高等數(shù)學 導數(shù)習題答案

1、2021.12.11例例 1. 設(shè)設(shè)求求21 sin , 0( ) 0 , 0 .xxf xxx 假假設(shè)設(shè)因此，因此，解：解：( ) .fx0 , x 而而 0( )(0)(0)limxf xffx 2 0sin(1)limxxxx 0 . 思考：思考： (0) = ?f 0lim( )xfx 是否存在？是否存在？導函數(shù)的單側(cè)極限導函數(shù)的單側(cè)極限與與單側(cè)導數(shù)單側(cè)導數(shù)不是同一概念。不是同一概念。那那么么).1cos()1sin(2)( xxxxf . 0 0, 0 ),1cos()1sin(2 )( xxxxxxf例例 2. 設(shè)設(shè) ,) 2( ) 1( ) 4( ) 3( )( xxxxxxf求

2、求解：解： 3d , ( ) .xffx 3( )(3)(3)lim3xf xffx 3( )lim3xf xx )2( ) 1( 4lim3 xxxxx.61 .d 61| d3xfx | 2|ln| 1|ln|ln| 4|ln| 3|ln| )(|ln xxxxxxf上式兩邊同時求導得上式兩邊同時求導得 211114131 )()( xxxxxxfxf . 211114131)()( xxxxxxfxf例例 3. 設(shè)設(shè)且在某且在某(1)6 , (1)2 , fg 解：解：( ) g x(1, )U 內(nèi)內(nèi)單調(diào)，單調(diào)，求求 1( )(1)lim. ( )(1)xf xfg xg 1 1( )(

3、1)( )(1)1limlim( )(1)( )(1)1xxf xff xfxg xgg xgx 1 1( )(1)lim1( )(1)lim1xxf xfxg xgx (1)(1)fg 3. 例例 4. 設(shè)設(shè)( )f x解：解：求求 ( ) ( ) ( ) ( )limxax f ax f xx f xa f xIx a ( )( ). a faf a ( ) ( )( ) ()limxax f af xf xx ax a ( ) ( )limlim( ) xaxax f af xf xx a 在在xa 可導，可導，.)( )( lim axxfaafxIax 練練 1. 設(shè)設(shè)求求( ) |

4、 | , f xx x 假假設(shè)設(shè)因此，因此，解：解：( ) .fx0 , x ( )2 ; fxx 而而 0 ( )(0)(0)limxf xffx 2 0 limxxx 0 . 2 , 0( ) 2 , 0 xxfxxx 那那么么假假設(shè)設(shè)0 , x ( )2 ; fxx 那那么么 0 ( )(0)(0)limxf xffx 2 0 limxxx 0 . 2 | | . x 設(shè)設(shè)( ) |sin | sin , g xxx ( )? g x 2 |sin |cos . xx 設(shè)設(shè)可導可導, 求求2( ) sin () , g xf x 解：解：( ) .g x例例 5. ( )f x22( )

5、cos () ()(2 ) g xf xfxx 222 cos () () . xf xfx 例例 6. 設(shè)設(shè)求求2 1 cos , xtyt 解：解： 22d .d yx記記而而故故.2sind 2d sin ddttttttxy ,2sin)(tttg ,d)( d dd22xtgxy ,d 2sincos)( d2ttttttg .4cossind)( d dd322ttttxtgxy 例例 7. 曲線曲線( )yf x 解：解：求求由方程由方程2cos()1x yexye 確定，確定，在點在點(0,1)的切線方程。的切線方程。方程兩邊對方程兩邊對 x 求導得求導得2( 2) sin()

6、(1)0.x yeyxyy 令令 x = 0 得得 (0) 20 , e y 即即(0)2.y 所求切線方程為所求切線方程為1 2 .yx 練練 2. 函數(shù)函數(shù)( )yf x 答：答：求求由方程由方程 2x yxy 確定，確定， 0d .xf 0d = ( ln2 1 ) d .xfx 設(shè)設(shè)求求解：解：例例 8. , 1)(2xxxf . )0()(nf)(1 112nnxoxxxx 112x )(xf .12 , 1 2 , 0 ! )0()( knknnfn .12 , ! 2 , 0 ) 0()( knnknfn)(12242nnxoxxx )(121253 nnxoxxxx設(shè)設(shè)求求解：

7、解：練練 3. , )(25xexxf . )0()11(f)(! ! 21 2nnxxonxxxe )(! ! 2 )(5252975 nnxonxxxxxf)(! ! 21 22422nnxxonxxxe .! 311! )0()11( f練練 4. 設(shè)設(shè)是是)(xf) , ( 內(nèi)具有任意階導數(shù)的奇函數(shù)，內(nèi)具有任意階導數(shù)的奇函數(shù)，求求解：解：故故)()2(xfn也是奇函數(shù)。也是奇函數(shù)。 , )0()2( nf其中其中. Zn是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，)(xf因此因此. 0)0()2( nf奇函數(shù)的麥克勞林公式?jīng)]有偶次冪項。奇函數(shù)的麥克勞林公式?jīng)]有偶次冪項。偶函數(shù)的麥克勞林公式?jīng)]有奇次冪項。偶函數(shù)

8、的麥克勞林公式?jīng)]有奇次冪項。例例 9. 函數(shù)函數(shù)在在 1ln)( exxxf) , 0( 內(nèi)零點的個內(nèi)零點的個數(shù)為？數(shù)為？解：解：.11)( exxf 令令 0)( xf得得 . ex 當當 0ex 時時 , 0)( xf當當 ex 時時 , 0)( xf而而 ,)( lim0 xfx因此零點個數(shù)為因此零點個數(shù)為 2. , 1)( ef , 04)( 23 eef練練 5. 設(shè)設(shè)那那么么( ) (1) (2) (3) (4) , f xx xxxx 解：解： )( xf共有幾共有幾個零點？個零點？根據(jù)羅爾定理，根據(jù)羅爾定理， )( xf至少有至少有 4 個零點，個零點， 分別在區(qū)間分別在區(qū)間)

9、4 , 3( ),3 , 2( ),2 , 1 ( ),1 , 0(內(nèi)。內(nèi)。 )( xf是是 4 次多項式，次多項式，零點不超過零點不超過 4 個，個，因此其零點共有因此其零點共有 4 個。個。例例 10. 求求.)sin( lim210 xxxxI 解：解：.61 )sinln()1(0 2limxxxxeI )sinln()1(lim20 xxxxe sincossin21lim20 xxxxxxxx 30 2sincoslimxxxxx 333220 2)(6)(21limxxoxxxoxxx 20 )sinln(limxxxx而而故故.61 eI練練 6. 求求. )1cos()2(s

10、in lim xxxxI 解：解：)1cos()2sin(ln limxxxxeI 故故.2eI )1cos()2sin(lnlim xxxxe 而而 )1cos()2sin(lnlim xxxx cos)2lnsin(lim0 tttt cos)2sin(sin)2cos(2lim0 ttttt . 2 例例 11. 設(shè)設(shè) )( lim0 xfx解：解：),(lim2111)(0 xfexxfxx 存在，且有存在，且有求求 . )( lim0 xfx設(shè)設(shè) , )( lim0 Axfx ,2)111(lim0 AexAxx 則則 )111(lim0 xxexA )1( 1lim0 xxxexx

11、e 1lim20 xxexx 21lim0 xexx . 21 另附假設(shè)干根本計算與證明答案后附另附假設(shè)干根本計算與證明答案后附練練 1. 討論討論 ) 1( 2 )(23 xxxf的單調(diào)性、極值、凹凸性、拐的單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點以及漸近線，并根據(jù)這些討論作其草圖。點以及漸近線，并根據(jù)這些討論作其草圖。練練 2. 求求xxxf 1 )(在在1 , 5 上的最值。上的最值。練練 3. 求數(shù)列求數(shù)列nn的最大項。的最大項。練練 4. a取何值時取何值時在在xxaxf3sin31sin )( 3 x取得極值？取得極值？是極大值還是極小值？是極大值還是極小值？練練 5. 求以下極限求以下極限 2

12、cot lim )1(0 xxx )1( lim )3()(1sin1 xxxx lim )4( sin0 xxx )cot 1( lim )2(220 xxx 1 lim )6(2 xxx sin1 lim )5(630 3xxexx 練練 6. 設(shè)設(shè))(xf可導，證明在可導，證明在)(xf的兩個零點之間必有的兩個零點之間必有)( )(xfxxf 的零點。的零點。練練 7. 設(shè)設(shè))(xf在在1 , 1 上具有三階連續(xù)導數(shù)，且上具有三階連續(xù)導數(shù)，且. 0)0( , 1)1( , 0 1)( fff證明存在證明存在)1 , 1( 使得使得. 3)( f練練 8. 假假設(shè)設(shè))(xf在開區(qū)間在開區(qū)間

13、 I 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), 且有唯一的極值點，且有唯一的極值點，那么該極值點必是最值點。那么該極值點必是最值點。練練 1. 討論討論 ) 1( 2 )(23 xxxf的單調(diào)性、極值、凹凸性、拐的單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點以及漸近線，并根據(jù)這些討論作其草圖。點以及漸近線，并根據(jù)這些討論作其草圖。 極大極大值值非極非極值值 ff f)3 ,( 3 ) 1 , 3( )0 , 1( 0 ) , 0( 000 ; 1 為為垂垂直直漸漸近近線線 x . 12為為斜斜漸漸近近線線 xy . 0) , 0(為為拐拐點點. 827)3( f極極大大值值練練 2. 求求xxxf 1 )(在在1 , 5 上的最值。上的

14、最值。解解: , 012112)( xxxf令令 . 43 x解解得得 , 565)( f , 1) 1 ( f , 45)43( f 45)43( 1 5, )(和和最最小小值值上上有有最最大大值值在在 fxf . 565)( f練練 3. 求數(shù)列求數(shù)列nn的最大項。的最大項。解解: . )0( , 1 xxyx令令 . ln1 ln xxy . ln1 21exxxxyx 及及駐駐點點由由此此得得 . , 0 ; , 0 遞遞減減時時遞遞增增時時yyexyyex . 3 2 3是是可可能能的的最最大大項項和和因因此此 ; 8 )2( 6 而而 , 9)3(63 . 3 3是是最最大大項項因

15、因此此練練 4. a取何值時取何值時在在xxaxf3sin31sin )( 3 x取得極值？取得極值？是極大值還是極小值？是極大值還是極小值？解解: , ) , ( )(內(nèi)內(nèi)可可導導在在 xf . 3cos cos )( xxaxf , 012 cos3cos)3( , aaf 由由已已知知 解得解得 . 2 a , 3sin3 sin 2 )( xxxf , 0 3sin33 sin 2 )3( f 因此因此 . )3(是是極極大大值值 f練練 5 答案答案. 21 2cot lim )1(0 xxx1)(1sin1 e )1( lim )3( xxxx1 lim )4( sin0 xxx3

16、2 )cot 1( lim )2(220 xxx1 1 lim )6(2 xxx21 sin1 lim )5(630 3 xxexx練練 6. 提示：令提示：令, )( )(xfxxF 后證有后證有 使得使得 . 0)( F練練 7. 312)01(! 3)( )01(! 2)0( )01)(0( )0( 1)( fffff,! 3)( ! 2)0( )0( 1 fff ).0 , 1(1 322)01(! 3)( )01(! 2)0( )01)(0( )0( (1) fffff,! 3)( ! 2)0( )0( 2 fff ).1 , 0(2 , 1! 3)( )( )1()1(21 fff

17、f, 32)( )( 21 ff即即使使得得因因此此存存在在連連續(xù)續(xù) ),( , )( 21 xf.2)( )( )(21 fff )( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間若若Ixf證：證： , 且且有有唯唯一一的的極極值值點點 則則 . 該該點點也也是是最最值值點點0 x1x xxy )( 內(nèi)內(nèi)有有唯唯一一的的極極在在不不妨妨設(shè)設(shè)Ixf . 0 x大大值值點點 , 0不不是是最最大大值值點點假假設(shè)設(shè) x ).()( 011xfxfIx 使使得得則則存存在在 , 0是是極極大大值值點點x , ),( 0 xU故故存存在在 . )( )(0 xfxf , ),( 0 xUx 即即 . 01xx 不不妨妨設(shè)

18、設(shè) , ),( 0時時當當 xUx . ) ( )( 0 xfxf 使使得得 , , )( 10 xxC xf 因因 xf在在故故 )( . , 10mxx 上上有有最最小小值值 . )( , )( 10 xfmxfm 可知可知 . )( ) , (10mfxx 使使得得于于是是存存在在 . 為為極極小小值值點點即即 . 0內(nèi)內(nèi)唯唯一一極極值值點點矛矛盾盾是是這這與與Ix練練 8. 關(guān)于泰勒公式的說明：關(guān)于泰勒公式的說明： 帶皮亞諾余項的泰勒公式帶皮亞諾余項的泰勒公式一般用于考慮一般用于考慮0 xx 時的某些極限。時的某些極限。帶拉格朗日余項的泰勒公式帶拉格朗日余項的泰勒公式一般用于誤差分析或

19、理論推導。一般用于誤差分析或理論推導。 依賴于依賴于 x . 200000)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo 200000)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(00)(10)1()()!1()( nnxxnf 關(guān)于泰勒公式的說明：關(guān)于泰勒公式的說明： 202010)()()(xxaxxaaxf nnxxa)(0)(0nxxo ). , , 2 , 1(nk ,!)(0)(kxfakk 那么必然那么必然有有 ),(00 xfa 且經(jīng)某些條件可得且經(jīng)某些條件可得如果如果在在)(xf0 x有直到有直到n階導數(shù)，階導數(shù)，這使得我們可以通過一些間接手段得到這使得我們可以通過一些間接手段得到)(xf的泰勒公式。的泰勒公式。例例. 求求 )(xexxf 的帶皮