 2：有限個無窮小的乘積也是無窮小。無窮大的概念： 若當 xx0( 或 x) 時，函數(shù) f(x) 的絕對值無限增大，則稱函數(shù) f(x) 當 xx0( 或 x ) 時為無窮大量，簡稱無窮大。注意無窮大是變量，不能與一個絕對值很大的數(shù)混為一談；另外，一個變量是無窮大，也不能

6、脫離開自變量的變化過程。無窮大與無窮小的關系： 定理：在同一變化過程中， 若 f(x) 為無窮大，則1f ( x)為無窮??；反之，若 f(x) 為無窮小，且 f(x)0，則1就為無窮大。f ( x)極限運算法則：法則 1：limf(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=A+B法則 2：limf(x)g(x)= lim f(x)lim g(x)=A B特別的： lim cf(x)=c lim f(x)=cA (c為常數(shù) )法則 3：lim f (x) = lim f ( x) = A （其中 B0）g (x)lim g( x) B注意用法則 3 求極限時：如果分子、分母均為無窮大，可先

7、將其變成無窮小；如果均為無窮小，就用約分及分子分母有理化來解；以上情況均可用導數(shù)的應用中的羅必塔法則求解。兩個重要極限： 重要極限 1： limsin x =1 = limsin() =1x 0x() 0()1 ) x=e = lim (1+ 11重要極限 2： lim (1+) （） =e 或 lim (1（）)（）=exx()()() 0等價無窮小 (x 0) ：在求極限過程中經常使用等價無窮小互相代替sin x x ；tan x x ； arcsin x x ；arctanx x ； ln(1x) x ； ex1 x ；1cos x 1 x2 ；1x1 1 x ； ax1 x ln a

8、.22導數(shù)的性質、求導法則及常用求導公式連續(xù)的概念： 若函數(shù) f(x)在 x0 的某鄰域內有定義，當xx0 時，函數(shù)的極限存在，且極限值等于函數(shù)在x0 處的函數(shù)值 f(x 0) 即 lim f(x)=f(x0) 則稱函數(shù)在xx0x0 處是連續(xù)的。連續(xù)與可導的關系： 定理：若函數(shù) f(x) 在點 x0 處可導，則函數(shù)在點 x0 處連續(xù)。( 連續(xù)是可導的必要條件，其逆命題不成立，即函數(shù)在某一點連續(xù)，但在該點不一定可導 )導數(shù)的計算步驟 ( 按定義計算 ) ：第一步求增量，在 x 處給自變量增量x，計算函數(shù)增量y，即y=f(x+x)-f(x)；第二步 算比值，寫出并化簡比式：y = f ( x x

9、) - f (x) ；( 化簡比式的關鍵是使xx分式中僅分母或分子中含有x 項，避免出現(xiàn)0 或 )0第三步 取極限，計算極限 limy =f (x)x0x常用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：x/x 1 ；a x /ax ln a ；ex /ex ；log a x/1ln x/1 ；sin x/；cos x ；xln axcosx/sin x ；tan x/sec2 x ；cot x/csc2 x ；/cscx cot x ；/1；secxsecx tan x ；cscxarcsinx1 x2/1arctanx/1/1arccosx；arccot xx21x21x21導數(shù)的四則運算法則： 設 u=u(x

10、)，v=v(x) ，則（uv） = u v；（cu） =cu；（uv） =uv+uv；（ u ） = u v uv .vv2反函數(shù)的導數(shù)： y=f(x)是 x=(y) 的反函數(shù)，則y= 1 ，即 f (x)=1x ( y)復合函數(shù)求導法則 : 設 y=f(u),u=(x), 則復合函數(shù) y=f (x)的導數(shù)為dydy du=或 yx=f u x隱函數(shù)求導方法： 隱函數(shù)的概念針對因變量 y 寫成自變量 x 的明顯表達式的函數(shù) y=f(x) ，這種函數(shù)叫顯函數(shù)；而兩個變量x 和 y 的對應關系是由一個方程 F(x,y)=0 所確定，函數(shù)關系隱含在這個方程中，這種函數(shù)稱為由方程所確定的隱函數(shù)。求隱函

11、數(shù)的導數(shù)，并不需要先化為顯函數(shù)（事實上也很難都顯化），只需把 y 看成中間變量 y=y(x) ，利用復合函數(shù)求導法則，即可求出隱函數(shù)y 對x 的導數(shù)。例：求方程x2+y2=1 所確定的函數(shù)的導數(shù)。解在方程的兩端對x求導，并將 y2 看作 x 的復合函數(shù)，則(x 2+y2) =(1) 即 2x+2yy=0，y y =-x得 y= - xy參數(shù)方程所表示函數(shù)的導數(shù)：如下方程組，其中t 為參數(shù)x=(t)y=(t)設函數(shù) (t) 和 (t) 都可導，且函數(shù) (t) 存在連續(xù)反函數(shù)t= -1 (t) ，當 -1 (t)0 時，這個反函數(shù)也可導；這時y 是 x 的復合函數(shù)y= -1 (t)=f(x)它可導

12、，由復合函數(shù)求導法則知yx= dy = dy dtdy= ( x)= dtdx dt dxdx ( x)dt羅必塔法則： 當 xx0( 或 x ) 時，函數(shù) f(x) ，g(x) 同時趨向于零或同時趨向于無窮大，這時分式f (x) 的極限可能存在，也可能不存在。我們稱其為未g( x)定式，并記作 0 型或，這類極限將無法用“商的極限等于極限的商”這一極0限法則求出。未定式 0( 羅必塔法則一 ) ： limf (x)=limf ( x)0x x0g(x)x x0g (x)=A(或無窮大 ) 。若其中 x時，結論仍然成立。 使用羅必塔法則時， 分子分母分別求導之后，應該整理化簡，如果化簡后的分式

13、還是未定式，可以繼續(xù)使用這個法則。未定式( 羅必塔法則二 ) ： limf (x)=limf ( x)x x0g (x)x x0g ( x)=A(或無窮大 ) 。若其中 x時，結論也成立。未定式 0型及 - 型： 這兩類未定式可轉化為0 型或 型。0未定式 00, 0,1 型：該類未定式可以通過對數(shù)轉化為前面的未定式。微分的運算及法則由微分的的概念dy=f (x)dx 可知，求一個函數(shù)的微分，只要求出導數(shù) f (x)再乘以 dx 就得到微分 dy，因此不難由導數(shù)公式做出相應的微分公式。例，對于 y=sinx ，有 y=cosx，從而 dy=cosxdx 。微分的法則： 設 u=u(x) ，v=

14、v(x) ，則d(cu)=cdu ；d(uv)=du dv；d(uv)=udv+vdu ；d(u )= vdu udvvv 2不定積分的性質、基本公式及計算方法由不定積分定義及微分知識，可直接推出不定積分的性質：性質一： f ( x) dx =f(x)或 df (x)dx =f(x)dx；性質二：F (x)dx =F(x)+c ；性質三： kf (x)dx =k f ( x)dx (k是不為 0的常數(shù))；性質四： f ( x) g( x) dx =f ( x)dx g (x) dx 。不定積分的基本公式 ( 均應加上常數(shù) C)：0dxckdxkx；x dxx1；= ；1dxln x ；ex d

15、x ex ；ax dxax；xln acosxdxsin xsin xdxcos x ；tan xdxln cosx ；cot xdxln sin x ；secxdxln secx tan x ；cscxdxln csc x cot xsec2 xdxtanx ；csc2 xdxcot x ；secx tan xdx secx ；cscx cot xdxdxarctanx ；dxarcsinx ；csc x ；x21 x2111arctanx ；x211lnxa ；x2a2 dxaaa2 dx2axa1dx ln xx2a2 ；1dx arcsin x 。x2a2a2x2a第一換元積分法： 設

16、函數(shù) u=(x) ，且 f(u)有原函數(shù) F(u) ，du= (x)dx (即 dx= du/ (x)=參見微分概念及計算 f (x)( x)dx =f (u)du =F(u)+c= F(x)+c注意：該公式有一個隱含的條件，即要求原積分公式中已含有(x) ，方可在換元時代入 dx= du/ (x)并約去 (x) 。提示：該積分法的步驟是先找出適當?shù)膗=(x) ，將函數(shù)轉化為關于 u 的積分公式，再求出關于 u 原函數(shù)，最后根據(jù) u 與 x 的關系代入 x。第二換元積分法： 設函數(shù) x=(t)單調可微且 (t) 0，dx=(t)dt=參見微分概念及計算f (x)dx =f (t ) (t )d

17、t =F(t)+c=F-1 (x)+c提示：該積分法的步驟是先找出適當?shù)?x=(t) ，將函數(shù)轉化為關于 t 的積分公式，再求出關于 t 原函數(shù)，最后根據(jù) x 與 t 的關系代入 x。分部積分法： 設函數(shù) u=u(x) ，v=v(x) 具有連續(xù)導數(shù)，則uv dx =uv-vudx=解題時這個為 u 不行就換那個為 u提示：運用此公式有時可以使難求的不定積分uvdx 轉化為易求的不定積分vu dx ，從而得所求結果。定積分的性質及計算方法：性質一： bkf ( x) dx =kb f ( x) dx（k 為常數(shù)）；aabdx =b-a ；性質二：abbb性質三： f ( x) g( x) dx

18、= f ( x) dx g( x)dx ；aaa性質四：若把區(qū)間 a ，b 分為兩個區(qū)間 a ，c 與c ，b ，則bcba f ( x)dx = a f ( x)dx + c f ( x)dx注意： c 有任意性，可在 a ，b 之外；性質五：若 f(x) 與 g(x) 在a,b 上有 f(x) g(x) ，則bbf ( x)dxg (x)dx；aa性質六：若 M，m分別是 f(x) 在a ，b 上的最大值和最小值，則b=估值定理m(b-a) af (x)dx M(b-a)性質七：若 f(x) 在a ，b 上連續(xù)，則至少有一點 (a,b) ，使得b=定積分中值定理，求平均值 。f ( x)dx =f( )(b-a)a牛頓萊布尼茲公式：若 f(x) 在a ，b 上連續(xù)， F(x) 是 f(x) 的一個原函數(shù)，則bf ( x)dx =F(x)ba =F(b)-F(a)a可見，計算定積分，先用不定積分的方法求出一個原函數(shù)，然后把上、下限 a，b 代入原函數(shù)作減法運算。換元積分法