計(jì)算馬德隆常數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上固體物理馬德隆常數(shù)的計(jì)算 學(xué)院：物理學(xué)院 學(xué)號(hào)： 姓名：劉嫻雅馬德隆常數(shù)的計(jì)算摘要：通過分析馬德隆常數(shù)的三種計(jì)算方法和其相應(yīng)的使用范圍,得出不同晶體結(jié)構(gòu)下相應(yīng)的計(jì)算方法和使用范圍.關(guān)鍵字：馬德隆常數(shù) 離子晶體 在固體物理學(xué)中,當(dāng)計(jì)算離子晶體的結(jié)合能時(shí),需知道馬德隆常數(shù)的值, 因此,馬德隆常數(shù)在離子晶體的理論研究和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中占有十分重要的地位.該值一般由實(shí)驗(yàn)確定。馬德隆常數(shù)是描述離子晶體結(jié)構(gòu)的常數(shù),其定義公式為:n1、n2、n3為離子晶體中任一離子相對(duì)于中心離子的坐標(biāo),為求和遍及晶體中所有離子。由于離子晶體為數(shù)目巨大的多粒子系統(tǒng),因此馬德隆常數(shù)一般情況下由實(shí)驗(yàn)確定。離子

2、晶體結(jié)合的性質(zhì)比較簡(jiǎn)單,在近代微觀理論發(fā)展初期，計(jì)算離子晶體的結(jié)合能獲得很好的結(jié)果,對(duì)于驗(yàn)證理論起到了重要作用,所用的方法和概念在處理許多問題中還常用到.以NaCl為例,由于Na+和Cl-都是滿殼層的結(jié)構(gòu),具有球?qū)ΨQ性,考慮庫侖作用時(shí),可以看做點(diǎn)電荷.先考慮一個(gè)正離子的平均庫侖能.如果令r表示相鄰離子的距離,該能量可表示為 （1）如果以所考慮的正離子為原點(diǎn), 可以表示其他各離子所占格點(diǎn)的距離,并且對(duì)于所有負(fù)離子格點(diǎn)，n1+n2+n3=奇數(shù),所有正離子格點(diǎn)，n1+n2+n3=偶數(shù).考慮到正負(fù)離子電荷的差別,引入因子(-1)n1+n2+n3,一個(gè)原胞的能量為 （2） （3）為一無量綱的數(shù),完全決定

3、于晶體結(jié)構(gòu),稱之為馬德隆常數(shù).在具體計(jì)算中發(fā)現(xiàn),求和時(shí)既有正項(xiàng),又有負(fù)項(xiàng),如果逐項(xiàng)相加,并不能得到收斂的結(jié)果.對(duì)于一維情況,其級(jí)數(shù)求和很容易計(jì)算,如兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù),利用定義很容易計(jì)算出=2ln2,但對(duì)于三維情況,其級(jí)數(shù)收斂很慢. 1918年Madelung首先計(jì)算這種級(jí)數(shù)和,他先將晶體中點(diǎn)陣視為一系列中性平面點(diǎn)陣組成即該平面內(nèi)點(diǎn)陣由一系列中性直線點(diǎn)陣組成,其上正負(fù)電荷相等且按格點(diǎn)周期分布.由此將電勢(shì)展開成傅里葉級(jí)數(shù)并用了享克爾函數(shù)(Hankel function),進(jìn)而求出馬德隆常數(shù).這種方法對(duì)于計(jì)算像氯化鈉那樣簡(jiǎn)單的離子晶體取得了成功.但對(duì)大多數(shù)離子晶體而言并不適用。

4、因?yàn)椴荒軡M足上述中性平面的條件.因此該方法僅有歷史價(jià)值.1932年,Evjen認(rèn)為把(1)式級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)合理安排使其正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的貢獻(xiàn)幾乎互相抵消,使級(jí)數(shù)迅速收斂,由此提出了計(jì)算馬德隆常數(shù)的方法,其基本思想是:把晶體看成是由Evjen晶胞構(gòu)成,Evjen晶胞內(nèi)所有離子的代數(shù)和為零,把這些中性晶胞對(duì)參考離子的庫侖能量的貢獻(xiàn)加起來,若離子在這個(gè)中性立方體的面上、棱上或角上,其貢獻(xiàn)取1/2、1/4或1/8,進(jìn)而計(jì)算馬德隆常數(shù).以NaCl晶體為例,采用Evjen方法,其收斂速度為1.456,1.752,1.747,計(jì)算到第90個(gè)Evjen晶胞時(shí),其馬德隆常數(shù)為1.,可見其計(jì)算是精確的.采用Evjen晶胞

5、方法計(jì)算NaCl晶體馬德隆常數(shù),是一個(gè)很成功的例子,但對(duì)CsCl晶體結(jié)構(gòu),當(dāng)Evjen晶胞最外層離子與參考離子同號(hào)時(shí)計(jì)算的馬德隆常數(shù),與當(dāng)Evjen晶胞最外層離子與參考離子異號(hào)時(shí)計(jì)算的馬德隆常數(shù)迥然不同.可見利用Evjen晶胞的方法計(jì)算馬德隆常數(shù),不便于推廣使用,尤其對(duì)于復(fù)雜的離子晶體,以參考離子為中心構(gòu)造一個(gè)比一個(gè)更大的Evjen晶胞并確定相應(yīng)立方體邊上、面上、棱上的正負(fù)離子數(shù)比較困難.因此,此法只適用于一些簡(jiǎn)單立方晶系的離子晶體馬德隆數(shù)的計(jì)算,而不能計(jì)算復(fù)雜離子晶體的馬德隆常數(shù).計(jì)算馬德隆常數(shù)的目的是計(jì)算晶格靜電能,因此不妨從晶格靜電能出發(fā)計(jì)算馬德隆常數(shù).一摩爾離子晶體的晶格能UT是指晶體

6、內(nèi)各離子間靜電相互吸引能UC和玻爾排斥能UB,即UTUC+B=UC(1-1/n)=1/2NAuC分子(1-1/n)=1/2NA*uC晶胞/m式中NA、uC分子、uC晶胞分別為阿伏伽德羅常數(shù)和分子、晶胞的靜電能,m、n分別為晶胞內(nèi)分子數(shù)和玻恩指數(shù);1/2是計(jì)算相互作用能時(shí)為避免重復(fù)計(jì)算而引入的,設(shè)晶體一個(gè)晶胞涉及有k個(gè)正離子和w個(gè)負(fù)離子,則式中j=1,2,k對(duì)應(yīng)于晶體內(nèi)一個(gè)參考晶胞所涉及的k個(gè)正離子的編號(hào);j=k+1,k+2,k+w對(duì)應(yīng)于晶體內(nèi)一個(gè)參考晶胞所涉及的w個(gè)負(fù)離子的編號(hào).對(duì)于立方晶胞,若離子處在界面上或棱邊上或頂角上,則對(duì)應(yīng)的pj和qj分別取1/2或1/4.其他晶胞與此類同;u+Cj,

7、u-Cj,+j,-j分別為參考晶胞中第j個(gè)離子靜電能和相應(yīng)的馬德隆常數(shù),其表達(dá)式為式中i=1,2,3,k對(duì)應(yīng)于計(jì)算時(shí)所及晶胞內(nèi)正離子的編號(hào);而i=k+1,k+2,k+w對(duì)應(yīng)于計(jì)算時(shí)所及晶胞內(nèi)負(fù)離子的編號(hào);mi和li的取值方法與pj和qj相同;Z+和Z-分別為正負(fù)離子價(jià)電子數(shù);n1,n2,n3分別為晶胞沿x,y,z方向堆積數(shù).計(jì)算時(shí)須排除離子自身相互作用,rij為計(jì)算時(shí)所及晶胞內(nèi)第i離子與參考晶胞內(nèi)第j離子的間距.若用馬德隆常數(shù)來表示晶體的結(jié)合能,則有由此可得晶體的馬德隆常數(shù)（1）為注意(1)只能用于二元化合物晶體,當(dāng)晶體為二元以上化合物晶體時(shí),須引入諸離子價(jià)電荷數(shù)Zj(j=1,2,(k+w)之

8、間的最大公因子Z.由此,參考晶胞中第j個(gè)離子靜電能和相應(yīng)的馬德隆常數(shù)為u+Cj,u-Cj,+j,-j分別為相應(yīng)的晶格能和馬德隆常數(shù)（2）分別為其馬德隆常數(shù)(2)比(1)具有普遍性.也可以不引入最大公因子Z來定義馬德隆常數(shù)(3),即上述三種馬德隆常數(shù)的關(guān)系為利用這種方法可以計(jì)算出各種晶體結(jié)構(gòu)的馬德隆常數(shù),如CsCl:1.,與文獻(xiàn)值=1.76268比較接近,可見這種方法的精確性.綜上所述,對(duì)于簡(jiǎn)單的離子晶體,可采用定義法直接對(duì)離子晶體計(jì)算馬德隆常數(shù);對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶系離子晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算,宜采用Evjen晶胞的方法.對(duì)于復(fù)雜離子晶體,應(yīng)使用計(jì)算晶格靜電能法計(jì)算其馬德隆常數(shù).參考文獻(xiàn)：【1】 黃昆,韓汝琦.固體物理學(xué)M.北京:高等教育出版社,2001.【2】 令狐榮鋒,陳明能.馬德隆常數(shù)的數(shù)值確定.貴州師范大學(xué)理學(xué)院,