詳解曲線擬合PPT課件

1、插值與曲線擬合插值與曲線擬合第一節(jié)第一節(jié): :插值插值插值的目的插值的目的知三角函數(shù)表知三角函數(shù)表x901290189024sinx 0.1599 0.1616 0.1633查查 9020求函數(shù)近似表達(dá)式及近似值求函數(shù)近似表達(dá)式及近似值一、拉格朗日型插值一、拉格朗日型插值1 1、線性插值、線性插值知數(shù)據(jù)表知數(shù)據(jù)表xx0 x1f (x)y0y1 x0 ，x1稱為插值節(jié)點，線性插值多項式稱為插值節(jié)點，線性插值多項式線線性插值函數(shù)為性插值函數(shù)為插值函數(shù)要滿足：插值函數(shù)要滿足：L1(x0) = y0 ; L1(x1) = y1)()()(11001xlyxlyxL其中其中線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)滿

2、足滿足: :)()()(11001xlyxlyxL01011010)(,)(xxxxxlxxxxxl)(,)(10 xlxlkikixlki,0,1)(f (x)L1(x)1,0,(ki例例1 1、知數(shù)據(jù)表、知數(shù)據(jù)表解：解：基函數(shù)為基函數(shù)為x12f (x)0.950.82寫出寫出 f(x) f(x) 的線性插值函數(shù)的線性插值函數(shù) , , 并求并求 f(1.5) f(1.5) 的的近似值。近似值。82. 0, 2;95. 0, 11100yxyxxxxxxxxl2212)(10101121)(0101xxxxxxxl線性插值函數(shù)為線性插值函數(shù)為08. 113. 0) 1(82. 0)2(95.

3、0)()()(11001xxxxlyxlyxL且且 f(1.5) L1(1.5) = 0.885 f(1.5) L1(1.5) = 0.885。二次插值多項式插值函數(shù)為二次插值多項式插值函數(shù)為二次插值基函數(shù)二次插值基函數(shù))()()()(2211002xlyxlyxlyxL2 2、二次插值、二次插值知數(shù)據(jù)表知數(shù)據(jù)表xx0 x1x2f (x)y0y1y2)(,)(,)(210 xlxlxl滿足滿足kikixlki,0,1)()2,1,0,(ki二次插值函數(shù)仍要滿足：二次插值函數(shù)仍要滿足： L2(xi) = yi , i = 0 , 1, 2)()()(,)()()(21012012010210 x

4、xxxxxxxxlxxxxxxxxxl于是，易得：于是，易得：)()()(1202102xxxxxxxxxln次插值多項式插值函數(shù)為次插值多項式插值函數(shù)為)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn3 3、n n 次插值次插值 知知 y = f(x) 在在 n + 1 個節(jié)點個節(jié)點 x0 , x1 , , xn 處的處的函函數(shù)數(shù) y0 , y1 , , yn 。)()()()()()()(11101110niiiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl其中：其中：n次插值基函數(shù)次插值基函數(shù)),2,1,0()(nixlikikixlki,0,1)(滿足滿足),2,1

5、,0,(nki010110)()(,xxxfxfxxf1、差商：、差商：二、牛頓型插值二、牛頓型插值稱為函數(shù)稱為函數(shù) f(x) 關(guān)關(guān)于點于點 x0，x1 的差商。的差商。021021210,xxxxfxxfxxxf稱為函數(shù)稱為函數(shù) f(x) 關(guān)關(guān)于點于點 x0 ，x1 ，x2 二階差商。二階差商。n 階差商：階差商：n - 1 階差商的差商階差商的差商011021210,xxxxxfxxxfxxxxfnnnn各階差商的計算各階差商的計算xif (xi)一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商x0f (x0)f x0 , x1x1f (x1)f x0 , x1 , x2f x1 , x2

6、f x0 , x1 , x2 , x3x2f (x2)f x1 , x2 , x3f x2 , x3x3f (x3)差商表差商表2、牛頓型插值多項式、牛頓型插值多項式牛頓型插值多項式為牛頓型插值多項式為)(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxNn 知知 y = f(x) 在在 n + 1 個節(jié)點個節(jié)點 x0 , x1 , , xn 處的處的函函數(shù)數(shù) f(x0 ) , f( x1 ) , , f( xn ) 。那么。那么)()(,11010nnxxxxxxxxxf第二節(jié)第二節(jié): :曲線擬合曲線擬合一、最小二乘法一、最小二乘法 知知 f (x)的一組數(shù)據(jù)的一組數(shù)據(jù)

7、(xj , yj)(j = 1 , 2 , , n) , 要求要求構(gòu)造一個函數(shù)構(gòu)造一個函數(shù))(x, 用用)(x來逼近來逼近 f (x)。不要。不要求求)(x經(jīng)過一切數(shù)據(jù)點經(jīng)過一切數(shù)據(jù)點 (xj , yj) , 數(shù)據(jù)普通有觀測誤差數(shù)據(jù)普通有觀測誤差,因此因此 , 曲線經(jīng)過一切點，會使曲線保管全部觀測誤差。曲線經(jīng)過一切點，會使曲線保管全部觀測誤差。求求)(x？設(shè)設(shè)稱稱), 2 , 1()()()(njyxxfxjjjjj為殘差。為殘差。 記記 njjjnjjyxQ1212)()(x確定確定的原那么的原那么, 使使 Q 獲得最小值。獲得最小值。求求)(x？j曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法二

8、、擬合函數(shù)二、擬合函數(shù)給定給定 f (x)的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù) (xj , yj)(j = 1 , 2 , , n) , 用用mkkkmmxaxaxaxax01100)()()()()(來擬合函數(shù)來擬合函數(shù) f (x) , 其其中中)(,),(),(10 xxxm為知的為知的線性無關(guān)的函數(shù)，求系數(shù)線性無關(guān)的函數(shù)，求系數(shù)maaa,10, 使使njjjmyxaaaQQ1210)(),( njjjkmkkyxa120)(在該點處獲得最小值在該點處獲得最小值 , 稱稱 )()()()()(11000 xaxaxaxaxmmmkkk為擬合函數(shù)為擬合函數(shù) 或閱歷公式?；蜷啔v公式。為為求擬合函數(shù)求擬合函數(shù)),(10

9、maaa),(10maaaQQ)(x, 由于點由于點的最小點的最小點 , 那那么么maaa,10應(yīng)滿足應(yīng)滿足 :0)()(210 jknjmijjiikxyxaaQ), 2 , 1 , 0(mk即即 亦即亦即引入記號引入記號:對于對于h(x) 與與 g(x) , 記記njjjnnxgxhxgxhxgxhxgxhgh12211)()()()()()()()(),()()()(101jknjjmiijknjjixyaxx (*), 2 , 1 , 0()()()()()()()(11111100mkxyxxaxxaxxajknjjjknjjmmjknjjjknjj稱為稱為h 與與 g 的內(nèi)積的內(nèi)積

10、且且 那么那么(*)可寫可寫成成 :(*),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000yyyaaammmmmmmm經(jīng)過求解方程經(jīng)過求解方程(*) , 求出求出njjjknnkkkkyxyxyxyxy12211)()()()(),(maaa,10。三、曲線擬合的步驟三、曲線擬合的步驟1、確定擬合函數(shù)的方式、確定擬合函數(shù)的方式1作出散點圖或進(jìn)展機(jī)理分析；作出散點圖或進(jìn)展機(jī)理分析；)(,),(),(10 xxxm2確定出擬合函數(shù)的方式。確定出擬合函數(shù)的方式。2、根據(jù)、根據(jù)(*)式式 , 求出擬合函數(shù)求出擬合函數(shù)(即求出即求出a0 , a1 ,

11、 , am3、檢驗修正、檢驗修正 , 重新擬合重新擬合四、多項式擬合四、多項式擬合當(dāng)取當(dāng)取時時 , 即即mmxxxxx)(,)(, 1)(10此時此時,多項式擬合多項式擬合kmkkmmxaxaxaax010)(njikjnjjijkikxxx11)()(),(因此因此 , (*) 為為注：當(dāng)注：當(dāng) m = 1 時時, 直線擬合直線擬合 ; 當(dāng)當(dāng) m =2 時時, 拋物擬合拋物擬合 。*jnjmjnjjjnjjmnjmjnjmjnjmjnjmjnjjnjjnjmjnjjyxyxyaaaxxxxxxxxn11110121111112111直線擬合直線擬合 ：擬合函數(shù)：擬合函數(shù)njjjnjjnjjn

12、jjnjjyxyaaxxxn11101211xaax10)(a0 , a1 滿足滿足:拋物擬合拋物擬合 ：擬合函數(shù)：擬合函數(shù)njjjnjjjnjjnjjnjjnjjnjjnjjnjjnjjnjjyxyxyaaaxxxxxxxxn1211210141312131211212210)(xaxaaxa0 , a1 , a2 滿足滿足:例例1、知、知536811202020410aaxaax10)(解解 ：數(shù)據(jù)點描畫：數(shù)據(jù)點描畫令令j1234xj2468yj2112840那那么么55. 6,5 .121*0aa解之得解之得xxy55. 65 .12)(故故例例2、知、知解解 ：數(shù)據(jù)點描畫：數(shù)據(jù)點描畫令

13、令那那么么2676.0,6053.3,4597.1321*0aaa解之得解之得22676. 06053. 34597.13)(xxxy故故xj1345678910yj1054211234102514732253173017381301738153381539210aaa2210)(xaxaax五、其它方式擬合五、其它方式擬合ln p = ln A + M x例例3、用形如、用形如 p(x) = AeM x 的函數(shù)擬合以下的函數(shù)擬合以下數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)記記 ：y = ln p , a0 = lnA , a1 = M , 那那么有么有xj1234pj7111727解：由解：由 p(x) = AeM x 得

14、得xaaxy10)(且且xj1234yj = ln pj1.9452.398 2.8333.296于是于是 , 由由njjjnjjnjjnjjnjjyxyaaxxxn11101211解得：解得：a0 = 1.496 , a1 = 0.4488 。于。于是是464. 4e0aA4488. 01 aM,因此因此 p(x) = 4.464 e0.4488 x例例4、知、知解解 ：數(shù)據(jù)點描畫：數(shù)據(jù)點描畫tj123456789yj4.006.408.008.809.229.509.709.8610.001011121314151610.2010.3210.4210.5010.5510.5810.60(1

15、) 令令記記tj1234Xj1.000.500.330.25yj4.006.408.008.80Yj0.2500.1560.1250.114tbabatty/1,tbay11,1,1tXyY那那么么bXaY。解得：解得：a = 0.0847 , b = 0.1319 。即。即1319. 00847. 0tty(2) 令令記記tj1234Xj1.000.500.330.25yj4.006.408.008.80Yj1.3861.8562.0792.175tbaye那那么么tbay1lnlnbBaAtXyY,ln,1,ln那那么么BXAY解得：解得：A = 2.4297 , B = -1.0706

16、。即。即0706. 1,355.11BbeaA于是于是ty0706. 1e355.11那么那么 y = a0 + a1 x例例5、用形如、用形如 W = C t 的函數(shù)擬合以下數(shù)的函數(shù)擬合以下數(shù)據(jù)據(jù)解得解得 ：a0 = lnC =1.468 , a1 = = -0.1038 , 那么那么有有tj1248163264Wj4.22 4.02 3.853.593.443.022.59解解: lnW = lnC + lnt , 記記 y = lnW , a0 = lnC , a1 = , x = lnt1038.03405.4tW那那么么例例6、知、知xx1x2xnyy1y2yn解解:試用試用2ee)(210 x