連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 (2)ppt課件

1、第四章第四章 傅里葉變換傅里葉變換4.1 正交函數(shù)正交函數(shù)4.2 周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析4.3 典型周期信號的頻譜典型周期信號的頻譜4.4 非周期信號的頻譜分析非周期信號的頻譜分析4.5 典型非周期信號的頻譜典型非周期信號的頻譜頻域分析從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析頻域分析）。將信號進(jìn)行正交分解，即分解為三角函頻域分析）。將信號進(jìn)行正交分

2、解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時(shí)間特性與其頻率特性之間的內(nèi)在的頻率特性以及信號時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。制和頻分復(fù)用等重要概念。 發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為，提

3、出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。到廣泛應(yīng)用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。進(jìn)入進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究

4、和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。具有很多的優(yōu)點(diǎn)?！癋FT快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力?？焖俑道锶~變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。 主要內(nèi)容本章從傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出本章從傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號頻譜的概念。傅里葉變換，建立信號頻譜的概念。通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對于周期信號而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅對于周期信號而言，在進(jìn)行頻

5、譜分析時(shí)，可以利用傅里葉級數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級數(shù)相當(dāng)于里葉級數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。本章最后研究抽樣信號的傅里葉變換，引入抽樣定理。本章最后研究抽樣信號的傅里葉變換，引入抽樣定理。傅里葉生平傅里葉生平 1768年生于法國年生于法國 1807年提出年提出“任何周任何周期信號都可用正弦函期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示數(shù)級數(shù)表示” 1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件個(gè)給出收斂條件 拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表 1822年首次發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱的分析理論熱的分析理論” 一書中一書中傅里葉傅

6、里葉 ( Jean Baptise Joseph Fourier 17681830 ) 法國數(shù)學(xué)家。1768年3月21日生于奧塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎綜合工科學(xué)校任講師。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，當(dāng)過埃及學(xué)院的秘書。1801年回法國，又任伊澤爾地區(qū)的行政長官。1817年傅里葉被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科學(xué)院的終身秘書。1827年又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院院士。在十八世紀(jì)中期,是否有用信號都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來表示這個(gè)問題曾是激烈爭論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用正弦振蕩模的線性組合來表示,但他沒有繼續(xù)從數(shù)學(xué)上深入探求下去;后來歐

7、拉本人也拋棄了三角級數(shù)的想法。在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級數(shù)來表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù),因此三角級數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對和懷疑的處境下,傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對,傅里葉的論文從未公開露面過。為了

8、使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在熱的分析理論這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角級數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意函數(shù)實(shí)際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)都可以展開成三角級數(shù),他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來說明函數(shù)的這種級數(shù)表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整

9、的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級數(shù)法,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；其次，傅里葉級數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉?！边@一見解已成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn) “周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) “非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn) 域分析

10、：傅里葉變換，自變量為域分析：傅里葉變換，自變量為 j 復(fù)頻域分析：拉氏變換復(fù)頻域分析：拉氏變換, 自變量為自變量為 S = +j Z域分析：域分析：Z 變換，自變量為變換，自變量為z TjsTeez)(變換域分析：變換域分析：4.1 正交函數(shù)正交函數(shù) 正交矢量正交矢量 正交函數(shù)正交函數(shù) 正交函數(shù)集正交函數(shù)集 用完備正交集表示信號用完備正交集表示信號一、正交矢量一、正交矢量矢量：矢量：V1 和和 V2 參加如下運(yùn)算，參加如下運(yùn)算， 是它是它們的差，如下式：們的差，如下式：eVVcV21211V1V1V2V2V2VeVeVeV212Vc212Vc212VceV2212211212.coscosV

11、VVVVVVVc222112.VVVc表示和互相接近的程度1V2V12c當(dāng)，完全重合，那么隨夾角增大，減小；當(dāng)，和相互垂直1V2V1, 012c12c0,9012co1V2VyxVVVzyxVVVVVVxVxVyVzVyV二維正交集三維正交集二、正交函數(shù)令則誤差能量最小)()()(212121ttttfctfdttfctftttt22121212)()()(1210122dcd20)()(122121121221dttfctfttdcdttdttftfdttfdcdtttttt)()(2)(121211212221210)(22212ttdttfc解得2121)()()(222112ttttd

12、ttfdttftfc正交條件假設(shè)，那么不包含的分量，則稱正交。正交的條件：012c)(1tf)(2tf0)()(2121ttdttftf例：試用sint在區(qū)間0，2）來近似)2(1)0(1)(tttf412t0-14)(tf解：tdatdttfc2022012sinsin)(20)sin(sin1dtttdt4ttfsin4)(所以：例：試用正弦sint在0，2）區(qū)間內(nèi)來表示余弦cost顯然200sincostdtt所以012c說明cost中不包含sint分量，因此cost和sint正交.三、三、 正交函數(shù)集正交函數(shù)集n個(gè)函數(shù)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間內(nèi)滿足正交特性，即)(),(),(21tgtg

13、tgn),(21tt)(0)()(21jidttgtgttji21)(2ttiiKdttg則此函數(shù)集稱為正交函數(shù)集任意函數(shù)由任意函數(shù)由n個(gè)正交的函數(shù)的線性組合所近似個(gè)正交的函數(shù)的線性組合所近似)()()()()(12211tgctgctgctgctfnrrrnnic212121)()(1)()()(2tttiittitiidttgtfKdttgdttgtfc由最小均方誤差準(zhǔn)則，要求系數(shù)滿足在最佳逼近時(shí)的誤差能量在最佳逼近時(shí)的誤差能量21122122)(1ttrnrrKcdttftt211)(2ttidttgdttgtfcttii)()(2121122122)(1ttnrrcdttftt歸一化正

14、交函數(shù)集：歸一化正交函數(shù)集：復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性)()(2121tfctf2121)()()()(*22*2112ttttdttftfdttftfc0)()()()(21212*1*21ttttdttftfdttftf兩復(fù)變函數(shù)正交的條件是兩復(fù)變函數(shù)正交的條件是四四 用完備正交集表示信號用完備正交集表示信號)()(1tgctfrrr21122122)(1ttrnrrKcdttftt0lim2n另一種定義：在正交集之外再?zèng)]有一有限能量的x(t)滿足以下條件三角函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集)(tgi210)()(ttidttgtxntn1cosntn1sinntjne14.2 周期信號的頻譜

15、分析周期信號的頻譜分析 周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)：無窮級數(shù)：. 三角函數(shù)式的三角函數(shù)式的 傅立里葉級數(shù)傅立里葉級數(shù) cosn1t, sinn1t. 復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù) e j n 1t 一、三角函數(shù)的傅里葉級數(shù)一、三角函數(shù)的傅里葉級數(shù):112T)sincos()(11101tnbtnaatfnnn直流分量基波分量n=1諧波分量n11n100).(110TttdttfTa100.cos).(211TttndttntfTadttntfTbTttn.sin).(210011直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)狄利赫利條件：

16、狄利赫利條件： 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)； 在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)； 在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即 一般周期信號都滿足這些條件一般周期信號都滿足這些條件. dttfTtt.)(100三角函數(shù)是正交函數(shù))2 . 3(0.sin.cos11100dttmtnTtt)3 . 3()()(0sinsin001211nmnmtdtmtnTttT) 3 . 3()()(0coscos001211nmnmtdtmtnTttT周期信號的另一種三角函數(shù)正交集表示)()(0110tnCOSCCtfnn)sin(.)(11

17、0nnntnddtf比較幾種系數(shù)的關(guān)系000dCa22nnnnbadCnnnnndCasincosnnnnndCbcossinnnnbatgnnnabtg 周期函數(shù)的頻譜：周期函數(shù)的頻譜： 周期信號的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移， Cn 11n)(n11n二、周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)級數(shù)二、周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)級數(shù) 由前知 由歐拉公式 其中)sincos()(11101tnbtnaatfnnntjnnenFtf1)()(1)(21)(1nnjbanF)(21)(1nnjbanF0)0(aF引入了負(fù)頻率周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜圖nnFnF1111n1n1n000指數(shù)

18、形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)nFnF)(11001)(11TtttjnndtetfTF0000adcF)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系22212121nnnnnnbadcFFnnncFFnnnaFFnnnbFFj)(nnnnnnFFbadc42222周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜圖的特點(diǎn)l引入了負(fù)頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)；lCn是實(shí)函數(shù)，F(xiàn)n一般是復(fù)函數(shù)，l當(dāng)Fn是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用Fn的正l負(fù)表示0和相位，幅度譜和相l(xiāng)位譜合一；三、周期信號的功率特性 P為周期信號的平均功率 符合帕斯瓦爾定理100).(1)(212T

19、ttdttfTtfP12nnFP四、對稱信號的傅里葉級數(shù)三種對稱：偶函數(shù)：f(t)=f(-t)奇函數(shù)：f(t)=-f(-t)奇諧函數(shù)：半周期對稱任意周期函數(shù)有：偶函數(shù)項(xiàng)奇函數(shù)項(xiàng))2()(1nTtftf)sincos()(11101tnbtnaatfnnn周期偶函數(shù)只含直流和 其中a是實(shí)數(shù) bn=0 Fn是實(shí)數(shù)tnaatfnn110cos)(tnan1cos100.cos)(411TttndttntfTa2nnnaFFtjnnenFtf1)()(1例如:周期三角函數(shù)是偶函數(shù).)5cos2513cos91(cos42)(1112tttEEtfEf(t)T1/2-T1/2t周期奇函數(shù)只含正弦項(xiàng)tnb

20、tfnn11sin)(1011.sin).(4TndttntfTb000naajbFFnnn2Fn為虛數(shù)例如周期鋸齒波是奇函數(shù).)3sin312sin21(sin)(111tttEtfE/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t0奇諧函數(shù)：)2()(1Ttftfl沿時(shí)間軸移半個(gè)周期；l反轉(zhuǎn)；l波形不變；l半周期對稱奇諧函數(shù)的波形：f(t)T1/2-T1/20t奇諧函數(shù)的傅氏級數(shù)奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0dtttfTaT.cos)(4201111dtttfTbT.sin)(4201111a20,b202nnnjbaF例：利用傅立葉級數(shù)的對稱性判斷所含有的頻率分量周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇

21、次諧波的余弦分量周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次次諧波的正弦分量含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量五、傅里葉有限級數(shù)如果完全逼近，那么n=;實(shí)際中，n=N,N是有限整數(shù)。假如N愈接近n，那么其均方誤差愈小若用2N1項(xiàng)逼近，那么)sincos()(1110tbtaatSnNnnN誤差函數(shù)和均方誤差 誤差函數(shù) 均方誤差)()()(tStftNN)(21)()(222022nnNNbaatftE例如:對稱方波,是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)只有奇次諧波的余弦項(xiàng)。2sin2nnEan)5cos3cos(cos)(15113112ttttfEE/2-E/2T1/4-T1/4t對稱方波有限

22、項(xiàng)的傅里葉級數(shù) N=1 N=2 N=32105. 0EE )3cos31(cos2112ttES2202. 0EE )(cos212tES)5cos513cos31(cos21113tttES2301. 0EE -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81有限項(xiàng)的N越大，誤差越小例如:N=11)11cos1115cos513cos31(cos211119ttttES-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81由以

23、上可見： N越大，越接近方波 快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿； 慢變信號，低頻分量，主要影響頂部； 任一分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時(shí)，波形將會(huì)失真 有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生)(limtfSNN4.3典型周期信號的頻譜周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波脈沖信號周期半波脈沖信號周期全波脈沖信號周期全波脈沖信號一、周期矩形脈沖信號的頻譜一、周期矩形脈沖信號的頻譜22)2(0)2()(1ttEtfntjnneFtf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnTEeejnTEdtEeTFjnjntjnn)(1TnSa

24、n242422112T)(,1110TnSaTEFTEFn 頻譜分析表明頻譜分析表明 離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密。周期越大，譜線越密。 各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比。正比，與周期成反比。 各譜線的幅度按各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化。過包絡(luò)線變化。過 零點(diǎn)為：零點(diǎn)為： 主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主帶寬度為：主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主帶寬度為：)(1TnSam22B周期矩形的頻譜變化規(guī)律： 若T不變，在改變的情況 若不變，在改變T時(shí)的情況22112T12對稱方波是周期矩形的特例)(tx

25、.5cos513cos31cos2)(111tttEtf)(11TnSaTEFnntjnneFtf1)(對稱方波的頻譜變化規(guī)律113151513113nnana)(tx17ntjnneFtf1)(dtetfTFtjnn2211)(1傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)的系數(shù)T1信號的周期脈寬基波頻率1傅立葉級數(shù)小結(jié)傅立葉級數(shù)小結(jié)當(dāng)周期信號的周期T1無限大時(shí),就演變成了非周期信號的單脈沖信號1TdT02111n頻率也變成連續(xù)變量4.4非周期信號的頻譜分析頻譜演變的定性觀察頻譜演變的定性觀察)(1nF11)(nF)(1nF22112T11.從周期信號從周期信號FS推導(dǎo)非周期的推導(dǎo)非周期的FTntjnenFtf1).()(1dtetfTnFTTtjn.).(1)(2121111dtetfnFtjn.).(2).(111dtetfFtj.).()(2.傅立葉的逆變換傅立葉的逆變換ntjnenFtf11).()(1111.)()(tjnnenFtf)(.2)(111neFtjnndnnT)(01111n)()(1FnFdeFtftj. )(21)(3.從物理意義來討論從物理意義來