數(shù)值分析論文

1、數(shù)值分析論文幾種插值法的應用與比較摘要：本文主要介紹了幾種常用插值法的應用和比較，針對每個插值法，經過詳細的論證和討論，給出了每個插值法的優(yōu)點和缺點，通過對數(shù)學插值法的研究、比較及應用的討論及總結，從而得出所討論插值方法的各自優(yōu)勢，以方便用戶選擇合適的插值法。關鍵詞：拉格朗日插值，重心拉格朗日插值，分段線性插值正文：在許多實際問題及科學研究中，因素之間往往存在著函數(shù)關系，但是這些關系的顯示表達式不一定都知道，通常只是由觀察或測試得到一些離散數(shù)值，所以只能從這些數(shù)據構造函數(shù)的近似表達式，有時雖然給出了解析表達式，但由于解析表達式過于復雜，計算起來十分麻煩，這就需要建立函數(shù)的某種近似表達，而插值法

2、就是構造函數(shù)的近似表達式的方法。由于代數(shù)多項式是最簡單而又便于計算的函數(shù)，所以經常采用多項式作為插信函數(shù)，稱為多項式插值多項式插值法有拉格朗日插值法，牛頓插值法、埃爾米特插值法，分段插值法和樣條插值法等。其基本思想都是用高次代數(shù)多項式或分段的低次多項式作為被插值函數(shù)的近似解析表達式。拉格朗日插值法中，在數(shù)值分析中，拉格朗日插信法是以法國十八世紀數(shù)學家約瑟夫路易斯拉格朗日命名的一種多項式插值方法，許多實際問題中都用函數(shù)來表示某種內在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過實驗和觀測來了解，如對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不同的地方得到，相應的觀測值，拉格朗日插信法可以找到一個多項式，具恰好在各個

3、觀測的點取到觀測到的值。這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）多項式，數(shù)學上來說，拉格朗日插信法可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點的多項式函數(shù)，拉格朗日插值法最早被英國數(shù)學家愛德華.華林于1779年發(fā)現(xiàn)，不久后由萊昂哈德歐拉再次發(fā)現(xiàn)1795年，拉格朗日在其著作師范學校數(shù)學基礎教程中發(fā)表了這個插值方法，從此他的名字就和這個方法聯(lián)系在一起。拉格朗日插值多項式圖為：圖(1)已知平面上四個點：(-9,5),(-4,2),(-1,式：L(x)(黑色)穿過所有點.而每個基本多項式:-2),(7,9),拉格朗日多項yo10(x),yili(x),yzLlx)以及yl(x)各穿過對應的一點，并在其它的三個點

4、的x值上取零。對于給定的若n1個點(X0，y0),(xi,yi),(Xn,yn),對應于它們的次數(shù)不超過n的拉格朗日多項式L只有一個.如果計入次數(shù)更高的多項式，則有無窮個,因為所有與L相差(xx°)(xx1)(xxn)的多項式都滿足條件.對某個多項式函數(shù)，已知有給定的k1個取值點：(xo,yo),(xk,yk),其中Xj對應著自變量的位置，而y對應著函數(shù)在這個位置的取值。假設任意兩個不同的Xi都互不相同，那么應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式k為：L(x)yjij(x),j0其中每個lj(x)為拉格朗日基本多項式(或稱插值基函數(shù)),其表達式為:lj(x)kxX(xx

5、76;)(xxj1)(xxj1)i0,ijxjxi(xjx°)(xjxj1)(xjxj1)(xxk)(xjxk)拉格朗日基本多項式lix的特點是在xj上取值為1,在其它的點xi,ij上取值為0.例：假設有某個多項式函數(shù)f,已知它在三個點上的取值為:f(4)10,f(5)5.25,f(6)1,要求f(18)的值.首先寫出每個拉格朗日基本多項式:lox(x5)(x6).(45)(46)'11x(x4)(x6).(54)(56)'I2x(x4)(x5).(64)(65)'然后應用拉格朗日插值法，就可以得到p的表達式(p為函數(shù)f的插值函數(shù))：p(x)f(4)lo(x)

6、f(5)li(x)f(6)l2(x)10K5.25(x4)(x6)1(54)(56)(x4)(x5)(64)(65)1/24(x28x136),此時數(shù)值18就可以求出所需之值：f(18)p(18)11.插值多項式的存在性與唯一性：存在性：對于給定的k1個點：(xo，yo),(xyk)拉格朗日插值法的思路是找到一個在一點xj取值為1,而在其他點取值都是0的多項式lj(x).這樣，多項k式y(tǒng)jlj(x)在點xj取值為yj,而在其他點取值都是0.而多項式Lxyjlj(x)j0k就可以滿足L(x)yilj(x)00yj0yj,i0在其它點取值為0的多項式容易找到，例如：(xx°)(xxj1)

7、(xxj1)(xxk),它在點xj取值為:(Xixo)(XjXj1)(XjXk).由于已經假定Xi兩兩互不相同，因此上面的取值不等于0.于是，將多項式除以這個取值，就得到一個滿足“在Xj取值為1,而在其他點取值都是0的多項式”：XX(XXo)(XXj1)(XXj1)(XXk)lj,XjXi(XjXo)(XjXj1)(XjXj1)(XjXk)這就是拉格朗日基本多項式.唯一性：次數(shù)不超過k的拉格朗日多項式至多只有一個，因為對任意兩個次數(shù)不超過k的拉格朗日多項式：P1和P2,它們的差P1P2在所有k1個點上取值都是0,因此必然是多項式(XXo)(XX1)(XXk)的倍數(shù).因此，如果這個差P1P2不等

8、于0,次數(shù)就一定不小于k1.但是P1P2是兩個次數(shù)不超過k的多項式之差，它的次數(shù)也不超過k,所以P1P20也就是說P1P2.這樣就證明了唯一性.幾何性質：拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多項式l0,l1,ln(由某一組X0X1Xn確定)可以看做是由次數(shù)不超過n的多項式所組成的線性空間：nX的一組基底.首先，如果存在一組系數(shù)：0,1,n使得，P0l01l1nln0,那么，一方面多項式P是滿足P(X0)0,P(X1)1,P(Xn)n的拉格朗日插值多項式，另一方面P是零多項式，所以取值永遠是0.所以01n0,這證明了l0,l1,ln是線性無關的.同時它一共包含n1個多項式，恰好等于nX的維數(shù).所以

9、l0,l1,ln構成了nX的一組基底.拉格朗日基本多項式作為基底的好處是所有的多項式都是齊次的(都是n次多項式).優(yōu)點與缺點：拉格朗日插值法的公式結構整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當插值點增加或減少一個時，所對應的基本多項式就需要全部重新計算，于是整個公式都會變化，非常繁瑣.這時可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來代替.此外，當插值點比較多的時候，拉格朗日插值多項式的次數(shù)可能會很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點，也就是說盡管在已知的幾個點取到給定的數(shù)值，但在附近卻會和“實際上”的值之間有很大的偏差.這類現(xiàn)象也被稱為龍格現(xiàn)象，解決的辦法是分段用較低次數(shù)的插值多項式.重心拉格朗日插值

10、法：重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進.在拉格朗日插值法中，運用多項式：l(x)(xx0)(xx1)(xxk),圖(2)拉格朗日插值法的數(shù)值穩(wěn)定性：如圖(2),用于模擬一個十分平穩(wěn)的函數(shù)時，插值多項式的取值可能會突然出現(xiàn)一個大的偏差(圖中的14至15中間)可以將拉格朗日基本多項式重新寫為：l(x)1k，i0,ij(xjxi)定義重心權1k，i0,ij(xjxi)上面的表達式可以簡化為：L(x)l(x)xxjk于是拉格朗日插值多項式變?yōu)椋篖(x)l(x)yj,(1)joxxj即所謂的重心拉格朗日插值公式(第一型)或改進拉格朗日插值公式.它的優(yōu)點是當插值點的個數(shù)增加一個時，將每個j都除以

11、(XjXk1),就可以得到新的重心權k1,計算復雜度為(n),比重新計算每個基本多項式所需要的復雜度(n2)降了一個量級.將以上的拉格朗日插值多項式用來對函數(shù)g(x)1插值，可以得到：kx,g(x)i(x)j0Xxj因為g(x)1是一個多項式.因此，將L(x)除以g(x)后可得到:L(x)(2)kj_j0xxjkjj0xxj這個公式被稱為重心拉格朗日插值公式(第二型)或真正的重心拉格朗日插值公式.它繼承了(1)式容易計算的特點，并且在代入x值計算L(x)的時候不必計算多項式l(x)它的另一個優(yōu)點是，結合切比雪夫節(jié)點進行插值的話，可以很好地模擬給定的函數(shù)，使得插值點個數(shù)趨于無窮時，最大偏差趨于零

12、.同時，重心拉格朗日插值結合切比雪夫節(jié)點進行插值可以達到極佳的數(shù)值穩(wěn)定性.第一型拉格朗日插值是向后穩(wěn)定的，而第二型拉格朗日插值是向前穩(wěn)定的，并且勒貝格常數(shù)很小.分段線性插值：對于分段線性插值，我們看一下下面的情況.1問題的重述：已知g(x)2,6x6用分段線性插值法求插值，繪出插值1x結果圖形，并觀察插值誤差.1 .在卜6,6中平均選取5個點作插值；2 .在卜6,6中平均選取11個點作插值；3 .在卜6,6中平均選取21個點作插值；4 .在卜6,6中平均選取41個點作插值.問題的分析：在數(shù)值計算中，已知數(shù)據通常是離散的，如果要得到這些離散點以外的其他點的函數(shù)值，就需要根據這些已知數(shù)據進行插值.

13、而本題只提供了取樣點和原函數(shù)g(x),分析問題求解方法如下:(1)利用已知函數(shù)式g(x)算取樣點X對應的函數(shù)值Y;將X,Y作為兩個等長的已知向量，分別描述采樣點和樣本值.因此被插值函數(shù)是一個單變量函數(shù)，可利用一維插值處理該數(shù)據插值問題.一維插值采用的方法通常有拉格朗日多項式插值(本題采用3次多項式插值)，3次樣條插值法和分段線性插值；(2)分別利用以上插值方法求插值.以0.5個單位為步長劃分區(qū)間卜6,6,并將每一點作為插值函數(shù)的取樣點.再根據插值函數(shù)計算所選取樣點的函數(shù)值.最后再利用所得函數(shù)值畫出相應的函數(shù)圖象，并與原函數(shù)g(x)的圖象進行對比問題的假設：為了解決上述分析所提到的問題，本題可以

14、作出如下假設：(1)假設原函數(shù)g(x)僅作為求解取樣點對應的樣點值的函數(shù)關系式.而其他各點的函數(shù)值都是未知量，敘用插值函數(shù)計算；(2)為了得到理想的對比函數(shù)圖象，假設g(x)為已知的標準函數(shù).可以選取0.5個單位為步長劃分區(qū)間卜6,6,分別計算插值函數(shù)和標準函數(shù)g(x)在該區(qū)間的取樣點的函數(shù)值.畫出函數(shù)圖象進行對比.分段線性插值原理：給定區(qū)間a,b,將其分割成ax°x1xnb,已知函數(shù)yf(x)在這些插值結點的函數(shù)值為ykf(xk)(k0,1,n)；求一個分段函數(shù)Ik(x),使其?f足：(1)Ih(xk)yk,(k0,1,n);(2)在每個區(qū)間x.x-上,Ih(x)是個一次函數(shù)。易知

15、，Ih(x)是個折線函數(shù)，在每個區(qū)間xk,xk1上，(k0,1,n)Ih(xJxxk1ykx"yk1,于是,Ih(x)在a,b上是連xkxk1xk1xk續(xù)的，但其一階導數(shù)是不連續(xù)的。于是即可得到如下分段線性插值函數(shù)：nIn(x)yJi(x),i0當xi1xxi時，且i0時舍去;當xxx時，且in時舍去;x xi1xi xi1其中x xi1lixi xi1其他.問題的求解：在MATLA中實現(xiàn)分段線性插值，最近點插值，3次多項式插值，3次樣條插值的命令為interpl,其調用格式為：Y1=interp1（X,Y,X1,'method'）函數(shù)根據X,Y的值，計算函數(shù)在X1處

16、的值.X,Y是兩個等長的已知向量，分別描述采樣點和樣本值，X1是一個向量或標量，描述欲插值點，Y1是一個與X1等長的插值結果.method是插值方法，包括：linear:分段線性插值.它是把與插值點靠近的兩個數(shù)據點用直線連接，然后在直線讓選取對應插值點的數(shù)；nearest：近點插值法.根據已知兩點間的插值點與這兩點間的位置遠近插值.當插值點距離前點遠時，取前點的值,否則取后點的值；cubic:3次多項式插值.根據已知數(shù)據求出一個3次多項式，然后根據多項式進行插值；spline:3次樣條插值.在每個分段（子區(qū)間）內構造一個3次多項式，使其插值函數(shù)除滿足插值條件外，還要求個節(jié)點處具有光滑條件.再根

17、據已知數(shù)據求出樣條函數(shù)后，按照樣條函數(shù)插值。運用Matlab工具軟件編寫代碼，并分別畫出圖形如下：(最近點插值3次多項式插值（二）在-6,6中平均選取11個點作插值:分段線性插值3次樣條插值最近點插值3次多項式插值3次樣條插值最近點插值3次多項式插值（四）在卜6,6中平均選取41個點作插值分段線性插值3次樣條插值最近點插值3次多項式插值插值方法的優(yōu)劣性分析：從以上對比函數(shù)圖象可以看出，分段線性插值其總體光滑程度不夠.在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是函數(shù)（曲線）的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性.一般情況下，階數(shù)越高光滑程度越好.分段線性插值具有零階光滑性，也就是不光滑.3次樣條插值就

18、是較低次數(shù)的多項式而達到較高階光滑性的方法.總體上分段線性插值具有以下特點：優(yōu)點：1.分段線性插值在計算上具有簡潔方便的特點；2.分段線性插值與3次多項式插值函數(shù)在每個小區(qū)間上相對于原函數(shù)都有很強的收斂性，（舍入誤差影響不大），數(shù)值穩(wěn)定性好且容易在計算機上編程實現(xiàn)等優(yōu)點。缺點：分段線性插值在節(jié)點處具有不光滑性的缺點（不能保證節(jié)點處插值函數(shù)的導數(shù)連續(xù)），從而不能滿足某些工程技術上的要求.而3次樣條插值卻具有在節(jié)點處光滑的特點。插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，它是數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解等數(shù)值的基礎與工具.由于多項式具有形式簡單，計算方便等許多優(yōu)點，故本文主要介紹多項式插值，它是插值法中常用和最基本的方法.拉格朗日插值多項式的優(yōu)點是表達式簡單明確，形式對稱，便于記憶.它的缺點是如果要想增加插值節(jié)點，公式必須整個改變，這就增加了計算工作量.由于高次插值多項式具有數(shù)值不穩(wěn)定的缺點（龍格插值），高次插值多項式的效果并非一定比低次插值好，所以當區(qū)間較大、節(jié)點較多時，常用分段低次插值，如分段線性插值和分段二次插值.由于分段插值是局部化的，即每個節(jié)點只影響附近少數(shù)幾個間距，從而帶來了計算上的方便，可以步進地進行插值計算.同時也帶來了內在的高度穩(wěn)定性和較好的收斂性，因此它是計算機上常用的一種算法.分段插值的缺點是不能保證曲線