數(shù)值分析論文

1、數(shù)值分析論文幾種插值法的應(yīng)用與比較摘要：本文主要介紹了幾種常用插值法的應(yīng)用和比較，針對(duì)每個(gè)插值法，經(jīng)過(guò)詳細(xì)的論證和討論，給出了每個(gè)插值法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)插值法的研究、比較及應(yīng)用的討論及總結(jié)，從而得出所討論插值方法的各自優(yōu)勢(shì)，以方便用戶選擇合適的插值法。關(guān)鍵詞：拉格朗日插值，重心拉格朗日插值，分段線性插值正文：在許多實(shí)際問(wèn)題及科學(xué)研究中，因素之間往往存在著函數(shù)關(guān)系，但是這些關(guān)系的顯示表達(dá)式不一定都知道，通常只是由觀察或測(cè)試得到一些離散數(shù)值，所以只能從這些數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)的近似表達(dá)式，有時(shí)雖然給出了解析表達(dá)式，但由于解析表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，計(jì)算起來(lái)十分麻煩，這就需要建立函數(shù)的某種近似表達(dá)，而插值法

2、就是構(gòu)造函數(shù)的近似表達(dá)式的方法。由于代數(shù)多項(xiàng)式是最簡(jiǎn)單而又便于計(jì)算的函數(shù)，所以經(jīng)常采用多項(xiàng)式作為插信函數(shù)，稱為多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值法有拉格朗日插值法，牛頓插值法、埃爾米特插值法，分段插值法和樣條插值法等。其基本思想都是用高次代數(shù)多項(xiàng)式或分段的低次多項(xiàng)式作為被插值函數(shù)的近似解析表達(dá)式。拉格朗日插值法中，在數(shù)值分析中，拉格朗日插信法是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫路易斯拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法，許多實(shí)際問(wèn)題中都用函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解，如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在若干個(gè)不同的地方得到，相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插信法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，具恰好在各個(gè)

3、觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。這樣的多項(xiàng)式稱為拉格朗日（插值）多項(xiàng)式，數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，拉格朗日插信法可以給出一個(gè)恰好穿過(guò)二維平面上若干個(gè)已知點(diǎn)的多項(xiàng)式函數(shù)，拉格朗日插值法最早被英國(guó)數(shù)學(xué)家愛德華.華林于1779年發(fā)現(xiàn)，不久后由萊昂哈德歐拉再次發(fā)現(xiàn)1795年，拉格朗日在其著作師范學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程中發(fā)表了這個(gè)插值方法，從此他的名字就和這個(gè)方法聯(lián)系在一起。拉格朗日插值多項(xiàng)式圖為：圖(1)已知平面上四個(gè)點(diǎn)：(-9,5),(-4,2),(-1,式：L(x)(黑色)穿過(guò)所有點(diǎn).而每個(gè)基本多項(xiàng)式:-2),(7,9),拉格朗日多項(xiàng)yo10(x),yili(x),yzLlx)以及yl(x)各穿過(guò)對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)，并在其它的三個(gè)點(diǎn)

4、的x值上取零。對(duì)于給定的若n1個(gè)點(diǎn)(X0，y0),(xi,yi),(Xn,yn),對(duì)應(yīng)于它們的次數(shù)不超過(guò)n的拉格朗日多項(xiàng)式L只有一個(gè).如果計(jì)入次數(shù)更高的多項(xiàng)式，則有無(wú)窮個(gè),因?yàn)樗信cL相差(xx°)(xx1)(xxn)的多項(xiàng)式都滿足條件.對(duì)某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，已知有給定的k1個(gè)取值點(diǎn)：(xo,yo),(xk,yk),其中Xj對(duì)應(yīng)著自變量的位置，而y對(duì)應(yīng)著函數(shù)在這個(gè)位置的取值。假設(shè)任意兩個(gè)不同的Xi都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式k為：L(x)yjij(x),j0其中每個(gè)lj(x)為拉格朗日基本多項(xiàng)式(或稱插值基函數(shù)),其表達(dá)式為:lj(x)kxX(xx

5、76;)(xxj1)(xxj1)i0,ijxjxi(xjx°)(xjxj1)(xjxj1)(xxk)(xjxk)拉格朗日基本多項(xiàng)式lix的特點(diǎn)是在xj上取值為1,在其它的點(diǎn)xi,ij上取值為0.例：假設(shè)有某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)f,已知它在三個(gè)點(diǎn)上的取值為:f(4)10,f(5)5.25,f(6)1,要求f(18)的值.首先寫出每個(gè)拉格朗日基本多項(xiàng)式:lox(x5)(x6).(45)(46)'11x(x4)(x6).(54)(56)'I2x(x4)(x5).(64)(65)'然后應(yīng)用拉格朗日插值法，就可以得到p的表達(dá)式(p為函數(shù)f的插值函數(shù))：p(x)f(4)lo(x)

6、f(5)li(x)f(6)l2(x)10K5.25(x4)(x6)1(54)(56)(x4)(x5)(64)(65)1/24(x28x136),此時(shí)數(shù)值18就可以求出所需之值：f(18)p(18)11.插值多項(xiàng)式的存在性與唯一性：存在性：對(duì)于給定的k1個(gè)點(diǎn)：(xo，yo),(xyk)拉格朗日插值法的思路是找到一個(gè)在一點(diǎn)xj取值為1,而在其他點(diǎn)取值都是0的多項(xiàng)式lj(x).這樣，多項(xiàng)k式y(tǒng)jlj(x)在點(diǎn)xj取值為yj,而在其他點(diǎn)取值都是0.而多項(xiàng)式Lxyjlj(x)j0k就可以滿足L(x)yilj(x)00yj0yj,i0在其它點(diǎn)取值為0的多項(xiàng)式容易找到，例如：(xx°)(xxj1)

7、(xxj1)(xxk),它在點(diǎn)xj取值為:(Xixo)(XjXj1)(XjXk).由于已經(jīng)假定Xi兩兩互不相同，因此上面的取值不等于0.于是，將多項(xiàng)式除以這個(gè)取值，就得到一個(gè)滿足“在Xj取值為1,而在其他點(diǎn)取值都是0的多項(xiàng)式”：XX(XXo)(XXj1)(XXj1)(XXk)lj,XjXi(XjXo)(XjXj1)(XjXj1)(XjXk)這就是拉格朗日基本多項(xiàng)式.唯一性：次數(shù)不超過(guò)k的拉格朗日多項(xiàng)式至多只有一個(gè)，因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)次數(shù)不超過(guò)k的拉格朗日多項(xiàng)式：P1和P2,它們的差P1P2在所有k1個(gè)點(diǎn)上取值都是0,因此必然是多項(xiàng)式(XXo)(XX1)(XXk)的倍數(shù).因此，如果這個(gè)差P1P2不等

8、于0,次數(shù)就一定不小于k1.但是P1P2是兩個(gè)次數(shù)不超過(guò)k的多項(xiàng)式之差，它的次數(shù)也不超過(guò)k,所以P1P20也就是說(shuō)P1P2.這樣就證明了唯一性.幾何性質(zhì)：拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多項(xiàng)式l0,l1,ln(由某一組X0X1Xn確定)可以看做是由次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式所組成的線性空間：nX的一組基底.首先，如果存在一組系數(shù)：0,1,n使得，P0l01l1nln0,那么，一方面多項(xiàng)式P是滿足P(X0)0,P(X1)1,P(Xn)n的拉格朗日插值多項(xiàng)式，另一方面P是零多項(xiàng)式，所以取值永遠(yuǎn)是0.所以01n0,這證明了l0,l1,ln是線性無(wú)關(guān)的.同時(shí)它一共包含n1個(gè)多項(xiàng)式，恰好等于nX的維數(shù).所以

9、l0,l1,ln構(gòu)成了nX的一組基底.拉格朗日基本多項(xiàng)式作為基底的好處是所有的多項(xiàng)式都是齊次的(都是n次多項(xiàng)式).優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)：拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計(jì)算中，當(dāng)插值點(diǎn)增加或減少一個(gè)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的基本多項(xiàng)式就需要全部重新計(jì)算，于是整個(gè)公式都會(huì)變化，非常繁瑣.這時(shí)可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來(lái)代替.此外，當(dāng)插值點(diǎn)比較多的時(shí)候，拉格朗日插值多項(xiàng)式的次數(shù)可能會(huì)很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點(diǎn)，也就是說(shuō)盡管在已知的幾個(gè)點(diǎn)取到給定的數(shù)值，但在附近卻會(huì)和“實(shí)際上”的值之間有很大的偏差.這類現(xiàn)象也被稱為龍格現(xiàn)象，解決的辦法是分段用較低次數(shù)的插值多項(xiàng)式.重心拉格朗日插值

10、法：重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進(jìn).在拉格朗日插值法中，運(yùn)用多項(xiàng)式：l(x)(xx0)(xx1)(xxk),圖(2)拉格朗日插值法的數(shù)值穩(wěn)定性：如圖(2),用于模擬一個(gè)十分平穩(wěn)的函數(shù)時(shí)，插值多項(xiàng)式的取值可能會(huì)突然出現(xiàn)一個(gè)大的偏差(圖中的14至15中間)可以將拉格朗日基本多項(xiàng)式重新寫為：l(x)1k，i0,ij(xjxi)定義重心權(quán)1k，i0,ij(xjxi)上面的表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為：L(x)l(x)xxjk于是拉格朗日插值多項(xiàng)式變?yōu)椋篖(x)l(x)yj,(1)joxxj即所謂的重心拉格朗日插值公式(第一型)或改進(jìn)拉格朗日插值公式.它的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)插值點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加一個(gè)時(shí)，將每個(gè)j都除以

11、(XjXk1),就可以得到新的重心權(quán)k1,計(jì)算復(fù)雜度為(n),比重新計(jì)算每個(gè)基本多項(xiàng)式所需要的復(fù)雜度(n2)降了一個(gè)量級(jí).將以上的拉格朗日插值多項(xiàng)式用來(lái)對(duì)函數(shù)g(x)1插值，可以得到：kx,g(x)i(x)j0Xxj因?yàn)間(x)1是一個(gè)多項(xiàng)式.因此，將L(x)除以g(x)后可得到:L(x)(2)kj_j0xxjkjj0xxj這個(gè)公式被稱為重心拉格朗日插值公式(第二型)或真正的重心拉格朗日插值公式.它繼承了(1)式容易計(jì)算的特點(diǎn)，并且在代入x值計(jì)算L(x)的時(shí)候不必計(jì)算多項(xiàng)式l(x)它的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，結(jié)合切比雪夫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值的話，可以很好地模擬給定的函數(shù)，使得插值點(diǎn)個(gè)數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，最大偏差趨于零

12、.同時(shí)，重心拉格朗日插值結(jié)合切比雪夫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值可以達(dá)到極佳的數(shù)值穩(wěn)定性.第一型拉格朗日插值是向后穩(wěn)定的，而第二型拉格朗日插值是向前穩(wěn)定的，并且勒貝格常數(shù)很小.分段線性插值：對(duì)于分段線性插值，我們看一下下面的情況.1問(wèn)題的重述：已知g(x)2,6x6用分段線性插值法求插值，繪出插值1x結(jié)果圖形，并觀察插值誤差.1 .在卜6,6中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值；2 .在卜6,6中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值；3 .在卜6,6中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值；4 .在卜6,6中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值.問(wèn)題的分析：在數(shù)值計(jì)算中，已知數(shù)據(jù)通常是離散的，如果要得到這些離散點(diǎn)以外的其他點(diǎn)的函數(shù)值，就需要根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)進(jìn)行插值.

13、而本題只提供了取樣點(diǎn)和原函數(shù)g(x),分析問(wèn)題求解方法如下:(1)利用已知函數(shù)式g(x)算取樣點(diǎn)X對(duì)應(yīng)的函數(shù)值Y;將X,Y作為兩個(gè)等長(zhǎng)的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值.因此被插值函數(shù)是一個(gè)單變量函數(shù)，可利用一維插值處理該數(shù)據(jù)插值問(wèn)題.一維插值采用的方法通常有拉格朗日多項(xiàng)式插值(本題采用3次多項(xiàng)式插值)，3次樣條插值法和分段線性插值；(2)分別利用以上插值方法求插值.以0.5個(gè)單位為步長(zhǎng)劃分區(qū)間卜6,6,并將每一點(diǎn)作為插值函數(shù)的取樣點(diǎn).再根據(jù)插值函數(shù)計(jì)算所選取樣點(diǎn)的函數(shù)值.最后再利用所得函數(shù)值畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，并與原函數(shù)g(x)的圖象進(jìn)行對(duì)比問(wèn)題的假設(shè)：為了解決上述分析所提到的問(wèn)題，本題可以

14、作出如下假設(shè)：(1)假設(shè)原函數(shù)g(x)僅作為求解取樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的樣點(diǎn)值的函數(shù)關(guān)系式.而其他各點(diǎn)的函數(shù)值都是未知量，敘用插值函數(shù)計(jì)算；(2)為了得到理想的對(duì)比函數(shù)圖象，假設(shè)g(x)為已知的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù).可以選取0.5個(gè)單位為步長(zhǎng)劃分區(qū)間卜6,6,分別計(jì)算插值函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)g(x)在該區(qū)間的取樣點(diǎn)的函數(shù)值.畫出函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比.分段線性插值原理：給定區(qū)間a,b,將其分割成ax°x1xnb,已知函數(shù)yf(x)在這些插值結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為ykf(xk)(k0,1,n)；求一個(gè)分段函數(shù)Ik(x),使其?f足：(1)Ih(xk)yk,(k0,1,n);(2)在每個(gè)區(qū)間x.x-上,Ih(x)是個(gè)一次函數(shù)。易知

15、，Ih(x)是個(gè)折線函數(shù)，在每個(gè)區(qū)間xk,xk1上，(k0,1,n)Ih(xJxxk1ykx"yk1,于是,Ih(x)在a,b上是連xkxk1xk1xk續(xù)的，但其一階導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。于是即可得到如下分段線性插值函數(shù)：nIn(x)yJi(x),i0當(dāng)xi1xxi時(shí)，且i0時(shí)舍去;當(dāng)xxx時(shí)，且in時(shí)舍去;x xi1xi xi1其中x xi1lixi xi1其他.問(wèn)題的求解：在MATLA中實(shí)現(xiàn)分段線性插值，最近點(diǎn)插值，3次多項(xiàng)式插值，3次樣條插值的命令為interpl,其調(diào)用格式為：Y1=interp1（X,Y,X1,'method'）函數(shù)根據(jù)X,Y的值，計(jì)算函數(shù)在X1處

16、的值.X,Y是兩個(gè)等長(zhǎng)的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值，X1是一個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值點(diǎn)，Y1是一個(gè)與X1等長(zhǎng)的插值結(jié)果.method是插值方法，包括：linear:分段線性插值.它是把與插值點(diǎn)靠近的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線連接，然后在直線讓選取對(duì)應(yīng)插值點(diǎn)的數(shù)；nearest：近點(diǎn)插值法.根據(jù)已知兩點(diǎn)間的插值點(diǎn)與這兩點(diǎn)間的位置遠(yuǎn)近插值.當(dāng)插值點(diǎn)距離前點(diǎn)遠(yuǎn)時(shí)，取前點(diǎn)的值,否則取后點(diǎn)的值；cubic:3次多項(xiàng)式插值.根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出一個(gè)3次多項(xiàng)式，然后根據(jù)多項(xiàng)式進(jìn)行插值；spline:3次樣條插值.在每個(gè)分段（子區(qū)間）內(nèi)構(gòu)造一個(gè)3次多項(xiàng)式，使其插值函數(shù)除滿足插值條件外，還要求個(gè)節(jié)點(diǎn)處具有光滑條件.再根

17、據(jù)已知數(shù)據(jù)求出樣條函數(shù)后，按照樣條函數(shù)插值。運(yùn)用Matlab工具軟件編寫代碼，并分別畫出圖形如下：(最近點(diǎn)插值3次多項(xiàng)式插值（二）在-6,6中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值:分段線性插值3次樣條插值最近點(diǎn)插值3次多項(xiàng)式插值3次樣條插值最近點(diǎn)插值3次多項(xiàng)式插值（四）在卜6,6中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值分段線性插值3次樣條插值最近點(diǎn)插值3次多項(xiàng)式插值插值方法的優(yōu)劣性分析：從以上對(duì)比函數(shù)圖象可以看出，分段線性插值其總體光滑程度不夠.在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是函數(shù)（曲線）的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性.一般情況下，階數(shù)越高光滑程度越好.分段線性插值具有零階光滑性，也就是不光滑.3次樣條插值就

18、是較低次數(shù)的多項(xiàng)式而達(dá)到較高階光滑性的方法.總體上分段線性插值具有以下特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：1.分段線性插值在計(jì)算上具有簡(jiǎn)潔方便的特點(diǎn)；2.分段線性插值與3次多項(xiàng)式插值函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間上相對(duì)于原函數(shù)都有很強(qiáng)的收斂性，（舍入誤差影響不大），數(shù)值穩(wěn)定性好且容易在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。缺點(diǎn)：分段線性插值在節(jié)點(diǎn)處具有不光滑性的缺點(diǎn)（不能保證節(jié)點(diǎn)處插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)），從而不能滿足某些工程技術(shù)上的要求.而3次樣條插值卻具有在節(jié)點(diǎn)處光滑的特點(diǎn)。插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，它是數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解等數(shù)值的基礎(chǔ)與工具.由于多項(xiàng)式具有形式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便等許多優(yōu)點(diǎn)，故本文主要介紹多項(xiàng)式插值，它是插值法中常用和最基本的方法.拉格朗日插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是表達(dá)式簡(jiǎn)單明確，形式對(duì)稱，便于記憶.它的缺點(diǎn)是如果要想增加插值節(jié)點(diǎn)，公式必須整個(gè)改變，這就增加了計(jì)算工作量.由于高次插值多項(xiàng)式具有數(shù)值不穩(wěn)定的缺點(diǎn)（龍格插值），高次插值多項(xiàng)式的效果并非一定比低次插值好，所以當(dāng)區(qū)間較大、節(jié)點(diǎn)較多時(shí)，常用分段低次插值，如分段線性插值和分段二次插值.由于分段插值是局部化的，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)只影響附近少數(shù)幾個(gè)間距，從而帶來(lái)了計(jì)算上的方便，可以步進(jìn)地進(jìn)行插值計(jì)算.同時(shí)也帶來(lái)了內(nèi)在的高度穩(wěn)定性和較好的收斂性，因此它是計(jì)算機(jī)上常用的一種算法.分段插值的缺點(diǎn)是不能保證曲線