第五章連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈

1、隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈5.1 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈5.2 科爾莫哥洛夫微分方程5.3 生滅過(guò)程隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈5.1 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈定義定義5.1 5.1 設(shè)隨機(jī)過(guò)程設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t), t 0 , 狀態(tài)空間狀態(tài)空間I=0,1,2, 若對(duì)任意若對(duì)任意0t1 t2tn+1及非負(fù)整數(shù)及非負(fù)整數(shù)i1,i2, ,in+1 , 有有 PX(tn+1)=in+1|X(t1)=i1, X(t2)=i2, X(tn)=in =PX(tn+1)=in+1|X(tn)=in,則稱(chēng)則稱(chēng)X(t), t 0 為為連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈連續(xù)時(shí)間馬爾可

2、夫鏈.隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈定義定義5.2 過(guò)程在過(guò)程在s時(shí)刻處于狀態(tài)時(shí)刻處于狀態(tài)i, 經(jīng)過(guò)時(shí)間經(jīng)過(guò)時(shí)間t后轉(zhuǎn)移到狀后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)態(tài)j的概率的概率pij(s,t)= PX(s+t)=j|X(s)=i 稱(chēng)為稱(chēng)為轉(zhuǎn)移概率轉(zhuǎn)移概率. 若轉(zhuǎn)若轉(zhuǎn)移概率與起始時(shí)刻移概率與起始時(shí)刻s無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 只與時(shí)間間隔只與時(shí)間間隔t有關(guān)有關(guān), 則稱(chēng)連續(xù)則稱(chēng)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈具有時(shí)間馬爾可夫鏈具有平穩(wěn)的或其次的轉(zhuǎn)移概率平穩(wěn)的或其次的轉(zhuǎn)移概率, 記為記為pij(s,t)=pij(t),其轉(zhuǎn)移概率矩陣簡(jiǎn)記為記為其轉(zhuǎn)移概率矩陣簡(jiǎn)記為記為P(t)=(pij(t) , (i,jI，t 0 ).隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連

3、續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈的性質(zhì)若若i為過(guò)程在狀態(tài)轉(zhuǎn)移之前停留在狀態(tài)為過(guò)程在狀態(tài)轉(zhuǎn)移之前停留在狀態(tài)i的時(shí)間的時(shí)間, 則則對(duì)對(duì)s, t0有有(1)|;iiiPstsPt (2) i 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布.證證 ss+t0iiiiti(1) 如圖所示如圖所示, 有有( ),0|(0),isX uius Xi ( ),0,istX uius ( ),|(0)X vi svst Xi 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈|( ),0,iiPstsP X uius ( ),|( ),0X vi svst X uius ( ),|( ),0P X vi svst

4、X uius ( ),|( )P X vi svst X si ( ),0|(0)P X uiut Xi ;iPt ( (條條件件概概率率) )( (馬馬爾爾可可夫夫性性) )( (齊齊次次性性) )|iiiPtPsts ,iiiPstsPs (2) 設(shè)設(shè)( )(0).iG tPtt 由于由于可得可得,iiPstPs 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈,iiiPstPsPt ()( ) ( ).G stG s G t 由此可推出由此可推出G(t)為指數(shù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù), 設(shè)設(shè)i的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x), (x0), 則有則有 即有即有故故i 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布.( ).itG

5、 te ( )1( )1.itF tG te 1) 當(dāng)當(dāng)i=時(shí)時(shí), ( )1, 1( )0,iiiFxPxFx 的停留時(shí)間的停留時(shí)間i 超過(guò)超過(guò)x的概率為的概率為0, 則稱(chēng)狀態(tài)則稱(chēng)狀態(tài)i為為瞬時(shí)狀態(tài)瞬時(shí)狀態(tài)；2) 當(dāng)當(dāng)i=0時(shí)時(shí), ( )0, 1( )1,iiiFxPxFx 的停留時(shí)間的停留時(shí)間i 超過(guò)超過(guò)x的概率為的概率為1,則稱(chēng)狀態(tài)則稱(chēng)狀態(tài)i為為吸收狀態(tài)吸收狀態(tài).兩點(diǎn)說(shuō)明：兩點(diǎn)說(shuō)明：狀態(tài)狀態(tài)i狀態(tài)狀態(tài)i隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈定理定理5.1 5.1 齊次馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率具有下列性：齊次馬爾可夫過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率具有下列性：(1) pij(t)0; (2) ( )1;ijj

6、 Ipt (3) ()( )( )ijikkjk Iptspt ps 證證由概率的定義由概率的定義, (1)(2)顯然成立顯然成立, 下證下證(3).()()|(0)ijptsP X tsj Xi (),( )|(0)k IP X tsj X tk Xi ()|( ),(0)k IP X tsj X tk Xi ( )|(0)P X tk Xi ()|( ) ( )|(0)k IP X tsj X tk P X tk Xi ( )( )( )( ).kjikikkjk Ik Ips ptpt ps 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈注：注：轉(zhuǎn)移概率的轉(zhuǎn)移概率的正則性條件正則性條件01 ,

7、lim( )0 ,.ijtijptij (0)(0)1,0()iiijppij 01,lim( )0 ,ijtijp tij ()()0,1nijnijjIpp ( )0( )1ijijj Iptpt Ikkjikijsptpstp)()()(Iklnkjliknijppp)()()(時(shí)間離散與時(shí)間連續(xù)馬爾可夫鏈的比較時(shí)間離散與時(shí)間連續(xù)馬爾可夫鏈的比較隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈定義定義5.35.3(4) 絕對(duì)分布絕對(duì)分布(1) 初始概率初始概率設(shè)設(shè) 為連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫過(guò)程為連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫過(guò)程, 則則( ),0X t t (0)(0),;jjppP XjjI (2) 絕對(duì)概率

8、絕對(duì)概率(3) 初始分布初始分布( )( ),0;jp tP X tjjI t,;jpjI ( ) ,(0).jp tjIt定理定理5.2 5.2 齊次馬爾可夫過(guò)程的絕對(duì)概率及有限維概率分齊次馬爾可夫過(guò)程的絕對(duì)概率及有限維概率分布具有下列性質(zhì)：布具有下列性質(zhì)：(1) ( )0;jp t (2) ( )1;jj Ip t (3) ( )( );jiiji Ip tp pt (4) ()( )( );jiiji Ip tp t p (5) 11( ),()nnP X tiX ti 11 211211( )()().nniiii iiinni Ip ptpttptt 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬

9、爾可夫鏈例例5.1 證明泊松過(guò)程證明泊松過(guò)程X(t), t0為連續(xù)時(shí)間齊次馬爾可夫?yàn)檫B續(xù)時(shí)間齊次馬爾可夫鏈鏈.證證 先證先證泊松過(guò)程泊松過(guò)程的的馬爾可夫性馬爾可夫性. .根據(jù)定義知根據(jù)定義知, 泊松過(guò)程是獨(dú)立增量過(guò)程泊松過(guò)程是獨(dú)立增量過(guò)程, 且且X(0)=0, 意意0t1 t2 tn tn+1 , 有有1111()|( ),( )nnnnP X tiX tiX ti 1111()()|( )(0),nnnnP X tX tiiX tXi 212111( )( ),( )()nnnnX tX tiiX tX tii 11()().nnnnP X tX tii 另一方面另一方面11()|()nnn

10、nP X tiX ti11()()|()(0)nnnnnnP X tX tiiX tXi 11()().nnnnP X tX tii 對(duì)任對(duì)任隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈所以所以1111()|( ),( )nnnnP X tiX tiX ti 11()|(),nnnnP X tiX ti 即泊松過(guò)程是一個(gè)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈即泊松過(guò)程是一個(gè)連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈. .再證齊次性再證齊次性. .當(dāng)當(dāng)j i時(shí)，時(shí)，()|( )()( )P X stj X siP X stX sji ().()!j itteji 當(dāng)當(dāng)j0, pji(t2)0, 則稱(chēng)狀態(tài)則稱(chēng)狀態(tài) i與與 j是是互通的互通的.

11、.若所有狀態(tài)都是互通的若所有狀態(tài)都是互通的, 則稱(chēng)此馬爾可夫鏈為則稱(chēng)此馬爾可夫鏈為不可約的不可約的. 類(lèi)似地可以定義類(lèi)似地可以定義常返性常返性與與非常返性非常返性等概念等概念.j 0, jI. 這里這里j 是方程組是方程組(1) 若它是正常返的若它是正常返的, 則極限則極限 存在且等于存在且等于lim( )ijtpt,1jjjkkjjkjj Iqq 的唯一非負(fù)解的唯一非負(fù)解, 此時(shí)稱(chēng)此時(shí)稱(chēng)j 0, jI是該過(guò)程的是該過(guò)程的平穩(wěn)分平穩(wěn)分布布,且有且有l(wèi)im( ).jjtp t (2) 若它是零常返的或非常返的，則若它是零常返的或非常返的，則lim( )lim( )0,.ijjttptp ti j

12、I隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈例例5.2 設(shè)兩個(gè)狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈設(shè)兩個(gè)狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈, 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率滿(mǎn)足滿(mǎn)足0110( )( ),( ) ( ).phho hphho h (1) 求轉(zhuǎn)移概率矩陣求轉(zhuǎn)移概率矩陣00011011( )( )( );( )( )ptptP tptpt (2) 討論其平穩(wěn)分布討論其平穩(wěn)分布;(3) 若存在平穩(wěn)分布若存在平穩(wěn)分布, 取初始分布為其平穩(wěn)分布取初始分布為其平穩(wěn)分布, 求過(guò)求過(guò)程在時(shí)刻程在時(shí)刻t的絕對(duì)分布的絕對(duì)分布.解解 先求先求Q矩陣矩陣.(1) 由定理由定理5.3, 有有( )0()( )!nQ tnQtP ten

13、 若若Q是一個(gè)有限矩是一個(gè)有限矩陣陣, 則有則有:隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈000001( )limhphqh 010( )lim;hphh 01q 111101( )limhphqh 100( )lim,hphh 10q 00011011,qqQqq 于是于是22222Q ()() ,Q 1 ().nnQQ 0110( )( ),( ) ( ).phho hphho h 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈0()( )!nQtnQtP ten 11 ()!nnnQtEn 11 () ()!nntQEn ()11tEeQ ()1 0 110 1 te 進(jìn)而有進(jìn)而有1()!nn

14、QtEn 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率為轉(zhuǎn)移概率為()()()().tttteeee ()00( );tpte ()01( );tpte ()10( );tpte ()11( ).tpte 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率的極限為轉(zhuǎn)移概率的極限為(2) 0010lim( )lim( )0;ttptpt 0111lim( )lim( )0.ttptpt 故平穩(wěn)分布為故平穩(wěn)分布為00010lim( )lim( ),ttptpt 10111lim( )lim( ).ttptpt (3) 若取初始分布為平穩(wěn)分布若取初始分布為平穩(wěn)分布, 即即01,pp隨機(jī)過(guò)程講義第五

15、章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈則過(guò)程在時(shí)刻則過(guò)程在時(shí)刻t的絕對(duì)概率分布為的絕對(duì)概率分布為0000110( )( )( )p tp ptp pt ()te ()te . 1001111( )( )( )p tp ptp pt ()te ()te . 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈例中馬氏鏈有兩個(gè)狀態(tài)例中馬氏鏈有兩個(gè)狀態(tài)I=0,1, 那么那么說(shuō)明：說(shuō)明：上例中上例中, (2)也可應(yīng)用定理也可應(yīng)用定理5.7求解求解.00001100,kkkqqq 111k10011,kkqqq 1.jj I 00001101,qq 11110010,qq 01101,. 解之易得解之易得,1,jjjkkjjkj

16、j Iqq .Q 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈5.3 生滅過(guò)程一、生滅過(guò)程的定義生滅過(guò)程的一般描述：生滅過(guò)程的一般描述： 一種特殊的馬爾可夫過(guò)程一種特殊的馬爾可夫過(guò)程; 其特征是系統(tǒng)在很短的時(shí)間內(nèi)只能從狀態(tài)其特征是系統(tǒng)在很短的時(shí)間內(nèi)只能從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)移到到i-1或或i+1或保持不變或保持不變.i1i 1i i i 1ii隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈生滅過(guò)程的定義：生滅過(guò)程的定義：定義定義5.4 5.4 設(shè)齊次馬爾可夫過(guò)程設(shè)齊次馬爾可夫過(guò)程 的狀態(tài)空間的狀態(tài)空間 ( ),0X t t 0,1,2,I 為為 轉(zhuǎn)移概率轉(zhuǎn)移概率 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 ( )ijpt1( )( ),0,ii

17、iiphho h 10( )( ),0,0,iiiiphho h ( )1()( ),iiiiphho h( )( ), | 2,ijpho hij則稱(chēng)則稱(chēng) 為生滅鏈為生滅鏈, 為出生率為出生率, 為死亡率為死亡率. ( ),0X t t i i ,( ,),iiiiC 若若則稱(chēng)為則稱(chēng)為線(xiàn)性生滅過(guò)程線(xiàn)性生滅過(guò)程;若若0,i 則稱(chēng)為則稱(chēng)為純生過(guò)程純生過(guò)程;若若0,i 則稱(chēng)為則稱(chēng)為純滅過(guò)程純滅過(guò)程.隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈生滅過(guò)程的柯?tīng)柲缏宸蚍匠躺鷾邕^(guò)程的柯?tīng)柲缏宸蚍匠逃啥ɡ碛啥ɡ?.3得得01()limiiiitptqt 0(0)()limiiiitpptt 0(0)(0)l

18、imiiiitptpt 0d( )diitptt +.ii 0()limijijtptqt 0(0)(0)limijijtptpt 0d( )dijtptt ,1,0,1,1,0,| 2.iijiijiiij 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈故柯?tīng)柲缏宸蛳蚯胺匠虨楣士聽(tīng)柲缏宸蛳蚯胺匠虨? )( )( ).ijikkjijjjkjptpt qpt q ,11,11( )( )( )()( ).iji jjijjji jjp tptp tpt 柯?tīng)柲缏宸蛳蚝蠓匠虨榭聽(tīng)柲缏宸蛳蚝蠓匠虨? )( )( ).ijikkjiiijk iptq ptq pt 1,1,( )( )( )()(

19、 ).ijijiijjjijip tptp tpt 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈生滅過(guò)程的平穩(wěn)分布生滅過(guò)程的平穩(wěn)分布,1jjjkkjjkjj Iqq 由定理由定理5.7, 有有0011=, 1111()=,1.jjjjjjjj 逐步遞推得逐步遞推得0101=, 1212= 01012=, 11=jjjj 011012=,jj 利用利用 可得平穩(wěn)分布可得平穩(wěn)分布1,jj I 10110112= 1,jjj 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈101101111212=1,1.jjjjjjj 從上述推導(dǎo)過(guò)程可知從上述推導(dǎo)過(guò)程可知生滅過(guò)程的平穩(wěn)分布存在的充要條件是生滅過(guò)程的平穩(wěn)分布存

20、在的充要條件是011112.jjj 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈用用 記時(shí)刻記時(shí)刻 系統(tǒng)中的人數(shù)系統(tǒng)中的人數(shù), 則則 ( )X tt二、生滅過(guò)程實(shí)例二、生滅過(guò)程實(shí)例 排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng)假設(shè)顧客按照參數(shù)為假設(shè)顧客按照參數(shù)為 的泊松過(guò)程來(lái)到一個(gè)有的泊松過(guò)程來(lái)到一個(gè)有 個(gè)個(gè) s服務(wù)員的服務(wù)站服務(wù)員的服務(wù)站, 即相繼到達(dá)顧客的時(shí)間間隔是均值為即相繼到達(dá)顧客的時(shí)間間隔是均值為 1 的獨(dú)立指數(shù)隨機(jī)變量的獨(dú)立指數(shù)隨機(jī)變量. 每一個(gè)顧客一來(lái)到每一個(gè)顧客一來(lái)到, 如果有空閑服務(wù)員如果有空閑服務(wù)員, 則直接進(jìn)則直接進(jìn) 行服務(wù)行服務(wù), 否則進(jìn)入隊(duì)列等候否則進(jìn)入隊(duì)列等候. 當(dāng)一個(gè)服務(wù)員結(jié)束一個(gè)顧當(dāng)一個(gè)服務(wù)員

21、結(jié)束一個(gè)顧 客的服務(wù)后客的服務(wù)后, 顧客離開(kāi)系統(tǒng)顧客離開(kāi)系統(tǒng), 排隊(duì)中的下一位顧客進(jìn)入排隊(duì)中的下一位顧客進(jìn)入服務(wù)服務(wù). 假定相繼的服務(wù)時(shí)間是獨(dú)立的指數(shù)隨機(jī)變量假定相繼的服務(wù)時(shí)間是獨(dú)立的指數(shù)隨機(jī)變量, 均值均值為為 . 1 ( ),0X t t 是生滅過(guò)程是生滅過(guò)程:隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈,1,nnnssns ,0.nn 上述生滅過(guò)程稱(chēng)為上述生滅過(guò)程稱(chēng)為M/M/s排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng). M表示馬爾可夫表示馬爾可夫 過(guò)程過(guò)程, s 表示服務(wù)員的個(gè)數(shù)表示服務(wù)員的個(gè)數(shù). 是顧客到來(lái)速率，是顧客到來(lái)速率，服務(wù)員的服務(wù)速率服務(wù)員的服務(wù)速率.特別特別, 在在M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng)中中, ,

22、nn 若若 1, 則由生滅過(guò)程的平穩(wěn)分布公式可得則由生滅過(guò)程的平穩(wěn)分布公式可得1()=1njnn =1.n 是一個(gè)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈 有遷入的線(xiàn)性增長(zhǎng)模型有遷入的線(xiàn)性增長(zhǎng)模型若生滅過(guò)程的參數(shù)為若生滅過(guò)程的參數(shù)為 ,1,nnn ,0,nnn 若則稱(chēng)該過(guò)程為若則稱(chēng)該過(guò)程為有遷入的線(xiàn)性增長(zhǎng)模型有遷入的線(xiàn)性增長(zhǎng)模型. .有遷入的線(xiàn)性增長(zhǎng)模型的實(shí)際意義：有遷入的線(xiàn)性增長(zhǎng)模型的實(shí)際意義：假定某生物群體中每個(gè)個(gè)體以指數(shù)率假定某生物群體中每個(gè)個(gè)體以指數(shù)率 出生出生; 群體由于外界遷入因素又以指數(shù)率群體由于外界遷入因素又以指數(shù)率 增加增加, 則整個(gè)出生率為則整個(gè)出生率為 ,0.nnn

23、 又假定生物群體中每個(gè)個(gè)體以指數(shù)率又假定生物群體中每個(gè)個(gè)體以指數(shù)率 死亡死亡, 從而從而 ,1.nnn 若若 此時(shí)是一個(gè)純生過(guò)程此時(shí)是一個(gè)純生過(guò)程 , 稱(chēng)為稱(chēng)為尤爾過(guò)程尤爾過(guò)程. .0, 0,n 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈 傳染病模型傳染病模型考慮有考慮有 個(gè)個(gè)體的群體個(gè)個(gè)體的群體, 在時(shí)刻在時(shí)刻 0由一個(gè)已感染的由一個(gè)已感染的 m的個(gè)體與的個(gè)體與 個(gè)未受感染但可能被感染的個(gè)體組成個(gè)未受感染但可能被感染的個(gè)體組成. 1m 個(gè)體一旦感染將永遠(yuǎn)地出于此狀態(tài)個(gè)體一旦感染將永遠(yuǎn)地出于此狀態(tài).假設(shè)在任意長(zhǎng)為假設(shè)在任意長(zhǎng)為 的時(shí)間內(nèi)任意一個(gè)已感染的個(gè)體的時(shí)間內(nèi)任意一個(gè)已感染的個(gè)體h將以概率將

24、以概率 引起任意未感染者感染引起任意未感染者感染. ( )aho h 用用 記時(shí)刻記時(shí)刻 群體中已受感染的個(gè)體數(shù)群體中已受感染的個(gè)體數(shù), 則過(guò)程則過(guò)程 ( )X tt ( ),0X t t 是一個(gè)純生過(guò)程是一個(gè)純生過(guò)程:(),1,2,0,nmn nanm 其其它它. .記記 為直至整個(gè)群體被感染的時(shí)間為直至整個(gè)群體被感染的時(shí)間, 為從第為從第 個(gè)個(gè)TiTi已感染者到第已感染者到第 個(gè)已感染者的時(shí)間個(gè)已感染者的時(shí)間, 則有則有1i 隨機(jī)過(guò)程講義第五章 連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈11.miiTT 由于由于 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 其參數(shù)分別為其參數(shù)分別為iT(),1,2,1,imi ianm 故有故有11miiETET 1111,()miai mi 11miiDTDT 212111.()miai mi 對(duì)于規(guī)模合理的群體對(duì)于規(guī)模合理的群體, 漸進(jìn)地為漸進(jìn)地為 ET11111miETmamii 1111dmtmamtt 2ln