高一必修一函數(shù)復(fù)習(xí)講義

1、個性化輔導(dǎo)授課教案學(xué)員姓名：輔導(dǎo)類型（1對1、小班）：年 級：輔導(dǎo)科目：學(xué)科教師：課 題課 型 口預(yù)習(xí)課 口同步課 口復(fù)習(xí)課 口習(xí)題課授課日期及時段2016年月一日 時間段 教學(xué)內(nèi) 容一.函數(shù)基礎(chǔ)概念梳理1.函數(shù)的定義：設(shè)A、8是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在 集合8中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱力A-8為從集合A到集合8的一個函數(shù)，記作：產(chǎn)/。）, xR2 .函數(shù)的本質(zhì)：是從一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的特殊對應(yīng)，是由定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域三要素構(gòu)成的一個整體。函數(shù)的三要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域f（x）UeA3 .函數(shù)的表示方法：解析法、列表法

2、、圖像法。4 .函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)/（x）的定義域為/：如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上任意兩個自變量的值X, X?，當(dāng)X1<X?時，都有/（內(nèi)）</（），稱函數(shù) /（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)。（2）X1<X2時，都有/（為）>/（9）,稱函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是減函數(shù)。注意：函數(shù)的單調(diào)性一定要注意區(qū)間的問題，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上單調(diào)性不同，如果函數(shù)在兩個獨(dú)立的區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減或者單調(diào)遞增，不能說在兩個區(qū)間的并集上單調(diào)遞減或者單調(diào)遞增。（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性>'=/(x)“ = g(My = /feW增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

3、減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)5.函數(shù)的奇偶性(1)奇、偶函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)y=/(x),對任意都有f(x)=/(x),則/Q)是偶函數(shù)；若對任意xeO都有/(x)=-/(x),則/(X)是奇函數(shù)。(2)函數(shù)奇偶性的一些結(jié)論：A.奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱。B.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單 調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.C.若 f(x)為偶函數(shù)，則 f(-x)=f(x)=f(lxl).D.若奇函數(shù)f(x)定義域中含有0,則必有f(0)=0. f(0)=0是f(x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件E.復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶

4、則偶，內(nèi)奇同外”.(3)奇、偶函數(shù)的必要條件：函數(shù)的定義域在數(shù)軸上所示的區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的 充要條件(4)奇函數(shù)與偶函數(shù)之間滿足的四則運(yùn)算表。奇函數(shù)與偶函數(shù)的四則運(yùn)算的性質(zhì)可以用來判斷函數(shù)奇偶性的一 種方法，但是要注意以下結(jié)論只能在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立。奇函數(shù)與奇函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)偶函數(shù)與偶函數(shù)和奇函數(shù)空偶函數(shù)差奇函數(shù)空偶函數(shù)積偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)商偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)(5)函數(shù)的對稱性若函數(shù)滿足/(%)+ f(2a-x)=2b,則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a對稱函數(shù)中常見的題目類型匯總一、函數(shù)的定義域的求法函數(shù)的定義域就是指函數(shù)自變量(一般用x來表示)的取值范闈，函數(shù)的定義域

5、的求法主要就是要讓自變量 的取值使函數(shù)的解析式有意義。(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.這時候一般多為符合函數(shù)。例如：例1:求下列函數(shù)的定義域/W = lnfW =lg(3x + l)yj-Xy J- x + =(2)抽象函數(shù)的定義域的求法 a若已知函數(shù)/'("的定義域為L，則復(fù)合函數(shù)/(g(x)的定義域由不等式。g(x)求出。b若已知函數(shù)/(g(x)的定義域為則/("的定義域為g(x)在上的值域。例2已知函數(shù)y = /(x + l)定義域是2,3,則y = /(2x l)的定義域是二函數(shù)/-2)的定義域為例3設(shè)函數(shù)/*)的定義域為【&

6、#176;' I,則函數(shù)/(/)的定義域為一例 4 設(shè) /(x) = lg 2 -的定義域是多少。二函數(shù)值域的求法函數(shù)值域是對應(yīng)關(guān)系/對自變量在定義域內(nèi)取值時相應(yīng)的函數(shù)值的集合，即集合a (A為函數(shù)的定 義域)，它是是受函數(shù)定義域以及對應(yīng)關(guān)系的雙重影響。(1)直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。1 y =例1.求函數(shù) X的值域。解：.XW0A x*°顯然函數(shù)的值域是：（8,O）U（O,+8）例2.求函數(shù)y = 3一的值域。解：.五"/.-V7<03-V<3故函數(shù)的值域是：（2）.配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例3.求函

7、數(shù)y = x2_2x+5,x/l,2J的值域。解：將函數(shù)配方得：y =（x - if+4.xe-L2 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)X=1時，y>nin=4,當(dāng)x=-l時，ymax=8故函數(shù)的值域是：4, 8（3）判別式法形如），=空半上Lq,出不同時為零的函數(shù)均可使用本方法。將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別 ax + byX + c.-一4式求函數(shù)的值得范圍，常用于一些“分式”函數(shù)、“無理”函數(shù)等。使用此法要特別注意自變量的取值范圍。+ X + X? y =； 例4.求函數(shù) 1 + x-的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程（y-l）x2 -x+y- =0,1< <2

8、（1）當(dāng) y"時，xeR A = （-l）2 -4（y-l）（y-l）>0 解得:2-5 - 2（2）當(dāng)y=l時，x=0,而 L2 2J故函數(shù)的值域為L2 2J例5.求函數(shù)）'=' +向=°的值域.解：兩邊平方整理得：2x = 2（y + I）x + y2=° ./xeR , A = 4（y +1）2-8y>0解得：i-虎但此時的函數(shù)的定義域由x（2 x）NO,得°KxK2由AN。，僅保證關(guān)于x的方程：2x° -2（y + l）x + P=°在實(shí)數(shù)集r有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0, 2 上，即不能確保方

9、程（1）有實(shí)根，由AN°求出的范圍可能比丫的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域為 1 2 < y < 1 + V2O可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。 0<x<2.1 y = x + 7x（2-x） >0所以函數(shù)的值域為：°+虎注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔 除。（4）.反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。3x + 4例6.求函數(shù)5x+ 6值域。4 - 6y x = -解：由原函數(shù)式可得：5y-334 6xx 工廠則其反函數(shù)為：）

10、，= n,其定義域為：55x-3故所求函數(shù)的值域為：I57（5）分離常數(shù)法即反解x法將形如產(chǎn)金（"。）的函數(shù)，分離常數(shù)，變形過程為空*四土蘭1 W，再結(jié)合X.be a - 的范圍確定一&的取值范圍，從而確定函數(shù)的值域。 ax + b3x+4例7求函數(shù)5x + 6的值域3kA 223x + 4 -(5 + 6)+- 3 彳 解：y = °3= _ +-5x + 6 5x + 65 5x + 63因為5x+6不為0所以原函數(shù)的值域為(6)換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最 主要方法之一，在求函數(shù)的值域

11、中同樣發(fā)揮作用。1 Qy = t2 +t+ l=(t + -)2 +- 24例8求函數(shù)y=x+Qf的值域。解：令X I = t,(60) 則X = l+1又tN°,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng) t=0 時，ymin=l當(dāng) 7.+OO 時，故函數(shù)的值域為口,+8)以X)_ 2x2 +cix + b(12)已知函數(shù)1 寸+1的值域為1, 3,求的值。三函數(shù)解析式的求法1已知函數(shù)/(x7)= x2-4"，求函數(shù)/*). /(2x + D的解析式。已知/(x)是二次函數(shù)，且/* + 1) + /* - l) = 2x24"，求/(x)的解析式。3、已知函數(shù)/滿足2/"

12、)+ /(t)= 3x + 4,則/(幻=4、設(shè)/是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xeQ+s)時，"")=小+際,則當(dāng)xe(-O)時/") = /(X)在R上的解析式為/W+,W=_L_5、設(shè)/“）與gW的定義域是凡且x¥±l,/（幻是偶函數(shù)，?；檬瞧婧瘮?shù)，且 求/*）與g*）的解析表達(dá)式。四關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的問題1常見函數(shù)的單調(diào)性a一次函數(shù)。b反比例函數(shù)。c二次函數(shù)。d對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)2用定義法證明函數(shù)單調(diào)性例1判斷函數(shù)/（» =,xt3,5的單調(diào)性x + 23復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性形如/g（x）的函數(shù)叫做復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性為同增異減例2求函

13、數(shù)），=&+2X+1的單調(diào)區(qū)間變式訓(xùn)練：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y = x2 + 2x+3 y =3+2,v+3 y = x2-6|x|-l2、函數(shù)/（X）在。+s）上是單調(diào)遞減函數(shù)，則八1一/）的單調(diào)遞增區(qū)間是_ 2-x,= 2-x3、函數(shù), -3工+ 6的遞減區(qū)間是；函數(shù)“丫3% + 6的遞減區(qū)間是4、若函數(shù)是定義在-2,2上的減函數(shù)，且/（2? + 3）/（/）,求實(shí)數(shù)m的取值范瞇五.函數(shù)奇偶性及對稱性的典型題目例已知函數(shù)/（用滿足：/（x+）'）+ /（x_y）= 2/（x）/（y）（x,yeR）,且/（0）工0,則函數(shù)/“）的奇偶性為o例2設(shè)函數(shù)/（入）為定義域為R上

14、奇函數(shù)，又當(dāng)工0時=試求/（幻的解析式。例3設(shè)/*）在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（一8，°）上遞增，且有/（2/+4 + 1）/（342-2" + 1）,求。的取值范圍。例4若函數(shù)/（x）=/+（?-2）/ +（2? + -2" +皿為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)小，的值。例5設(shè)奇函數(shù)f（x）在（°，楨）上為增函數(shù)，且/=° ,則不等式曠的解集為（ ）A （-l,0）U（l,+oo）B. SlDUQI）：c （F,-i）U（i,+8）d.（TSU（O,1）二.二次函數(shù)常見題型 一.最值問題例1：已知函數(shù)+2x + 2 ,（1）若xeR,求函數(shù)的最小值：（2）若求函

15、數(shù)的最值；（3）若xea，a + 2*£R,求函數(shù)的最值:例2：已知女£勺求函數(shù)）' =一/+2h-3在區(qū)間1,2上的最大值。例3：已知女仁寵，求函數(shù)）'=叱+2履+1"43,2的最值。2 .二次函數(shù)恒成立問題例4：已知函數(shù)x）= x2+4x + 3（1）當(dāng)xeR時，/（"）'"恒成立，求"的取值范闈（2）當(dāng)“e 一22時，/&）之"恒成立，求。的取值范圍3 .可化為二次函數(shù)的例5求函數(shù)'=4、+2、-2的值域四.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)（-）指數(shù)與指數(shù)是的運(yùn)算1 .根式的概念：

16、一般地，如果那么戈叫做的次方根，其中>1,且6N*. 負(fù)數(shù)沒有偶次方根：。的任何次方根都是0,記作6 = °。海文?。ㄐ?#176;）當(dāng)是奇數(shù)時，4/=4,當(dāng)是偶數(shù)時，3<°）2 .分?jǐn)?shù)指數(shù)事正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)器的意義，規(guī)定：-1 1 *；a " = = |；z (« > 0,7H, n e N ,/: > 1)an =(« > 0,m,n e Nn >N0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞等于0, 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞沒有意義3.實(shí)數(shù)指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì)(1)ar . ar =>。，幾s e R).(2) (1)'=&quo

17、t; (a > 0,r,s e R).(3)(ab)r = aras (a > 0, r,5 e /?)(-)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù))' = ""("> °，且“*1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R.注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>l0<a<l1!/-4定義域R定義域R值域y>0值域y>0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0, 1)函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0, 1)注意：利用函數(shù)的

18、單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出:在a, b上，*) = 2(>0且2 1)值域是3)力9)1或任(1?),0(2)若XH°,則f(x)Wl； f(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)X£R：(3)對于指數(shù)函數(shù)“*)=屋(11>()且2,1),總有"1) = 11例1求下列函數(shù)的定義域與值域：1 y = 3y= J2“2 _(3)y=V3-3x"1解(1)定義域為x£R且xW2.值域y>0且yWl.(2)由2x+2 120,得定義域xlx2-2,值域為y20.(3)由 33X-120,得定義域是xlxW2, VO3-3x-l<3,值域是O

19、WyVjl 例2指數(shù)函數(shù)丫=乂，y=bx, y=cx, y=dx的圖f A. a<b<l<c<dB. a<b<l<d<cC. b<a<l<d<cD. c<d<l<a<b解 選(c),在x軸上任取一點(diǎn)(x, 0), 則得bVa<l<dVc.例3比較大?。?1)72,啦、衣、場、源的大小關(guān)系是: (2)0.6(浜例4作出下列函數(shù)的圖像： y=(；產(chǎn)(2)y=2x-2,乙2.62所不，則a b、c d、1之間的大小關(guān)系是|圖2 . 6-2 a -1已知我由二伯1)a +1y=2lx-ll(4)

20、y=l 13x1保留其在x軸及x軸上方部分不變，把x軸下方的圖像以x釉為對稱軸翻折到x軸上方而得到.(如圖2.6-7) 例5. /(%)=二一(1)判斷f(x)的奇偶性：(2)求f(x)的值域：(3)證明f(x)在區(qū)間(一8, +8)上是增函數(shù).解(1)定義域是R.f(x)=；一1 ax -1FTT = "f(xb，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).m 3X - 1(2)函數(shù) y=；77T a 十i1 y V + 1產(chǎn) 1,，有心=F = ->0= -IVyVl,y-11 - y即f(X)的值域為(一 1,1).a'Ca'2T2(axi-ax2),Va>L Xj<x2> a“Va”，(ax, + l)(3)設(shè)任意取兩個值 xl、x2G(-oot +8)且 xlVx2. f(xl)f(x2)axi+, ax2+, (axi +l)(ax2 +1) (a>2 + l)>0, f(X1)Vf(X2),故f(x)在R上為增函數(shù).2.對數(shù)函數(shù)L對數(shù)的概念一般地，如果ax=N(a>0,且aWl),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x = logaN.a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系3 ,對數(shù)的基本性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù). (2